4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

Transkrypt

1 4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5. Związki między stanem naprężenia i odkształcenia 4.6. Całkowita energia potencjalna układu materialnego

2 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 1. Hipoteza o continuum materialnym ciała sprężystego. Ciało jest wypełnione w sposób ciągły materią zarówno przed, jak i po odkształceniu (continuum materialne). 2. Ośrodek ciągły jest fizycznie jednorodny. Ciało w każdej wyodrębnionej części ( objętości) ma jednakowe własności fizyczne materiału. 3. Założenie o izotropii kulistej ciała. Własności fizyko-mechaniczne są jednakowe we wszystkich kierunkach, a każda płaszczyzna przechodząca przez cząstkę jest płaszczyzną symetrii. Anizotropii podlegają wielkości o charakterze wektorowym np. wytrzymałość, moduł sprężystości poprzecznej i podłużnej, własności optyczne itp. Własności o charakterze skalarnym są izotropowe i nie zależą od kierunku pomiaru np. gęstość, twardość, ciepło właściwe itp.. 4. Przemieszczenia i odkształcenia pojawiają się w chwili przyłożenia obciążeń wywołujących naprężenia. Stan naprężenia w danym punkcie jest określony przez stan odkształcenia w tym punkcie a nie pewnego obszaru leżącego dookoła tego punktu. Gradient stanu naprężenia (wielkość charakteryzująca zmianę naprężenia od punktu do punktu) nie wpływa na wytrzymałość materiału w rozpatrywanym punkcie

3 5. Założenie o idealnej sprężystości ciała. Ciało takie ma zdolność do odkształceń i powrotu do pierwotnego stanu ( przed obciążeniem) po usunięciu przyczyn które te odkształcenia wywołały. W takim ciele nie obserwuje się żadnych śladów uprzednich obciążeń ( zdolność do zapominania wszystkiego co przeszło).postać ciała zależy wyłącznie od obciążeń które w danej chwili działają na nie. 6. Hipoteza o naturalnym beznapięciowym (beznaprężeniowmy) stanie ciała, do którego powraca ono zawsze po odciążeniu. 7. Odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe, w porównaniu z jego głównymi wymiarami. Wynika stąd że: wydłużenia jednostkowe i kąty odkształcenia postaciowego są znikomo małe w porównaniu z jednością. kąty obrotu są małe w porównaniu z jednością. 8. Ośrodek ciągły (materiał) zachowuje się zgodnie z prawem Hooke a. 9. Funkcje określające naprężenia, przemieszczenia i odkształcenia są ciągłe i różniczkowalne.

4

5 4.2. Stan naprężenia w punkcie P 1 q 1 P 2 M R P n P 1 A P 2 S p=lim ( S A 0 A ) = ds da A R

6 Z z p zy Y X zx z Z T n = x xy xz yx zx y zy yz z T n =A n +D n X z zy zx xz xy x yz yx y Y A n = D n = śr śr śr x śr xy xz yx x śr yz zx zy x śr śr = 1 3 ( x+ y + z )

7 Naprężenia główne T n = T n = = x y z xy yz zx =

8 4.3 Równania równowagi stanu naprężenia

9 Px = 0 [σ x + σ x x dx]dydz - σ xdydz + [τ yx + τ yx y dy]dzdx- τ yx dzdx +[ τ zx + τ zx z dz]dxdy - τ zx dxdy+ ρxdxdydz = 0 = 0 σ x x + τ yx y + τ zx z + ρx = 0 = 0 τ xy x + σ y y + τ zy z + ρy = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 τ zx x + τ yz y + σ z z + ρz = 0 τ zy = τ yz τ xy = τ yx τ zx = τ xz gdzie: - gęstość ciała X,Y,Z są to siły masowe odniesione do jednostki objętości lub masy np. ciężar, siły bezwładności itp.

