Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011"

Transkrypt

1 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy wektory pq i rs sa równoważne: (a) p = (1, 1), q = (4, 3), r = ( 1, 5), s = (5, 2); (b) p = (1, 4), q = ( 3, 5), r = (5, 7), s = (1, 8); (c) p = (1, 1, 5), q = ( 2, 3, 4), r = (3, 1, 1), s = (0, 5, 10); (d) p = (2, 3, 4), q = ( 1, 3, 5), r = ( 2, 3, 1), s = ( 5, 3, 8). 2. Sprawdzić, czy wektory pq i rs sa równoległe: (a) p = (1, 1), q = (4, 3), r = ( 1, 5), s = (7, 1); (b) p = (1, 4), q = ( 3, 5), r = (5, 7), s = (9, 6); (c) p = (1, 1, 5), q = ( 2, 3, 4), r = (3, 1, 1), s = ( 3, 9, 17); (d) p = (2, 3, 4), q = ( 1, 3, 5), r = ( 2, 3, 1), s = ( 11, 3, 28). 3. Wykazać, że współrze dne środka odcinka sa średnimi arytmetycznymi współrze dnych jego końców. 4. Znaleźć ka ty wewne trzne trójka ta o wierzchołkach p, q oraz r: (a) p = (2, 1, 3), q = (1, 1, 1), r = (0, 0, 5); (b) p = (2, 1, 1), q = (1, 3, 5), r = (3, 4, 4); (c) p = (3, 1, 1), q = ( 1, 2, 1), r = (2, 2, 5). 5. Sprawdzić, czy trójka t o wierzchołkach p, q i r jest prostoka tny: (a) p = (0, 0), q = (3, 1), r = (1, 7); (b) p = (1, 0), q = ( 1, 3), r = (1, 10); (c) p = (3, 2, 1), q = ( 1, 6, 5), r = (5, 3, 2). 6. Obliczyć pole trójka ta o wierzchołkach p = (0, 0, 2), q = (2, 1, 1) oraz r = ( 1, 1, 0). 7. Znaleźć wektor u wiedza c, że jest on prostopadły do wektorów v = [1, 2, 3] i w = [ 1, 4, 2] oraz, że u [4, 5, 1] = 150.

2 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 2 8. Dany jest romb o wierzchołkach p, q, r i s. Wyrazić za pomoca wektorów pr i qs wektory: pq, qr, rs i sp. 9. Wektor [3, 2, 1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów u i v takich, że u [ 1, 4, 5] oraz v [ 1, 4, 5]. 10. Dane sa punkty: p = (4, 1, 2a), q = (a, 2, 4), r = ( 2, 4, 2) oraz s = (3 a, 1, 3). Dla jakich wartości parametru a R iloczyn skalarny pq rs jest dodatni? 11. Pokazać, że dla dowolnych wektorów u i v: (a) u + v 2 + u v 2 = 2 u v 2 ; (b) u + v 2 = u 2 + v 2 + 2u v; (c) u + v 2 u v 2 = 4u v. 12. Pokazać na przykładzie, że dla trzech wektorów u, v i w z faktu iż u v = u w nie musi wynikać v = w. 13. Pokazać, że dla dowolnych wektorów u i v oraz a R, u + av u. 14. Obliczyć pole równoległoboku o trzech kolejnych wierzchołkach w punktach: p = (1, 0, 1), q = (3, 1, 5) oraz r = ( 1, 5, 0). 15. Obliczyć pole powierzchni równoległościanu rozpie tego na wektorach u, v i w. 16. Obliczyć iloczyn mieszany wektorów: u = [3, 2, 5], v = [1, 1, 3] i w = [ 2, 2, 1]. 17. Dane sa wektory: u = [3, 2, 1], v = [1, 2, 2] i w = [ 1, 4, 3]. Obliczyć (a) ((u 2v) w) ((u w)(v w)), (b) ((v w))(2w u))((u v) (u + w)). 1.2 Proste i płaszczyzny 1. Dla jakiego parametru k R, proste 3kx 1 2x = 0 i x 1 + 4x 2 3 = 0 sa prostopadłe? Znaleźć dwusieczna mie dzy tymi prostymi. 2. Znaleźć punkt symetryczny do punktu p = ( 2, 9) wzgle dem prostej 2x 1 3x = W trójka cie o wierzchołkach w punktach p, q i r znane sa : punkt q = (0, 5) oraz wektory pq = [4, 12] i rq = [ 8, 7]. Znaleźć równanie wysokości opuszczonej z punktu r na bok pq. 4. Ramiona trójka ta równoramiennego maja równania odpowiednio: 7x 1 + x 2 +5 = 0 oraz 2x 1 2x 2 3 = 0. Znaleźć równanie podstawy przechodza cej przez punkt p = (0, 1).

