Obliczenia w fizyce i technice

Transkrypt

1 Wydzia l Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej PG Projekt,,Przygotowanie i realizacja kierunku inżynieria biomedyczna studia mie ι dzywydzia lowe wspó lfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spo lecznego. Nr umowy UDA POKL /08

2 Wyk lad: Zakres materia lu: Wektory Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji wielu zmiennych Ca lka Równania różniczkowe Metody przekszta lceń ca lkowych

3 1. Wektory Poje ι cie wektora Dzia lania na wektorach A d AB c B a b

4 1. Wektory 1.1 Poje ι cie wektora Wielkości skalarne wartość (m = 70kg, F = 100N, g = 9.81m/s 2 ) Wielkości wektorowe d lugość (modu l), kierunek, zwrot A AB B zwrot kierunek

5 1. Wektory 1.1 Poje ι cie wektora Wektor swobodny d lugość (modu l), kierunek, zwrot Wektor zaczepiony d lugość (modu l), kierunek, zwrot, pocza ι tek (i koniec) A d AB c B a b Wektory równe (jednakowe) ta sama d lugość, kierunek i zwrot

6 1. Wektory 1.1 Poje ι cie wektora Wektor w uk ladzie wspó lrze ι dnych kartezjańskich wektor określony przez swoje wspó lrze ι dne: a = [a x,a y ] wspó lrze ι dne (rzuty wektora na osie): a x = acosα, a y = asinα d lugość wektora: a = a = ax 2 +ay 2 y a y a 0 α a x x

7 1. Wektory 1.1 Poje ι cie wektora Wersory wektory jednostkowe skierowane wzd luż poszczególnych osi i = [1,0], j = [0,1] y 1 j 0 i 1 x

8 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Dzia lania na wektorach Mnożenie przez liczbe ι rzeczywista ι Dodawanie Odejmowanie Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy

9 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Mnożenie przez liczbe ι rzeczywista ι mamy wektor v = [v x,v y ] i liczbe ι c, otrzymujemy wektor c v: c v = c[v x,v y ] = [cv x,cv y ] jeśli c 1, mnożenie zmienia d lugość wektora jeśli c < 0, zmienia sie ι zwrot wektora jeśli c = 1, otrzymujemy wektor o przeciwnym zwrocie, ale tej samej d lugości 1 v = [v x,v y ] = [ v x, v y ] jeśli c = 0, otrzymujemy wektor zerowy

10 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Dodawanie suma wektorów v = [v x,v y ] i u = [u x,u y ]: v + u = [v x +u x,v y +u y ] dodawanie jest dzia laniem przemiennym: v + u = u + v graficznie: regu la równoleg loboku u v u v v + u

11 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach dowolny wektor można przedstawić jako sume ι wektorów równoleg lych do osi uk ladu v = [v 1,v 2 ] = v 1 + v 2 = [v 1,0]+[0,v 2 ] = v 1 [1,0]+v 2 [0,1] = v 1 i +v 2 j y v 2 v 0 v 1 x

12 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Odejmowanie odejmowanie od wektora v = [v x,v y ] wektora u = [u x,u y ] traktujemy jak dodawanie do v wektora przeciwnego do u: v u = [v x u x,v y u y ] v u u u v v u odejmowanie nie jest dzia laniem przemiennym

13 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Iloczyn skalarny wynikiem iloczynu skalarnego wektorów v = [v x,v y ] oraz u = [u x,u y ] jest liczba: v u = v x u x +v y u y iloczyn skalarny wektora z samym soba ι jest równy kwadratowi d lugości tego wektora u u = u 2 x +u 2 y = u 2

14 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Iloczyn skalarny jeżeli iloczyn skalarny dwóch wektorów niezerowych jest zerem, to wektory te sa ι ortogonalne (prostopad le) y u v u v 0 x u v 2 = u 2 + v 2 2(u x v x +u y v y ) = u 2 + v 2 2 u v jeśli u v = 0, to mamy u v 2 = u 2 + v 2 (tw. Pitagorasa)

15 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Iloczyn skalarny jeżeli znamy d lugości wektorów i ka ι t pomie ι dzy nimi, wartość iloczynu skalarnego możemy obliczyć na podstawie wzoru v u = v u cosθ u θ v

16 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach W lasności iloczynu skalarnego: przemienność v u = u v la ι czność wzgle ι dem mnożenia przez liczbe ι m( v u) = (m v) u rozdzielność wzgle ι dem dodawania ( v + u) w = v w + u w zwia ι zek pomie ι dzy iloczynem skalarnym i d lugościa ι wektora v = v v nierówność v u v u

17 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Przyk lad wielkości fizycznej zdefiniowanej iloczynem skalarnym praca W: na cia lo dzia la sta la si la F, przesuwaja ι ca cia lo z punktu A do punktu B po linii prostej, miara ι tego przesunie ι cia jest wektor l W = F l F A B l

18 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Trójwymiarowy (prawoskre ι tny) uk lad wspó lrze ι dnych kartezjańskich zwroty osi odpowiadaja ι regule śruby prawoskre ι tnej... jeśli wkre ι camy śrube ι tak, aby kre ι ci la sie ι ona od dodatniej po lowy osi x do dodatniej po lowy osi y wzd luż mniejszego ka ι ta, to ruch śruby pokazuje zwrot osi z (analogicznie kre ι ca ι c od y do z dostajemy zwrot x, a kre ι ca ι c od z do x otrzymujemy skierowanie y)... lub regule prawej d loni jeśli jej cztery palce (bez kciuka) sa ι wygie ι te wzd luż mniejszego ka ι ta od dodatniej po lowy osi x do dodatniej po lowy osi y, to odgie ι ty kciuk pokaże zwrot osi z

19 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Trójwymiarowy (prawoskre ι tny) uk lad wspó lrze ι dnych kartezjańskich przyk lady y z x y z x

20 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Trójwymiarowy (prawoskre ι tny) uk lad wspó lrze ι dnych kartezjańskich d lugość wektora v = [v x,v y,v z ]: v = vx 2 +vy 2 +vz 2 suma i różnica wektorów v = [v x,v y,v z ] i u = [u x,u y,u z ] v ± u = [v x ±u x,v y ±u y,v z ±u z ] iloczyn skalarny wektorów v = [v x,v y,v z ] i u = [u x,u y,u z ] v u = v x u x +v y u y +v z u z = v u cosθ wersory i = [1,0,0], j = [0,1,0], k = [0,0,1] v = [v x,v y,v z ] = v x i +v y j +v z k

21 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Iloczyn wektorowy wynikiem iloczynu wektorowego wektorów v = [v x,v y,v z ] oraz u = [u x,u y,u z ] jest wektor: θ to ka ι t pomie ι dzy wektorami v u = v u sinθ n n to wektor jednostkowy prostopad ly do p laszczyzny wyznaczonej przez v i u, jego skierowanie wyznacza regu la śruby prawoskre ι tnej kre ι cimy od v do u (czyli od tego, który w dzia laniu jest zapisany jako pierwszy, do tego, który stoi po znaku ) wzd luż mniejszego ka ι ta

22 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Iloczyn wektorowy iloczyn wektorowy wektorów równoleg lych jest wektorem zerowym w szczególności v v = 0 ze wzgle ι du na prawoskre ι tność uk ladu wspó lrze ι dnych, mamy i j = k, j k = i, k i = j y z x y z x

23 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Iloczyn wektorowy obliczanie iloczynu wektorowego i j k v u = v x v y v z u x u y u z = i v y v z u y u z j v x v z u x u z + k v x v y u x u y = (v y u z v z u y ) i +(v z u x v x u z ) j +(v x u y v y u x ) k

24 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach W lasności iloczynu wektorowego: antyprzemienność v u = u v la ι czność wzgle ι dem mnożenia przez liczbe ι m( v u) = (m v) u rozdzielność wzgle ι dem dodawania ( v + u) w = v w + u w wynik iloczynu v u jest prostopad ly do każdego z wektorów v i u

25 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Wielkości fizyczne zdefiniowane iloczynem wektorowym si la Lorentza: F = q v B si la dzia laja ι ca na ladunek elektryczny q poruszaja ι cy sie ι z pre ι dkościa ι v w polu o indukcji magnetycznej B F F =? B =? v F v =? v B v B F B v nie zmienia sie ι

26 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Wielkości fizyczne zdefiniowane iloczynem wektorowym pre ι dkość ka ι towa: ruch obrotowy, punkt odleg ly o r od osi obrotu, poruszaja ι cy sie ι z pre ι dkościa ι v ω = r v r 2, v = ω r ω r v

27 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Wielkości fizyczne zdefiniowane iloczynem wektorowym moment pe ι du: L = r p r to wektor opisuja ι cy po lożenie danego punktu materialnego, p to wektor pe ι du tego punktu moment si ly: M = r F F to si la dzia laja ι ca na punkt materialny

28 1. Wektory 1.2 Dzia lania na wektorach Wielkości fizyczne zdefiniowane iloczynem wektorowym Si la Coriolisa (odchylenie wiatru, pra ι dów wodnych, pocisków): F = 2m ω v. biegun polocny ω v F α rownik

29 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna pierwszego rze ι du Pochodna funkcji wektorowej Pochodna rze ι du n 2 Ekstrema funkcji

30 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Iloraz różnicowy funkcja y = f(x) określona na pewnym otoczeniu U punktu x 0 (czyli dla x (x 0 ρ,x 0 +ρ), ρ > 0) x przyrost zmiennej x (różny od zera) taki, że x 0 + x U y = f(x 0 + x) f(x 0 ) przyrost zmiennej zależnej y y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) x

31 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Pochodna pierwszego rze ι du jeśli iloraz różnicowy ma granice ι w laściwa ι, gdy x 0, to granice ι te ι nazywamy pochodna ι funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ): f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x Jeżeli funkcja f ma pochodna w każdym punkcie pewnego przedzia lu, to jest ona funkcja ι. Oznaczamy ja ι f (x) lub y albo df dx i nazywamy pochodna ι funkcji f. Funkcje ι f nazywamy różniczkowalna ι.

32 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Istnienie granicy oznacza, że istnieja ι granice jednostronne i że sa ι sobie równe. Rozważmy funkcje ι f(x) = x = { x dla x 0 x dla x < 0 y f(x)= x 0 x jest to przyk lad funkcji cia ι g lej

33 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Granice jednostronne ilorazu różnicowego funkcji f(x) = x w punkcie x 0 = 0 granica prawostronna f(x 0 + x) f(x 0 ) (0+ x) 0 lim = lim = 1 x 0 + x x 0 + x granica lewostronna f(x 0 + x) f(x 0 ) (0+ x)+0 lim = lim = 1 x 0 x x 0 x Granice jednostronne istnieja ι i sa ι w laściwe (nie sa ι nieskończone), ale ponieważ sa ι one różne, to granica w punkcie x 0 = 0 nie istnieje, funkcja f(x) = x nie ma w tym punkcie pochodnej. W innych punktach pochodna wynosi 1 dla x > 0 i 1 dla x < 0.

