Finanse ubezpieczeń społecznych

Transkrypt

1 Finanse ubezpieczeń społecznych Wykład 7. Kapiałowe ubezpieczenia eeyalne. Pywane plany eeyalne Aeing (994), Wiśniewski (999)

2 Pywane plany eeyalne:. Zaley: -Nie wyagają działań ze sony pańswa, poza ewenualnie swozenie a pawnych, -Mają niskie kosza adinisacyjne, - Składki są poszegane jako oszczędności. 2. Wady: -Ich zasięg jes nieówny i nie wszyscy pacujący ogą z nich skozysać, -Świadczenia nie zawsze są pewne, - Są duże óżnice iędzy planai, -Tansfe śodków iędzy planai pociąga za sobą pewne kosza.

3 Składka eeyalna:. Kwoowa -zwykle w pzypadku indywidualnych oszczędności eeyalnych. 2. Pocen wynagodzenia - w powszechny syseie eeyalny, - w wielu pywanych pogaach eeyalnych.

4 Składka kwoowa Obecna waość składek, kóe wniesie w pzyszłości, uczesnik planu, kóy a obecnie la, o: PVC C ϖ 0 p d, a o wiek ozpoczęcia pacy i jednocześnie wejścia do planu eeyalnego, C kwoa składki, kóa dla uposzczenia jes sała, ω wiek eeyalny, p czynnik dyskonujący, i sopa i pocenowa z inwesycji eeyalnych, pawdopodobieńswo, że człowiek w wieku la pzeżyje nasępnych la. W ujęciu dyskeny: PVC ϖ C p 0

5 Składka popocjonalna do wynagodzenia Zakładay, że składkę płaciy dla uposzczenia co ok: PVs sy ϖ pγ 0 d s pocen płacy płacony jako składka, γ -sosunek pzyszłej płacy w oku do płacy w ciągu oku, W ujęciu dyskeny: PVs ϖ sy pγ 0

6 Syse o zdefiniowanej składce Oczekiwany pozio kapiału w nasępny oku jes dany pzez: W ( i) EW ~ C p p~ p pawdopodobieńswo pozosania w obecny sanie. Wysokość świadczenia wynika z bilansu dokonanego w oencie pzejścia na eeyuę: - okeślay wysokość kapiału, - dzieliy go pzez pzewidywaną liczbę la życia, -uwzględniay pzy y pzewidywaną sopę zwou z dalszego inwesowania ego kapiału.

7 Syse o zdefiniowany świadczeniu Ineesuje nas akualna waość pzewidywanych świadczeń eeyalnych uczesnika planu, kóy: a eaz la, gdzie, oże pzejść na eeyuę w wieku od υ(wiek wcześniejszej eeyuy) do ω, pzejdzie na eeyuę za la od dzisiaj, ak że υ ω. Każdy plan eeyalny o zdefiniowany świadczeniu usi zawieać foułę, definiującą wyia świadczenia. Zakładay, że wszyskie czynniki wpływające na wysokość upawnień eeyalnych są funkcją wieku członka planu.

8 Funkcja kuulacji upawnień Funkcja kuulacji upawnień (liabiliy accual funcion): jaka część pełnego koszu pzyszłych eeyu jes uznawana w wieku. Jes o funkcja M(), odwzoowująca wiek [, ] na odcinek [0, ]: wiek wsąpienia do planu eeyalnego, wiek pzejścia na eeyuę. Funkcja a a nasępujące właściwości: M() 0 M() M () 0 M()

9 Funkcja kuulacji upawnień Ogólna posać funkcji kuulacji upawnień: E(,,0) M ( ) E,, ( ) E świadczenie, jakie w dany planie uzyska osoba, kóa pzysąpiła do planu w oku, jes w ni - la i pzejdzie na eeyuę za -la. Ta funkcja wyaża elację: -hipoeycznego świadczenia, kóe uzyskała by osoba w wieku la, ze saże -, jeżeli pzejdzie na eeyuę eaz (nawe, jeżeli jes o nieożliwe), -do eeyuy, kóą uzyska a saa osoba w wieku la.