3 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 3 5. Znaleźć równanie płaszczyzny Π (a) przechodza cej przez punkt p = (1, 5, 1) i równoległej do wektorów u = [ 2, 1, 3] oraz v = [1, 4, 1]; (b) przechodza cej przez punkt p = (2, 4, 1) i równoległej do płaszczyzny 2x 1 x 2 3x 3 1 = 0; (c) przechodza cej przez punkt p = (3, 5, 7) i prostopadłej do płaszczyzn x 1 x 2 + 2x 3 1 = 0 oraz 3x 1 + x 2 x = Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej przechodza cej przez punkt p = (1, 1, 2), prostopadłej do wektora u = [ 1, 3, 4] i przecinaja cej prosta x 1 = 1 + 2t, x 2 = 4 t, x 3 = 3t. 7. Znaleźć punkt symetryczny do punktu p = (1, 1, 0) wzgle dem płaszczyzny x 1 + 2x 2 x 3 = Znaleźć punkt symetryczny do punktu p = (1, 2, 2) wzgle dem prostej x 1 = t, x 2 = 3 + 2t, x 3 = 2 t. 9. Sprawdzić, czy punkty: p = (1, 1, 1), q = (0, 1, 2), r = ( 1, 3, 0) i s = (5, 0, 4) należa do jednej płaszczyzny. 10. Sprawdzić, czy wektory: u = [1, 1, 2], v = [0, 4, 1] i w = [2, 2, 3] sa równoległe do jednej płaszczyzny. 11. Niech prosta L be dzie cze ścia wspólna płaszczyzn: x 1 + 4x 2 x 3 = 0 oraz 2x 2 + x = 0. Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej przecinaja cej prostopadle prosta x 1 = 1 + t, x 2 = 1 2t, x 3 = 3 t i prosta L. 12. Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej równoległej do płaszczyzn: 3x x 2 3x 3 5 = 0 i 3x 1 4x 2 + 9x = 0 oraz przecinaja cej proste: x 1 = 5+2t, x 2 = 3 4t, x 3 = 1+3t i x 1 = 3 2t, x 2 = 1+3t, x 3 = 2 + 4t. 13. Znaleźć odległość mie dzy prosta x 1 = 9 + 4t, x 2 = 2 3t, x 3 = t i prosta x 1 = 2t, x 2 = 7 + 9t, x 3 = 2 + 2t. 14. Znaleźć rzut prostej x 1 = 2t, x 2 = 1 t, x 3 = 1 + 2t na płaszczyzne x 1 + x 2 + x 3 = Niech prosta L 1 be dzie cze ścia wspólna płaszczyzn: x 1 x 2 x 3 +2 = 0 oraz x 1 2x = 0. Przez rzut punktu p = (2, 1, 1) na prosta L 2 : x 1 = t, x 2 = 1 t, x 3 = 2t poprowadzić prosta prostopadła do L 2 i przecinaja ca prosta L Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej przechodza cej przez punkt p = (2, 3, 1) i przecinaja cej proste L 1 i L 2, gdzie prosta L 1 jest przecie ciem płaszczyzn: x 1 + x 2 = 0 i x 1 x 2 + x = 0 natomiast prosta L 2 jest przecie ciem płaszczyzn: x 1 + 3x 2 1 = 0 i x 2 + x 3 = 0.