34 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Interpretacja geometryczna y f(x + x) 0 styczna sieczna f(x ) 0 β α x0 x + x 0 x sieczna prosta przechodza ι ca przez wybrane punkty (x 0,f(x 0 )) oraz (x 0 + x,f(x 0 + x)) na wykresie funkcji y = f(x) sieczna nachylona jest do osi x pod ka ι tem α: tg α = y x = f(x 0+ x) f(x 0 ) x

35 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Interpretacja geometryczna cd. y f(x + x) 0 styczna sieczna f(x ) 0 β α x0 x + x 0 x gdy x zmierza do zera, sieczna przechodzi w styczna ι, nachylona ι do osi x pod ka ι tem β: f(x 0 + x) f(x 0 ) tg β = lim x 0 x wartość tg β jest równa wspó lczynnikowi kierunkowemu stycznej

36 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Wielkości fizyczne definiowane poprzez pochodna ι niech s = f(t) opisuje zależność przebywanej drogi s od czasu t s f(t + t) 0 f(t ) 0 0 t t + t t 0 0 W przedziale czasu od t 0 do t 0 + t cia lo przebywa droge ι s = f(t 0 + t) f(t 0 ) s/ t pre ι dkość średnia w badanym przedziale czasu v(t 0 ) = f (t 0 ) pre ι dkość chwilowa w chwili t 0

37 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Wielkości fizyczne definiowane poprzez pochodna ι v(t) pre ι dkość [v(t + t) v(t)]/ t = v/ t średnie przyspieszenie w przedziale czasu t a(t) = v (t) przyspieszenie chwilowe w chwili t Q(t) ilość ladunków, jaka przep lyne ι la przez przewodnik w przedziale czasowym [0, t] [Q(t + t) Q(t)]/ t = Q/ t średnie nate ι żenie pra ι du I(t) = Q (t) chwilowe nate ι żenie pra ι du

38 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Wielkości fizyczne definiowane poprzez pochodna ι Ruch po okre ι gu y α 0+ α α0 x Pocza ι tkowe po lożenie danego punktu określa ka ι t α 0. Po czasie t ka ι t zmienia sie ι o α, a szybkość zmiany wyraża pre ι dkość ka ι towa: α ω = lim t 0 t

39 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Wielkości fizyczne definiowane poprzez pochodna ι Pierwsza pochodna odzwierciedla dynamike ι, szybkość zmiany jakiejś wielkości w zależności od zmian innej wielkości (czasu, po lożenia,...)

40 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Funkcja wektorowa Wektor zmienny a nazywamy funkcja ι wektorowa ι zmiennej t, jeżeli każdej wartości t odpowiada określony wektor a a = f(t) w trójwymiarowym uk ladzie wspó lrze ι dnych kartezjańskich: a = a x i +a y j +a z k każda ze wspó lrze ι dnych a x, a y i a z jest funkcja ι t (czyli funkcja wektorowa opisana jest poprzez 3 funkcje skalarne)

41 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Hodograf krzywa zakreślana przez koniec wektora po lożenia r(t) (lub innego wektora zależa ι cego od czasu) r 1 r 2 0 r 3 po lożenie danego punktu w 3 różnych chwilach

42 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Pochodna funkcji wektorowej pochodna ι funkcji wektorowej a = f(t) jest funkcja wektorowa d a dt = lim f(t + t) f(t) t 0 t jeśli r(t) jest wektorem po lożenia danego punktu w trakcie ruchu, to jego pochodna v = d r dt = lim r t 0 t jest wektorem pre ι dkości w tym ruchu

43 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Pochodna funkcji wektorowej, pre ι dkość v = d r dt = lim r t 0 t v r r 0 r+ r

44 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Pochodna funkcji wektorowej, pre ι dkość r r r r r+ r r+ r ruch prostoliniowy pre ι dkość jest równoleg la do toru ruch po okre ι gu im t jest mniejsze, tym wektor r leży bliżej luku pomie ι dzy końcami wektorów r i r + r wektor pre ι dkości jest zawsze styczny do hodografu

45 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Pochodna funkcji wektorowej, przyspieszenie v v v+ v a = d v dt = lim v t 0 t

46 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Obliczanie pochodnej funkcji wektorowej pochodna ι funkcji wektorowej r(t) = [x(t),y(t),z(t)] obliczamy, licza ι c pochodne jej sk ladowych [ d r(t) dx(t) =, dy(t), dz(t) ] dt dt dt dt

47 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Obliczanie pochodnej funkcji wektorowej rzut poziomy z wysokości H z pre ι dkościa ι v 0 y H 0 x wektory po lożenia, pre ι dkości i przyspieszenia r(t) = [v 0 t,h gt 2 /2], v(t) = d r(t) dt = [v 0, gt], a(t) = d v(t) dt = [0, g]

48 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.3 Pochodna rze ι du n 2 Pochodna rze ι du n 2 (n-ta pochodna) d n f(x) dx n = d dx d n 1 f(x) dx n 1 kolejne pochodne funkcji f(x) = x 4 : f (x) = 4x 3, f (x) = 12x 2, f (3) (x) = 24x, f (4) (x) = 24, f (n) (x) = 0 dla n 5 s(t) zależność przebytej drogi od czasu a(t) przyspieszenie pierwsza pochodna pre ι dkości: a(t) = d2 s(t) dt 2

49 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.3 Pochodna rze ι du n 2 Twierdzenie Taylora Jeśli funkcja f(x) jest n-krotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x 0 (czyli w pewnym przedziale (x 0 δ,x 0 +δ)), to dla każdego x należa ι cego do tego otoczenia istnieje taki punkt c, po lożony mie ι dzy x 0 i x, że f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) ! + f (n 1) (x 0 ) (x x 0 ) n 1 +R n (n 1)! gdzie R n = f (n) (c) n! to reszta w postaci Lagrange a (x x 0 ) n

50 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.3 Pochodna rze ι du n 2 Twierdzenie Taylora, przybliżenie wartości funkcji interesuje nas wartość 4.1 rozważamy funkcje ι f(x) = x, jej kolejne pochodne: f (x) = 1 2 x 1/2, f (x) = 1 4 x 3/2, f (3) (x) = 3 8 x 5/2 x 0 = = c 2 c 0.13 = c 2 c 0.13 reszta jest mniejsza od mamy (z dok l. ok. 5 miejsc po przec.) wynik z kalkulatora (z dok l. do 9 miejsc po przec.):

51 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Maksimum i minimum lokalne Funkcja f określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 ma w tym punkcie maksimum (albo, odpowiednio, minimum) lokalne, jeśli istnieje taka liczba δ > 0, że f(x 0 ) > f(x) (odpowiednio, f(x 0 ) < f(x)) dla każdego x spe lniaja ι cego warunek 0 < x x 0 < δ. y x

52 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Maksimum i minimum lokalne Inaczej: jeśli mamy jakiś przedzia l o środku w punkcie x 0 i dla wszystkich x z tego przedzia lu (ale różnych od x 0 ) wartość funkcji jest mniejsza (wie ι ksza) od wartości w x 0 to w x 0 funkcja ma maksimum (minimum) lokalne, czyli ogólnie ekstremum lokalne y x

53 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Warunek konieczny istnienia ekstremum Warunkiem koniecznym na to, aby funkcja określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 mia la w tym punkcie ekstremum, jest by f (x 0 ) = 0 lub by pochodna f (x 0 ) nie istnia la. Uwaga: zerowanie pochodnej nie oznacza istnienia ekstremum funkcja f(x) = x 3 ma pochodna ι f (x) = 3x 2, która zeruje sie ι w x 0 = 0, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum!

54 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcja nie musi być w danym punkcie różniczkowalna, aby mog la mieć w nim ekstremum y a b c d x cztery ekstrema, ale tylko w b i c pochodna istnieje (i wynosi 0)

55 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest cia ι g la w punkcie x 0 i ma pochodna ι w pewnym jego otoczeniu, to jeśli f (x) > 0 dla x < x 0 i f (x) < 0 dla x > x 0, to funkcja ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeśli f (x) < 0 dla x < x 0 i f (x) > 0 dla x > x 0, to funkcja ma w punkcie x 0 minimum lokalne, natomiast w samym punkcie x 0 pochodna może nie istnieć, ale jeśli istnieje, to jest równa zeru. Istnienie ekstremum jest wie ι c powia ι zane ze zmiana ι monotoniczności funkcji.

56 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Twierdzenie Jeśli f (x 0 ) = 0 i f (x 0 ) 0, to w punkcie x 0 funkcja ma maksimum przy f (x 0 ) < 0 natomiast minimum przy f (x 0 ) > 0.

57 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Przyk lad Dwa cia la wykonuja ι ruch drgaja ι cy wzd luż osi x. Po lożenia cia l opisuja ι funkcje x 1 (t) = sint, x 2 (t) = 5 cost (jednostki). Dla jakich t cia la sa ι najbliżej albo najdalej siebie? odleg lość pomie ι dzy cia lami: X(t) = x 2 (t) x 1 (t) = 5 cost sint pochodna: X (t) = sint cost

58 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Przyk lad cd. (a) - X(t) = 5 cost sint; (b) - X (t) = sint cost miejsca zerowe pochodnej t k = ( k + 1 4) π (k jest ca lkowite)

59 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Przyk lad cd. analiza miejsc zerowych i znaku pochodnej: cia la be ι da ι najbliżej siebie w chwilach t m = ( 2m+ 1 4) π a najdalej od siebie w chwilach (m i n sa ι ca lkowite) t n = ( 2n+ 5 4) π

60 2. Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.4 Ekstrema lokalne funkcji Przyk lad cd. analiza znaku drugiej pochodnej: X (t) = cost +sint w chwilach t m = ( 2m+ 1 4) π druga pochodna jest dodatnia, czyli X(t) ma minima w chwilach t n = ( 2n+ 5 4) π druga pochodna jest ujemna, czyli X(t) ma maksima

61 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych Pochodna cza ι stkowa Pochodna kierunkowa, gradient Dywergencja Rotacja

62 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.1 Pochodna cza ι stkowa Pochodna cza ι stkowa Pochodna ι cza ι stkowa ι funkcji f(x,y) wzgle ι dem x definiujemy naste ι puja ι ca ι granica ι (o ile ona istnieje) f x = f x = lim f(x + x,y) f(x,y) x 0 x pochodna cza ι stkowa funkcji f(x,y) wzgle ι dem zmiennej y: f y = f y = lim f(x,y + y) f(x,y) y 0 y Różniczkujemy funkcje ι wzgle ι dem jednej zmiennej (traktuja ι c pozosta le zmienne jak sta le). Pochodna cza ι stkowa szybkość zmian funkcji wzgle ι dem danej zmiennej, gdy wartości innych zmiennych sa ι sta le.