10 M ( ) E Funkcja kuulacji upawnień E(,,0) (,, ) Funkcją ej fouły a być odzwieciedlenie echanizu wzosu świadczenia. Pobley: Fouła wyiau świadczeń Eoże ieć znaczące skoki waości świadczenia pzy pzekaczaniu óżnych pzedziałów wieku. Fouła poija yzyko związane z upływe czasu oaz cenę czasu, czyli sopę dyskonową.

11 Meoda koszu nabyego świadczenia Meoda koszu nabyego świadczenia (accued benefi cos ehod):. Załóży, że świadczenie Ezależy liniowo od sażu uczesnicwa w planie. Kosz pzyznanych doychczas upawnień jes opisany pzez: M ( ) oaz M '( ) Oznacza o, że kosz eeyuy jes ównoienie ozłożony na wszyskie laa uczesnicwa w planie.

12 Meoda koszu nabyego świadczenia 2. Załóży, że wyia świadczeń jes związany ze śedni wynagodzenie z całego okesu uczesnicwa w planie. Za każdy ok sażu w planie świadczenie w wysokości f % śedniego wynagodzenia z całego okesu uczesnicwa w syseie. ( ) ( ) Y 0 f ( E,,0 0 ) Y M ( ) E,,0 Y Y 0 0 f Pzyos funkcji kuulacji jes dany pzez: M '( ) 0 Y

13 Meoda koszu nabyego świadczenia Zasada, że dopływ śodków do planu powinien być podpoządkowany epu naasania zobowiązań eeyalnych, powoduje konieczność zieniania składki w czasie. T Niech finalny kosz eeyuy w chwili, B(), będzie dany pzez: T ~ T B( ) p B( ) Pzy pełnej kapializacji, w chwili kapiał eeyalny usi być ówny iloczynowi obecnej kuulacji upawnień i bieżącej waości finalnego koszu eeyuy: T ~ T W ( ) M ( ) B( ) M ( ) p B( )

14 Ziana kapiału iędzy i o pzyos isniejącego kapiału i nowa składka: Meoda koszu nabyego świadczenia p W W C C p W W ~ ) ( ) ( ~ ) ( ) ( d Gzegoz Kula, Podsawiay wzó na kapiał eeyalny: ) ( ~ ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ) ( ~ ) ( B p p M p M p B p M B p M C T T T

15 Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia (enyage acuaial cos ehod): usalay eleen sały w planie eeyalny, zwykle albo wysokość składki, albo sopę składki. Uwzględnia opocenowanie, a akże yzyko związane z uzyanie uczesnicwa. Należy wyliczyć kosz noalny, czyli kwoę, kóa powinna być dopłacona w foie składki na począku oku, w celu pokycia akywai naosłych w ciągu ego oku zobowiązań. Ten kosz dla członka funduszu jes ówny iloczynowi wzosu zobowiązań wobec niego i pawdopodobieńswa pozosania w funduszu.

16 Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia Niech świadczenie eeyalne zależy od suy składek waz z opocenowanie, a składki są akie sae pzez cały okes uczesnicwa w planie. Właściwą foułą kapializacji zobowiązań jes zależność: iędzy waością świadczeń eeyalnych, jakie byśy ozyali pzechodząc na eeyuę eaz, a waością świadczeń eeyalnych, jakie byśy ozyali pzechodząc na eeyuę w wieku la. C ( i) ~ p 0 M ( ) C ( i) ~ p 0

17 Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia Geneacyjna funkcja pzeżycia s(, a) pokazuje pawdopodobieńswo uzyania akywnego sausu w planie pzez ych, kózy w dany czasie ają la i pzysąpili do planu w oencie, czyli -la eu. Zwykle ą funkcję upaszcza się do s(), ponieważ pawdopodobieńswo okeślay na podsawie specjalnie skonsuowanych ablic wyjścia z planu. M ( ) C C e e δ ( ) δ ( ) s( ) d s( ) d

18 Załóży, że wyia świadczeń jes związany ze śedni wynagodzenie z całego okesu uczesnicwa w planie. Niech składka pozosaje w sałej elacji do wynagodzeń f. Funkcja kuulacji upawnień o: Meoda alokacji koszów względe oenu wejścia ~ d Gzegoz Kula, ( ) ( ) 0 0 ~ ~ ) ( p Y i p Y i M

19 Tablice ubyków w planie eeyalny Tablice ubyków eeyalnych pokazują ubyki w zaknięej gupie akywnych uczesników planu eeyalnego, kózy pzysąpili do planu w y say wieku la. najniższy dopuszczalny wiek wejścia do planu eeyalnego. l () funkcja opisująca liczbę akywnych uczesników planu w wieku la. W najwyższy dopuszczalny wieku pzejścia na eeyuę ωw planie nie a żadnych akywnych uczesników z ej gupy, czyli l ω () 0.