4 2 PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE Zbadać wzajemne położenie prostych L 1 i L 2, jeśli (a) L 1 jest przecie ciem płaszczyzn: x 1 + 2x 2 x 3 3 = 0 i 3x 1 x 2 + x = 0 natomiast prosta L 2 jest przecie ciem płaszczyzn: 2x 1 + 3x 2 2x 3 1 = 0 i x 1 + x 2 2 = 0; (b) L 1 : x 1 = 1 + 2t, x 2 = 2 3t, x 3 = 5 + 4t oraz L 2 : x 1 = 7 + 3t, x 2 = 2 + 2t, x 3 = 1 2t; (c) L 1 : x 1 = 2 + t, x 2 = 1 + 2t, x 3 = 2t oraz L 2 : x 1 = t, x 2 = 3 t, x 3 = 2 t. 18. Znaleźć dowolny wektor w przestrzeni R 3, który z wektorami u = [1, 2, 3] i v = [6, 4, 2] tworzy jednakowe ka ty i leży w płaszczyźnie równoległej do obu tych wektorów. 2 Podstawowe struktury algebraiczne 1. Niech X be dzie niepustym zbiorem. Pokazać, że składanie przekształceń w zbiorze Map(X, X) := {f f : X X} jest ła czne. 2. Sprawdzić, czy naste puja ce działania sa ła czne, przemienne, czy istnieje element neutralny i czy dla każdego elementu istnieje element odwrotny: (a) a b := a b, dla a, b R {0}, (b) a b := a b, dla a, b Q {0}, (c) a b := a b, dla a, b N, (d) a b := a+b 2, dla a, b R, (e) a b := a + b ab, dla a, b R {1}, (f) a b := a + b + ab, dla a, b R, (g) a b := a + b + 1, dla a, b R, (h) a b := 1 + (a 1)(b 1), dla a, b R, (i) a b := NW W (a, b), dla a, b N, (j) a b := NW D(a, b), dla a, b N, (k) a b := a 2 + b 2, dla a, b R, (l) (a, n) (b, m) := (a + b, n + m), dla (a, n), (b, m) R Z, (m) (a, n) (b, m) := (ab + ma + nb, nm), dla (a, n), (b, m) R Z, (n) A B := (A B) \ (A B), dla A, B X, (o) (a, b) (c, d) := (ac, ad + b), dla a, c R {0}, b, d R, (p) a r b := a(1 r) + br, dla a, b R, r R, (q) a b := a, dla a, b A, gdzie A jest dowolnym zbiorem. 3. Podać przykład działania, które jest przemienne i nie jest ła czne oraz działania, które jest ła czne, ale nie jest przemienne.

5 2 PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE 5 4. Niech e A be dzie elementem neutralnym ła cznego działania : A A i niech a, x, y A. Pokazać, że (a) Jeśli a x = a y, to x = y. (b) Jeśli a x = e, to x = a Niech : A A be dzie działaniem ła cznym z elementem neutralnym e A. Pokazać, że zbiór wszystkich elementów odwracalnych ze wzgle du na : A A tworzy grupe. 6. Niech a, b Z, n N, i niech (a) n oznacza reszte z dzielenia liczby a przez n. Pokazać, że zbiór Z n := {0, 1,..., n 1} z działaniem a + n b := (a + b) n jest grupa przemienna. Dla n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 znaleźć wszystkie podgrupy grupy (Z n, + n ). 7. Niech (G, ) be dzie grupa i a, x, y G. Pokazać, że równanie a x = y ma zawsze rozwia zanie. 8. Pokazać, że jeśli iloczyn a b dwóch elementów grupy G jest kwadratem elementu grupy G, to dla x G, równanie xax = b ma rozwia zanie. 9. Pokazać, że grupa G jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a, b G, abab = aabb. 10. Znaleźć wszystkie grupy 3-elementowe. 11. Sporza dzić tabelke składania przekształceń grupy izometrii (odwzorowań zachowuja cych odległość) prostoka ta, który nie jest kwadratem. 12. Znaleźć wszystkie podgrupy grupy ({e, a, b, c}, ), gdzie 13. Dane sa permutacje π = σ = e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ( ( (a) Obliczyć permutacje: σ π, π σ, σ 1, π 1, σ π σ 1. (b) Rozłożyć permutacje π i σ na cykle rozła czne. (c) Przedstawić permutacje π i σ jako złożenie transpozycji. ) )

