Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

Transkrypt

1 Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Analiza zespolona (03-MO2S-12-AZes) 1. Informacje ogólne koordynator modułu rok akademicki 2012/2013 semestr zimowy forma studiów studia stacjonarne sposób ustalania ocena z egzaminu oceny końcowej modułu 2. Opis i pracy wykład treści AZes_fs_1 zgodnie z planem Poszczególne jednostki będą obejmowały następujące treści: Liczby zespolone. Płaszczyzna domknięta. Ciągi i szeregi liczb zespolonych. Funkcje zespolone. Granica i ciągłość funkcji. Pochodna. Warunki konieczny i wystarczający istnienia pochodnej; równania Cauchy ego-riemanna. Przykłady funkcji elementarnych. Całka funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej. Krzywe regularne. Całka krzywoliniowa. Funkcja pierwotna. Warunek konieczny i wystarczający istnienia funkcji pierwotnej. Funkcje holomorficzne. Indeks. Twierdzenie Cauchy ego. Wzór całkowy Cauchy ego. Całkowanie w zbiorach nie rozcinających płaszczyzny. Dowody twierdzenia Cauchy ego i wzoru całkowego Cauchy ego dla prostokąta. Twierdzenie Morery. Pochodna całki względem parametru i konsekwencje wzoru Cauchy ego. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Szeregi potęgowe. Szeregi Laurenta. Rozwinięcie w szereg potęgowy w otoczeniu punktu. Funkcje całkowite i twierdzenie Liouvilla. Punkty osobliwe odosobnione. Twierdzenie o identyczności. Residua. Twierdzenie o residuach. Zasada ekstremum. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu funkcji. Funkcje harmoniczne. wykład ujmujący treści wymienione w opisie modułu studiowanie materiału wykładu oraz wskazanej literatury, przygotowanie się do egzaminu

2 Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 2 www wykład jednosemestralny, piątek, 10:15-11:45, sala 213 Jacek Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa, Fanciszek Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa, Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa, Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa, Reihold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer, konwersatorium treści www AZes_fs_2 zgodnie z planem Poszczególne jednostki będą nawiązywały do materiału wykładu i będą obejmowały następujące treści: Własności liczb zespolonych. Topologia płaszczyzny zespolonej. Ciągi i szeregi liczb zespolonych. Podstawowe funkcje zespolone. Homografia. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej. Podstawy całkowania. Funkcja pierwotna i niezależność od drogi całkowania. Twierdzenie i wzór całkowy Cauchy ego. Indeks. Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Laurenta. Osobliwości izolowane. Residua. Twierdzenie o residuach. konwersatorium, w trakcie którego studenci dyskutują rozważane zagadnienia i rozwiązują zadania 35 studiowanie materiału wykładu obejmujące przygotowywanie się do ; rozwiązywanie ćwiczeń zadawanych podczas jednosemestralne konwersatorium, piątek, 12:00-13:, sala 233 Andrzej Ganczar, Analiza zespolona w zadaniach, PWN, Warszawa, 2010 Jan Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa, 1975.

3 Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 3 konwersatorium treści www AZes_fs_2 dr Rafał Kapica (rkapica@math.us.edu.pl) zgodnie z planem Poszczególne jednostki będą nawiązywały teoretycznie do treści wykładu i będą obejmowały następujące treści: Własności liczb zespolonych. Topologia płaszczyzny zespolonej. Ciągi i szeregi liczb zespolonych. Podstawowe funkcje zespolone. Homografia. Podstawy całkowania. Funkcja pierwotna i niezależność od drogi całkowania. Twierdzenie i wzór całkowy Cauchy ego. Indeks. Ciągi i szeregi funkcyjne. Szereg Laurenta. Osobliwości izolowane. Residua. Twierdzenie o residuach. konwersatorium, w trakcie którego studenci dyskutują rozważane zagadnienia i rozwiązują zadania 35 studiowanie materiału wykładu obejmujące przygotowywanie się do ; samodzielne rozwiązywanie zadań i problemów zadawanych podczas jednosemestralne konwersatorium, czwartek, 12:15-13:45, sala 201 A. Ganczar, Analiza zespolona w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, Opis sposobów efektów kształcenia modułu egzamin pisemny (-y) AZes_w_3 AZes_fs_1 zgodnie z planem obejmują znajomość treści teoretycznych wykładu oraz umiejętność

