Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych

Transkrypt

1 Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009

2 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Ciało sprężyste

7 Wstęp Wstęp O czym dzisiaj będziemy opowiadać? O mechanice ośrodków ciągłych!

8 Spis treści Wstęp 1 Wstęp Ciało sprężyste

9 Wstęp Wektor przemieszczenia z dr dρ Q ρ P dr ρ ρ Q P r dr Q 0 y x Rys. 1: Położenie dwu punktów przed i po przemieszczeniu

10 Wstęp Wektor przemieszczenia Oznaczenia r(x, y, z) wektor położenia punktu P; dr = PQ = (dx, dy, dz) wektor względnego położenia punktu Q względem punktu Q; r + dr = (x + dx, y + dy, z + dz) wektor położenia punktu Q względem początku układu współrzędnych; ρ = PP = (ξ, η, ζ) wektor przemieszczenia punktu P; ρ Q = QQ = ρ + dρ wektor przemieszczenia punktu Q; dr = P Q = dr + dρ wektor położenia względnego punktu Q względem punktu P.

11 Wstęp Z Rys. 1 widać, że dr dr. Takie zjawisko nazywamy odkształceniem ośrodka materialnego. Tensor przemieszczenia względnego dξ = ξ ξ ξ dx + dy + x y z dz, dη = η η η dx + dy + x y z dz, dζ = ζ ζ ζ dx + dy + x y z dz, (1) T tensor przemieszczenia względnego. dρ = T dr, (2)

12 Wstęp Tensor położenia względnego Z Rys. 1 widać, że dr = dr + dρ, (3) dr = dr + T dr = (1 + T )dr, (4) "1" rozumiemy jako tensor jednostkowy δ µν = (5) Oznaczenie: T = 1 + T, i wtedy dr = T dr. (6)

13 Wstęp Tensor przemieszczenia względnego T jest na ogół tensorem niesymetrycznym. Rozłóżmy go na część symetryczną T (s) i część niesymetryczną T (a) : T = T (s) + T (a), (7) T (s) = T (a) = T xx 1 2 (T xy + T yz ) 1 2 (T xz + T zx ) 1 2 (T 1 xy + T yz ) T yy 2 (T yz + T zy ) 1 2 (T 1 xz + T zx ) 2 (T xz + T zx ) T zz (T xy T yz ) 1 2 (T xz T zx ) 1 2 (T xy T yz ) (T yz T zy ) 1 2 (T xz T zx ) 1 2 (T yz T zy ) 0 (8) (9)

14 Wstęp Wprowadźmy wektor T (a) = i 1 2 (T zy T yz ) + j 1 2 (T xz T zx ) + k 1 2 (T yz T xy ) (10) Korzystając z definicji tensora T (porównaj (1) i (2)) ( ζ 2T (a) = i y η ) ( ξ + j z z ζ ) ( η + k x x ξ ) y (11) Oznaczenie: T (a) = u u = 1 2 rot ρ (12)

15 Spis treści Wstęp 1 Wstęp Ciało sprężyste

16 Wstęp Oznaczenie: T (s) = T (d) tensor odkształcenia czystego (d jak deformacja) ε xx ε xy ε xz T (d) = ε yx ε yy ε yz ε zx ε zy ε zz = ε x γ z γ y γ z ε y γ x γ y γ x ε z ε x = ξ x, γ x = 1 ( η 2 z + ζ y ( ζ ε y = η y, γ y = 1 2 ε z = ζ z, γ z = 1 2 ) x + ξ ) z ( ξ y + η ) x (13) (14)

17 Wstęp ε x, ε z, ε z odkształcenie podłużne (wzdłużne, właściwe, jednostkowe) γ x, γ y, γ z odkształcenie poprzeczne Można łatwo pokazać, że dla dowolnego wektora a i niesymetrycznego tensora T gdzie wektor T (a) ma postać (10) T (a) a = T (a) a (15) T (a) = i 1 2 (T zy T yz ) + j 1 2 (T xz T zx ) + k 1 2 (T yz T xy ) czyli dρ = T (d) dr + u dr. (16)