6 2 PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE 6 (d) Znaleźć znak permutacji π i σ. 14. Pokazać, że zbiór wszystkich permutacji parzystych n-elementowego zbioru jest podgrupa grupy (S n, ). Czy permutacje nieparzyste tworza podgrupe grupy (S n, )? 15. Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem. Pokazać, że dla dowolnych x, y, P x (y z) = x y x z. 16. Czy naste puja ce zbiory z działaniami sa pierścieniami: (a) ({ r 3 s r Z, s N {0}}, +, ), (b) ({a + bi C a = 0 lub b = 0}, +, ), (c) ({a 0 + a 1 x a n x n R[x] a 0 = a 1 = 0}, +, ), (d) ({a + bi a, b Z, b liczba parzysta}, +, ), (e) (Q,, ), gdzie a b := a + b 1 i a b := a + b = ab, (f) ({z, a, b, c},, ), gdzie i. ii. z a b c z z a b c a a z c b b b c z a c c b a z z a b c z z a b c a a z c b b b c z a c c b a z (g) Q( 2) = ({a + b 2 a, b Q}, +, ), (h) ({a + b c 3 4 a, b Q}, +, ). z a b c z z z z z a z a b c b z z z z c z a b c z a b c z z z z z a z a b c b z b z z c z c b z Które z pierścieni sa i) przemienne, ii) posiadaja jedność, iii) nie maja dzielników zera? 17. Niech X be dzie zbiorem oraz 2 X := {A A X}. Pokazać, że (2 X,, ) jest przemiennym pierścieniem z jedynka. 18. Pokazać, że (Z n, + n, n), gdzie dla a, b Z n, a n b := (a b) n, jest przemiennym pierścieniem z jedynka. Dla n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 znaleźć wszystkie podpierścienie oraz elementy odwracalne pierścienia (Z n, + n, n). Które z tych pierścieni sa ciałami?

7 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem. Element x P {0} nazywamy dzielnikiem zera, jeśli istnieje taki element y P {0}, że x y = 0. Pokazać, że element x P \ {0} jest dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest elementem odwracalnym w pierścieniu (P, +, ). 20. Niech A := {a + b 5 a, b Q}. Sprawdzić, czy zbiór A z działaniami dodawania i mnożenia liczb jest ciałem. 21. Sprawdzić, czy zbiór R R z działaniami: (a 1, a 2 )+(b 1, b 2 ) := (a 1 +a 2, b 1 + b 2 ) oraz (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) := (a 1 a 2, b 1 b 2 ), dla (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) R R, jest ciałem? 22. W ciele liczb zespolonych znaleźć elementy: (a) (1 i 3) 1, (1 2i) 1, ( 3 i) 1, (1 i) 1 ; (b) i 3 ( 1 + 2i) 2 (3 i); (c) i 2 (1 i)((1 + i) 3 ) Pokazać, że podzbiór (a) A := {z C z = 1}; (b) A := {z C z n 1 = 0}, dla ustalonego n N z działaniem mnożenia liczb zespolonych tworzy grupe. 3 Układy równań liniowych 3.1 Macierze 1. Obliczyć sume macierzy A i B: ( ) ( ) (a) A = ; B = ( ) ( ) 1 2i 0 2i (b) A = ; B = i 2i 5 2i 2. Obliczyć iloczyn liczby λ i macierzy A: (a) A = ; λ = ( ) i i (b) A = ; λ = 1 i 1 + i 2 1 i 3. Dla macierzy A = ( ) i B = ( (A + 2B) + 4(2A B). ) obliczyć

8 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 8 4. Obliczyć iloczyn macierzy A i B: (a) A = ( ) i B = ( ) (b) A = i B = ( ) ( i 1 + 2i 1 i (c) A = i B = 3 2 3i 5 + i 4 3i (d) A = ( ) 4 i B = ) 5. Obliczyć iloczyny AB i BA (o ile istnieja ) dla macierzy A i B: ( ) ( ) 1 a 1 b (a) A = i B = ( ) ( ) 1 a 1 b (b) A = i B = ( ) ( ) cos α sin α cos α sin α (c) A = i B = sin α cos α sin α cos α (d) A = 2 1 ( ) i B = (e) A = i B = (f) A = (g) A = (h) A = (i) A = i B = i B = i B = i B =

