GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

Transkrypt

1 GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej k. c) Znajdź punkty przecięcia prostej k z osiami układu współrzędnych. Zadanie (4 pkt.) Domy trzech kolegów znajdują się w punktach, które można zaznaczyć w układzie współrzędnych: dom Tomka w punkcie T (,), dom Jurka w punkcie J (,), zaś dom Piotrka w punkcie P (, ). a) Oblicz odległość między domami Jurka i Tomka. b) Które domy są położone najdalej od siebie. Odpowiedź uzasadnij. Zadanie (4 pkt.) Narysuj na płaszczyźnie zbiory: A i B (na oddzielnych rysunkach) i zaznacz zbiory oraz A \ B, jeśli: A {( x, y) R x y< } B x, y R x+ y 5. {( ) } A B Zadanie 4 (5 pkt.) Współrzędne każdego punktu należącego do zbioru A można przedstawić w postaci t,7 4t dla pewnego t,. Aby zaznaczyć zbiór A na płaszczyźnie, można za ( ) x t pomocą układu równań znaleźć związek między współrzędnymi x i y, 7 4t np. wyznaczając parametr t z pierwszego równania i podstawiając wyznaczone wyrażenie + x x t t w miejsce t do drugiego równania: dla t,. 7 4t 7 4t + x Mamy więc y 7 4 czyli y x+ 5. Zbiór A jest więc odcinkiem zawartym w prostej o równaniu y x+ 5. Dla krańcowych wartości t z przedziału, otrzymujemy punkty: (-, ) oraz (, ), które są końcami odcinka. { :, } W podobny sposób wyznacz zbiór ( t+, t) B t. Zadanie 5 ( pkt.) Położenie dwóch braci można opisać w układzie współrzędnych. W pewnej chwili Jacek znajdował się w punkcie A (,), a Tomek w punkcie B (, ). Wyznacz równanie prostej, na której znajdowali się bracia i oblicz odległość między nimi.

2 Zadanie 6 (5 pkt.) o Prosta k jest nachylona do osi OX pod kątem α 45, przechodzi przez punkt P(, ) i przecina oś OY w punkcie A. Prosta l jest prostopadła do prostej k, przecina ją w punkcie P, zaś oś OY w punkcie B. Napisz równania prostych k i l, a następnie oblicz pole trójkąta ABP. Zadanie 7 (7 pkt.) Pani Kowalska w czasie wakacji robi przetwory z owoców. Kupiła na targu jabłka (w cenie zł za kilogram) i wiśnie (w cenie 4 zł za kilogram). Niech x oznacza liczbę kilogramów jabłek, y liczbę kilogramów wiśni. Zapisz układ nierówności opisujący następującą sytuację: kilogramów zakupionych przez panią Kowalską owoców nie przekracza kg, a suma wydanych na nie pieniędzy nie może być większa od 6 zł. Zilustruj zbiór rozwiązań tego układu na płaszczyźnie. Zadanie 8 (5 pkt.) Punkty A(, 4), B(,), C(,5 ) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz: a) równania prostych zawierających boki AB i CD, b) długość wysokości opuszczonej z punktu C na bok AB, c)pole równoległoboku. Poziom rozszerzony Zadanie (6 pkt.) Sprawdź, czy prosta 4 x+ y+ a) jest prostopadła do prostej o równaniu x + 4y 7 ; b) jest styczna do okręgu x x+ y y. Zadanie (9 pkt.) Dany jest trójkąt o wierzchołkach A (,), B(5,), C(,4 ). a) sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostokątny; b) wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zadanie (6 pkt.) Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory A, B oraz A B i A x, y R x + y+ 9 {( ) ( ) ( ) } ( x, y) R y < { } B x. B \ A, jeśli: Zadanie 4 (5 pkt.) Wykaż, że zbiorem równoodległych od prostej y 5 i punktu O(, ) jest parabola o równaniu y x +.

3 Zadanie 5 (9 pkt.) Dany jest trójkąt ABC, w którym A(-, ), AB [5, ], a środek ciężkości ma współrzędne S(-, -). a) Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta. b) Wyznacz obraz punktu A w symetrii względem prostej zawierającej bok BC. Zadanie 6 ( pkt.) Punkty A(, -5) i B(4, -) są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wierzchołek C należy do prostej o równaniu x + y 9. a) Znajdź współrzędne C i D. b) Oblicz sinus kąta ostrego i pole rombu ABCD. c) Napisz równanie okręgu wpisanego w ten romb. Zadanie 7 ( pkt.) Środkiem okręgu jest punkt S(-, ), a styczna do okręgu ma równanie x + 4y+ 5. Oblicz długość promienia tego okręgu. Zadanie 8 (4 pkt.) Dane są odcinki o długościach a x+, b y, c x+ y. Opisz za pomocą układu nierówności zbiór tych wszystkich (x, y ), dla których z odcinków o długościach a, b, i c można zbudować trójkąt. Zaznacz ten zbiór w układzie współrzędnych. Czy punkt A(, ) spełnia ten warunek? Zadanie 9 (8 pkt.) Dla jakich wartości parametru p iloczyn zbiorów A i B jest zbiorem pustym, jeżeli A {( x, y) R x + y 6x + y+ 8 } B {( x, y) R x y+ p< }. Dla najmniejszej znalezionej wartości parametru p przedstaw interpretację geometryczną.