63 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.1 Pochodna cza ι stkowa Przyk lad równanie van der Waalsa, zwia ι zek pomie ι dzy ciśnieniem p, obje ι tościa ι V i temperatura ι (bezwzgle ι dna ι ) T, dla 1 mola gazu: p = RT V b a V 2 R uniwersalna sta la gazowa, a i b sta le opisuja ι ce dany gaz pochodne cza ι stkowe p T = R V b, p V = RT (V b) 2 + 2a V 3. pochodne mówia ι, jak szybko zmienia loby sie ι ciśnienie, gdybyśmy przy sta lej obje ι tości zmieniali temperature ι gazu, lub przy sta lej temperaturze zmieniali obje ι tość

64 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.1 Pochodna cza ι stkowa Pochodne f x i f y sa ι funkcjami x i y, możemy je różniczkować f xx = ( ) f = 2 f x x x 2, f yx = ( ) f = 2 f x y x y, f xy = ( ) f = 2 f y x y x, f yy = ( ) f = 2 f y y y 2 Pochodne, w których wyste ι puje różniczkowanie wzgle ι dem dwóch (lub wie ι cej) zmiennych, nazywamy pochodnymi mieszanymi. Zapis f xy : najpierw obliczamy pochodna ι funkcji f wzgle ι dem x a potem wynik różniczkujemy wzgle ι dem y. Pochodna f yx kolejność różniczkowania jest odwrotna.

65 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.1 Pochodna cza ι stkowa Twierdzenie Schwarza (twierdzenie Clairaut a) Jeśli pochodne f xy i f yx istnieja ι i sa ι cia ι g le, to sa ι sobie równe. Oczywiście, twierdzenie Schwarza można sformu lować bardziej ogólnie, z uwzgle ι dnieniem pochodnych wyższych rze ι dów. W najcze ι ściej rozważanych przyk ladach odpowiednie pochodne mieszane sa ι cia ι g le, a wie ι c i równe.

66 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.1 Pochodna cza ι stkowa Regu la lańcuchowa Mamy funkcje ι u = f(x,y), przy czym x i y sa ι funkcjami jednej zmiennej t. Funkcja z lożona U(t) = f(x(t),y(t)) jest funkcja ι jednej zmiennej, a jej pochodna ι obliczamy wed lug wzoru du dt = u x dx dt + u y dy dt, o ile u/ x i u/ y sa ι cia ι g le a x(t) i y(t) sa ι różniczkowalne. Sumujemy zatem sk ladniki mówia ι ce o tym, jak u zależy od swoich poszczególnych argumentów i jak te argumenty zależa ι od t.

67 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.1 Pochodna cza ι stkowa Regu la lańcuchowa, przyk lad Cia lo porusza sie ι w taki sposób, że opisuja ι ce po lożenie tego cia la wspó lrze ι dne x i y zależa ι od czasu naste ι puja ι co: x(t) = x 0 sin(ωt), y(t) = vt Odleg lość tego cia la od pocza ι tku uk ladu wspó lrze ι dnych wynosi r = x 2 +y 2 Pochodna r wzgle ι dem t opisuje szybkość oddalania sie ι cia la od pocza ι tku uk ladu wspó lrze ι dnych. Korzystamy z regu ly lańcuchowej: dr dt = r x dx dt + r y dy dt = ωx2 0 sin(ωt)cos(ωt)+v2 t x0 2sin2 (ωt)+v 2 t 2

68 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.1 Pochodna cza ι stkowa Regu la lańcuchowa, przyk lad dr dt = r x dx dt + r y dy dt = ωx2 0 sin(ωt)cos(ωt)+v2 t x0 2sin2 (ωt)+v 2 t 2 Uwaga: obliczona szybkość nie ma nic wspólnego z wektorem pre ι dkości (chwilowej) v: wartość pre ι dkości wynosi v(t) = v(t) = [x (t),y (t)] x 2 (t)+y 2 (t) = ω 2 x 2 0 cos(ωt)+v2. W ruchu po okre ι gu kierunek pre ι dkości jest zmienny, jej wartość jest sta la, ale szybkość oddalania sie ι od środka okre ι gu wynosi zero.

69 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Pole skalarne Funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporza ι dkowuje skalar, jak np. temperatura, potencja l elektrostatyczny, energia potencjalna itp. Jest to skalarna funkcja po lożenia. W równaniu van der Waalsa mieliśmy ciśnienie jako funkcje ι obje ι tości i temperatury p(v,t). Takiej funkcji nie traktujemy jako pole skalarne. Aczkolwiek, w matematyce...

70 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Pochodna kierunkowa Mamy pole skalarne ϕ zdefiniowane w przestrzeni trójwymiarowej. Wybierzmy dwa punkty: P i P, odleg le od siebie o d lugość PP. P s P u Wielkość ϕ = ϕ(p ) ϕ(p) wyraża zmiane ι pola skalarnego ϕ przy przejściu z punktu P do P

71 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Pochodna kierunkowa cd. P s P u Iloraz (różnicowy) ϕ PP = ϕ(p ) ϕ(p) PP opisuje średnia ι pre ι dkość zmiany pola skalarnego pomie ι dzy punktami P i P.

72 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Pochodna kierunkowa cd. P s P u Pochodna ι kierunkowa ι pola ϕ w punkcie P i w kierunku zgodnym z zaczepiona ι w tym punkcie pó losia ι s nazywamy granice ι ilorazu różnicowego, gdy P da ι ży do P po pó losi s: ϕ s = lim P P P ϕ PP.

73 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Gradient Pochodna kierunkowa pola ϕ ϕ s = ϕ u, P u wektor jednostkowy zaczepiony w punkcie P i skierowany zgodnie z osia ι s ϕ wektor, który nazwiemy gradientem funkcji ϕ P s P u

74 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Gradient cd. Gradient funkcji ϕ to wektor zdefiniowany naste ι puja ι co [ ϕ ϕ = x, ϕ y, ϕ ] z obliczamy go w punkcie P. Symbol nazywa sie ι,,nabla, = [ ] x, y, z Gradient pola skalarnego wyznacza kierunek, w którym pole zmienia sie ι najszybciej oraz wielkość pochodnej kierunkowej w tym kierunku. Pochodna kierunkowa w danym kierunku jest iloczynem skalarnym gradientu i wektora jednostkowego w danym kierunku.

75 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Pochodna kierunkowa, gradient, przyk lad Znajdźmy pochodna ι kierunkowa ι funkcji φ(x,y,z) = x 3 +2xy 2 +yz 2 w punkcie P 1 = (1,2,1) w kierunku punktu P 2 = 1,0,1. Obliczamy pochodne cza ι stkowe: φ x = 3x 2 +2y 2, φ y = 4xy +z 2, φ z = 2yz Obliczmy gradient funkcji φ w punkcie P 1 : [ φ φ = P1 =(1,2,1) x, φ y, φ = [11,9,4] z] P1 =(1,2,1) Dostaliśmy wektor pokazuja ι cy, w która ι,,strone ι wartość funkcji φ rośnie najszybciej.

76 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Pochodna kierunkowa, gradient, przyk lad cd. Wyznaczmy wektor jednostkowy u, skierowany wzd luż pó losi zaczynaja ι cej sie ι w P 1 i przechodza ι cej przez P 2. Najpierw obliczmy wektor U, o pocza ι tku w P 1 i końcu P 2 : U = [ 2, 2,0]. Wektor u ma taki sam kierunek i zwrot jak U, a zatem wystarczy wektor U podzielić przez jego d lugość (,,unormować ): U u = U = [ 2, 2,0] 2 = 2 [ ] 2 2 2, 2,0. Szukana pochodna kierunkowa iloczyn skalarny gradientu i u: [ ] dφ 2 2 ds = [11,9,4] 2, 2,0 = 10 2.

77 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Wielkości fizyczne zdefiniowane jako gradienty pól skalarnych nate ι żenie pola elektrycznego (gradient potencja lu elektrycznego): E = ϕ ge ι stość strumienia ciep la (gradient temperatury): q = λ T λ wspó lczynnik przewodzenia ciep la Jeśli istnieje zwia ι zek A = Φ, to mówimy, że Φ jest potencja lym skalarnym pola wektorowego A.

78 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Ge ι stość strumienia ge ι stość strumienia ciep la (gradient temperatury): q = λ T Ge ι stość strumienia,,czegoś to wektor opisuja ι cy, ile,,tego czegoś przep lywa w jednostce czasu przez jednostkowa ι powierzchnie ι prostopad la ι w danym punkcie do tego wektora.

79 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Ge ι stość strumienia Mamy niewielka ι powierzchnie ι ds i wektor normalny do tej powierzchni, n: q ds n wielkość q nds mówi, ile energii w jednostce czasu przep lywa przez powierzchnie ι ds

80 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Ge ι stość strumienia Ge ι stość strumienia ciep la przyk lad pola wektorowego (funkcja przyporza ι dkowuja ι ca każdemu punktowi przestrzeni wektor) q(x,y,z) = [q x (x,y,z),q y (x,y,z),q z (x,y,z)] Ile ciep la wyp lywa w jednostce czasu z prostopoad lościanu, którego jednym z wierzcho lków jest punkt (x,y,z)? z (x,y,z) y z x x y

81 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Ge ι stość strumienia ścianka tylna E tyl = [q x (x,y,z),q y (x,y,z),q z (x,y,z)] [ 1,0,0] y z ścianka przednia = q x (x,y,z) y z, E prz = [q x (x + z,y,z),q y (x + x,y,z), = q x (x + x,y,z) y z q z (x + x,y,z)] [1,0,0] y z

82 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Ge ι stość strumienia Na podstawie tw. Taylora (o ile x jest ma le): f(x + x) f(x)+f (x) x, a w naszym przypadku q x (x + x,y,z) q x (x,y,z)+ q x(x,y,z) x x. Dostajemy wie ι c (w przybliżeniu) ( E prz = q x (x,y,z)+ q ) x(x,y,z) x y z. x

83 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Ge ι stość strumienia suma energii wyp lywaja ι cej przez ścianki tylna ι i przednia ι : gdzie E tyl +E prz = q x(x,y,z) x V = x y z, V, suma energii wyp lywaja ι cej przez ścianki lewa ι i prawa ι : E lew +E pra = q y(x,y,z) y V,... dolna ι i górna ι E dol +E gor = q z(x,y,z) V. z

84 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Ge ι stość strumienia Energia wyp lywaja ι ca w jednostce czasu przez wszystkie ścianki ( qx (x,y,z) E calk = + q y(x,y,z) + q ) z(x,y,z) V x y z a z użyciem operatora nabla: [ E calk = x, y, ] [q x (x,y,z),q y (x,y,z),q z (x,y,z)] V z = q V

85 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Dywergencja pola wektorowego Wielkość q informacja, ile energii w jednostce czasu wyp lywa z obszaru o jednostkowej obje ι tości (gdy rozmiary obszaru da ι ża ι do zera) q = q x x + q y y + q z z. Czynnik q to tzw. dywergencja pola wektorowego q.

86 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Przyk lad Rozk lad temperatury w jakimś obszarze opisuje funkcja T(x,y,z) = T 0 e (x2 +y 2 +z 2), T 0 > 0. Jeśli temperatura jest różna w różnych miejscach, ciep lo przep lywa z miejsc cieplejszych do ch lodniejszych. Ge ι stość strumienia ciep la q jest zdefiniowana jako gradient temperatury. Obliczmy dywergencje ι q: [ q = λ ( T) = λ x, y, ] [ T z x, T y, T ]. z

87 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Przyk lad; definicja operatora Laplace a Dywergencja q zapisana w inny sposób [ q = λ x, y, ] z [ x, y, z ] T = λ T. Symbol oznacza operator Laplace a (laplasjan); jeśli mamy pole skalarne Φ, to ( ) 2 Φ = x y z 2 Φ = Φ = ( ) 2 Φ.

88 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.3 Dywergencja Przyk lad cd. Interpretacja dywergencji? Pochodne cza ι stkowe drugiego rze ι du funkcji T(x,y,z): 2 x 2 T(x,y,z) = T ( 0 4x 2 2 ) e (x2 +y 2 +z 2 ) (analogicznie pochodne wzgle ι dem y i z) q = λt 0 ( 4x 2 +4y 2 +4z 2 6 ) e (x2 +y 2 +z 2). Wartość dywergencji roz lożenie źróde l ciep la. ((0,0,0), (1,1,1)) Jeżeli w obszarze, w którym zdefiniowane jest pole wektorowe, dywergencja tego pola wsze ι dzie wynosi zero, to pole takie nazywamy bezźród lowym.

89 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.4 Rotacja Rotacja funkcja Φ potencja l skalarny pola wektorowego A: A = Φ funkcja u potencja l wektorowy pola wektorowego A: A = u Iloczyn wektorowy operatora nabla i pola wektorowego u to rotacja pola wektorowego

90 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.4 Rotacja Wiruja ι ca tarcza ω r v k i j v = ω r skierowanie wektora ω jest zgodne ze skierowaniem osi z: ω = ω k.

91 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.4 Rotacja Wiruja ι ca tarcza Obliczmy wektor v w punkcie (x,y,z): v = i j k 0 0 ω x y z = ωy i +ωx j. Wyznaczmy rotacje ι wektora v: i j k v = x y ωy ωx 0 z = 2ω k = 2 ω. Ruch obrotowy niezerowa rotacja wektora pre ι dkości. Jeżeli rotacja danego pola wektorowego u jest wsze ι dzie równa zeru, to mówimy, że pole u jest bezwirowe.

92 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.4 Rotacja Przyk lad Pre ι dkość cieczy w kubku z herbata ι, która ι zamieszaliśmy zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara: y (x,y) α r α v x punkt (x,y) : v x = v sinα = v y r, v y = v cosα = v x r

93 3. Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.4 Rotacja Przyk lad cd. wartość pre ι dkości jest proporcjonalna do odleg lości od osi obrotu v = ar v x = v sinα = ay, v y = v cosα = ax Zamiast kubka rura z woda ι. Woda wykonuje ruch obrotowy a do tego p lynie wzd luż rury ze sta la ι sk ladowa ι v z (cza ι steczki wody poruszaja ι sie ι po spirali). Wektor pre ι dkości w punkcie (x,y,z): v = [ay, ax,v z ] Obliczamy rotacje ι (czy pre ι dkość jest polem bezwirowym?) i j k v = x y ay ax v z z = [0,0, 2a]

94 4. Ca lka Ca lka nieoznaczona i oznaczona Calki niew laściwe Ca lki wielokrotne Krótkie uzupe lnienie dotycza ι ce ca lek

95 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia F(x) funkcja pierwotna funkcji f(x) na przedziale X, jeśli dla każdego x X zachodzi F (x) = f(x). Na przyk lad, funkcja F(x) = x 2, x R jest funkcja ι pierwotna ι funkcji f(x) = 2x z x R, bo F (x) = 2x (a dziedziny sie ι pokrywaja ι ). Twierdzenie Każda funkcja cia ι g la na przedziale X ma na nim funkcje ι pierwotna ι.

96 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia Twierdzenie Jeżeli F(x) jest funkcja ι pierwotna ι funkcji f(x) na przedziale X, to F(x)+C, gdzie C jest dowolna ι sta la ι, wyraża wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) na przedziale X. Wyrażenie F(x)+C nazywamy ca lka ι nieoznaczona ι funkcji f(x) na przedziale X i oznaczamy f(x)dx przy czym x nazywamy zmienna ι ca lkowania, f(x) to funkcja podca lkowa, f(x)dx to wyrażenie podca lkowe, a...dx to symbol ca lkowania. Wyznaczanie ca lek nieoznaczonych w skrócie nazywa sie ι ca lkowaniem. Ca lkowanie jest,,dzia laniem odwrotnym wzgle ι dem różniczkowania.

97 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia Twierdzenie o ca lkowaniu przez cze ι ści Jeśli funkcje u(x) i v(x) maja ι cia ι g le pochodne, to zachodzi u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx. Mamy dowolność w wyborze funkcji u(x) i v(x). Należy tego wyboru dokonać tak, aby ca lka po prawej stronie by la możliwie naj latwiejsza.

98 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx Przyk lad x sinxdx Wybieramy u = x i v = sinx, mamy u = 1 i v = cosx, czyli x sinxdx = x cosx + cosxdx = x cosx +sinx +C. Wybieramy u = sinx i v = x, mamy u = cosx i v = x 2 /2, czyli x sinxdx = x2 x 2 2 sinx 2 cosxdx

99 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia Twierdzenie o ca lkowaniu przez podstawienie Jeśli funkcja h(x) ma cia ι g la ι pochodna ι h (x) na przedziale X i przekszta lca go na przedzia l T, na którym określona jest cia ι g la funkcja g, to zachodzi g[h(x)]h (x)dx = g(t)dt, gdzie t = h(x).

100 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia g[h(x)]h (x)dx = g(t)dt, t = h(x) Przyk lad Przeanalizujmy ca lke ι cos(x)e sinx dx. Argumentem funkcji exp jest funkcja sinx, co wie ι cej sin x = cosx, a cosx to mnożnik przy funkcji exp. Mamy wie ι c t = sinx, a ponadto dt = cosxdx (bo dt dx = cosx), a zatem cos(x)e sinx dx = e t dt = e t +C = e sinx +C.

101 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia Mamy funkcje ι f(x) ograniczona ι na przedziale [a,b]. Z przedzia lu [a,b] wyodre ι bniamy n granicza ι cych ze soba ι przedzia lów: [a,x 1 ], [x 1,x 2 ],..., [x n 1,b] y f(x) a ξ 1 x 1 ξ 2 x 2 x n 1 ξ n 1 b x

102 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia y f(x) a ξ 1 x 1 ξ 2 x 2 x n 1 ξ n 1 b x Definiujemy: x 0 = a i x n = b, a zatem j-ty przedzia l to [x j 1,x j ]. Szerokość j-tego przedzia lu wynosi x j = x j x j 1. Określamy n liczb ξ j, przy czym ξ j [x j 1,x j ], j = 1,2,...,n, czyli w każdym przedziale mamy wybrana ι jedna ι liczbe ι.

103 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona suma pól prostoka ι tów określonych przez x j i wartości f(ξ j ). Definicje i twierdzenia y f(x) a ξ 1 x 1 ξ 2 x 2 x n 1 ξ n 1 b x Suma Riemanna: n S n = f(ξ j )(x j x j 1 ) = j=1 n f(ξ j ) x j, j=1

104 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia Ca lke ι oznaczona ι funkcji f(x) wzgle ι dem x przedziale [a,b] oznaczamy b a f(x)dx, a jej definicja zwia ι zana jest z suma ι Riemanna: b a f(x)dx = lim L 0 n f(ξ j ) x j, L to szerokość najwie ι kszego przedzia lu, a i b to dolna i górna granica ca lkowania. Granica ma być niezależna od sposobu podzielenia przedzia lu [a, b]. Jeżeli ta granica istnieje, to nazywamy ja ι ca lka ι Riemanna, a o funkcji f(x) mówimy, że jest ca lkowalna w sensie Riemanna. j=1

105 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia Twierdzenie Jeśli f(x) jest cia ι g la, lub przedzia lami cia ι g la, to granica istnieje. Twierdzenie Jeśli funkcja f(x) jest cia ι g la na przedziale [a,b], natomiast F(x) jest jej funkcja ι pierwotna ι, to b a f(x)dx = F(b) F(a), Wyznaczanie ca lki oznaczonej sprowadza sie ι zatem do znalezienia funkcji pierwotnej i do podstawienia w niej a i b.

106 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia y f(x) a ξ 1 x 1 ξ 2 x 2 x n 1 ξ n 1 b x Geometrycznie ca lka oznaczona odpowiada polu mie ι dzy wykresem funkcji a osia ι x (w przedzia lach, w których f(x) < 0, przyjmujemy, że pola sa ι ujemne)

107 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia Twierdzenie o wartości średniej Jeżeli funkcja f(x) jest cia ι g la na przedziale domknie ι tym [a,b], to istnieje wewna ι trz tego przedzia lu taki punkt c, że b a f(x)dx = f(c)(b a). Liczbe ι 1 b f(x)dx = f(c) b a a nazywamy wartościa ι średnia ι ca lkowa ι funkcji f(x) na przedziale [a,b].

108 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia 1 b a b a f(x)dx = f(c) y f(x) a c b x Wartość f(c) jest taka, że pole prostoka ι ta o bokach b a i f(c) jest równe polu mie ι dzy wykresem funkcji a osia ι x.

109 4. Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Definicje i twierdzenia Przyk lad Napie ι cie w sieci elektrycznej zmienia sie ι w czasie naste ι puja ι co U(t) = 325 sin(100πt) (czas wyrażony jest w sekundach a napie ι cie w woltach). Średnia wartość napie ι cia w przedziale czasu [0,t 0 ] wynosi zatem U sr = 1 t 0 t0 0 U(t)dt = 325 t 0 t0 0 sin(100πt)dt = πt 0 cos(100πt) t 0 0 = πt 0 [cos(100πt 0 ) 1]. Jeśli t 0 = 1, to otrzymamy U sr = 0.

110 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Pierwszy rodzaj: nieskończone granice ca lkowania Ca lki te oblicza sie ι, wprowadzaja ι c w odpowiedni sposób granice. Przypadek 1: Przyk lad: 0 a c f(x)dx = lim f(x)dx. c a T e x dx = lim e x dx = lim T 0 T (e T e 0 ) = 1.