9 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 9 (j) A = (k) A = (l) A = i B = ( ) i B = i B = Dla macierzy A obliczyć A 2 i A 3 : (a) A = (b) A = ( ) i 1 (c) A = 0 i Podać przykład takich macierzy kwadratowych A i B, żeby (A + B) 2 A 2 + 2AB + B Podać przykłady macierzy A i B, dla których AB = BA. 9. Podać przykład macierzy A, dla której A 3 jest macierza zerowa, natomiast A 2 nie jest zerowa. 10. Znaleźć wszystkie macierze A M 2 2 (R) takie, że A 2 = I Znaleźć wszystkie macierze A M 3 3 (R) takie, że A 3 = Metoda eliminacji Gaussa sprowadzić macierze do postaci trójka tnej. Czy można je również sprowadzić do postaci diagonalnej? ( ) 2 1 (a) A = 3 2 ( ) 2 1 (b) A = 4 2 ( ) sin α cos α (c) A = cos α sin α (d) A =

10 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 10 (e) A = (f) A = (g) A = (h) A = (i) A = (j) A = (k) A = (l) A = (m) A = (n) A = Dla odwracalnych macierzy A znaleźć, metoda przekształceń elementarnych, macierz odwrotna A 1 : ( ) 2 1 (a) A = 3 2 ( ) 2 1 (b) A = 4 2

11 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 11 ( ) sin α cos α (c) A = cos α sin α (d) A = (e) A = (f) A = (g) A = (h) A = (i) A = (j) A = (k) A = (l) A = (m) A = (n) A = Znaleźć rza d macierzy A:

12 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 12 ( ) (a) A = ( ) (b) A = (c) A = (d) A = (e) A = (f) A = (g) A = Znaleźć rza d macierzy A w zależności od parametru a: (a) A = (b) A = (c) A = (d) A = a a a Układy równań a a a 3 3 a 1 2 a 3 a a 1 4 a a 2a 1 a 1. Rozwia zać układy równań liniowych.

13 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 13 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 3 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 3 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 6 x 1 x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + x 2 + x 3 = 0 5x 1 + 2x 2 5x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 1 3x 2 2x 3 + 5x 4 = 1 x 1 6x 2 5x 3 + 2x 4 = 1 x 1 x 2 + x 3 x 4 = 2 3x 1 x 2 7x 3 + 2x 4 = 0 6x 1 + 2x 2 x 3 x 4 = 3 2x 1 2x 2 + 2x 3 2x 4 = 5 x 1 x 2 + 3x 3 x 4 = 2 2x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 4x 1 + 3x 3 2x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 3 x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 x 3 = 0 x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 = 1 x 1 x 2 x 3 = 0 x 1 + 2x 3 + 3x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 0 2x 1 + 4x 3 + 6x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 8x x 4 = 0 x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 + x 4 x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 + 3x 4 3x 5 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 1 3x 2 2x 3 + 5x 4 = 1 x 1 6x 2 5x 3 + 2x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 x 3 x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 2x 4 + x 5 = 4 3x 1 + 6x 2 + 5x 3 4x 4 + 3x 5 = 5 x 1 + 2x 2 + 7x 3 4x 4 + x 5 = 11 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 3x 4 + 3x 5 = 6

14 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 14 (m) (n) (o) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 15 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 35 x 1 + 3x 2 + 6x x x 5 = 70 x 1 + 4x x x x 5 = 126 x 1 + 5x x x x 5 = 210 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0 5x 1 + 7x 2 + x 3 + 3x 4 + 4x 5 = 0 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 + x 4 + 5x 5 = 0 7x x 2 + x 3 + 6x 4 + 5x 5 = 0 x 1 x 3 + x 5 = 0 x 2 x 4 + x 6 = 0 x 1 x 2 + x 5 x 6 = 0 x 2 x 3 + x 6 = 0 x 1 x 4 + x 5 = 0 2. Rozwia zać układy równań liniowych w zależności od parametru a: (a) (b) (c) (d) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + 4x 2 + 2ax 3 = 0 x 1 + 3x 2 + x 3 = a 3 ax 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + ax 2 + x 3 = a x 1 + x 2 + ax 3 = a 2 ax 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 ax 2 + x 3 = 1 3x 1 3x 2 + 2x 3 = 2a x 1 + ax 2 + x 3 = 2a ax 1 + x 2 + x 3 = a 3. Korzystaja c z twierdzenia Kroneckera-Capellego zbadać warunki rozwia zalności układów równań: (a) (b) (a 1)x 1 + ax 2 + 2x 3 = a 2x 1 + (2a 3)x 2 + 2x 3 = a + 3 ax 1 + (a + 2)x 2 + 2x 3 = a + 2 (a 2)x 1 + (2a 5)x 2 + (2a 4)x 3 = a Wyznaczniki 1. Obliczyć wyznacznik macierzy A: (a) A =

