OBLICZENIA W FIZYCE I TECHNICE

Transkrypt

1 SKRYPT DO PRZEDMIOTU OBLICZENIA W FIZYCE I TECHNICE dr inż. Sebastian Bielski Katedra Fizyki Atomowej i Luminescencji Wydzia l Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gdańska Gdańsk, 212 Projekt,,Przygotowanie i realizacja kierunku inżynieria biomedyczna - studia mie ι dzywydzia lowe wspó lfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spo lecznego.

2 Spis treści Wste ι p 3 1 Wektory Poje ι cie wektora Dzia lania na wektorach Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna pierwszego rze ι du Pochodna funkcji wektorowej Pochodna rze ι du n Ekstrema funkcji Pochodna funkcji wielu zmiennych Pochodna cza ι stkowa Pochodna kierunkowa, gradient Dywergencja Rotacja Ca lka Ca lka nieoznaczona i oznaczona Ca lki niew laściwe Ca lki wielkokrotne Krótkie uzupe lnienie dotycza ι ce ca lek Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne Zagadnienie brzegowe Równania różniczkowe niejednorodne Funkcje Bessela Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Metoda przekszta lceń ca lkowych Przekszta lcenie Fouriera Dyskretna transformata Fouriera Przyk lady zadań do rozwia ι zania na ćwiczeniach 62 Literatura 69 Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 2

3 Wste ι p W powszechnym rozumieniu fizyka jest nauka ι opisuja ι ca ι otaczaja ι cy nas świat. Aby móc ściśle zapisywać prawa rza ι dza ι ce tym światem, musimy mieć precyzyjny je ι zyk, daje nam go matematyka. Celem wyk ladu zatytu lowanego,,obliczenia w fizyce i technice jest przedstawienie niektórych poje ι ć matematycznych jako narze ι dzi umożliwiaja ι cych opisywanie wielkości fizycznych i zależności przez nie spe lnianych. Inżynier pos luguja ι cy sie ι metodami matematycznymi zazwyczaj skupia sie ι na konketnych w lasnościach danej metody i na jej przydatności, w mniejszym stopniu interesuja ι c sie ι,,wysublimowanymi aspektami matematycznymi. Podobnie be ι dzie na tym wyk ladzie; zajmiemy sie ι wybranymi zagadnieniami, k lada ι c g lównie nacisk na ich interpretacje ι fizyczna ι ba ι dź na ich użyteczność w kontekście konkretnych problemów. Wymagania wste ι pne do przedmiotu,,obliczenia w fizyce i technice to obeznanie z poje ι ciami granicy i cia ι g lości funkcji. Przydatna też be ι dzie znajomość pochodnych i ca lek najprostszych funkcji. Studenci ucze ι szczaja ι cy na zaje ι cia z,,obliczeń w fizyce i technice powinni też znać podstawowe w lasności liczb zespolonych. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 3

