GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Transkrypt

1 Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek :00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek :00 Aula A Wydział Budownictwa GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Definicja (przestrzeń 3 ) Przestrzenią 3 nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych 3 {( x, y, z) : x, y, z } Definicja (wektor) Wektorem zaczepionym nazywamy parę punktów. B koniec wektora AB A początek wektora AB ; AB BA wektor przeciwny do AB ; Jeśli A ( x, y, z ), B ( x, y, z ) to AB [ x x, y y, z z ] A A A B B B Definicja (punkty współliniowe i współpłaszczyznowe) B A B A B A 1) Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni należą te punkty 3 są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której 2) Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni płaszczyzna, do której należą te punkty 3 są współpłaszczyznowe, gdy istnieje 1

2 Definicja (działania na wektorach) u [ x, y, z], w [ x, y, z ], v [ x, y, z ] Niech ) Suma wektorów w i v jest określona wzorem w v [ x1 x2, y1 y2, z1 z2]; 2) Różnica wektorów w i v jest określona wzorem wv [ x1 x2, y1 y2, z1 z2]; 3) Iloczyn wektora u przez liczbę określamy wzorem: u [ x, y, z]. Definicja (Układ współrzędnych w przestrzeni) Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcje O, które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ oznaczamy przez OXYZ. Proste OX, OY, OZ nazywamy osiami, płaszczyzny XOY, YOZ, XOZ płaszczyznami układu współrzędnych. Definicja (Orientacja układu współrzędnych w przestrzeni) W zależności od wzajemnego położenia osi OX, OY, OZ układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny i układ lewoskrętny. 2

3 Definicja (wersory na osiach układu współrzędnych) Wektory i [1,0,0], j [0,1,0], k [0,0,1] nazywamy wersorami odpowiednio na osiach OX, OY, OZ. Definicja (długość wektora) Długość wektora u [ x, y, z] jest określona wzorem 2 2 u x y z 2. Obliczyć długość wektora AB, gdzie A (2,1, 3), B ( 1,1,4) Fakt (Własności długości wektorów) Niech u i v będą wektorami w 3 oraz niech. Wtedy 1) u 0; 2) u 0 u 0; 3) u u ; 4) u v u v ; 5) u v u v. 3

4 Definicja (Iloczyn skalarny) Niech u wzorem i v będą dowolnymi wektorami w 3. Iloczynem skalarnym wektorów u i v określamy Fakt (wzór do obliczania iloczynu skalarnego) u v u v cos ( u, v) u [ x, y, z ], v [ x, y, z ] będą wektorami w Niech Wtedy u v x1x 2 y1 y2 z1z2 Obliczyć iloczyn skalarny wektorów u [ 1,2, 3], v [2,0, 1]. Fakt (Własności iloczynu skalarnego) Niech u, w, v będą dowolnymi wektorami w 3 oraz niech. Wtedy 1) u v v u; 2) ( u) v ( v u); 3) u u u 2 ; 4) ( u w) v u v w v; 5) u v v u ; 6) wektory u i w są prostopadłe u w 0 Definicja (Orientacja trójki wektorów) u [ x, y, z ], w [ x, y, z ], v [ x, y, z ] będą wektorami w Niech u, w, v tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli: 3. Mówimy, że wektory

5 Definicja (Iloczyn wektorowy) Niech u i v będą niewspółliniowymi wektorami w 3. Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów u i v nazywamy wektor w, który spełnia warunki 1) jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach u i v 2) jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v, tj. równa u v sin ( u, v ) 3) orientacja trójki wektorów jest zgodna z orientacją układu współrzędnych OXYZ Iloczyn wektorowy pary wektorów przyjmujemy, że uv 0. u i v oznaczamy przez u v. Jeżeli wektory są współliniowe to Fakt (wzór do obliczania iloczynu wektorowego) u [ x, y, z ], v [ x, y, z ] będą wektorami w Niech Wtedy i j k y z x z x y u v x1 y1 z1 i j k y z x z x y , gdzie i, j, k oznaczają wersory odpowiednio na osiach OX, OY, OZ. Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów u [ 1,2, 3], v [2,0, 3]. Fakt (własności iloczynu wektorowego) Niech u, v, w będą dowolnymi wektorami w 3 oraz. Wtedy 5

6 1) u v ( v u); 2) ( u) v u ( v) ( u v); 3) ( u v) w u w v w; 4) u ( v w) u v u w; 5) u v u v ; 6) wektory u i v są równoległe uv 0; Fakt (pole równoległoboku) Pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v wyraża się wzorem: S u v. Definicja (Iloczyn mieszany) Niech u, v, w będą wektorami w u, v, w określamy wzorem: 3. Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów ( u, v, w) ( u v) w Fakt (objętość równoległościanu) Iloczyn mieszany wektorów u, v, w jest równy objętości równoległościanu V rozpiętego na wektorach u, v, w V ( u, v, w). Fakt (wzór do obliczania iloczynu mieszanego) u [ x, y, z ], w [ x, y, z ], v [ x, y, z ] będą wektorami w Niech Wtedy ( u, v, w)