15 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 15 (b) A = (c) A = (d) A = (e) A = (f) A = (g) A = a b 0 0 c d 0 0 e 0 0 x a a a a x a a a a x a a a a x sin 2 α sin α cos α cos 2 α sin 2 β sin β cos α cos 2 β sin 2 γ sin γ cos γ cos 2 γ x y z u w x 2 y 2 z 2 u 2 w 2 x 3 y 3 z 3 u 3 w 3 x 4 y 4 z 4 u 4 w W zależności od parametru a obliczyć wyznacznik macierzy A: (a) A = a (b) A = a a 1 4 a a 2a 1 a Przestrzenie wektorowe 4.1 Podprzestrzenie 1. Sprawdzić, że podane zbiory sa podprzestrzeniami wektorowymi odpowiednich przestrzeni liniowych:

16 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 16 (a) {(x, y) 2x = 3y} R 2 (b) {(x, y, z) x + y = y + z} R 3 (c) {(2x y, y + z) x, y, z R} R 2 (d) {(x, y, z, t) x y = z t} R 4 (e) {A A = A T } M 3 3 (R) 2. Opisać wszystkie podprzestrzenie wektorowe przestrzeni R Opisać wszystkie podprzestrzenie wektorowe przestrzeni R Które z podanych zbiorów sa podprzestrzeniami wektorowymi odpowiednich przestrzeni liniowych: (a) {(x, y, z) yz 0} R 3 (b) {(x, y, z) x + y + z = x y = 0} R 3 (c) {(2x, x + y, 0, 1) x, y R} R 4 (d) {(x, x y, z, y) x, y, z R} R 4 (e) {(x, y) x y 1} R 2 (f) {(x, y) ln(1 x 2 y 2 ) 0} R 2 (g) {(x, y) 9x xy + 4y 2 = 0} R 2 (h) {(x, y) 3x 2 + 5xy 2y 2 = 0} R 2 (i) {(x, y, z, t) 3 x = 2 y } R 4 (j) {(xy, y, x, 0) x, y R} R 4 (k) {(x, y, z, t) x 2 + z 6 = 0} R 4 (l) {(x, x + y, x, y) x, y R} R 4 (m) {A DetA = 0} M2 2 (R) ( ) 0 0 (n) {A AA T = } M (R) ( ) x y (o) { x, y R} M x + y 2x 2 2 (R) (p) {A DetA 0} M2 2 (R) ( ) a b (q) { abcd = 0} M c d 2 2 (R) ( ) a b (r) { a + c = b} M c d 2 2 (R) (s) {(x, y) x 2 + y 2 = 0 lub x = y} R 2 (t) {(x, y) x 2 + y 2 = 0 i x = y} R 2 (u) {(x, y) xy = 0 i x = 0} R 2 (v) {(x, y) xy = 0 lub x = 0} R 2

17 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 17 (w) {(x, y, z) x + 4y = 0 i 3x z = 0} R 3 (x) {(x, y, z) x + 4y = 0 lub 3x z = 0} R 3 (y) {(x, y, z, t) x = 2y lub x 2 = 4y 2 } R 4 (z) {(x, y, z, t) x = 2y i x 2 = 4y 2 } R Baza i wymiar przestrzeni wektorowej 1. Wektory v = [1, 2, 3] oraz u = [1, 3, 5] przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów: (a) [2, 0, 6], [0, 1, 0], [1, 1, 3] (b) [2, 0, 6], [0, 1, 0], [1, 1, 1] 2. Wektory v = [3, 2, 5] oraz u = [0, 1, 1] przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów: (a) [3, 2, 5], [1, 1, 1] (b) [3, 2, 5], [1, 1, 1], [0, 5, 2] (c) [1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2, 1] (d) [1, 2, 3], [1, 0, 1], [ 1, 2, 1] 3. Zbadać liniowa niezależność podanych układów wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych: (a) B = {[1, 4], [2, 3], [1, 1], [5, 6]} w przestrzeni R 2 (b) B = {[1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2, 1]} w przestrzeni R 3 (c) B = {[2, 0, 6], [0, 1, 0], [1, 1, 3]} w przestrzeni R 3 (d) B = {[2, 0, 6], [0, 1, 0], [1, 1, 1]} w przestrzeni R 3 (e) B = {[1, 2, 3], [1, 0, 1], [ 1, 2, 1]} w przestrzeni R 3 (f) B = {[1, 2, 3], [2, 3, 4], [1, 1, 1]} w przestrzeni R 3 4. Wiedza c, że wektory u, v, w i x sa liniowo niezależne, zbadać liniowa niezależność wektorów: (a) u + 2v + w, v 3w + x, u x (b) u x, v x, w x, u v + w x (c) u + v, v + w, u + w (d) u, u + v, u + v + w, u + v + w + x (e) u v, v w, w (f) u v, v w, w x, x u (g) u 3v + 5w, 2u + v + 3w, 3u + 2v + 4w (h) 2u + 3v + w, u + 2v + x, 4u + 7v + w + 2x