111 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Pierwszy rodzaj: nieskończone granice ca lkowania Ca lki te oblicza sie ι, wprowadzaja ι c w odpowiedni sposób granice. Przypadek 2: b b f(x)dx = lim f(x)dx. c c Przyk lad: ( 1 1 dx = lim dx = lim x2 T T x2 T ( 1) 1 ) = 1. T

112 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Pierwszy rodzaj: nieskończone granice ca lkowania Ca lki te oblicza sie ι, wprowadzaja ι c w odpowiedni sposób granice. Przypadek 3: z d f(x)dx = lim f(x)dx + lim f(x)dx, c c d z przy czym c i d sa ι od siebie niezależne, czyli granice też od siebie nie zależa ι, a z wybieramy tak jak nam wygodnie. Przyk lad: 0 T2 e x dx = lim e x dx + lim e x dx = 2. T 1 T 1 T 2 0

113 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Pierwszy rodzaj: nieskończone granice ca lkowania Uwaga: Przypadek 3 a wartość g lówna z d f(x)dx = lim f(x)dx + lim f(x)dx c c d z Wartość g lówna ca lki niew laściwej A f(x)dx = lim f(x)dx. A A

114 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Pierwszy rodzaj: nieskończone granice ca lkowania Przyk lad Zbadajmy ca lke ι niew laściwa ι : (przyjmujemy c = 0) sinxdx = lim T 1 (1 cost 1) lim T 2 (cost 2 1). Ca lka ta nie istnieje, ponieważ nie istnieja ι granice lim cost 1 oraz lim cost 2. T 1 T 2 A teraz zbadajmy wartość g lówna ι tej samej ca lki: A sinxdx = lim sinxdx = lim (cosa cos A) = 0. A A T A

115 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Drugi rodzaj: nieograniczona funkcja podca lkowa Przypadek 1: funkcja nieograniczona w punkcie a (czyli lim x a f(x) = ± ): b a b f(x)dx = lim f(x)dx. ε 0 a+ε Przypadek 2: funkcja nieograniczona w punkcie b (czyli lim x b f(x) = ± ): b a f(x)dx = lim ε 0 b ε a f(x)dx.

116 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Drugi rodzaj: nieograniczona funkcja podca lkowa Przypadek 3: funkcja nieograniczona w punkcie c [a, b] (czyli lim x c f(x) = ± ): b a c ε1 b f(x)dx = lim ε1 0 a f(x)dx + lim f(x)dx. ε2 0 c+ε 2 Analogiczne wzory maja ι zastosowanie, gdy funkcja f(x) jest nieokreślona (czyli też niecia ι g la) w punktach, odpowiednio, a, b lub c.

117 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Drugi rodzaj: nieograniczona funkcja podca lkowa Przyk lad Przypomnijmy sobie wykres funkcji f(x) = 1/x i rozważmy ca lke ι : x ca lka ta wie ι c rozbiega. 1 1 dx = lim ε 0 ε x dx = lim lnε = +, ε 0

118 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Drugi rodzaj: nieograniczona funkcja podca lkowa Przyk lad Przypomnijmy sobie wykres funkcji f(x) = lnx i zbadajmy ca lke ι 1 0 ln xdx = lim ε 0 1 ε lnxdx = lim [x lnx 1 ] 1ε dx ε 0 ε = lim [x lnx x] 1 ε 0 ε = 1 lim [ε(lnε 1)] ε 0 lnε 1 = 1 lim ε 0 1 = 1+ lim ε 0 ε = 1. ε = 1 lim ε 0 1 ε 1 ε 2 Po drodze skorzystaliśmy z twierdzenia o ca lkowaniu przez cze ι ści (u = lnx, v = 1), oraz twierdzenia de l Hospitala

119 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Twierdzenie de l Hospitala Jeżeli funkcje f i g sa ι określone w przedziale (a,b), a punkt c należy do tego przedzia lu, c (a,b), a ponadto albo lim f(x) = 0, i lim g(x) = 0, x c x c lim f(x) = ±, i lim g(x) = ±, x c x c oraz istnieja ι skończone pochodne f (a) i g (a), przy czym g (a) 0, to f(x) lim x c g(x) = lim f (x) x c g (x).

120 4. Ca lka 4.2 Ca lki niew laściwe Zbieżność ca lki niew laściwej Jeśli odpowiednie granice wyste ι puja ι ce w podanych przypadkach ca lek niew laściwych istnieja ι i sa ι skończone, to mówimy wówczas, że dana ca lka niew laściwa jest zbieżna (w przeciwnym razie ca lka jest rozbieżna). Analize ι zbieżności ca lek cze ι sto u latwiaja ι tzw. kryteria porównawcze.

121 4. Ca lka 4.3 Ca lki wielokrotne Ca lka podwójna Uogólnienie poje ι cia ca lki na przypadek funkcji dwóch zmiennych. Niech funkcja f(x,y) be ι dzie określona na pewnym zamknie ι tym obszarze S, be ι da ι cym cze ι ścia ι p laszczyzny. Ca lke ι podwójna ι funkcji f(x,y) na tym obszarze oznaczamy f(x,y)ds, S gdzie ds jest elementem powierzchni należa ι cym do S. Ca lke ι podwójna ι można zdefiniować jako granice ι cia ι gu odpowiednich sum Riemanna, z tym że obszar ca lkowania dzieli sie ι na mniejsze podobszary, a w sumie Riemanna uwzgle ι dnia sie ι pola tych podobszarów. Geometrycznie ca lke ι podwójna ι interpretujemy jako obje ι tość obszaru pomie ι dzy wykresem funkcji f(x,y) a obszarem S.

122 4. Ca lka 4.3 Ca lki wielokrotne Obszar normalny wzgle ι dem osi x i y Jeśli obszar S określony jest przez nierówności a x b i ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x), przy czym ϕ 1 (x) i ϕ 2 (x) sa ι funkcjami cia ι g lymi w przedziale a x b, a dla każdego x z przedzia lu otwartego (a,b) zachodzi ϕ 1 (x) < ϕ 2 (x), to obszar S nazywamy obszarem normalnym wzgle ι dem osi x y y= ϕ (x) 2 y β y= ϕ (x) 1 S α x= ψ (y) 1 S x= ψ 2 (y) a b x x

123 4. Ca lka 4.3 Ca lki wielokrotne Ca lka iterowana obszar normalny wzgle ι dem osi x ( b ) ϕ2 (x) f(x,y)ds = f(x,y)dy dx. S a ϕ 1 (x) obszar normalny wzgle ι dem osi y ( β ) ψ2 (x) f(x,y)ds = f(x,y)dx dy. S α ψ 1 (x) y y= ϕ 2(x) y= ϕ1 (x) S a b x y β x= ψ1 (y) x= ψ α 2 (y) S x

124 4. Ca lka 4.3 Ca lki wielokrotne Ca lka iterowana, przyk lad I = S xy 2 ds, S to obszar ograniczony funkcjami y = x 2 i y = 2x:

125 4. Ca lka 4.3 Ca lki wielokrotne Ca lka iterowana, przyk lad cd. Wariant 1: Traktujemy obszar S jako normalny wzgle ι dem osi x, mamy a = 0 i b = 2 (minimalna i maksymalna wartość x) oraz ϕ 1 (x) = x 2 i ϕ 2 (x) = 2x (funkcje,,dolna i,,górna ) I = = 2 ( 2x ) dx = xy 2 dy x [ 2 ] y 3 2x x dx = 1 3 x x ( 2x x 2 y 2 dy ) dx (8x 4 x 7 )dx = 32 5.

126 4. Ca lka 4.3 Ca lki wielokrotne Ca lka iterowana, przyk lad cd. Wariant 2: Traktujemy obszar S jako normalny wzgle ι dem osi y, dostajemy α = 0 i β = 4 (minimalna i maksymalna wartość y) oraz ψ 1 (y) = y/2 i ψ 2 (y) = y (funkcje,,lewa i,,prawa ) I = = ( ) y xy 2 dx dy = y/2 ] y y 2 [ x 2 2 y/2dy = ( ) y y 2 xdx dy y/2 (y 3 y4 4 ) dx = Wynik nie zależy od wyboru wariantu. W ogólnej sytuacji jedna z opcji może być zdecydowanie latwiejsza do zastosowania niż druga.

127 4. Ca lka 4.4 Krótkie uzupe lnienie dotycza ι ce ca lek Niektóre wielkości fizyczne zdefiniowane sa ι jako pochodne innych wielkości, można zatem definiować wielkości za pomoca ι ca lek. Na przyk lad, w ruchu prostoliniowym, obserwowanym od chwili t = 0, droge ι s i pre ι dkość v możemy w chwili t = t 0 powia ι zać naste ι puja ι co: v(t 0 ) = ds(t) dt zatem s(t 0 ) = t=t0 t0 0 v(t)dt.

128 4. Ca lka 4.4 Krótkie uzupe lnienie dotycza ι ce ca lek Ca lki wykorzystuje sie ι do liczenia d lugości krzywych, pól powierzchni obszarów p laskich, pól powierzchni bocznych i obje ι tości bry l, wyste ι puja ι też w metodach wariacyjnych, s luża ι do obliczania konkretnych parametrów fizycznych, np. po lożenia środka masy, wartości średnich różnych wielkości itp. Ca lki wykorzystuje sie ι również do przekszta lcania różnego typu zagadnień (metody transformacji ca lkowych). Twierdzenia i w lasności ca lki oznaczonej funkcji jednej zmiennej uogólnia sie ι na przypadek ca lek wielokrotnych (np. twierdzenie o wartości średniej).

129 4. Ca lka 4.4 Krótkie uzupe lnienie dotycza ι ce ca lek Funkcje zdefiniowane poprzez ca lki funkcja Γ: Γ(x) = uogólnienie funkcji silnia 0 z x 1 e z dz, z > 0,

130 4. Ca lka 4.4 Krótkie uzupe lnienie dotycza ι ce ca lek Funkcje zdefiniowane poprzez ca lki cd. funkcja b le ι du (ca lka z rozk ladu normalnego (Gaussa)): erf (x) = 2 π x 0 e t2 dt, < x <.

131 5. Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne Zagadnienie brzegowe Równania różniczkowe niejednorodne Funkcje Bessela Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych

132 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicje Równanie różniczkowe zwyczajne rze ι du pierwszego F(x,y,y ) = 0, Równanie w postaci normalnej y = f(x,y). Równanie różniczkowe zwyczajne rze ι du n: F(x,y,y,y,...,y (n) ) = 0, Postać normalna y (n) = f(x,y,y,...,y (n 1) )

133 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicje cd. Stopień równania różniczkowego: najwyższy stopień funkcji niewiadomej lub jej pochodnej. Równanie y (3) +x 8 y 3 y 2 = 0 jest równaniem trzeciego rze ι du i trzeciego stopnia.

134 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicje cd. Równanie liniowe: funkcja niewiadoma wyste ι puje tylko w pierwszej pote ι dze i nie wyste ι puje w postaci iloczynów, na przyk lad Przyk lad równania nieliniowego y (x)+p(x)y(x) = Q(x) y (x)+y (x)y(x) = 0 (zawiera iloczyn y (x)y(x), wie ι c jest drugiego stopnia)

135 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicje cd. Jeżeli równanie różniczkowe zwyczajne można zapisać w postaci d n y X n dx n +X d n 1 y n 1 dx n X dy 1 dx +X 0y = 0, gdzie X 0,..., X n sa ι dowolnymi funkcjami zmiennej x, to równanie to jest jednorodne. W tak zapisanym równaniu jednorodnym nie ma sk ladników w których nie wyste ι powa laby funkcja y lub któraś z jej pochodnych. Równanie to jest jednorodne i liniowe. Cecha równania jednorodnego liniowego: jeśli jakaś funkcja jest jego rozwia ι zaniem, to rozwia ι zaniem jest też iloczyn tej funkcji i dowolnej sta lej.

136 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicje cd. Rozwia ι zanie szczególne (ca lka szczególna) równania różniczkowego: każda funkcja, która w rozważanym obszarze po podstawieniu do równania sprowadza je w tożsamość (czyli spe lnia to równanie). W przypadku równania y (x) = y(x), x [0,2π] przyk ladowymi ca lkami szczególnymi sa ι funkcje y 1 (x) = sinx i y 2 (x) = 0.001cosx (i można podać nieskończenie wiele innych).

137 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicje cd. Mamy równanie różniczkowe rze ι du n: y (n) = f(x,y,y,...,y (n 1) ) i punkt P(a,b 1,...,b n ). Rozwia ι zaniem ogólnym (ca lka ι ogólna ι ) nazwiemy funkcje ι g(x), zawieraja ι ca ι n dowolnych sta lych takich, że jeśli obierzemy dowolny punkt P, to można tym sta lym nadać jednoznacznie określone wartości liczbowe, przy których rozwia ι zanie be ι dzie spe lnia lo n warunków pocza ι tkowych: g(a) = b 1, g (a) = b 2,..., g (n 1) (a) = b n. Punkt P to pewna wybrana wartość x, wartość szukanej funkcji w x i wartości kolejnych pochodnych tej funkcji, do rze ι du n 1 w la ι cznie, w x.

138 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicje cd. Rozwia ι zanie ogólne ma tyle niezależnych od siebie sk ladników, ile wynosi rza ι d równania różniczkowego. Rozwia ι zanie ogólne zawiera wszystkie możliwe rozwia ι zania szczególne. Równanie różniczkowe wraz z narzuconymi na nie warunkami pocza ι tkowymi tworzy zagadnienie pocza ι tkowe.

139 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Przyk lad Dla równania rozwia ι zanie ogólne ma postać y (x) = y(x) g(x) = Asinx +B cosx, przy czym A i B to dowolne sta le. Równanie może być uzupe lnione o warunki pocza ι tkowe, np. y(0) = 10, y (0) = 5 (czyli mamy punkt P(0,10, 5)); jedyna ι funkcja ι g(x) spe lniaja ι ca ι te warunki jest funkcja z A = 5 i B = 10: g(x) = 5sinx +10cosx.

140 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Przyk lad cd. sens fizyczny: y (x) = y(x), y(0) = 10, y (0) = 5 równanie opisuje zależność po lożenia od czasu (y jest po lożeniem a x czasem) cia la o jednostkowej masie zawieszonego na spre ι żynie o jednostkowym wspó lczynniku spre ι żystości, y(0) = 10 oznacza, że pocza ι tkowe po lożenie wynosi lo 10 [jednostek d lugości], a y (0) = 5 oznacza, że pocza ι tkowa pre ι dkość wynosi la 5 [odpowiednich jednostek pre ι dkości] i by la skierowana przeciwnie niż pocza ι tkowe wychylenie.

141 5. Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Niektóre metody rozwia ι zywania równań różniczkowych sprowadzenie równania do postaci o zmiennych rozdzielonych i ca lkowanie (przyk lad ze stygnie ι ciem) skorzystanie z równania charakterystycznego metody numeryczne W praktyce korzysta sie ι też ze znajomości rozwia ι zań innych (podobnych) równań, poszukuje sie ι rozwia ι zania w tablicach rozwia ι zań, a niekiedy mówi sie ι o,,metodzie zgadywania, w której metoda ι prób i b le ι dów szuka sie ι w laściwego rozwia ι zania.

142 5. Równania różniczkowe 5.2 Zagadnienie brzegowe Definicja zagadnienia brzegowego y (n) = f(x,y,y,...,y (n 1) ) W zagadnieniu brzegowym rozwia ι zanie równania różniczkowego ma spe lniać warunki określone na końcach przedzia lu zmienności zmiennej niezależnej x (a w ogólności, na brzegu rozważanego obszaru).

143 5. Równania różniczkowe 5.2 Zagadnienie brzegowe Zagadnienie Sturma Liouville a Równanie samosprze ι żone [ p(x)y (x) ] +q(x)y(x)+λρ(x)y(x) = 0, x [a,b], λ jest liczba ι, funkcje p(x), q(x) i ρ(x) sa ι rzeczywiste i cia ι g le w przedziale [a,b] (p (x) również jest cia ι g la), a dodatkowo p(x) i ρ(x) (ta ostatnia to tzw. funkcja wagowa) musza ι być w tym przedziale nieujemne, warunki brzegowe A 0 y(a)+b 0 y (a) = 0, A 1 y(b)+b 1 y (b) = 0, liczby A 0 i A 1 sa ι rzeczywiste i przynajmniej jedna spośród nich jest różna od zera, podobnie B 0 i B 1.

144 5. Równania różniczkowe 5.2 Zagadnienie brzegowe Zagadnienie Sturma Liouville a Równanie [ p(x)y (x) ] +q(x)y(x)+λρ(x)y(x) = 0, x [a,b], z warunkami brzegowymi A 0 y(a)+b 0 y (a) = 0, A 1 y(b)+b 1 y (b) = 0, posiada nietrywialne rozwia ι zania tylko dla pewnych wartości λ, zwanych wartościami w lasnymi, zbiór wartości w lasnych nazywamy widmem zagadnienia. Odpowiadaja ι ca ι danej wartości w lasnej funkcje ι y(x) nazywamy funkcja ι w lasna ι.

145 5. Równania różniczkowe 5.2 Zagadnienie brzegowe Zagadnienie Sturma Liouville a W lasności wartości w lasnych i funkcji w lasnych: Wartości w lasne tworza ι cia ι g liczb rzeczywistych λ 0 < λ 1 < λ 2 <... < λ n <... da ι ża ι cy do nieskończoności. Jeśli y(x) i z(x) sa ι funkcjami w lasnymi odpowiadaja ι cymi danej wartości w lasnej, to y(x) = cz(x), gdzie c jest sta la ι. Funkcje y(x) i z(x) to,,ta sama funkcja. Jeśli y(x) i z(x) sa ι funkcjami w lasnymi odpowiadaja ι cymi dwóm różnym wartościom w lasnym, to b a y(x)z(x)ρ(x)dx = 0 i mówimy, że funkcje odpowiadaja ι ce różnym wartościom w lasnym sa ι ortogonalne na przedziale [a,b] z waga ι ρ(x).

146 5. Równania różniczkowe 5.2 Zagadnienie brzegowe Przyk lad y (x) = λy(x), x [0,a], y(0) = y(a) = 0. Szukamy wartości λ i odpowiadaja ι cych im funkcji w lasnych. Równanie samosprze ι żone z p(x) = 1, q(x) = 0 i ρ(x) = 1. Rozwia ι zanie ogólne: y(x) = C sin( λx)+c cos( λx), C i C to sta le. Funkcja y ma sie ι zerować w x = 0 a zatem C = 0 i mamy y(x) = C sin( λx).

147 5. Równania różniczkowe 5.2 Zagadnienie brzegowe Przyk lad cd. Funkcja y ma sie ι zerować w x = a: sin( λa) = 0. Mamy λn a = nπ, n Z, a zatem λ n = n2 π 2 a 2, n Z Ujemne wartości n pomijamy, bo nie wnosza ι nic nowego ani do widma ani do zbioru funkcji w lasnych. Wartości n = 0 również nie uwgle ι dniamy, bo daje ona rozwia ι zanie trywialne (funkcja y 0 jest tożsamościowo równa zeru). Rozwia ι zanie λ n = n2 π 2 a 2, y n(x) = C n sin ( nπx ), n = 1,2,3,... a

148 5. Równania różniczkowe 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne X n (x)y (n) niej (x)+x n 1(x)y (n 1) niej (x)+...+x 1 (x)y niej(x)+x 0 (x)y niej (x) = g(x) zawiera sk ladnik niezależny od szukanej funkcji y niej. Odpowiadaja ι ce temu równaniu równanie jednorodne X n (x)y (n) (x)+x n 1 (x)y (n 1) (x)+...+x 1 (x)y (x)+x 0 (x)y(x) = 0.

149 5. Równania różniczkowe 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne Rozwia ι zanie ogólne równania jednorodnego rze ι du n zawiera n sk ladników y(x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x), przy czym C 1, C 2,..., C n to sta le, a funkcje y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) to rozwia ι zania szczególne niezależne od siebie (liniowowo niezależne). Na przyk lad rozwia ι zaniem ogólnym równania y (x)+y(x) = 0 jest funkcja y(x) = C 1 sinx +C 2 cosx.

150 5. Równania różniczkowe 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Rozwia ι zanie ogólne równania niejednorodnego Suma rozwia ι zania ogólnego równania jednorodnego i dowolnego rozwia ι zania równania niejednorodnego ỹ(x): y niej (x) = ỹ(x)+c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x). Musimy znaleźć jakieś rozwia ι zanie szczególne równania niejednorodnego.

151 5. Równania różniczkowe 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Metoda uzmiennienia sta lych ỹ(x) = C 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), funkcje ι zapisujemy tak jak rozwia ι zanie ogólne równania jednorodnego, ale C 1, C 2,..., C n traktujemy jako funkcje x. Twierdzenie: Jeśli funkcje C 1 (x), C 2 (x),..., C n (x) spe lniaja ι C 1 (x)y 1(x)+C 2 (x)y 2(x)+...+C n(x)y n (x) = 0 C 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n(x)y n(x) = 0 C 1 (x)y(n 1) 1 (x)+c 2 (x)y(n 1) 2 (x)+...+c n(x)y n n 1 (x) = g(x), to ỹ(x) jest rozwia ι zaniem szczególnym równania niejednorodnego.