7 Obliczyć objętość czworościanu rozpiętego na wierzchołkach P (1,1,1), Q (1,2,3), R ( 1,1,0), S (0,0,1).. Fakt (własności iloczynu mieszanego) Niech u, v, w będą dowolnymi wektorami w 3 oraz. Wtedy 1) ( u, v, w) ( v, w, u); 2) ( u, v, w) ( v, u, w); 3) ( u r, v, w) ( u, v, w ( r, v, w)); 4) ( u, v, w) ( u, v, w); 5) Wektory u, v, w leżą w jednej półpłaszczyźnie ( u, v, w) 0; 6) ( u, v, w) u v w ; wektory u i v są równoległe uv 0; Fakt (równanie normalne płaszczyzny) RÓWNANIA PŁASZCZYZN Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i prostopadłej do wektora n [ A, B, C] 0 ma postać : ( r r ) n 0, gdzie r [ x, y, z] jest wektorem wodzącym punktów przestrzeni. Wektor n [ A, B, C] 0 nazywamy wektorem normalnym do płaszczyzny. 0 W formie rozwiniętej równanie płaszczyzny przyjmuje postać: : A( x x ) B( y y ) C( z z ) Powyższe zależności nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny. 7

8 Fakt (równanie ogólne płaszczyzny) Każde równanie postaci : Ax By Cz D 0, gdzie A B C 0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta ma wektor normalny n [ A, B, C] i przecina oś OZ w punkcie D z, o ile C 0. C Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez środek odcinka AB, gdzie A (3,2, 1), B (5,0,7) i prostopadłej do tego odcinka. Fakt (równanie parametryczne płaszczyzny) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r0 [ x0, y0, z0] i rozpiętej na niewspółliniowych wektorach u [ a1, b1, c1 ] i v [ a2, b2, c2] ma postać lub inaczej lub : r r su tv, gdzie st, 0 :[ x, y, z] [ x, y, z ] s[ a, b, c ] t[ a, b, c ], gdzie st, x x s a t a : y y sb t b z z s c t c , gdzie st,. Powyższe zależności nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny. Napisać równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych i równoległej do wektorów u [1,2,3], v [0, 1,2]. 8

9 Fakt (równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty) Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty P ( x, y, z ), P ( x, y, z ), P ( x, y, z ) ma postać Fakt (równanie odcinkowe płaszczyzny) : Równanie płaszczyzny odcinającej na osiach OX, OY, OZ układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane) a, b, c przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty abc,, 0 ma postać : 1 a b c Powyższą zależność nazywany równaniem odcinkowym płaszczyzny. Znaleźć równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P ( 1,2,3) i odcina na osiach układu odcinki jednakowej 9

10 Fakt (równanie parametryczne prostej) RÓWNANIA PROSTYCH Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym r [ x, y, z ] i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v [ a, b, c] ma postać lub po rozpisaniu lub l : r r tv, 0 gdzie l : r r tv, l :[ x, y, z] [ x, y, z ] t[ a, b, c], gdzie t x x0 t a : y y0 t b, gdzie t. z z0 t c Fakt (równanie kierunkowe prostej) Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) i wyznaczonej przez niezerowy wektor kierunku v [ a, b, c] ma postać l x x y y z z a b c :. Ten sposób zapisu równania parametrycznego prostej nazywamy jej równaniem kierunkowym. Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej przechodzącej przez punkt P ( 1,0,3) i równoległej do wektora v [2, 1,5] 10

11 Definicja (równanie krawędziowe prostej) Prosta l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 oraz 2 : A2 x B2 y C2z D2 0, będziemy zapisywać w postaci A1 x B1 y C1z D1 0 l :. A2 x B2 y C2z D2 0 Ten sposób zapisu nazywamy jej równaniem krawędziowym. Fakt (o wektorze kierunkowym prostej w postaci kierunkowej) A1 x B1 y C1z D1 0 Wektor kierunkowy prostej l : A2 x B2 y C2z D2 0 v [ A, B, C ] [ A, B, C ] ma postać Prostą 6x 2y z 9 0 l : 3x 2y 2z 12 0 zapisać w postaci parametrycznej Definicja (rzutu punktu na płaszczyznę i na prostą) Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę nazywamy punkt spełniający warunek PP'. P ' tej płaszczyzny 11

12 Podobnie rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt warunek P P' l. P ' tej prostej spełniający Rzut ukośny punktu. 12

13 Fakt (odległość punktu od płaszczyzny) Odległość punktu P0 ( x0, y0, z0) od płaszczyzny : Ax By Cz D 0 wyraża się wzorem dp Fakt (odległość płaszczyzn równoległych) 2 2 Ax By Cz D ( 0, ) A B C Odległość między płaszczyznami równoległymi 1 i 2 o równaniach 1: Ax By Cz D1 0, : Ax By Cz D 0 wyraża się wzorem Obliczyć odległość: d D D 1 2 ( 1, 2) A B C a) Punktu P (5, 1,6) od płaszczyzny :3x 4y 12z 12 0; b) płaszczyzn równoległych : x y 2z 5 0, : 2x 2y 4z Fakt (wzór do obliczania kąta nachylenia prostej do płaszczyzny) Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierunkowym v do płaszczyzny o wektorze normalnym n wyraża się wzorem n v ( l, ) arcsin. nv Obliczyć kąt nachylenia prostej x 1 y z 2 l : do płaszczyzny :2x y z 0. :

14 Fakt (wzór do obliczania kąta między prostymi) Kąt między prostymi l1, l 2 o wektorach kierunkowych v1 i v 2 odpowiednio wyraża się wzorem 1 2 ( l1, l2) arccos. v1 v2 v v x 2t x 1 3s Obliczyć kąt między prostymi l 1 : y 1 t, t, l 2 : y 2 s. z t z 3 Fakt (wzór do obliczania kąta między płaszczyznami) Kąt między płaszczyznami 1 i 2 o wektorach normalnych odpowiednio n1 i n 2 wyraża się wzorem n n 1 2 ( 1, 2) arccos. n1 n2 Obliczyć kąt między płaszczyznami 1: x 2y z 1 0, 2: x 2y z