4 SCHEMAT PUNKTOWANIA GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Etapy rozwiązania Przekształcenie prostej k do postaci kierunkowej: y x+. Zapisanie współczynnika kierunkowego: a. Wyznaczenie punktu przecięcia prostej k z osią x: (, ) oraz z osią y: (, ). Obliczenie odległości między punktami J i T: 5 [j]. Obliczenie odległości między punktami J i P: 9 [j]. Obliczenie odległości między punktami T i P: 5 [j]. Wskazanie, które domy są położone najdalej od siebie. Odp. Dom Jurka i Piotrka, ponieważ 9 > 5 i 9 > 5 Wyznaczenie zbioru A. Wyznaczenie zbioru B. Wyznaczenie sumy zbiorów A i B. Wyznaczenie różnicy zbiorów A i B. x t+ Ułożenie odpowiedniego układu równań:. t x t Wyznaczenie parametru t z pierwszego równania: dla t t,. Podstawienie wyznaczonej wartości t do drugiego równania: y 4 x. Wyznaczenie, które są końcami odcinka: (-, 7) i (, ). Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty A i B: y x+. Obliczenie odległości między punktami A i B: AB 5. Wyznaczenie równania prostej k: y x. Wyznaczenie współrzędnych punktu A: (, -) Wyznaczenie równania prostej l: y x+ 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu B: (, 4). Obliczenie pola trójkąta ABP: 9[j ] x+ y x+ 4y 6 Utworzenie układu nierówności: x y Ilustracja zbioru rozwiązań układu na płaszczyźnie 4

5 8 Etapy rozwiązania Wyznaczenie równania prostej AB: y x. Wyznaczenie równania prostej CD: y x+ 4. Wyznaczenie długości wysokości opuszczonej z wierzchołka C na bok AB: Obliczenie długości boku AB: 4 Obliczenie pola równoległoboku: P 4 [j ] Numer 4 Poziom rozszerzony Etapy rozwiązania Wyznaczenie współczynników kierunkowych obu prostych: 4 a, a. 4 Porównanie współczynników i stwierdzenie, że proste nie są prostopadłe. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu. Wyznaczenie długości promienia okręgu. Obliczenie odległości środka okręgu od prostej 4 x + y+. Porównanie odległości środka okręgu od prostej z długością promienia okręgu i stwierdzenie, że prosta jest styczna do okręgu. Obliczenie długości boków trójkąta: AB, BC 5, AC. Sprawdzenie, czy długości boków trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa Napisanie układu trzech równań: podstawienie współrzędnych wierzchołków trójkąta do równania okręgu w postaci ogólnej. Rozwiązanie układu równań, wyznaczenie współczynników: a, b, c. Wyznaczenie równania okręgu: x + y 6x 6y+. Odczytanie współrzędnych środka długości promienia okręgu. Zaznaczenie na płaszczyźnie zbioru A. Zapisanie nierówności y x < w postaci koniunkcji: y< x+ i y > x. Zaznaczenie na płaszczyźnie zbioru B. Zaznaczenie zbiorów A B i A \ B. Zapisanie założenia: k: y 5, P ( x, y) dowolny punkt płaszczyzny spełniający warunek d ( p, k) OP i tezy: y x +. Przeprowadzenie dowodu: d ( p, k) + y OP 5 y x. Obie strony nierówności są nieujemne, więc można każdą z nich podnieść do kwadratu. Otrzymane równanie wystarczy przekształcić do postaci y x + 4

6 Etapy rozwiązania Wyznaczenie współrzędnych punktu B: B(, 4). Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB (punktu M): M (-, ) Wyznaczenie współrzędnych punktu C z własności środka ciężkości CS SM, C (-, -8). Znalezienie równania prostej BC: x y. Znalezienie równania prostej prostopadłej do BC przechodzącej przez punkt A: x + y. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia obu prostych: P, 5 5 ' Wyznaczenie współrzędnych punktu A (z równości wektorów AP PA ) x, 9 x, dla pewnego x R. Zauważenie, że punkt C ma współrzędne ( ) Skorzystanie z własności rombu: AB BC w celu wyznaczenia x. Wyznaczenie współrzędnych punktu D z równości wektorów AB DC. Obliczenie sinα ( z tw. cosinusów lub z def. funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym). Obliczenie pola rombu. Znalezienie współrzędnych środka okręgu, jako środek przekątnej AC i przekątnej BD. Odp.: S ( 7, ). Obliczenie długości promienia okręgu, jako odległość punktu S od jednego z boków. Odp.: r,7. Zapisanie równania okręgu o środku S promieniu r: 7 x + y+,49. Obliczenie długości promienia okręgu, czyli odległości środka okręgu od stycznej r. Skorzystanie z nierówności trójkąta i założenie, że długość każdego x+ > y< x+ y> odcinka jest liczbą dodatnią: x y+ 4> x+ y > x+ y+ > Zaznaczenie zbioru, których współrzędne spełniają dany układ nierówności. Sprawdzenie, że punkt A (, ) nie spełnia tego układu nierówności. 7 6

7 9 Etapy rozwiązania Stwierdzenie, że zbiór A jest kołem o środku S ( x S, y ) (, ) S i promieniu r. Stwierdzenie, że zbiór B jest półpłaszczyzną z wyłączoną prostą, zbiory A i B są rozłączne, gdy dana prosta jest styczną (k) do koła i środek koła nie należy do półpłaszczyzny określonej nierównością x y+ p< lub dana prosta znajduje się powyżej stycznej k. Wyznaczenie równania stycznej k spełniającej warunek: y x+ p d( S, k) r xs ys + p>. Odp.: p -. Wyznaczenie zbioru parametrów spełniających warunki : p. Przedstawienie interpretacji geometrycznej dla p -.