Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Transkrypt

1 Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek

2 Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji) Nauka o trwałości spotykanych w praktyce typowych elementów konstrukcji pod działaniem sił Doświadczenie: pod działaniem sił wszystkie ciała stałe odkształcają się. P Ciało stałe + siły (ustrój, element maszyny) odkształcenia (zmiana kształtu) zniszczenie?

3 z y p g Zjawiska odkształcenia i zniszczenia ciała zależą od: 1) Rodzaju materiału (stal, szkło itp.) i jego stanu (rodzaj obróbki mechanicznej, cieplnej, chemicznej) ) Kształtu i wymiarów (wał maszyny, zbiornik gazu itp.) 3) Rodzaju i wartości sił (ciśnienie gazu, ciężar itp.) i ich przebiegu w czasie (stałe lub zmienne) 4) Innych oddziaływań (temperatura, promieniowanie itp.) Zadania WK: 1) Określenie wytrzymałości (odporności na zniszczenie) ) Określenie podatności (odkształcenia) Cel WK Kontrola i kształtowanie Prostota! Nacisk na stronę praktyczną (przesłanki doświad. i teoretyczne) Teoria plastyczności i Teoria sprężystości bliskie WK, ale złożony aparat

4 Uproszczony model ciała (model konstrukcji) Rzeczywisty obiekt schemat obliczeniowy (Istotne cechy) Model materiału odstępujemy od mikrostruktury Zmiany odległ.międzyatomowych 1) ciągły (continuum) Zjawiska molekularne ) jednorodny (uśredniony) atomów 3) izotropowy (właściwości nie zależą od kierunków) 4) zwykła liniowa sprężystość Kształt i wymiary typowe elementy geometrii 1) pręty ) tarcze 3) płyty 4) powłoki 5) bryły zwarte

5

6

7

8 Obciążenia konstrukcji Miarą mechanicznego oddziaływania ciał na siebie są siły Siły zewnętrzne: objętościowe (ciężar, siły bezwładności) powierzchniowe (np.: ciśnienie, naciski w obszarze kontaktu) czynne bierne (reakcje)

9 Tworzenie modelu obliczeniowego Model rzeczywisty Model obliczeniowy

10 Myślowe przecięcie Obciążenia konstrukcji Siły wewnętrzne: Siły działające w obrębie analizowanego obiektu nie będące siłami zewnętrznymi

11 Naprężenie Naprężenie jest miarą intensywności obciążenia w przekroju Naprężenie w punkcie to wartość do jakiej dąży stosunek siły W działającej na element A do pola tego elementu, gdy pole to dąży do zera p lim A 0 W A dw da (tnące) Mały element powierzchni przekroju Siła wewnętrzna działająca na element przekroju σ p τ Wypadkowe naprężenia w punkcie można traktować jako wektor tylko wtedy, gdy ustalona jest płaszczyzna przekroju.

12 Stan naprężenia w punkcie A Punkt A 1 F Rozważmy cienką tarczę prostokątną umocowaną jednym końcem i obciążoną równomiernie na przeciwległym brzegu siłą rozciągającą F Naprężenie w punkcie dla przekroju A: W A p n p σ τ lim A 0 W A p cos0 o p sin 0 o F A p 0 (napr. normalne) (napr. styczne) Naprężenie w punkcie dla przekroju A 1 : A 1 n p W F p lim cos A 1 0 A A σ τ p p 1 cos p sin p cos cos sin

13 Naprężenie jako tensor F Jeśli wytniemy wokół punktu kostkę, pod kątem : +90 n +90 Stan naprężenia w punkcie opisany jest matematycznie przez tensor rzędu II σ z +70 σ τ z τ z τ zy τ yz τ τ y y σ y σ σ τ y τ z τ σ τ y y zy τ z τ yz σ z

14 Analiza Płaskiego Stanu Naprężenia (PSN) F Rozważmy cienką tarczę o grubości δ rozciąganą siłami F 1 i F F 1 b F 1 Stan naprężenia w dowolnym punkcie tarczy przedstawimy na myślowo wyciętej kostce: y a σ 1 F 1 b δ σ F a δ F n Przetnijmy tę kostkę płaszczyzną o normalnej pod kątem do kierunku dy W płaszczyźnie tej ukażemy składową normalną σ i styczną stanu naprężenia d

15 Analiza Płaskiego Stanu Naprężenia (PSN) Równanie równowagi na oś : da da/cos n dy da da σ1 da + σ cos + τ sin 0 cos cos da cos ( σ cos + σ cos + τ sin ) 0 1 datg y d σ1 cos + σ cos + τ sin 0 ( 1) Równanie równowagi na oś y: da da σ da tg + σ sin τ cos cos cos 0 da cos ( σ sin + σ sin τ cos ) 0 σ sin + σ sin τ cos 0 ( )

16 Analiza Płaskiego Stanu Naprężenia (PSN) A A/cos n dy σ1 cos + σ cos + τ sin 0 ( 1) σ sin + σ sin τ cos 0 ( ) (1) cos + () sin : σ1 cos + σ cos + τ sin cos 0 σ sin + σ sin τ sin cos 0 Atg y d σ1 cos + σ sin -(1) sin + () cos : σ1 cos sin σ cos sin τ sin 0 σ cos sin + σ cos sin τ cos 0 ( σ σ ) sin 1 1 Uzyskaliśmy wzory transformacyjne przejścia od naprężeń głównych (, ) do składowych stanu naprężenia na ściance o kierunku normalnej do kierunku 1: (, )

17 τ Koło Mohra (dla PSN) Rozważmy przestrzeń naprężeń: R N (, ) n O A σ σ m Sprawdzamy wzory transformacyjne: σ m + σ σ1 σ R σ + R cos m σ1 cos + σ sin ( cos ) σ1 + σ σ1 σ + sin σ ( 1+ cos sin ) + ( 1 cos + ) σ 1 sin R sin ( σ σ ) sin 1 1 Wyszło to samo co we wzorach transformacyjnych! Punkt N reprezentuje więc stan naprężenia dla przekroju o normalnej w kierunku do kierunku 1

18 Koło Mohra (dla PSN) τ Przestrzeń naprężeń n O (, ) σ σ 1 σ m R (+90 ) A N N (σ+90, +90 ) σ σ + R cos m n R sin Punkt wędruje po kole Mohra razy szybciej! Właściwości PSN: 1) Istnieją tylko przekroje takie, że, i wtedy 0 (naprężenia główne w kierunkach prostopadłych do siebie kierunki główne) ) Dla > musi być: > σ > 3) Ekstremalne naprężenia tnące τ ma wystąpią w przekroju 45 względem kierunków głównych n τ <0 τ >0 n Konwencja znaku naprężeń tnących na kole Mohra