4 1 Wektory Bieg le pos lugiwanie sie ι wielkościami wektorowymi jest niezbe ι dne do prawid lowej interpretacji wielu równań fizyki. 1.1 Poje ι cie wektora Wfizycemamydoczynieniazróżnymikategoriamiwielkości. Najprostszewopisiesa ι wielkości skalarne. Na przyk lad możemy powiedzieć, że czas jakiegoś procesu to 2 sekundy (t = 2s), że nate ι żenie jakiegoś pra ι du to pó l ampera (I =.5A), albo że masa jakiegoś cia la to 7 kilogramów (m = 7kg). W przypadku wielkości skalarnych wystarczy zatem podać ich wartość, wyrażaja ι c je w odpowiednich jednostkach. Gdy mamy do czynienia z wielkościami wektorowymi, podanie wartości to za ma lo, potrzebne sa ι dodatkowe informacje zwia ι zane z kierunkiem czy pocza ι tkiem wektora. I tak na przyk lad stwierdzenie, że cia lo porusza sie ι z pre ι dkościa ι v = 2m/s niewiele mówi o ruchu tego cia la, ponieważ nie wiemy, w która ι strone ι ten ruch sie ι odbywa. Aby w pe lni opisać wielkość wektorowa ι, musimy zatem określić kierunek i zwrot. Kierunek jest to prosta, na której dany wektor leży, a zwrot definiuje, w która ι z dwóch,,stron tej prostej wektor jest zwrócony. Matematycznie wektor definiuje sie ι jako odcinek o konkretnej d lugości maja ι cy określony kierunek. Na rysunku 1 pokazany jest wektor zaczynaja ι cy sie ι w punkcie A i kończa ι cy sie ι w punkcie B, A AB B zwrot kierunek Rysunek 1: Wektor o pocza ι tku w punkcie A i końcu w punkcie B. oznaczmy go symbolem AB. D lugość(lubinaczejmodu l)tegowektora, oznaczana AB, jestrówna d lugości odcinka AB. Prosta, na której leży odcinek AB, określa kierunek wektora AB, natomiast zwrot tego wektora definiuje grot strza lki. Kierunek i zwrot razem stanowia ι tzw. skierowanie wektora. Jeśli punkt B pokrywa sie ι z punktem A, d lugość wektora wynosi, a wektor taki nazywa sie ι wektorem zerowym. Skierowanie wektora zerowego jest nieokreślone (dowolne). W przypadku wektora AB mamy do czynienia z wektorem zaczepionym, to znaczy takim, dla którego zdefiniowany jest konkretny pocza ι tek (czyli punkt A) i koniec (punkt B). Jeśli nie interesuje nas pocza ι tek ani koniec wektora, to mówimy o wektorze swobodnym, który określa sie ι podaja ι c tylko jego d lugość, kierunek i zwrot. Chca ι c zilustrować wektor swobodny, możemy go narysować w dowolnym miejscu. Wektory swobodne oznacza sie ι najcze ι ściej przy użyciu jednej literki, np. a i ich d lugość zapisuje sie ι jako a lub po prostu a. Jeśli na przyk lad rozważamy ruch danego cia la nad powierzchnia ι ziemi (może to być ruch leca ι cego samolotu albo ruch w rzucie ukośnym itp.), to wektor pre ι dkości cia la narysujemy tak, aby zaczyna l sie ι on w punkcie opisuja ι cym po lożenie cia la (w środku cie ι żkości cia la), be ι dzie wie ι c to wektor zaczepiony. Z drugiej strony, charakteryzuja ι c pole grawitacyjne, w którym to cia lo sie ι porusza, wektor przyspieszenia ziemskiego możemy w zasadzie umieścić gdziekolwiek (wektor swobodny), ale oczywiście wektor si ly cie ι żkości powinniśmy znów powia ι zać z badanym cia lem. Spośród wyste ι cych w fizyce wielkości wektorowych warto wymienić po lożenie, pre ι dkość, przyspieszenie, si le ι, moment si ly, pe ι d, czy nate ι żenie pola elektrycznego. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 4