18 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE Wyznaczyć generatory podanych podprzestrzeni liniowych: (a) {(x 2y, x + y + 3z, y 4z, 2x + z) x, y, z R} R 4 (b) {(x, y, z) 4x y + 2z = 0} R 3 (c) {(x, y, z) x 2 = y 3 = z 1 } R3 (d) {(2x + y z, z u, x + 3y + u, y + u, z u) x, y, z, u R} R 5 (e) {(x, y, z, t) x y = y z = z t} R 4 6. Sprawdzić, czy naste puja ce układy wektorów stanowia bazy odpowiednich przestrzeni: (a) B = {(2, 5), (3, 1), (6, 7)} w R 2 (b) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 2)} w R 3 (c) B = {(2, 3, 1), (1, 3, 2)} w R 3 (d) B = {(1, 1, 4), (3, 0, 1), (2, 1, 2)} w R 3 (e) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 2), (0, 1, 1)} w R 3 (f) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 2), (2, 2, 3)} w R 3 (g) B = {(0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (3, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 2)} w R 4 (h) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 2), (0, 1, 1), (2, 3, 4)} w R 3 (i) B = {(1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 4), (0, 0, 0, 1)} w R 4 7. Wiedza c, że wektory u, v i w tworza baze przestrzeni V (K), zbadać czy podane wektory też sa baza tej przestrzeni: (a) u 2v + w, 3u + w, u + 4v w (b) u 2v + w, 2u v, u + v w (c) u 2v + w, 2u v, 3v + w (d) u, 2u + v, 3u v + 4w 8. Dla jakich wartości parametru p R, podane zbiory wektorów stanowia baze odpowiednich przestrzeni: (a) B = {(p 2, p), (3, 2 + p)} w R 2 (b) B = {(1, 3, p), (p, 0, p), (1, 2, 1)} w R 3 (c) B = {(1, 1, 1, 1), (1, p, 2, 3), (1, p 2, 4, 9), (1, p 3, 8, 27)} w R 4 9. Znaleźć współrze dne wektora v w bazie B: (a) v = [ 2, 5, 6], B = {[1, 1, 0], [2, 1, 0], [3, 3, 1]} (b) v = [1, 0, 1, 0], B = {[1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3], [0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 1]} 10. Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni wektorowych: (a) {(2x, x + y, 3x y, x 2y) x, y R} R 4