152 5. Równania różniczkowe 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Metoda uzmiennienia sta lych, przyk lad Znaleźć ogólne rozwia ι zanie równania Równanie jednorodne i jego rozwia ι zanie ogólne y (x)+y(x) = 1. y jedn (x)+y jedn(x) = 0 y jedn (x) = C 1 sinx +C 2 cosx. Ogólne rozwia ι zanie równania niejednorodnego be ι dzie mia lo wie ι c postać y(x) = ỹ(x)+c 1 sinx +C 2 cosx

153 5. Równania różniczkowe 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Przyk lad cd. Funkcji ỹ(x) szukamy w postaci ỹ(x) = C 1 (x)sinx +C 2 (x)cosx. Funkcje C 1 (x) i C 2 (x) spe lniaja ι uk lad C 1 (x)sinx +C 2 (x)cosx = 0 C 1 (x)cosx C 2 (x)sinx = 1. Metoda wyznaczników W = sinx cosx cosx sinx = sin2 x cos 2 x = 1,

154 5. Równania różniczkowe 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Przyk lad cd. Metoda wyznaczników cd. W 1 = 0 cosx 1 sinx = cosx, Mamy wie ι c W 2 = sinx 0 cosx 1 = sinx. C 1(x) = W 1 W = cosx, C 2(x) = W 2 W = sinx. Ca lkuja ι c powyższe rozwia ι zania otrzymujemy C 1 (x) = sinx, C 2 (x) = cosx

155 5. Równania różniczkowe 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Przyk lad cd. Dostajemy ỹ(x) = sin 2 x +cos 2 x = 1, czyli szukane rozwia ι zanie to y(x) = 1+C 1 sinx +C 2 cosx. W celu sprawdzenia, można je podstawić do wyjściowego równania y (x)+y(x) = 1.

156 5. Równania różniczkowe 5.4 Funkcje Bessela (przyk lad funkcji specjalnych) Równanie Bessela x 2 y +xy + ( x 2 ν 2) y = 0 rozwia ι zania nazywa sie ι ogólnie funkcjami walcowymi lub cylindrycznymi, ν to wskaźnik lub rza ι d funkcji walcowej. funkcja Bessela I rodzaju J ν (x) = s=0 ( 1) s ( x ) ν+2s, s!γ(ν +s +1) 2 Rozwia ι zanie ogólne równania Bessela w przypadku gdy ν nie jest liczba ι naturalna ι : y(x) = C 1 J ν (x)+c 2 J ν (x),

157 5. Równania różniczkowe 5.4 Funkcje Bessela (przyk lad funkcji specjalnych) Równanie Bessela Funkcja Bessela II rodzaju (inaczej: funkcja Neumanna) cos(νπ)j ν (x) J ν (x) dla ν n sin(νπ) Y ν (x) = cos(νπ)j ν (x) J ν (x) lim dla ν = n, ν n sin(νπ) n należy do zbioru liczb naturalnych. Przy tak zdefiniowanej funkcji Bessela II rodzaju rozwia ι zanie ogólne równania Bessela, niezależnie od wartości ν, ma postać y(x) = C 1 J ν (x)+c 2 Y ν (x).

158 5. Równania różniczkowe 5.4 Funkcje Bessela (przyk lad funkcji specjalnych) Funkcje Bessela I rodzaju funkcje Bessela I rodzaju pozostaja ι ograniczone w pobliżu x = 0

159 5. Równania różniczkowe 5.4 Funkcje Bessela (przyk lad funkcji specjalnych) Funkcje Bessela II rodzaju funkcje Bessela II rodzaju da ι ża ι do przy x 0

160 5. Równania różniczkowe 5.4 Funkcje Bessela (przyk lad funkcji specjalnych) Funkcje Bessela ν ca lkowite i po lówkowe funkcje Hankela I i II rodzaju zastosowanie w opisie bardzo wielu zagadnień, np. wahad lo o zmiennej d lugości, membrana ko lowa, falowód cylindryczny, przep lyw ciep la w walcu itd.

161 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Równania różniczkowe cza ι stkowe Równania zawieraja ι pochodne cza ι stkowe, szukane sa ι funkcje dwóch lub wie ι cej zmiennych. Przyk ladowe równanie różniczkowe cza ι stkowe: 2 f(x,y) x 2 +xy 2 f(x,y) x y = y. Z punktu widzenia zastosowań najważniejsze sa ι równania drugiego rze ι du (wśród nich równanie falowe, równanie dyfuzji, równanie teorii potencja lu).

162 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Równanie falowe 2 u( r,t) t 2 a 2 u( r,t) = Q( r,t) funkcja u( r,t) opisuje po lożenie poruszaja ι cego sie ι cia la, wielkość a to parametr opisuja ι cy w lasności ośrodka (przy za lożeniu, że ośrodek jest jednorodny), a funkcja Q( r, t) reprezentuje si ly dzia laja ι ce na cia lo

163 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Równanie dyfuzji u( r,t) a 2 u( r,t) = Q( r,t) t funkcja u( r,t) opisuje np. temperature ι ośrodka albo ste ι żenie jakiejś substancji, wielkość a to parametr opisuja ι cy odpowiednie w lasności ośrodka (jednorodnego), a funkcja Q( r, t) reprezentuje np. źród la ciep la (albo odbiorniki ciep la), lub, odpowiednio, źród lo jakiejś substancji;

164 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Równanie teorii potencja lu u( r) = 4πρ( r) funkcja u( r) opisuje potencja l elektrostatyczny, a funkcja ρ( r) reprezentuje ge ι stość ladunków elektrycznych.

165 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Operator Laplace a w uk ladzie wspó lrze ι dnych kartezjańskich r = [x,y,z], z f = 2 f x f y f z 2 r x y

166 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Operator Laplace a w uk l. wsp. sferycznych (kulistych) x = r sinθcosϕ, y = r sinθsinϕ, z = r cosθ, θ ka ι t azymutalny, ϕ ka ι t biegunowy, f = 1 ( r 2 r 2 f ) + 1 ( r r r 2 sinθ f ) + sinθ θ θ z 1 r 2 sin 2 θ 2 f ϕ 2 θ r r x ϕ y

167 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Operator Laplace a w uk l. wsp. walcowych (cylindrycznych) x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = z, f = 2 f r r z f r + 1 r 2 2 f ϕ f z 2. r r x ϕ r y

168 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Niektóre metody rozwia ι zywania zagadnień z r. r. cz. analityczne metoda separacji zmienych metody transformacji ca lkowych metoda funkcji Greena numeryczne metoda różnic skończonych metoda elementów skończonych metoda elementów brzegowych

169 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad zagadnienia Pocza ι tkowy rozk lad temperatury w cienkim pre ι cie o d lugości L i z izolowana ι powierzchnia ι boczna ι opisuje funkcja f(x). Wyznaczymy temperature ι w dowolnym punkcie pre ι ta i w dowolnej chwili t > 0, jeśli od chwili t = 0 końce tego pre ι ta sa ι utrzymywane w temperaturze równej zero. Musimy rozwia ι zać równanie dyfuzji, ale w naszym zagadnieniu nie ma źróde l ciep la, wie ι c pomijamy sk ladnik Q. Ponadto, ponieważ pre ι t jest cienki, a do tego jego powierzchnia boczna jest izolowana, temperatura w pre ι cie zależeć be ι dzie tylko od odleg lości od pocza ι tku pre ι ta.

170 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. T(x,t) t = a 2 2 T(x,t) x 2, x [0,L], t > 0, T(x,0) = f(x), T(0,t) = 0, T(L,t) = 0. Równanie różniczkowe pierwszego rze ι du ze wzgle ι du na zmienna ι t i drugiego rze ι du ze wzgle ι du na x warunek pocza ι tkowy (konkretny czas, dowolne po lożenie) warunki brzegowe (konkretne po lożenia, dowolny czas)

171 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Metoda rozdzielenia zmiennych (metoda separacji zmiennych, metoda Fouriera): T(x,t) = X(x)Y(t) Podstawiamy do równania i dzielimy wynik przez iloczyn a 2 XY: 1 a 2 Y (t) Y(t) = X (x) X(x). każda ze stron być równa jakiejś liczbie, zwanej parametrem separacji, która ι dla wygody oznaczymy jako µ 2. 1 a 2 Y (t) Y(t) = µ2, X (x) X(x) = µ2.

172 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Równanie,,czasowe Y (t) = a 2 µ 2 Y(t) rozwia ι zanie ogólne Y(t) = Ae a2 µ 2t. Równanie,,po lożeniowe X (x) = µ 2 X(x) rozwia ι zanie ogólne X(x) = Bsin(µx)+C cos(µx),

173 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Czynnik,,po lożeniowy X(x) = Bsin(µx)+C cos(µx), ale ponieważ temperatura ma sie ι zerować w x = 0, a sta ι d X(x) = Bsin(µx), i ma sie ι też zerować w x = L, a sta ι d sin(µl) = 0, µl = nπ, µ n = nπ L n może być dowolna ι liczba ι ca lkowita ι.

174 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Nieskończenie wiele wartości µ n, uwzgle ι dniamy wszystkie Y n (t) = A n e a2 n 2 π 2 t/l 2, X n (x) = B n sin(nπx/l), a szukana temperatura wyraża sie ι w postaci T(x,t) = n X n (x)y n (t) = n D n e a2 n 2 π 2 t/l 2 sin(nπx/l). W rozwia ι zaniu wystarczy (w tym przypadku) uwzgle ι dnić tylko sk ladniki z n dodatnim: T(x,t) = n=1 D nsin nπx L e a2 n 2 π 2 t/l 2

175 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Warunek pocza ι tkowy zatem n=1 T(x,0) = f(x), D nsin nπx L = f(x). Równanie to mnożymy przez sin mπx L i ca lkujemy wzgle ι dem x w granicach od 0 do L: n=1 D n L 0 sin nπx L sin mπx L dx = L 0 f(x)sin mπx L dx.

176 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Wykorzystuja ι c w lasności funkcji trygonometrycznych można pokazać, że L 0 sin nπx L sin mπx L dx = L 2 δ nm, gdzie δ nm to delta Kroneckera { 1 gdy n = m δ nm = 0 gdy n m. Dostajemy L 2 D m = L 0 f(x)sin mπx L dx.

177 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Przyjmijmy, że pocza ι tkowy rozk lad temperatury jest sta ly: f(x) = T 0. Niezerowe sa ι tylko wspó lczynniki z indeksami nieparzystymi: D 2k = 0, D 2k+1 = 4T 0 (2k +1)π, k N. Ostatecznie, wynik ma postać T(x,t) = 4T 0 π k=0 1 2k +1 (2k +1)πx sin e a2 (2k+1) 2 π 2 t/l 2. L

178 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. metoda różnic skończonych T(x,t) t = a 2 2 T(x,t) x 2, x [0,L], t > 0, T(x,0) = f(x), T(0,t) = 0, T(L,t) = 0. Przyjmijmy, że dziedzina ι zagadnienia jest prostoka ι t zdefiniowany przez nierówności 0 x L, 0 t τ.