4 Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 4 stosowania tych treści w zadaniach; obejmuje to w szczególności podstawowe pojęcia i fakty analizy zaspolonej (granicy, ciągłości, pochodnej, całki, indeksu, funkcji holomorficznej, warunków różniczkowalności), podstawowe funkcje zespolone (homografia, funkcja wykładnicza i logarytm, funkcje trygonometryczne i hiperboliczne), obliczanie prostych całek funkcji zespolonych, znajdowanie rozwinięć funkcji w szereg oraz określanie promienia jego zbieżności, znajomość i umiejętność zastosowania podstawowych twierdzeń analizy zespolonej (jak twierdzenie Cauchy ego, wzór całkowy Cauchy ego, twierdzenie o residuach), umiejętność dowodzenia wybranych twierdzeń analizy zespolonej (jak twierdzenie Cauchy ego dla prostokąta, wzór całkowy Cauchy ego dla prostokąta) poszczególne zadania oraz pytania egzaminacyjne będą punktowane; całkowita liczba otrzymanych punktów przełoży się na ocenę egzaminu zgodną ze skalą ocen egzamin pisemny, czas około 120 minut, egzamin będzie obejmował grupę zadań zamkniętych, grupę zadań otwartych oraz grupę pytań o charakterze teoretycznym obejmującym także dowody twierdzeń aktywność na zajęciach, sprawdzian pisemny (-y) AZes_fs_2 zgodnie z planem AZes_w_1, AZes_w_2 obejmują znajomość treści teoretycznych wykładu wykorzystywanych podczas rozwiązywania zadań oraz umiejętność zastosowania tych treści; obejmuje to w szczególności podstawowe pojęcia i fakty analizy zespolonej (granicy, ciągłości, pochodnej, całki, indeksu, funkcji holomorficznej, warunków różniczkowalności), podstawowe funkcje zespolone (homografia, funkcja wykładnicza i logarytm, funkcje trygonometryczne i hiperboliczne), obliczanie prostych całek funkcji zespolonych, znajdowanie rozwinięć funkcji w szereg oraz określanie promienia jego zbieżności, znajomość i umiejętność zastosowania podstawowych twierdzeń analizy zespolonej (jak twierdzenie Cauchy ego, wzór całkowy Cauchy ego, twierdzenie o residuach) aktywność na zajęciach oraz sprawdzian pisemny będą punktowane; całkowita liczba otrzymanych punktów przełoży się na ocenę konwersatorium zgodną ze skalą ocen ustna weryfikacja znajomości treści wykładu i przygotowania do ćwiczeń; sprawdzian pisemny będzie obejmował zadania zamknięte oraz otwarte (sprawdzające także znajomość wykorzystywanych pojęć i twierdzeń) aktywność na zajęciach, sprawdzian pisemny (-y) Azes_fs_2 dr Rafał Kapica (rkapica@math.us.edu.pl) AZes_w_1, AZes_w_2

5 Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 5 grupa NB, I rok studiów drugiego stopnia obejmują znajomość treści teoretycznych wykładu wykorzystywanych podczas rozwiązywania zadań oraz umiejętność zastosowania tych treści; obejmuje to w szczególności podstawowe pojęcia i fakty analizy zespolonej (granicy, ciągłości, pochodnej, całki, indeksu punktu, funkcji holomorficznej, warunków różniczkowalności), podstawowe funkcje zespolone (homografia, funkcja wykładnicza i logarytm, funkcje trygonometryczne i hiperboliczne), obliczanie prostych całek funkcji zespolonej, znajdowanie rozwinięć funkcji w szereg oraz określanie promienia jego zbieżności, znajomość i umiejętność zastosowania podstawowych twierdzeń analizy zespolonej (jak twierdzenie Cauchy ego, wzór całkowy Cauchy ego, twierdzenie o residuach) aktywność na zajęciach oraz sprawdzian pisemny będą punktowane; całkowita liczba otrzymanych punktów przełoży się na ocenę konwersatorium zgodną ze skalą ocen ustna weryfikacja znajomości treści wykładu i przygotowania do ćwiczeń; sprawdzian pisemny będzie obejmował zadania zamknięte oraz otwarte; w tym sprawdzające także znajomość stosowanych twierdzeń