10 x y z y x 0 0 z y z 0 x x y z xy yz zx + X Y Z = T + P m = 0

11 4.3.1 Badanie stanu naprężenia w zadanym punkcie ciała. Naprężenia główne p = p xn i + p yn j + p zn k

12 Warunki równowagi: P x =0 p xn A = σ x A x +τ yx A y +τ zx A z A p xn = σ x x A +τ A y yx A +τ A z zx A A x A = cos x, n = l A y A = cos y, n = m A z A = cos z, n = r P x =0 P y =0 P z =0 p xn = σ x l+τ yx m +τ zx r p yn = τ xy l+σ y m +τ zy r p xn = τ xz l+τ yz m +σ z r p = p xn 2 + p yn 2 p zn 2

13 Z B p n τ n σ n D Y X C σ n 2 + τ n 2 = p 2 Jeżeli płaszczyzna BCD, jest płaszczyzną główną to τ n =0, a σ n =p. Z tego warunku wyznacza się naprężenia główne σ=p

14 p xn = σl = σ x l+τ yx m +τ zx r p yn = σm = τ xy l+σ y m +τ zy r p xn = σr = τ xz l+τ yz m +σ z r (σ x σ)l+τ yx m +τ zx r = 0 τ xy l+(σ y σ)m +τ zy r=0 τ xz l+τ yz m +(σ z σ)r = 0 Niewiadome:, l,m,r Dane: x ; y ; z ; τ xy ; τ yz ; τ zx Dodatkowe równanie: l 2 + m 2 + r 2 = 1 (σ x σ) τ yx τ zx τ xy (σ y σ) τ zy τ xz τ yz (σ z σ) l m r = 0 0 0

15 (σ x σ) τ yx τ zx τ xy (σ y σ) τ zy τ xz τ yz (σ z σ) =0 Stąd otrzymuje się równanie: σ 3 - σ σ 2 + σ σ- σ =0 gdzie: σ = σ x + σ y + σ z σ = σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z τ xy 2 τ yz 2 τ zx 2 σ = σ x σ y σ z + 2τ xy τ yz τ zx σ x τ yz2 σ y τ zx2 σ z τ xy 2 Niezmienniki stanu naprężenia są podstawowymi charakterystykami stanu naprężenia. Mogą one być również wyrażone w następującej postaci:

16 σ = σ x + σ y + σ z σ = σ x τ xy τ yx σ + σ x τ xz + σ y τ yz y τ zx σ z τ zy σ z σ = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z lub też w naprężeniach głównych: σ = σ 1 + σ 2 + σ 3 σ = σ σ 2 + σ σ 3 + σ σ 3 σ = σ σ σ 3

17 p xn = σl = σ x l+τ yx m +τ zx r p yn = σm = τ xy l+σ y m +τ zy r p xn = σr = τ xz l+τ yz m +σ z r Zakładając że: σ 1 σ 2 σ 3 0 σ 1 l 1, m 1, r 1 σ 2 l 2, m 2, r 2 σ 3 l 3, m 3, r 3 Otrzymuje się układy równań: (σ x σ 1 )l 1 +τ yx m 1 +τ zx r 1 = 0 /l 2 τ xy l 1 +(σ y σ 1 )m 1 +τ zy r 1=0 /m 2 τ xz l 1 +τ yz m 1 +(σ z σ 1 )r 1 = 0 /r 2 (σ x σ 2 )l 2 +τ yx m 2 +τ zx r 2 = 0 /( l 1 ) τ xy l 2 +(σ y σ 2 )m 2 +τ zy r 2=0 /(-m 1 ) τ xz l 2 +τ yz m 2 +(σ z σ 2 )r 2 = 0 /( r 1 ) Po wymnożeniu i dodaniu stronami otrzymuje się:

18 (σ 2 - σ 1 )(l 1 l 2 +m 1 m 2 +r 1 r 2 )=0 jeżeli (σ 2 σ 1 ) (l 1 l 2 +m 1 m 2 +r 1 r 2 )=0 Suma iloczynów cosinusów kierunkowych dwóch normalnych n 1 i n 2 do płaszczyzn 1 i 2 prostopadłych względem siebie jest równa zeru. Analogiczny związek otrzymuje się dla płaszczyzn 2 i 3. Na podstawie powyższego można stwierdzić, że przez każdy punkt ciała, znajdującego się w stanie naprężenia, można poprowadzić 3 główne płaszczyzny, prostopadłe do siebie, na których występują tylko naprężenia normalne σ 1 σ 2 σ 3.