20 Tablice ubyków w planie eeyalny Tabele ubyków pokazują wielkości ubyków dla poszczególnych koho wiekowych, czyli liczebność osób d (.), kóe w oencie ukończenia la były akywnyi uczesnikai planu, lecz pzed osiągnięcie la uaciły saus akywnych uczesników z wyóżnionego w ablicy powodu. Podsawowe powody uay sausu akywnego uczesnika: pzewanie pacy, z pawdopodobieńswe q (w), śieć w czasie pacy, z pawdopodobieńswe q (d), pzejście na enę inwalidzką, z pawdopodobieńswe q (i), pzejście na eeyuę, z pawdopodobieńswe q ().

21 Tablice ubyków w planie eeyalny Pzed najniższy dopuszczalny wiekie eeyalny (υ)nie ożey pzejść na eeyuę, ale pozosałe zy ożliwości są dla nas dosępne. Po pzekoczeniu ego wieku, każde pzewanie sanu akywnego uczesnicwa wywołuje, z punku widzenia pogau eeyalnego, akie sae skuki, jak pzejście na eeyuę. Po pzekoczeniu najwyższego dopuszczalnego wieku pzechodzenia na eeyuę (ω), plan zakłada, że nie ożey być już akywni, więc nie a pozeby szacowania pawdopodobieńswa wyjścia z planu.

22 Tablice ubyków w planie eeyalny Poble śieci uczesnika planu: Śieć pzed wiekie υzusza plan do wypłay szczególnego ypu świadczeń, na pzykład zwou zaoszczędzonego kapiału. Śieć po osiągnięciu wieku υpzynosi e sae skuki, co eeyua, czyli wypłaę kapiału. Dla syseu jes isone, kiedy uzey, ponieważ okeśla o wysokość świadczeń w pzypadku annuieu. Pognoza czasu śieci jes obaczona badzo dużą niepewnością zależy od indywidualnych chaakeysyk.

23 Tablice ubyków w planie eeyalny Łączny oczny ubyek kohoy -laków wynosi: d () d (w) d (d) d (i) d () Liczebność akywnych uczesników z danej kohoy wiekowej wynosi po oku: l () () () l -d To sao ożna pokazać za poocą pawdopodobieńsw: ( w) ( d ) ( i) ( ) l l q q q q ( ) gdzie ( ) ( ) d q ( ) l Wielolenie pawdopodobieńswo pozosania w syseie: k p ( ) l l ( ) k ( )

24 Tablice ubyków w planie eeyalny Pawdopodobieńswo, że akywny uczesnik planu uaci z jakiejś znanej pzyczyny swój akywny saus iędzy ka k okie życia: P ( ) ( d ) [ k, d ] p q K k k Jes o iloczyn pawdopodobieńswa, że pozosaniey w syseie pzez kla i pawdopodobieńswa, że za kla uzey. W pzypadku ciągły zaias zwykłego pawdopodobieńswa śieci usiy zdefiniować funkcję gęsości pawdopodobieńswa śieci i badać pawdopodobieńswo w kóki okesie czasu dk: P ( ) ( d ) [ k K k, d ] p µ < k k dk

25 Wycena waości pzyszłych świadczeń Dzisiejszy -laek, pzechodząc na eeyuę po laach, uzyska eeyuę, kóej całkowia, jednoazowa waość obliczona na oen pzejścia na eeyuę wynosi:,, a ( ) a E -waość ciągłej eny pzez cały czas życia na eeyuze. Dzisiejsza waość pzyszłych świadczeń eeyalnych: PVBE PVBE ϖ υ Lepsza fouła o: ϖ PVBE p ( ) ( ) µ E(,, ) a ( ) ( ) q E(,, k) d ϖ k k k p k a υ k k 2 k k p k a υ k ( ) ( ) ( ) q E,, k 2 2

26 Wycena waości pzyszłych świadczeń Eeyua zależy ylko od sażu pacy: E,, B ( ) ( ) B - sała kwoa pzysługująca za każdy ok sażu. Jeżeli jedna kwoa pzysługuje na za część sażu, a inna za eszę, o na pzykład: B ( ) dla 20 E(,, ) 20B B2 ( 20) dla > 20 Eeyua zależy od końcowego wynagodzenia: ( ) ( ) E,, f Y fin Z każdy okie sażu pzybywa na fpunków pocenowych eeyuy.