18 Wstęp Geometryczna interpretacja tensora symetrycznego Każdy tensor symetryczny można sprowadzić na osie główne Ta A n a a A 0 Rys. 2: Konstrukcja geometryczna wektora T a za pomocą kwadryki tensorowej

19 Wstęp Geometryczna interpretacja tensora symetrycznego Równanie kwadryki Rozważmy wszystkie wektory a spełniające równanie a T a = F (a x, a y, a z ) = const 0. (17) F = T xx a 2 x + T yy a 2 y + T zz a 2 z + 2T xy a x a y + 2T yz a y a z + 2T zx a z a x. (18) Jest to równanie powierzchni drugiego stopnia, ze środkiem w początku wektora a kwadryka tensorowa geometryczna reprezentacja tensora symetrycznego T. T a = 1 F (i + j F + k F ) = 1 grad F, (19) 2 a x a y a z 2 czyli wektor T a jest równoległy do wektora normalnego n.

20 Wstęp Geometryczna interpretacja tensora symetrycznego W ogólności wektory a i T a mają różne kierunki, ale jak widać z Rys. 2, oba wektory są równoległe, jeśli wektor a leży na jednej z trzech osi głównych kwadryki tensorowej. Jeśli wybierzemy prostokątny układ współrzędnych u, v, w z osiami wzdłuż osi głównych kwadryki i z wersorami i u, j v, k w, to at a = T uu a 2 u + T vv a 2 v + T ww a 2 w. (20) Wektor T a T a = i u T uu a u + j v T vv a v + k w T ww a w, (21) czyli wektor T a ma składowe na osiach głównych wydłużone w stosunku do wektora a {T uu, T vv, T ww } - krotnie. Stąd pochodzi słowo tensor, od (łac. tendo, tentendi, tentum) lub poetycznie tensum wydłużać.

21 Wydłużenie główne Wstęp T (d) = ε u, ε v, ε w wydłużenia główne. ε u ε v ε w. (22) dr = i u du + j v dv + k w dw. (23) Z (22) i (23) dρ d = T (d) dr = i u ε u du + j v ε v dv + k w ε w dw. (24) Kwadryka tensora T drt (d) dr = ε u du 2 + ε v dv 2 + ε w dw 2. (25)

22 Wydłużenie główne Wstęp Interpretacja wydłużeń głównych Z (24) czyli dξ d = ε u du, dη d = ε v dv, dζ d = ε w dw, (26) ε u = dξ d du, ε v = dη d dv, ε w = dζ d dw. (27) Tak więc, np. wydłużenie główne ε u oznacza względną zmianę odległości, czyli zmianę odległości na jednostkę długości. Jeżeli przed odkształceniem odległość dwu punktów wynosiła du, to po odkształceniu wynosi ona Analogicznie dla pozostałych kierunków. du + dξ d = (1 + ε u )du. (28)

23 Wstęp Właściwe odkształcenie objętościowe w l v u Rys. 3: Zmiana objętości kostki na skutek odkształcenia

24 Wstęp Właściwe odkształcenie objętościowe Objętość kostki Wskutek odkształcenia krawędzie kostki ulegną wydłużeniu: Nowa objętość kostki: V = l 3. (29) l u = l(1 + ε u), l v = l(1 + ε v ), l w = l(1 + ε w ). (30) V = l 3 (1 + ε u)(1 + ε v )(1 + ε w ) l 3 (1 + ε u + ε v + ε w ).. (31) bo ε i małe. Zmiana objętości: V = V V. Względna zmiana objętości (na jednostkę objętości): V = εu + εv + εw. (32) V

25 Wstęp Właściwe odkształcenie objętościowe Suma wyrazów na głównej przekątnej tensora jest niezmiennikiem ze względu na zmianę układu współrzędnych (ślad), więc ale V V = ε x + ε y + ε z, (33) V V = ξ x + η y + ζ z, (34) czyli właściwe odkształcenie objętościowe θ θ = V V = div ρ, (35) gdzie θ = ε x + ε y + ε z. (36)