19 dz 4.4. Stan odkształcenia w punkcie Z M N Współrzędne punktu M(x,y,z) Współrzędne punktu N(x+dx, y+dy, z+dz) Y b a dy d c Składowe przemieszczenia punktu M u = u x, y, z v = v x, y, z w = w x, y, z Składowe przemieszczenia punktu N u = u + u u u dx + dy + x y z dz v = v + v x w = w + w x v v dx + dy + y z dz w w dx + dy + y z dz

20 dy v Y d 1 c 2 α c 1 β b 1 a 1 b 2 c dx d a b u X ε x = a 1b 2 ab ab ε y = a 1c 2 ac ac = = u + u dx + dx u x dx v + v dy + dy v y dy dx dx = u x = v y tan α = c 1c 2 a 1 c 2 = tan = u y u v = +1 y y u + u dy u y v + v = y dy v + dy u y dy v dy + dy y ; tan = = u y β = v x γ xy = +β = u y + v x

21 Y Y γ yx γ xy γ xy = γ yx γ yz = γ zy γ zx = γ xz X X Y 1 2 γ yx T o = ε x 1 2 γ xy 1 γ 1 2 yx ε y 1 2 γ zx γ xz 2 γ yz 2 γ zy ε z T o =A o +D o T o = X 1 2 γ xy ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 31 ε 22 ε 32 ε 23 ε 33 = x y z xy yz zx = A o = D o = śr śr śr x śr 1 2 γ xy 1 γ 1 2 yx x śr 1 2 γ zx γ xz 2 γ yz 2 γ zy x śr

22 Równania Cauche go ε x = u x ε y = v y ε z = w z γ xy = u y + v x γ yz = v z + w y γ zx = w x + u z ε x ε y εz γ xy γ yz γ zx = x y 0 0 y 0 z x z 0 0 z 0 y x u v w ε = U

23 (1+ε z )dz (1+ε śr )dz (1+ε z -ε śr )dz dz dy Z Z Z 90⁰-γ zx 90⁰-γ yz 90⁰-γ xy Y = Y + Y (1+ε y )dy (1+ε śr )dy (1+ε x -ε śr )dy ε x =ε śr +(ε x - ε śr ) ε y =ε śr +(ε y - ε śr ) ε z =ε śr +(ε z - ε śr ) Odkształcenia objętościowe Θ=3ε śr =ε x +ε y +ε z Odkształcenia postaciowe Θ=0 ε śr = 1 3 ( ε x+ε y +ε z )

24 4.5. Związki między stanem naprężenia i odkształcenia śr śr 0 = 0 0 śr 1 2 śr śr śr x śr xy xz yx x śr yz = 2G zx zy x śr 1 x śr 2 γ 1 xy 2 γ xz 1 2 γ 1 yx y śr 2 γ yz 1 2 γ 1 zx 2 γ zy z śr gdzie: G = 2(1 + )

25 ε x = 1 σ x σ y + σ z σ x = ε x + ε y + ε z ε y = 1 σ y σ z + σ x ε z = 1 σ z σ x + σ y γ xy = τ xy G γ yz = τ yz G γ zx = τ zx G σ y = σ z = τ xy = τ yz = τ zx = 1 ε y + ε x + ε z 1 ε z + ε x + ε y γ xy γ yz γ zx

26 x y z xy yz zx = ε x ε y εz γ xy γ yz γ zx = D

27 Macierz sprężystości dla płaskiego stanu naprężenia σ z = τ yz = τ zx = 0 σ x = ε x + ε y + ε z σ y = 1 ε y + ε x + ε z τ xy = γ xy ε z = 1 σ x + σ y σ x σ y τ xy = ε x ε y γ xy D =

28 Macierz sprężystości dla płaskiego stanu odkształcenia ε z = γ yz = γ zx = 0 σ x = σ y = ε x + ε y 1 ε y + ε x τ xy = γ xy σ z = ε x + ε y σ x σ y τ xy = ε x ε y γ xy D =

29 4.6. Całkowita energia potencjalna układu materialnego Dla układu materialnego odkształcalnego, będącego w spoczynku, dowolnie obciążonego, całkowita energia potencjalna wynosi: π = o +P z gdzie: o jest to energia potencjalna odkształcenia P z jest to potencjał obciążenia zewnętrznego Dla układu liniowo sprężystego jednostkowa energia odkształcenia o w ogólnym przypadku może być wyrażona następującym równaniem: o = 1 2 σ xε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx o = 1 σ T ε = [ε]t σ o = 1 2 [ε]t D [ε] Całkowita energia odkształcenia wynosi: o = 1 2 V [ε] T D [ε]dv o = 1 ([ ][U]) 2 T D ([ ][U])dV V Jest ona funkcjonałem pola przemieszczeń [U].