179 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Przedzia l,,po lożeniowy [0, L] podzielono na N przedzia lów [x i,x i+1 ], i = 0,1,2,...,N 1, przy czym x 0 = 0 a x N = L, a szerokość każdego przedzia lu wynosi x = L/N. Analogicznie, przedzia l,,czasowy [0,τ] podzielono na M przedzia lów [t j,t j+1 ], j = 0,1,2,...,M 1, przy czym t 0 = 0 a t M = τ, a szerokość każdego przedzia lu wynosi t = τ/m. Oczywiste jest, że w naszym przypadku x i = i x, i = 0,1,2,...,N oraz t j = j t, j = 0,1,2,...,M. Przetnijmy nasz prostoka ι t prostymi x = x i i t = t j. Punkty (x i,t j ), których przecinaja ι sie ι proste, nazwiemy we ι z lami, wyróżniamy we ι z ly zewne ι trzne (leża ι ce na brzegu prostoka ι ta) i wewne ι trzne.

180 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Podzia l dziedziny t tm τ tm 1 t2 t1 t0 t 0 x L x x 0 x1 x2 xn 1 xn

181 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Pierwsza pochodna funkcji jest zdefiniowana jako granica ilorazu różnicowego. Jeśli x jest ma le, s luszne jest przybliżenie f (x) f(x + x) f(x). x druga ι pochodna ι funkcji f(x) w punkcie x przybliżyć można wyrażeniem f (x) f(x + x) 2f(x)+f(x x) ( x) 2.

182 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Pierwsza ι pochodna ι T(x,t) wzgle ι dem t i jej druga ι pochodna ι wzgle ι dem x w punkcie (x i,t j ) przybliżyć można naste ι puja ι co T t T(x i,t j+1 ) T(x i,t j ), x=xi,t=t j t 2 T x 2 T(x i+1,t j ) 2T(x i,t j )+T(x i 1,t j ) x=xi,t=t j ( x) 2

183 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Definiujemy T(x i,t j ) = T i,j, skrócony zapis ilorazów różnicowych T t T i,j+1 T i,j, x=xi,t=t j t 2 T x 2 T i+1,j 2T i,j +T i 1,j x=xi,t=t j ( x) 2.

184 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. W równaniu pochodne zaste ι pujemy ilorazami różnicowymi T i,j+1 T i,j t = a 2T i+1,j 2T i,j +T i 1,j ( x) 2. Równanie różniczkowe zasta ι piono równaniem różnicowym. Dziedzine ι cia ι g la ι zasta ι piono zbiorem we ι z lów (x i,t j ) (dyskretyzacja). Inna postać równania T i,j+1 = T i,j + a2 t ( x) 2 (T i+1,j 2T i,j +T i 1,j ), i = 1,2,...,N 1, oraz j = 0,1,...,M 1.

185 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Maja ι c wszystkie wartości odpowiadaja ι ce danej chwili, możemy oszacować wartości w naste ι pnej chwili w we ι z lach wewne ι trznych. Schemat dzia lania jest prosty: z warunku pocza ι tkowego mamy wszystkie wartości T i,0, w równaniu różnicowym podstawiamy j = 0, otrzymujemy wartości T i,1, dla dla i = 1,2,...,N 1, T 0,1 i T N,1 dostajemy z warunków brzegowych, w równaniu różnicowym podstawiamy j = 1, otrzymujemy wartości T i,2, dla dla i = 1,2,...,N 1, T 0,2 i T N,2 dostajemy z warunków brzegowych, i tak dalej, aż do j = M 1

186 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad cd. Bardzo ważny aspekt metody różnic skończonych: warunek stabilności t ( x)2 2a 2. Jeśli nie jest spe lniony, możemy otrzymać zupe lnie nieoczekiwane wartości.

187 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad ilustracja rozwia ι zań Przyjmijmy, że a = 1, T 0 = 10, L = 10 i że interesuje nas rozk lad temperatury w chwili t = 1. Rozwia ι zanie analityczne T(x,t) = 4T 0 π k=0 1 2k +1 (2k +1)πx sin e a2 (2k+1) 2 π 2 t/l 2. L Niech wartość górnego indeksu sumowania jest skończona i wynosi k max. Sk ladniki z wie ι kszym k mniejszy wk lad w wynik.

188 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad ilustracja rozwia ι zań

189 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad ilustracja rozwia ι zań Metoda różnic skończonych T i,j+1 = T i,j + a2 t ( x) 2 (T i+1,j 2T i,j +T i 1,j ), Przybliżenia tym dok ladniejsze im mniejsze x i t. Niech t = 0.1( x) 2.

190 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad ilustracja rozwia ι zań

191 5. Równania różniczkowe 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Przyk lad ilustracja rozwia ι zań Porównanie wyników uzyskanych analitycznie i numerycznie

192 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych Przekszta lcenie Fouriera Dyskretna transformata Fouriera

193 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Definicje Przekszta lcenie Fouriera funkcji f(t) przyporza ι dkowanie jej funkcji F(ω): F(ω) = 1 2π e iωt f(t)dt, gdzie t,ω R (ca lka musi istnieć). Funkcja f(t) orygina l, funkcja F(ω) transformata. Symbolicznie F(ω) = F{f(t)}.

194 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Definicje cd. Przekszta lcenie odwrotne Fouriera przyporza ι dkowanie transformacie F(ω) orygina lu f(t) tak, aby spe lniony by l warunek definiuja ι cy przekszta lcenie Fouriera. Fakt, że f(t) jest wynikiem transformacji odwrotnej Fouriera funkcji F(ω) zapisujemy Zazwyczaj s luszny jest wzór F 1 {F(ω)} = f(t). f(t) = F 1 {F(ω)} = 1 2π e iωt F(ω)dω.

195 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Definicje cd. Funkcja wielu zmiennych. Transformata Fouriera funkcji f(x,t) wzgle ι dem zmiennej t: F t {f(x,t)} = F(x,ω) = 1 2π e iωt f(x,t)dt. Transformacje ι odwrotna ι przeprowadzamy naste ι puja ι co f(x,t) = Ft 1 {F(x,ω)} = 1 2π e iωt F(x,ω)dω.

196 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Definicje cd. Funkcja wielu zmiennych. W lasności (transformata pochodnej) { n } f(x,t) F t t n = (iω) n F t {f(x,t)} = (iω) n F(x,ω), F t { n f(x,t) x n } = n x n F t{f(x,t)} = n x n F(x,ω).

197 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Definicje cd. Przekszta lcenie Fouriera (i inne przekszta lcenia ca lkowe, np. Laplace a) prowadzi do zmiany dziedziny funkcji. Na przyk lad f(x,t) może być funkcja ι po lożenia i czasu, a F(x,ω) funkcja ι po lożenia i cze ι stotliwości.

198 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Przyk lad Nieskończona belka wykonuje drgania spre ι żyste. Wychylenie danego punktu od po lożenia równowagi opisuje y(x, t): 4 y(x,t) x a 4 2 y(x,t) t 2 = 0, gdzie a jest sta la ι. Znamy pocza ι tkowe wychylenie: y(x,0) = f(x) a pocza ι tkowa pre ι dkość jest w każdym punkcie zerowa: y t = 0. t=0

199 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Przyk lad cd. Zmienna x należy do ca lego zbioru liczb rzeczywistych, natomiast t jest nieujemne. Zdefiniujmy zatem transformate ι Fouriera funkcji y(x,t) wzgle ι dem x: Y(ω,t) = 1 2π e iωx y(x,t)dx. Interesuje nas transformata badanego równania { 4 } y(x,t) F x x { 2 } a 4 F y(x,t) x t 2 = 0

200 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Przyk lad cd. Otrzymujemy równanie różniczkowe tylko ze wzgle ι du na t: 2 t 2 Y(ω,t)+a4 ω 4 Y(ω,t) = 0 jego rozwia ι zanie ogólne ma postać Y(ω,t) = Acos(a 2 ω 2 t)+b sin(a 2 ω 2 t). Transformata warunków pocza ι tkowych Y(ω,0) = 1 2π f(x)e iωx dx, Y(ω,t) t = 0. t=0

201 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Przyk lad cd. Uwzgle ι dnienie drugiego warunku prowadzi do wniosku, że B = 0: Y(ω,t) = Acos(a 2 ω 2 t) Przepiszmy jeszcze raz pierwszy warunek, ale zamiast literki x użyjmy innego oznaczenia, np. ξ: Y(ω,0) = 1 2π f(ξ)e iωξ dξ. Dostajemy A = 1 2π f(ξ)e iωξ dξ.

202 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Przyk lad cd. Ostateczna postać transformaty Y(ω,t) = 1 2π cos(a 2 ω 2 t) Transfrormacja powrotna prowadzi do f(ξ)e iωξ dξ. y(x,t) = 1 2π cos(a 2 ω 2 t)f(ξ)e iω(x ξ) dξdω. Znalezienie rozwia ι zania sprowadza sie ι zatem do dwukrotnego policzenia ca lki.

203 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Definicje Mamy zbiór N rzeczywistych wartości {a 0,a 1,a 2,...,a N 1 }. Dyskretna transformata Fouriera prowadzi do zbioru N wartości zespolonych {A 0,A 1,A 2,...,A N 1 }: A k = N 1 n=0 Przekszta lcenie odwrotne a n e 2πi N kn, 0 k N 1. a n = 1 N N 1 k=0 A k e 2πi N kn, 0 k N 1.

204 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Przyk lad Mamy zbiór 100 wartości,,,zaszumione wyniki pomiaru pewnej wielkości

205 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Przyk lad cd. Modu ly liczb uzyskanych przez DFT

206 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Przyk lad cd. Modu ly liczb uzyskanych przez DFT usuwamy,,szumy

207 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Przyk lad cd. Po przekszta lceniu powrotnym,,oczyszczone wyniki

208 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Wie ι ksza liczba wymiarów Mamy M N wartości u x,y, x = 0,1,...,M 1, y = 0,1,...,N 1. Uzyskamy z nich M N wartości V m,n : V m,n = M 1 Przekszta lcenie odwrotne: N 1 x=0 y=0 u x,y e 2πi M mx e 2πi N ny. u x,y = 1 MN M 1 N 1 m=0 n=0 V m,n e 2πi M mx e 2πi N ny.

209 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Przyk lad 2 Wartości funkcji dwóch zmiennych w pewnych konkretnych punktach kwadratu

210 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Przyk lad 2 cd. Modu ly liczb uzyskanych przez DFT

211 6. Metoda przekszta lceń ca lkowych 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Przyk lad 2 cd. Modu ly liczb uzyskanych przez DFT usuwamy,,szumy