26 Wstęp poprzeczne z 0 γx y Rys. 4: Ścinanie kwadratu w płaszczyźnie y, z

27 Wstęp poprzeczne Z określenia tensora T (d) (wzór (13)) dξ d = ε x dx + γ z dy + γ y dz, dη d = γ z dx + ε y dy + γ x dz, dζ d = γ y dx + γ x dy + ε z dz. (37) Załóżmy, że tylko γ x 0, reszta znika. Wtedy: dξ d = 0, dη d = γ x dz, dζ d = γ x dy. (38)

28 Wstęp poprzeczne Punkty leżą na osi x: dy = dz = 0 punkty leżące na osi x nie zmieniają położenia; Punkty leżą na osi y: dx = dz = 0 w kierunku osi z mamy przesunięcie proporcjonalne do dy, a oś y doznaje obrotu w kierunku osi z o kąt γ x (tg γ x γ x ); Punkty leżą na osi z: dx = dy = 0 obrót osi z w kierunku osi y o kąt γ x. W szczególności, kwadrat leżący w płaszczyźnie prostopadłej do osi x, przyjmuje kształt rombu (por. Rys. 4). Mamy zmianę kształtu bez zmiany objętości.

29 Wstęp Definicja prędkości Prędkością punktu ośrodka nazywamy w mechanice ośrodków ciągłych wektor: ( ρ(x, y, z, t) ξ v(x, y, z, t) = = t t, η t, ζ ) (x, y, z, t). (39) t Definicja przyspieszenia Przyspieszeniem punktu ośrodka nazywamy w mechanice ośrodków ciągłych wektor: a = (v grad)v + v t. (40)

30 Wstęp Rozważmy pewną wielkość fizyczną ϕ skalar, wektor lub tensor: ϕ = ϕ(r, t) = ϕ(x, y, z, t). Można postąpić dwojako: 1 albo rozpatrywać zmianę ϕ w ustalonym punkcie przestrzeni; 2 albo badać zmiany ϕ dla ustalonego, poruszającego się punktu ośrodka.

31 Wstęp Pochodna lokalna Ad 1. Zmianę ϕ w ustalonym punkcie przestrzeni r opisuje pochodna lokalna wielkości ϕ. Pochodna materialna ϕ t = lim ϕ(r, t + t) ϕ(r, t). (41) t 0 t Ad 2. ϕ(r, t) wartość w chwili t w punkcie r. dϕ dt = lim ϕ(r + v t, t + t) ϕ(r, t). (42) t 0 t

32 Wstęp Pochodna materialna Po rozwinięciu w szereg i odrzuceniu wyrazów wyższego rzędu Wnioski dϕ dt = (v grad)ϕ + ϕ t. (43) 1 Prędkość v jest pochodną lokalną wektora przesunięcia względem czasu (por. (39)): v = ρ t. 2 Przyspieszenie a jest pochodną substncjalną wektora prędkości v(r, t) względem czasu (por. (40)): a = dϕ v = (v grad)v + dt t.

33 Wstęp Ciało sprężyste Wektor napięcia f S n n R Rys. 5: Wektor napięcia

34 Wstęp Ciało sprężyste Wektor napięcia Wektor napięcia S n df opisuje wzajemne oddziaływanie dwu części ośrodka ciągłego rozdzielonych myślowo dowolną powierzchnią; stanowi on siłę powierzchniową, z jaką część elementu df, wskazanej przez wektor normalny n, działa na część ciała znajdującą się po przeciwnej stronie df. Charakter tego oddziaływania, niezależnie od właściwości stykających się materiałów, jest taki sam. Wymiar napięcia: [siła] [cm] 2 Wymiar siły:????????