5 A d AB c B a b Rysunek 2: Różne wektory. Wektory sa ι równe, jeśli charakteryzuja ι sie ι ta ι sama ι d lugościa ι, kierunkiem i zwrotem. Nie maja ι tu znaczenia ich ewentualne punkty zaczepienia. Spośród wektorów pokazanych na rysunku 2 równe sa ι wektory AB, a i b. Ich kierunki saι jednakowe, ponieważ leża ι na prostych, które sa ι do siebie równoleg le. W literaturze spotkać można różne oznaczenia wektorów. Najcze ι ściej używa sie ι strza lki nad literka ι ( a), kreski nad literka ι (a) lub pogrubionej literki (a). Niestety, zdarza sie ι, że czytelnicy nieobeznani ze sposobem oznaczania wektorów b le ι dnie interpretuja ι wzory. Na przyk lad bywa, że ktoś widza ι c druga ι zasade ι dynamiki w postaci F = ma nie rozumie, że si la F i przyspieszenie a to wektory. Matematyczniewektorjestscharakteryzowanypoprzezswoja ι d lugość,czylid lugośćkonkretnego odcinka. W fizyce raczej nie mówi sie ι o d lugości wektora reprezentuja ι cego dana ι wielkość fizyczna ι. Zazwyczaj mówi sie ι o wartości wielkości fizycznej. Fizyk zatem nie powie, że d lugość wektora pre ι dkości wynosi 5 m/s a d lugość wektora momentu si ly to 1 Nm. Padnie raczej stwierdzenie, że wartość pre ι dkości to 5 m/s (albo po prostu, że pre ι dkość wynosi 5 m/s) a wartość momentu si ly to (albo moment si ly jest równy) 1 Nm. Nie jest to do końca poprawne, bo w matematyce nie ma poje ι cia,,wartość wektora, ale dla fizyków czy inżynierów jest to wygodne i zrozumia le. Nawiasem mówia ι c, jeśli us lyszelibyśmy lub przeczytalibyśmy cia ι g s lów,,d lugość wektora pre ι dkości wynosi 5 m/s, moglibyśmy być zdziwieni, bo jeżeli pojawia sie ι poje ι cie,,d lugość, to spodziewamy sie ι, że wynik zostanie podany w metrach ba ι dź innych jednostkach d lugości. Warto wiedzieć, że oprócz skalarów i wektorów sa ι jeszcze tensory, które sa ι uogólnieniami wektorów. W fizyce używa sie ι np. tensora momentu bezw ladności czy tensora polaryzowalności. Zanim przedstawimy dzia lania na wektorach, przypomnijmy w jaki sposób wektory opisuje sie ι w uk ladzie wspó lrze ι dnych kartezjańskich (w naszym przypadku be ι dzie to uk lad dwuwymiarowy). Dowolny wektor wygodnie jest przedstawić za pomoca ι jego wspó lrze ι dnych. Wspó lrze ι dne wektora odpowiadaja ι rzutom tego wektora na kolejne osie uk ladu wspó lrze ι dnych. W przypadku wektora a, pokazanego na rysunku 3, rzuty na oś, odpowiednio, x i y maja ι d lugości a x i a y, a wektor zapisuje sie ι naste ι co a = [a x,a y ]. (1.1) Oczywiście, d lugość wektora a wynosi a = a 2 x +a 2 y, (1.2) a jeśli zdefiniujemy ka ι t α jako ka ι t skierowany od osi x do wektora, poda ι żaja ι c przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to dostajemy a x = acosα oraz a y = asinα. (1.3) Jeśli mamy wektor swobodny, zawsze możemy tak go przesuna ι ć, aby jego pocza ι tek pokry l sie ι z pocza ι tkiem uk ladu wspó lrze ι dnych, jak na rysunku 3. Jeżeli z kolei mamy wektor zaczepiony AB i Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 5

6 y a y a α a x x Rysunek 3: Wektor w dwuwymiarowym uk ladzie wspó lrze ι dnych kartezjańskich. punkt A nie pokrywa sie ι z pocza ι tkiem uk ladu wspó lrze ι dnych, to wspó lrze ι dne wektora wyznaczamy na podstawie wspó lrze ι dnych punktów A i B: AB = [B x A x,b y A y ], (1.4) gdzie A x i A y oraz B x i B y to wspó lrze ι dne, odpowiednio punktu A i B (co matematycznie wyraża sie ι zapisem A(A x,a y ) i B(B x,b y )). Szczególne znaczenie maja ι wektory jednostkowe leża ι ce naposzczególnych osiach, czyli tzw. wersory. Wektor o d lugości 1 skierowany wzd luż osi x cze ι sto zapisuje sie ι jako i a analogiczny wektor leża ι cy na osi y oznacza sie ι j (oczywiście, i i j sa ι wzgle ι dem siebie prostopad le), patrz rysunek 4. Zgodnie ze wzorem (1.1) mamy zatem y 1 j i 1 x Rysunek 4: Wersory i i j. i = [1,] oraz j = [,1]. (1.5) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 6