19 5 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 19 (b) {(x 2y z, 2x + y 3z, 3x + 4y 5z) x, y, z R} R 3 (c) {(x, y, z, t) x + y = z y} R 4 (d) {(x + y + z, x y, x z, y z) x, y, z R} R 4 (e) {(x + 2y + z, 3x y + 2z, 5x + 3y + 4z, y z) x, y, z R} R 3 (f) {(x, y, z, t) 2x y = z t = 0} R Podane zbiory wektorów uzupełnić do baz wskazanych przestrzeni linowych: (a) {(2, 1, 0), (1, 1, 1)} w R 3 (b) {(1, 3, 2, 1), (5, 4, 7, 1)} w R 4 5 Przekształcenia liniowe 5.1 Ja dro i obraz przekształcenia 1. Które z naste puja cych przekształceń sa liniowe? (a) F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 3 ) (b) F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 2 + 3x 3 ) (c) F : R R, F (x) = (x + 1)(x 1) (d) F : R 2 R 2, F (x 1, x 2 ) = (3x 1 + x 2 1, 2x 1 3x 2 ) (e) F : R 2 R 3, F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 2x 2, x 1 x 2, x 1 ) (f) F : R 2 R, F (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 (g) F : R 3 R 3, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 1, x 2 + 2, x 3 + 3) (h) F : R R, F (x) = x (i) F : R 3 R 3, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2, x 1, x 3 ) (j) F : R 2 R 3, F (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, x 1 + 1, x 2 1) (k) F : R 2 R 2, F (x 1, x 2 ) = (2x 1 + x 2, x 2 ) (l) F : R 2 R 2, F (x 1, x 2 ) = (x 2 1, x 2 ) (m) F : R 4 R 4, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) 2. Dla każdego z przekształceń wyznaczyć ja dro KerF i obraz ImF. Podać bazy i wymiary tych podprzestrzeni. (a) F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) (b) F : R 3 R 4, F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 x 2 + x 3, x 1 + 2x 2 x 3, x 1 + 3x 2 2x 3, 8x 1 + x 2 + x 3 ) (c) F : R 2 R 2, F (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, 3x 2 6x 1 ) (d) F : R 3 R 4, F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 x 2 x 3, x 1 + x 2 + 4x 3, 2x 1 + x 2 + 5x 3, x 1 x 3 )

20 5 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 20 (e) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + 2x 3 + x 4, 2x 1 + x 2 3x 3 5x 4, x 1 x 2 + x 3 + 4x 4 ) (f) F : R 4 R 5, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3, x 3 + x 4, x 3, x 1 ) (g) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (2x 1 + x 3, 2x 2 x 4, x 3 + 2x 4 ) (h) F : R 4 R 4, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 4, x 3, x 2, x 1 ) (i) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 2 + x 3 x 4, 2x 1 + x 2 x 3 + x 4, x 2 + 3x 3 3x 4 ) (j) F : R 5 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (x 1 + x 2 + x 3, x 2 + x 3 + x 4, x 3 + x 4 + x 5 ) (k) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 3, x 2 x 4, 2x 3 ) (l) F : R 4 R 4, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 2x 2 + 3x 3 4x 4, 3x 1 + 5x 3 + 2x 4, x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4, 5x 1 x 2 + 9x 3 + x 4 ) (m) F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 3x 2 + 2x 3, 2x 1 + 6x 2 4x 3 ) (n) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + 2x 2 + x 3 x 4, x 1 + 2x 3 + x 4, 2x 1 + x 2 + 3x 3 ) (o) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 x 3, 3x 2, x 4 2x 2 ) (p) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 3, x 2 x 4, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) (q) F : R 5 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (x 1 x 2 + x 3 x 4 x 5, x 1 + x 2 + 2x 4 + 4x 5, 2x 1 + 2x 2 2x 3 + 3x 4 + x 5 )

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a

Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle

Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1, Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Wydział Fizyki PW Algebra z geometria

Wydział Fizyki PW Algebra z geometria Wydział Fizyki PW Algebra z geometria - konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Liczby zespolone 3 2 Geometria analityczna w przestrzeni R 3 9 21 Punkty i wektory 9 22

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe

- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe 1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q). 1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1. Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c +

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9 Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

r = x x2 2 + x2 3.

r = x x2 2 + x2 3. Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,

c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, 3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 10 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus maja 018r. 1 Działania na wektorach Zadanie 1. Oblicz długość wektorów: Geometria

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,

Bardziej szczegółowo

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Wydział Fizyki PW Algebra z geometria

Wydział Fizyki PW Algebra z geometria Wydział Fizyki PW Algebra z geometria - konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 07/08 Spis treści Grupy, pierścienie, ciała Liczby zespolone 3 3 Geometria analityczna w przestrzeni R 3 9 3 Punkty

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1. Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną Informatyka WPPT Lista zadań

Algebra z Geometrią Analityczną Informatyka WPPT Lista zadań Algebra z Geometrią Analityczną Informatyka WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, Wrocław 2015/16 1 Struktury algebraiczne Zadanie 1 Które z następujących struktur algebraicznych są grupami: (Z, +), (Z, ), (Q,

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006 Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q). 1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1 Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16

2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Tematyka LITERATURA

ALGEBRA Tematyka LITERATURA ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Pozostała algebra w pigułce

Pozostała algebra w pigułce Algebra Pozostała algebra w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo