PODSTAWY MATEMATYCZNE
|
|
- Witold Małecki
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PODSTAWY MATEMATYCZNE
2 ALGEBRA WEKTORÓW I TENSORÓW Baza ortonormalna w E 3 : e 1, e 2, e 3 ( e, e ) j j 1 f j 0 f j Każdy wektor w E 3 może być wyrażony jako lnowa kombnacja wersorów bazowych a a e a e a e a e - konwencja sumacyjna (Enstena) a [ a, a, a ] - kanonczne utożsamene (zomorfzm) E 3 R ILOCZYN SKALARNY (WEWNĘTRZNY) WEKTORÓW Nech a ae b bj j e. Iloczynem skalarnym wektorów a b nazywamy lczbę ab a, b a b ( e, e ) a b a b j j j j Poneważ ( ae, ) a, zatem a ( a, e ) e
3 ILOCZYN WEKTOROWY Defnujemy operację w dzałanu na wersorach bazy w następujący sposób: e e e, e e e, e e e, e e 0, e e j e j e ne sumujemy! Zakładając lnowość tek operacj względem obu argumentów, rozszerzamy tę operację na dowolne wektory z E 3 : ab a e b e a b e e ( a b a b ) e ( a b a b ) e ( a b a b ) e j j j j Praktyczny sposób oblczana loczynu wektorowego e e e a a a a a a ab a a a e e e b b b b2 b3 b1 b3 b1 b
4 SYMBOL ALTERNUJĄCY (ALTERNATOR, SYMBOL LEVI-CIVITY) 0 gdy j lub k lub j k jk 1 gdy {, j, k} jest premutacją parzystą { 1, 2, 3} 1 gdy {, j, k} jest permutacją neparzystą { 1, 2, 3} Np , 311 0, Iloczyn wektorowy wektorów a and b może być zapsany w postac ab jk ab j k e Inna użyteczna operacja to loczyn meszany trójk wektorów a1 a2 a3 a ( bc ) b b b ab jc c c c jk k det A a1 a2 j Wyznacznk macerzy A (dm A = 3): jk,,, a 3 k
5 TENSORY KARTEZJAŃSKIE 2-EGO RZĘDU W E n Tensory jako dwulnowe przekształcena Dwulnowość oznacza: n n E E R Dla dowolnych wektorów x y możemy napsać równość Macerz T taka, że wybranym układze odnesena). Wybrane operacje na tensorach: Dodawane Mnożene przez skalar Iloczyn T( 1x1 2x2, y) 1T ( x1, y) 2T ( x2, y), T( x, y α y ) T( x, y ) T( x, y ) T( x, y) T( x e, y e ) x y T( e, e ) t x y j j j j j j j j T t jest reprezentacją tensora w względem wybranej bazy w E n (w T T T T T T t t t T T t t T T T t t t j j j 1 1 T T 1 j j T T1T 2 j k kj j j Iloczyn skalarny (Frobenusa) T : T : t t ( podwójne sumowane!)
6 Bazowe funkcjonały lnowe (kowektory) w 3 E R: e ( e ): j j Iloczyn tensorowy kowektorów bazowych (kowersorów): Możemy zapsać równość ( e e )( x, y): e ( x) e ( y) e ( x e ) e ( y e ) j j k k j x y e ( e ) e ( e ) x y x y k m k j m k m k jm j m m T( x, y) tjx y j tj ( e ej)( x, y ) lub T tj e ej. Morał: Przestrzeń tensorów 2-ego rzędu tworzy 9-wymarową przestrzeń lnową. Tensor symetryczny: T( x, y) T( y, x ) Tensor antysymetryczny (lub skośne symetryczny): T( x, y) T( y, x ) W dowolnej baze reprezentacja macerzowa tensora symetrycznego jest macerzą symetryczną ( t j t j ), a antysymetrycznego macerzą antysymetryczną ( t j t j ).
7 ORTOGONALNE TRANSFORMACJE UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH Nech e, e, e będą wersoram nnej bazy w E (rysunek). Wersory te można przedstawć jako kombnacje lnowe wersorów bazy perwotnej (starej). e 3 Nech e zke k, ej z jme m. Warunek ortonormalnośc nowej bazy (prmowanej) to: 0 ( I) ( e, e) z z ( e, e ) z z j j j k jm k m k jm km T T z z ( ZZ ) ( Z Z) k jk j j. e 1 e 2 Wnoskujemy, że transformacja bazy (układu współrzędnych) zachowuje ortonormalność 1 T wtedy tylko wtedy, gdy defnująca tę transformację macerz Z spełna warunek Z Z, czyl jest macerzą ortogonalną. Jasnym jest, że transformacja zadana przez taką macerz to de facto sztywny obrót.
8 Każdy wektor x z E 3 może być przedstawony jako kombnacja wersorów z bazy starej lub nowej x xe x e. Wobec tego j j j j x x e xz e x z e, co oznacza, że ( T x z x Z ) x ( Z 1 ) x x ( Z ) x. j j j j j j j j Otrzymalśmy regułę transformacj współrzędnych wektora przy zmane bazy. Rozważmy tensor T jego reprezentacje względem obu baz starej nowej. Mamy Mamy ( ZT Z ) T( xy, ) tjx y j tj x yj. T( xy, ) t x y t z x z y x z t z y j j j k k mj m k k j mj ( ZT ) T T x ( ZT) ( Z ) y x ( ZT Z ) y x t y k kj jm m k km m k km m T km t km kj m
9 Z przeprowadzonego rachunku wynka, że macerz reprezentująca T względem nowej bazy wyraża sę wzorem T Z T Z Z T Z T 1 Otrzymalśmy w ten sposób regułę transformacj reprezentacj macerzowych dla tensorów kartezjańskch 2-ego rzędu.
10 TENSORY 2-EGO RZĘDU JAKO TRANSFORMACJE LINIOWE Rozważmy tensor T dwa dowolne wektory x and y. Mamy T(, ) x t y x w xy ( xw, ). j j w loczyn skalarny E E 3 3 Zauważmy, że wektor w może być zapsany jako wynk dzałana pewnej transformacj T, a manowce w T y. 3 3 Transformacja T : E E jest lnowa może być zdefnowana poprzez swoje dzałane na wersory bazy Istotne, dla każdego wektora w mamy T e j t e j w Ty T( y e ) y T e t y e we. j j j j j j Równoważność pomędzy tensoram 2-ego rzędu a odwzorowanam lnowym wynka z następujących formuł TT: T( x, y): ( x, T y), TT: T y: T( e, y) e.
11 WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE TENSORA 2-EGO RZĘDU. NIEZMIENNIKI TENSORA. Zagadnene na wartośc wektory własne: 1-sze sformułowane: wyznacz 2-ge sformułowane: wyznacz dla każdego wektora x z E 3. Równoważne, mamy C nezerowy wektor w take, że T w w, lub C nezerowy wektor w take, że T( x, v) ( x, v ) ( t v v ) e 0 p ( ) det( T I ) 0. j j T Wartośc własne są perwastkam welomanu charakterystycznego p T (λ). Ważna własność: Wartośc własne tensora symetrycznego są lczbam rzeczywstym. Ponadto, wektory własne odpowadające różnym wartoścom własnym takego tensora są ortogonalne (prostopadłe). Weloman charakterystyczny jest nezmennkem, tj. ne zależy od wyboru bazy! p T 1 1 ( ) det( TI) det( ZT Z I) det [ Z( TI) Z ] 1 1 det Z det ( T I) det Z det Z det( T I) (det Z) det( T I)
12 3 2 W przypadku 3D mamy p ( ) J J J T którego współczynnk zwane są nezmennkam tensora J trt t t t t ( tr znaczy trace, po polsku ślad ), 1 : J 1 [( trt ) trt ] 2 2 J3 dett. Zachodzą następujące zwązk pomędzy nezmennkam tensora, a jego wartoścam własnym (wzory Vete a dla welomanu 3-ego stopna) J , J , J
13 TWIERDZENIE CAYLEYA-HAMILTONA Każda kwadratowa macerz A spełna swój własny weloman charakterystyczny p AI w tym sense, że ma mejsce równość p ( A) 0. A ( ) det( ) Dowód: Dla dowolnej macerzy neosoblwej M mamy 1 T M det M ( cof M ). Zatem M ( cof M) T det M I. Nech M AI. Wówczas B( ): [ cof ( AI )] T jest welomanem macerzowym stopna ne wyższego nż n -1 (n wymar A) Wobec tego n1 n1 B( ) B B... B B n1 n1 1 0 n1 n1 ( AI) B B... B B n1 n1 1 0 n n1 det( A I) I ( c... c c ) I n1 1 0 A 1 Powyższa równość jest spełnona dla każdej lczby, zatem współczynnk macerzowe po obu stronach równośc muszą być dentyczne.
14 Z porównana wynka, że Bn 1I Bk 1 ABk ck I, k n 1, n 2,.., 1 AB c I 0 0 n n1 Pomnóżmy (z lewej strony) perwszą równość przez A, drugą - przez A tak dalej, pozostawając bez zman ostatną. Następne dodajmy stronam wszystke otrzymane w ten sposób równośc. Zauważmy, że po lewej strone pojawą sę pary składnków różnących sę tylko znakem! Ostateczne otrzymamy: zgodne z dowodzoną formuła. n n 1 0 A c A... c A c I p ( A ) n1 1 0 A Dla macerzy o wymarze równym 3 mamy w szczególnośc T J T J T J I Relację tę można wykorzystać do oblczana macerzy odwrotnej (jak?). Jej prawdzwe znaczene polega jednak na tym, że mplkuje ona możlwość wyrażena trzecej wyższych potęg macerzy A przez I, A and A 2.
15 WAŻNA TOŻSAMOŚĆ jk k Dowedzemy, że j j Dówód: Zacznjmy od oczywstej tożsamośc Permutujemy wersze j1 j 2 j3 jk k1 k 2 k3. a następne kolumny.. j j j k k k. jk
16 Połóżmy teraz k = α zsumujmy... Oto rezultat k jk j j jk k kk k k, czyl ( ) ( ) ( ) jk k k j k k j jk k kk j jk k kk j j j j j j j j j Ćwczene: Wykorzystując powyższą tożsamość udowodnj, że a( bc) ( a, c) b ( a, b) c
17 WAŻNE OPERATORY RÓŻNICZKOWE (KARTEZJAŃSKI UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH) Gradent pola skalarnego f f ( t, x ) - operator nabla f f f f f,, x x x x e (wektor!) Dywergencja pola wektorowego w w( t, x) e formalny loczyn skalarny w w w wj dv w w (skalar!) x x x x j
18 Rotacja pola wektorowego w w( t, x) e (wektor!) jk formalny loczyn wektorowy k j jk j k w w w w w w rot w w e e e x x x x x x w x e w x Gradent pola wektorowego w w( t, x) e e Grad w w w e e j (tensor 2-ego rzędu!) x formalna dada j Dywergencja pola tensorowego T t ( t, x) e e j j DvT tj T e (wektor!) x formal loczyn macerzwektor j
19 Laplasjan pola skalarnego f f ( t, x ) f f f f x x x x x f ( f ) f k Laplasjan pola wektorowego w w( t, x) w ( t, x) e 2 wj Δw ( w) ( w) ( w) w e e x x dywergencja tensora w k j j j Laplasjan k k pola skal. w UWAGA: tylko w kartezjańskm układze współrzędnych składowe Laplasjanu pola wektorowego są równe skalarnym Laplasjanom składowych tego pola! j
20 UŻYTECZNE FORMUŁY RACHUNKU OPERATORÓW RÓŻNICZKOWYCH 1) ( ) 2) ( w) w w 3) ( w) w w 4) ( uw) w( u) u( w ) 5) ( uw) uw wu ( w) u( u) w 6) ( uw) uw w u u( w) w( u ) 2 7) ( 1 2u ) 1 2( uu) uu u( u ) 2 8) 9) 0, ( w ) 0 10) Δw ( w) ( w ) Ćwczene: wykazać prawdzwość podanych formuł posługując sę rachunkem ndeksowym.
21 WAŻNE TWIERDZENIA CAŁKOWE TWIERDZENIE GREENA-GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO (GGO) Rozważmy pole wektorowe w w( x ) zdefnowane w trójwymarowym obszarze Ω ogranczonym dostateczne regularnym brzegem Ω. Wówczas ma mejsce równość ( w, n) ds w wnw n Strumen pola przez brzeg w dywergencja pola w d Istneje dualna wersja tego twerdzena, a manowce n wds w d rotacja pola w ĆWICZENIE: wyprowadź dualne twerdzena GGO z jego formy podstawowej.
22 TWIERDZENIE STOKESA Rozważmy pole wektorowe w w( x ), zamknętą lnę (pętlę) γ oraz dowolny (ale dostateczne regularny) płat powerzchn S rozpęty (jak bańka mydlana) na tej ln. Wówczas prawdzwa jest równość ( w, τ) dl ( w) n ds wτ w cyrkulacja pola w wzdluż ln S strumeń rotacj pola w przez S
23 RACHUNEK W BIEGUNOWYM I CYLINDRYCZNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Położene: x Rcos, y Rsn, z z Wersory: Gradent p. s. f : R x y, arctan y x er ex cosey sn e ex sn ey cos ez ez f f e f e f e R R R z f ( R f) f 2 f 2 Laplasjan p. s. f : 2 R R R R Dywergencja p. w. R R z z Rotacja p. w. R R z z 1 1 u u e u e u e : u ( Ru ) u u z z R R R R z u u e u e u e : 1 1 ( u u z ) R ( u u R z ) R[ R( Ru u ) u e e ] e R z z R R z u u e u e u e : ( u u u R 2 R 2 ) R ( u Δu u 2 R 2 u ) u e e e z Laplasjan p.w. R R z z R R R R z z
24 RACHUNEK W SFERYCZNYM UKŁADZIE ODNIESIENIA Położene: x r cos sn, y r sn sn, z r cos y x x y r x y z, arctg, arctg( ) Wersory: Gradent p. s. f : 1 1 Laplasjan p. s. f : Dywergencja p.w. r r er ex sn cos ey sn sn ez cos e exsn eycos e ex cos cos ey cos sn ez sn f f e f e f e r r R rsn f r f f f 2 2 [ ( ) (sn ) 2 2 ] r r r sn sn u u e u e u e : u ( r u ) [ ( u sn ) u ] r r r rsn z
25 Rotacja p.w. r r u u e u e u e : u [ ( u sn ) u ) e [ u ( ru )] e [ ( ru ) u ] e rsn r r sn r r r r r Laplasjan p.w. r r u u e u e u e : Δu [ u u ( u sn ) u ] e r r sn r sn r 2 r 2 2 r ( u u u u ) e cos r r r sn r sn ( u u u u ) e 2 2 2cos 1 r sn r sn r sn
I. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Bardziej szczegółowoPodstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 1 Rachunek wektorowy Co to jest,,pole? Matematyka: odwzorowanie Rn Rm które przypisuje każdemu punktowi wartość (skalarną lub wektorową). Fizyka: Własność przestrzeni
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowo[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
Bardziej szczegółowoAnaliza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatk do wykładu Geometra Różnczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 14 grudna 2013 1 Całkowane form różnczkowych 1.1 Twerdzene Stokes a W dalszym cągu E oznaczać będze półprzestrzeń w R n, tzn. zbór E =
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoz pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony
Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie
Bardziej szczegółowo5.6 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a
Ostatecznie f = 1 r 2 f ) r 2 r r + ctg ϑ f r 2 ϑ + 1 2 f r 2 ϑ + 1 2 2 f r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 56 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a Odpowiedniość między polami wektorowymi i jednoformami lub n 1)-formami
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoAnaliza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoV. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty 007 34 V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 30 grudnia 2013 1 Całkowanie form różniczkowych 11 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a W tej części zajmiemy się interpretacją poniższych
Bardziej szczegółowospis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Bardziej szczegółowoTeoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl e-mail: w temacie wiadomości
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15
WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15 Fundamentalne Zasady Zachowania/Zmienności w Mechanice mówią nam co dzieję się z: masą pędem krętem (momentem pędu)
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek
Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7 SIŁY WEWNĘTRZNE W PŁYNIE. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE. PŁYN NEWTONOWSKI.
WYKŁAD 7 SIŁY WEWNĘTRZNE W PŁYNIE. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE. PŁYN NEWTONOWSKI. 1/1 OPIS SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PŁYNIE. TENSOR NAPRĘŻEŃ. Zgodnie z hipotezą Cauchy ego, siły reakci dwóch części płynu wynikaące
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................
Bardziej szczegółowoBardziej formalnie, wektor to wielkość, której współrzędne zmieniają się w określony sposób przy obrót prostokątnego układu współrzędnych.
Rachunek wektorowy (fragmenty z Wikipedii) Zastosowanie wektorów w matematycznym opisie pola elektromagnetycznego umożliwia przedstawienie równań w postaci bardzo zwięzłej i niezależnej od przyjętego układu
Bardziej szczegółowof(x, y) = arctg x y. f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. x = 1 1 y = y y = 1 1 +
Różnczkowalność pocodne Ćwczene. Znaleźć pocodne cz astkowe funkcj f(x, y) = arctg x y. Rozw azane: Wdać, że funkcj f można napsać jako f(u(x, y)) gdze f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. Korzystaj ac z reg
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT s Punkty ECTS: 5. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -
Nazwa modułu: Matematyczne metody fizyki 1 Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT-1-103-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Techniczna Specjalność: - Poziom studiów:
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Bardziej szczegółowoMetody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład I Wektory Wektory w geometrii i algebrze Historycznie pierwszy był opis geometryczny: B Wektor = uporządkowana para punktów = ukierunkowany odcinek linii
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11
WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim
Bardziej szczegółowoElementy równań różniczkowych cząstkowych
Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14
WYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14 OPISY LAGRANGE A I EULERA. PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PŁYNU. Elementem płynu nazywamy indywidualną i x 3, nieskończenie małą porcę płynu. Każdy element płynu ma przypisane
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład
Bardziej szczegółowoIII.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty.
III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty. Newtonowskie absolutna przestrzeń i absolutny czas. Układy inercjalne Obroty Układów Współrzędnych Opis ruchu w UO obracających się względem
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoFizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe
Fizyka dr ohdan ieg p. 36A wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe Literatura Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr. Physics for Scientists and Engineers, Cengage Learning D. Halliday, D. Resnick,
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 6 stycznia 014 1 Różniczkowanie pól i form 1.1 Pochodna kowariantna Zobaczmy jak we współrzędnych wyglądać będzie równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14
dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2013/14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO
ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy
Bardziej szczegółowo