30 Praca sił uogólnionych na odpowiadających im przemieszczeniach uogólnionych wynosi: L p = [Q] T U dv + Jest funkcjonałem pola przemieszczeń, gdzie: V S [P] T U ds Q = Q x Q y Q z wektor sił objętościowych P = P x P y P z wektor sił powierzchniowych π(u) = V { 1 2 ([ ][U])T D ([ ][U]) [Q] T U }dv S [P] T U ds

31 Zakładając, że układ materialny jest w stanie równowagi, zmieniamy jego konfigurację na bliską położeniu równowagi, ale spełniającą warunki brzegowe ( kinematyczne). Przy zmianie konfiguracji energia odkształcenia doznaje przyrostu o, natomiast obciążenie wykonuje pracę L p, równą zmianie potencjału ze znakiem -, a więc L p =- P z. Zakłada się,że układ jest zachowawczy i przy zmianie konfiguracji wielkości statyczne nie ulegają zmianie, ani co do kierunku ani co do wartości. Całkowita praca obciążających układ materialny, sił zewnętrznych powoduje deformację ciała bez żadnych strat energetycznych ( związanych np. z tarciem).dotyczy to również pracy sił wewnętrznych. Układ zachowawczy jest w stanie równowagi jeżeli przyrost ( pierwsza wariacja) energii potencjalnej jest równy zeru. U = o L p = 0 O tym jaki jest to stan równowagi decyduje druga wariacja całkowitej energii potencjalnej układu. δπ(u) δπ(u) δπ(u) U U U U δ(u) U δ(u) U δ(u) δ 2 ( )=0 równowaga obojętna δ 2 ( ) 0 równowaga stała δ 2 ( ) 0 równowaga chwiejna

32 Spośród wszystkich dopuszczalnych pól przemieszczeń [U] tzn. ciągłych różniczkowalnych i spełniających geometryczne warunki brzegowe, pole rzeczywiste tzn. zapewniające dodatkowo spełnienie warunków równowagi i statycznych warunków brzegowych, daje minimalną wartość całkowitej energii potencjalnej rozpatrywanego kontinuum materialnego. Ze wszystkich kinematycznie dopuszczalnych konfiguracji, konfiguracja odpowiadająca równowadze wywołuje minimalną wartość całkowitej energii potencjalnej układu materialnego. Szczegółowe obliczenia podane są w pracy: Gabryszewski Z.: Teoria sprężystości i plastyczności. Politechnika Wrocławska 1987.

33 Przykład obliczeń Dany jest pręt obciążony osiową siłą ściskającą P jak pokazano to na rysunku. Pod działaniem tej siły, pręt ten ulega skróceniu o u wzdłuż jego osi. Sprężyste własności tego pręta są reprezentowane przez sprężynę o stałej k. P P u P k=tg( ) u Całkowita energia potencjalna powyższego układu w stanie równowagi składa się z energii odkształcenia sprężystego o potencjału obciążenia zewnętrznego P z π = o +P z

34 Po wytrąceniu tego układu z położenia równowagi o u (wariacja, zaburzenie), siła P wykona pracę L p. Zakłada się przy tym, że siła jest stała. Praca ta jest zawsze ujemna gdyż siły wewnętrzne przeciwstawiają się odkształceniom. Zmiana energii odkształcenia sprężystego wynosi o. Zmiana energii potencjalnej całego układu wynosi: nergia odkształcenia sprężystego: = o - L p =0 o = 1 2 ku u Praca wykonana przez siłę P: L p = -Pu Potencjał układu wynosi: Warunek równowagi układu δπ = 0 = 1 2 ku2 - Pu = (ku- P) u =0 Ponieważ u z założenia jest różne od zera więc otrzymuje się: ku=p - warunek konieczny, stanu równowagi δ 2 π δ 2 u = k 0 - równowaga stała

35 Dla P=10, k=10 π = 5u 2-10u u -10 Układ pozostaje w stanie równowagi dla u=1