7 1.2 Dzia lania na wektorach Przypomnimy 5 dzia lań na wektorach. 1. Mnożenie przez liczbe ι rzeczywista ι Jeżeli mamy wektor v = [v x,v y ] oraz liczbe ι rzeczywista ι c, to wektor c v zapisać można naste ι co c v = c[v x,v y ] = [cv x,cv y ]. (1.6) Mnożenie przez liczbe ι zmnienia zatem d lugość wektora, a jeśli c <, zmienia sie ι również zwrot. W szczególnym przypadku mamy 1 v = [v x,v y ] = [ v x, v y ], (1.7) zatem d lugość pozostaje bez zmian ale zmianie ulega zwrot. Oczywiście, mnożenie dowolnego wektora przez prowadzi do wektora zerowego. 2. Dodawanie wektorów Za lóżmy, że mamy 2 wektory: v = [v x,v y ] oraz u = [u x,u y ]. Suma tych wektorów jest wektorem o wspó lrze ι dnych v + u = [v x +u x,v y +u y ]. (1.8) Dodawanie wektorów jest dzia laniem przemiennym, czyli kolejność sk ladników nie wp lywa na wynik: v + u = u+ v. (1.9) Graficznie sume ι wektorów otrzymuje sie ι poprzez regu le ι rónoleg loboku. Suma jest ta ι przeka ι tna ι u v u v v + u Rysunek 5: Dodawanie wektorów. równoleg loboku, która ι uzyskuje sie ι, ustawiaja ι c pocza ι tek jednego z wektorów w końcu drugiego, jak na rysunku 5. Zauważmy, że dowolny wektor v można przedstawić jako sume ι dwóch wektorów: v 1 i v 2, czyli sk ladowej,,poziomej i,,pionowej wektora v (rysunek 6). Możemy zatem zapisać cia ι g równości v = [v 1,v 2 ] = v 1 + v 2 = [v 1,]+[,v 2 ] = v 1 [1,]+v 2 [,1] = v 1 i+v 2 j. (1.1) Dodawanie wektorów przydaje sie ι na przyk lad gdy rozważamy ruch promu na rzece albo ruch samolotu w powietrzu przy obecności wiatru. Jeśli wektor pre ι dkości wody w rzece to v a wektor pre ι dkości promu wzgle ι dem wody to u, to wypadkowa pre ι dkość promu wzg le ι dem brzegu to w laśnie suma tych wektorów. 3. Odejmowanie wektorów Odejmowanie od wektora v = [v x,v y ] wektora u = [u x,u y ] można traktować jako dodawanie do wektora v wektora przeciwnego do u, czyli u, patrz rysunek 7. Otrzymujemy wzór: v u = [v x u x,v y u y ], (1.11) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 7

8 y v 2 v v 1 x Rysunek 6: Wektor jako suma swoich sk ladowych. v u u u v v u Rysunek 7: Odejmowanie wektorów. a zatem odejmowanie wektorów nie jest przemienne. 4. Iloczyn skalarny wektorów Iloczynskalarnytotakiedzia lanienawektorach,wwynikuktóregootrzymujemyskalar,czyliliczbe ι. Iloczyn skalarny wektorów v = [v x,v y ] oraz u = [u x,u y ] oznaczamy i obliczamy naste ι co v u = v x u x +v y u y. (1.12) Zauważmy, że iloczyn skalarny wektora z samym soba ι jest równy kwadratowi d lugości tego wektora u u = u 2 x +u 2 y = u 2. (1.13) Jeżeli z kolei iloczyn skalarny dwóch wektorów niezerowych jest zerem, to wektory te sa ι do siebie prostopad le, czyli inaczej mówia ι c ortogonalne. Na rysunku 8 przedstawiono wektory v i u oraz trzeci wektor be ι da ι cy różnica ι u i v, wektory te tworza ι trójka ι t. Obliczmy kwadrat d lugości różnicy u v: u v 2 = (u x v x ) 2 +(u y v y ) 2 = u 2 x 2u x v x +v 2 x+u 2 y 2u y v y +v 2 y = u 2 + v 2 2(u x v x +u y v y ). (1.14) Mamy wie ι c: u v 2 = u 2 + v 2 2 u v. (1.15) Jeśli zatem iloczyn skalarny wektorów u i v jest zerem, to dostajemy twierdzenie Pitagorasa, czyli mamy do czynienia z trójka ι tem prostoka ι tnym, w którym prostopad le sa ι boki odpowiadaja ι ce tym wektorom. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 8

9 y u v u v x Rysunek 8: Wektory ortogonalne. Jeżeli znamy ka ι t pomie ι dzy wektorami (rysunek 9), to wartość iloczynu skalarnego możemy też obliczać na podstawie wzoru v u = v u cosθ. (1.16) Jeśli z kolei nie znamy ka ι ta θ, ale możemy obliczyć iloczyn skalarny korzystaja ι c z (1.12), to ka ι t u θ v Rysunek 9: Wektory u i v oraz ka ι t θ. ten można wyznaczyć na podstawie zależności cosθ = Poniżej wymieniono kilka w lasności iloczynu skalarnego: v u v u. (1.17) 1. przemienność v u = u v (1.18) 2. la ι czność wzgle ι dem mnożenia przez liczbe ι m( v u) = (m v) u (1.19) 3. rozdzielność wzgle ι dem dodawania ( v + u) w = v w+ u w (1.2) 4. zwia ι zek pomie ι dzy iloczynem skalarnym i d lugościa ι wektora v = v v (1.21) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 9

10 F A B Rysunek 1: Wektory si ly F i przesunie ι cia l. l 5. nierówność v u v u. (1.22) Przyk ladem wielkości fizycznej zdefiniowanej poprzez iloczyn skalarny dwóch wektorów jest praca. W najprostszym przypadku, jeśli na cia lo dzia la sta la si la F i powoduje ona przesunie ι cie cia la z punktu A do punktu B po linii prostej, a miara ι tego przesunie ι cia jest wektor l (rysunek 1), to praca W jest iloczynem skalarnym F i l (w ogólniejszym przypadku praca jest zdefiniowana za pomoca ι odpowiedniej ca lki): W = F l. (1.23) 5. Iloczyn wektorowy y z x y Zacznijmy od zdefiniowania trójwymiarowego uk ladu wspó lrze ι dnych kartezjańskich. Interesuje nas tzw. uk lad prawoskre ι tny, a to znaczy, że trzy prostopad le wzgle ι dem siebie osie musza ι mieć odpowiednio dobrane zwroty. Jeżeli mamy ustalone zwroty osi x i y, to zwrot osi z wyznaczony jest zgodnie z regu la ι śruby prawoskre ι tnej (jeśli śrube ι prawoskre ι tna ι kre ι cimy śrubokre ι tem zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to śruba jest wkre ι cana). A zatem, jeśli wkre ι camy śrube ι tak, aby kre ι ci la sie ι ona od dodatniej po lowy osi x do dodatniej po lowy osi y wzd luż mniejszego ka ι ta, to ruch śruby pokazuje zwrot osi z (analogicznie kre ι ca ι c od y do z dostajemy zwrot x, a kre ι ca ι c od z do x otrzymujemy skierowanie y), patrz rysunek 11. Można też pos lugiwać sie ι regu la ι prawej d loni: jeśli jej cztery palce (bez kciuka) sa ι wygie ι te wzd luż mniejszego ka ι ta od dodatniej po lowy osi x do dodatniej po lowy osi y, to odgie ι ty kciuk pokaże zwrot osi z. Wersory i, j i k, czyli wektory jednosz x Rysunek 11: Przyk lady uk ladów prawoskre ι tnych. tkowe skierowane wzd luż osi, odpowiednio, x, y i z, w trójwymiarowym uk ladzie wspó lrze ι dnych kartezjańskich maja ι wspó lrze ι dne: i = [1,,], j = [,1,] oraz k = [,,1]. Dowolny wektor v = [v x,v y,v z ] można wie ι c przedstawić w postaci v = v x i+v y j +v z k. (1.24) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 1

11 Sume ι lub różnice ι wektorów z przestrzeni trójwymiarowej v = [v x,v y,v z ] i u = [u x,u y,u z ] obliczyć można na podstawie v ± u = [v x ±u x,v y ±u y,v z ±u z ], (1.25) a ich iloczyn skalarny wynosi v u = v x u x +v y u y +v z u z = v u cosθ, (1.26) przy czym θ to ka ι t pomie ι dzy wektorami, tak jak na rysunku 9. D lugość wektora v z przestrzeni trójwymiarowej wynosi v = vx 2 +vy 2 +vz. 2 (1.27) Iloczyn wektorowy dwóch wektorów to dzia lanie, którego wynikiem jest wektor. Iloczyn wektorowy wektorów v = [v x,v y,v z ] i u = [u x,u y,u z ] zapisujemy i obliczamy, korzystaja ι c ze wzoru v u = v u sinθ n, (1.28) przy czym n to wektor jednostkowy prostopad ly do p laszczyzny wyznaczonej przez v i u, jego skierowanie wyznacza regu la śruby prawoskre ι tnej kre ι cimy od v do u (czyli od tego, który w dzia laniu jest zapisany jako pierwszy, do tego, który stoi po znaku ) wzd luż mniejszego ka ι ta. Z równania (1.28) wynika, że v v =, (1.29) bo ka ι t pomie ι dzy danym wektorem i tym samym wektorem wynosi. Podobnie, jeśli wektory v i u sa ι równoleg le, to ka ι t pomie ι dzy nimi wynosi lub π radianów, zatem funkcja sin daje wartość i iloczyn wektorowy też sie ι zeruje. W odniesieniu do wersorów można zapisać i i = j j = k k =, (1.3) ale z drugiej strony, ze wzgle ι du na prawoskre ι tność uk ladu wspó lrze ι dnych, mamy i j = k, j k = i, k i = j. (1.31) Iloczyn wektorowy można też obliczać jak wyznacznik odpowiedniej macierzy 3 3: i j k v u = v x v y v z u x u y u z = i v y v z u y u z j v x v z u x u z + k v x v y u x u y = (v y u z v z u y ) i+(v z u x v x u z ) j +(v x u y v y u x ) k. (1.32) Wynik iloczynu wektorowego jest wektorem prostopad lym do każdego z dwóch mnożonych wektorów. Pamie ι tamy, że jeżeli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest zerem, to wektory te sa ι prostopad le. Rozważmy iloczyn skalarny wektora v i wektora be ι da ι cego wynikiem iloczynu wektorowego v u. Na podstawie wyrażenia (1.32) mamy v ( v u) = v x (v y u z v z u y )+v y (v z u x v x u z )+v z (v x u y v y u x ) =, (1.33) czyli v oraz v u sa ι ortogonalne. Analogiczny wniosek otrzymamy, obliczaja ι c u ( v u). Przedstawmy kilka w lasności iloczynu wektorowego: 1. antyprzemienność v u = u v, (1.34) 2. la ι czność wzgle ι dem mnożenia przez liczbe ι m( v u) = (m v) u, (1.35) 3. rozdzielność wzgle ι dem dodawania ( v + u) w = v w+ u w. (1.36) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 11

12 Przyk lademwyste ι powaniailoczynuwektorowegowfizycejestsi lalorentza,jesttosi ladzia laja ι ca na ladunek elektryczny q poruszaja ι cy sie ι z pre ι dkościa ι v w polu o indukcji magnetycznej B: F = q v B (1.37) (ściśle mówia ι c, si la Lorentza uwzgle ι dnia też obecność pola elektrycznego, ale tu zak ladamy, że nate ι żenie pola elektrycznego jest zerem). Jak już wiemy, w iloczynie wektorowym ważna jest kolejność wektorów, wie ι c nie można zamieniać miejscami v i B (powoduje to zmiane ι zwrotu si ly). Si la Lorentza zawsze jest prostopad la do wektora pre ι dkości (i indukcji magnetycznej), a zatem w trakcie ruchu,,wartość pre ι dkości be ι dzie sta la (oczywiście, o ile na ladunek nie dzia laja ι żadne inne si ly), a zmieniać sie ι be ι dzie kierunek wektora pre ι dkości. Przećwiczmy ustalanie kierunków i zwrotów wektorów wyste ι cych w równaniu (1.37), patrz rysunek 12 (zak ladamy, że q >, jeśli ladunek jest ujemny, zwrot si ly jest przeciwny do tego, który wynika z regu ly śruby prawoskre ι tnej). F F =? B =? v F v =? v B v B F B Rysunek 12: Iloczyn wektorowy w definicji si ly Lorentza. Iloczyn wektorowy cze ι sto pojawia sie ι w opisie ruchu obrotowego. W ruchu poste ι powym używamy wektora pe ι du p czy wektora si ly F, natomiast w ruchu obrotowym mówimy o momencie pe ι du L: L = r p (1.38) oraz momencie si ly M = r F (1.39) ( r to wektor od osi obrotu do punktu, gdzie znajduje sie ι cia lo o pe ι dzie p, lub na które dzia la si la F). Istotne też sa ι zwia ι zki pomie ι dzy pre ι dkościa ι i pre ι dkościa ι ka ι towa ι ω: ω = r v r 2, v = ω r, (1.4) patrz rysunek 13. Inny przyk lad wielkości fizycznej zdefiniowanej poprzez iloczyn wektorowy to si la Coriolisa. Jest to si la dzia laja ι ca na cia lo poruszaja ι ce sie ι w obracaja ι cym sie ι (w ogólności nieinercjalnym) uk ladzie odniesienia. Si la Coriolisa F dzia laja ι ca na cia lo o masie m poruszaja ι ce sie ι z pre ι dkościa ι v w uk ladzie, który obraca sie ι z pre ι dkościa ι ka ι towa ι ω wynosi: F = 2m ω v. (1.41) Na rysunku 14 przedstawiono schematycznie skierowanie si ly Coriolisa odczuwanej przez cia lo, któreporuszasie ι zzachodunawschódnapó lnocnejpó lkuliziemi(wyobraźmy sobie, żeprzecinamy Ziemie ι wzd luż po ludnika przechodza ι cego przez punkt, w którym aktualnie znajduje sie ι cia lo, a naste ι pnie patrzymy na powierzchnie ι przecie ι cia). Jak widać, si la Coriolisa ma w tym przypadku sk ladowa ι skierowana ι wzd luż promienia Ziemi, oraz sk ladowa ι skierowana ι wzd luż po ludnika (czyli cia lo be ι dzie zakre ι cać w prawo). To w laśnie si la Coriolisa sprawia, że wiatry czy pra ι dy wodne nie p lyna ι na wprost, a pociski rakietowe nie trafiaja ι w cel (jeśli sie ι jej nie bierze pod uwage ι ). Si la ta wp lywa na wektor przyspieszenia, z jakim porusza sie ι spadaja ι ce swobodnie cia lo. Przedmiot rzucony z wysokiej wieży odchyli sie ι od pionu na wschód 1. 1 Efekt ten można interpretować naste ι co: Ziemia obraca sie ι wokó l osi, szybkość poruszania sie ι w ruchu Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 12