35 Wstęp Ciało sprężyste Twierdzenie Gaussa div Tdv = R S T ndf. (44) Wektor napięcia Wektor napięcia można zapisać tensorowo: S n = S n. (45) gdzie S = S xx S yx S zx S xy S yy S zy S xz S yz S zz (46)

36 Wstęp Ciało sprężyste S n df = F F Sndf = R div Sdτ. (47) Równanie ruchu R R dv ρ m dt = ρ m Fdτ + S n df, (48) R F ρ m gęstość masy ośrodka; F siła zewnętrzna działająca na jednostkę masy, siła masowa; S n napięcie powierzchniowe. ( ) dv ρ m dt ρ mf div S dτ = 0. (49)

37 Wstęp Ciało sprężyste Równanie ruchu ρ m dv dt = ρ m F + div S. (50)

38 Spis treści Wstęp Ciało sprężyste 1 Wstęp Ciało sprężyste

39 Ciało sprężyste Wstęp Ciało sprężyste Ciało idealnie sprężyste to takie, dla którego napięcia S µν są jednoznacznymi funkcjami odkształceń ε mn : S µν = f µν (ε mn ). (51) Można pokazać, że tensor napięć S µν jest symetryczny, co można zapisać σ x τ z τ y S = τ z σ y τ x τ y τ x σ z. (52)

40 Ciało sprężyste Wstęp Ciało sprężyste Prawo Hooke a Robert Hooke ogłosił swe prawo w roku 1676 w postaci anagramu: ceiiinosssttvu co oznacza ut tensio sic vis co oznacza jakie rozciąganie, taka siła

41 Ciało sprężyste Wstęp Ciało sprężyste Ciało idealnie sprężyste Rozwijamy wyrażenie (53) w szereg, pomijamy wyrazy wyższego rzędu, otrzymujemy uogólnione prawo ruchu: składowe tensora napięć są funkcjami liniowymi składowych tensora odkształceń w każdym punkcie ciała sprężystego: σ ij = c ijkl ε kl. Np. (gdy nie ma napięć wstępnych, wtedy wielkości stałe znikają): σ x = c 11 ε x + c 12 ε y + c 13 ε z + c 14 2γ x + c 15 2γ y + c 16 2γ z (53) τ x = c 41 ε x + c 42 ε y + c 43 ε z + c 44 2γ x + c 45 2γ y + c 46 2γ z (54)

42 Ciało sprężyste Wstęp Ciało sprężyste Energia Podczas odkształcenia ośrodka siły zewnętrzne masowe i powierzchniowe wykonują na ogół pewną pracę, która częściowo jest zmieniana na energię kinetyczną, a częściowo na energię potencjalną. Mamy więc δu + δe k = δa + δq, (55) δu przyrost energii potencjalnej; δe k przyrost energii kinetycznej; δq dostarczone ciepło; δa = δa S + δa p : A p praca wykonana przez siły masowe, A S praca wykonana przez siły powierzchniowe. Gdy ciepło nie jest dostarczane, to δv jest różniczką zupełną (wniosek z rozważań termodynamicznych)

43 Ciało sprężyste Wstęp Ciało sprężyste Redukcja stałych sprężystości W ogólności liczba stałych sprężystości wynosi 81. Jeśli nie ma napięć początkowych i c µν = c νµ, liczba stałych redukuje się do 21. Ciało izotropowe to takie, dla których potencjał sprężysty nie zależy od zmiany układu współrzędnych, czyli da się wyrazić przez niezmienniki.

44 Ciało sprężyste Wstęp Ciało sprężyste Ciało izotropowe niezmienniki J 2 = ε x γ z J 1 = ε x + ε y + ε z, (56) γ z ε y + ε y γ x γ x ε z + ε z γ y γ y ε z (57) ε x γ z γ y J 3 = γ z ε y γ y γ y γ x ε z (58)

45 Ciało sprężyste Wstęp Ciało sprężyste Ciało izotropowe niezmienniki Ciało sprężyste izotropowe bez napięć początkowych v(j 1, J 2 ) = AJ BJ 2 > 0 (59) (tylko dwie stałe sprężystości, J 3 nie ma, bo trzeciego rzędu). Ciało sprężyste izotropowe z napięciami początkowymi v(j 1, J 2 ) = PJ 1 + AJ BJ 2 > 0 (60) A = 0, B = 0 napięcia tworzą tensor kulisto-symetryczny, czyli jednakowy w każdym kierunku. Taka sytuacja zachodzi w cieczach: σ x = σ y = σ z = P, τ x = τ y = τ z = 0. (61)

46 Koniec? :-( Wstęp Ciało sprężyste Koniec wykładu 7