27 Eeyua zależy od dochodów zosanich z la udziału w planie:. Część ych la inęła, czyli <z Wycena waości pzyszłych świadczeń ( ) ( ) a a z a a da Y da Y z f E 0 0,, d Gzegoz Kula, 2. Jeszcze nie weszliśy w osani okes, >z Eeyua zależy od śedniego dochodu z całego okesu uczesnicwa w planie: a z a z 0 ( ) ( ) z a a da Y z f E,, ( ) ( ) a a a a da Y da Y f E,,

28 Model funduszu eeyalnego Załóży, że wszyscy uczesnicy pzysępują do planu w y say wieku la i pzechodzą na eeyuę w y say wieku la, gdzie υ ω. W dany oencie ay uczesników akywnych w wieku, oaz eeyów w wieku. Pzyjijy, że populację akywnych uczesników planu, oaz eeyów opisuje funkcja gęsości: l(, u) n( u) s( ) n(u) funkcja gęsości wejścia do planu, s() funkcja pzeżycia. W chwili, liczbę akywnych uczesników planu osiągających wiek z pzedziału (, d)okeśla l(, )d.

29 Model funduszu eeyalnego w() oczny pzyos wynagodzeń osoby, kóa osiągnęła la w oencie 0. g() ziany płac związane z inflacją i podukywnością. Pzyos ocznej płacy osoby, kóa w oencie osiąga la, wynosi: w()g(), Dla osób osiągających w oencie, wiek z pzedziału (, d): w()g()l(, )d. Pzyos w chwili ocznego wynagodzenia wszyskich akywnych uczesników o: W ( ) g( ) w( ) l(, ) d

30 Świadczenia: Model funduszu eeyalnego Niech świadczenie eeyalne zależy jedynie od osaniego wynagodzenia i osiąga w oencie pzejścia na eeyuę f % jego waości. W chwili, inensywność ocznej eeyuy osoby, kóa właśnie osiągnęła, wynosi fw()g(). Jeżeli eeyua jes sała, o jej inensywność w nasępnych laach, czyli dla >w chwili, wynosi fw()g(-), gdyż dana osoba pzeszła na eeyuę - la pzed chwilą.

31 Model funduszu eeyalnego W pakyce eeyuy są zienne: Załóży, że isnieje niezależna od czasu kalendazowego skala zian eeyuy w cyklu życia eeya, opisywana pzez funkcję π(), aka że π(ω). Inensywność ocznej eeyuy jednej kohoy wiekowej, będącej na eeyuze od -la, wynosi fw()g(-)π(). Inensywność, w chwili, ocznego suienia eeyu wypłacanych w cały planie eeyalny: B( ) f w( ) g( ) π ( ) l(, ) d

32 Model funduszu eeyalnego Pzychody funduszu, kóe uożliwiają wypłaę świadczeń: Zasada finalnego finansowania (einal funding), czyli jednoazowa kapializacja całych zobowiązań eeyalnych danej kohoy wiekowej w oencie pzejścia na eeyuę. Jednoazowy ekwiwalen annuieu płacącego zł na ok, plus indeksacja zgodna z foułą π w laach nasępnych: ( ) ( ) ( ) π δ s a e π d s ( )

33 Model funduszu eeyalnego W okesie (, d) na eeyuę pzechodzi l(, -a)d osób, a ich piewsza eeyua osiąga inensywność fw()g()złoych na ok. Zasada finalnego finansowania wyaga, by w oencie dopływały do funduszu eeyalnego składki z inensywnością oczną: T π P( ) f w( ) g( ) l(, ) a W okesie od 0 do powinna być wpłacona składka w wysokości: 0 T P( ) d