13 ω r v Rysunek 13: Pre ι dkość i pre ι dkość ka ι towa. biegun polocny ω v F α rownik Rysunek 14: Wyznaczanie si ly Coriolisa. 2 Pochodna funkcji jednej zmiennej 2.1 Pochodna pierwszego rze ι du Niech funkcja y = f(x) be ι dzie określona na pewnym otoczeniu U punktu x (to znaczy dla x (x ρ,x + ρ), ρ > ). Oznaczmy jako x przyrost zmiennej niezależnej x, dodatni lub ujemny, ale różny od zera i taki, że x + x U. Przyrostowi x odpowiada przyrost y = f(x + x) f(x ) zmiennej zależnej y. Stosunek y x = f(x + x) f(x ) x (2.1) nazywamy ilorazem różnicowym. Jeśli iloraz różnicowy ma granice ι w laściwa ι (czyli jaka ι ś,,konkretna ι liczbe ι, a nie,,plus lub,,minus nieskończoność ) gdy x, to granice ι te ι nazywamy pochodna ι funkcji f w punkcie x i oznaczamy f (x ): f (x ) = lim x f(x + x) f(x ). (2.2) x Jeżeli dla funkcji f istnieje pochodna w każdym punkcie pewnego przedzia lu, to jest ona funkcja ι. Oznaczamy ja ι f (x) lub y albo df dx i nazywamy pochodna ι funkcji f. O funkcji f mówimy w takim przypadku, że jest różniczkowalna. Warto przypomnieć, że istnienie granicy oznacza, że istnieja ι obrotowym zależy od odleg lości od tej osi; szczyt wieży (jeśli wieża nie stoi na biegunie) porusza sie ι szybciej niż jej podstawa, dlatego spadaja ι cy przedmiot wyprzedzi podstawe ι. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 13

14 granice jednostronne i że sa ι sobie równe. Dla przyk ladu rozważmy funkcje ι { x dla x f(x) = x = x dla x <, (2.3) pokazana ι narysunku15. Jesttofunkcjacia ι g la(jejwykresmożnanarysowaćbezodrywaniao lówka y f(x)= x x Rysunek 15: Wykres funkcji f(x) = x. od kartki), ale z punktu widzenia pochodnej problematycznym punktem jest x =. Obliczaja ι c granice ι prawostronna ι ilorazu różnicowego w x =, mamy f(x + x) f(x ) (+ x) lim = lim = 1, (2.4) x + x x + x natomiast w przypadku granicy lewostronnej mamy f(x + x) f(x ) (+ x)+ lim = lim = 1. (2.5) x x x x Granice jednostronne ilorazu różnicowego istnieja ι i sa ι w laściwe (nie sa ι nieskończone), ale ponieważ sa ι one różne, to granica w punkcie x = nie istnieje, funkcja f(x) = x nie ma zatem w tym punkcie pochodnej, można jedynie mówić o pochodnej prawostronnej f (x + ) i pochodnej lewostronnej f (x ). Oczywiście, dla pozosta lych punktów pochodna istnieje i wynosi f (x) = 1 dlax > if (x) = 1dlax <. Jakwidać, tożewdanympunkciefunkcjajestcia ι g la, nieoznacza, że istnieje w tym punkcie pochodna funkcji. Podobnie może być dla innych funkcji w punktach, w którychichwykresyniesa ι g ladkie, amaja ι,,kanty. Zdrugiejstrony,możnaudowodnićtwierdzenie, mówia ι ce, że jeżeli funkcja ma pochodna ι w punkcie x, to jest w tym punkcie cia ι g la. Zrozumienie sensu pochodnej u latwia jej interpretacja geometryczna (rysunek 16). Za lóżmy, że x i x sa ι ustalone. Na wykresie funkcji y = f(x) możemy wyróżnić punkt (x,f(x )) oraz (x + x,f(x + x)), a prosta przez nie przeprowadzona (sieczna) nachylona jest do osi x pod ka ι tem α, takim że tg α = y x = f(x + x) f(x ). (2.6) x Jeżeli x zmierza do zera, sieczna przechodzi w styczna ι, nachylona ι do osi x pod ka ι tem β: a zatem tg β = lim x f(x + x) f(x ), (2.7) x tg β = f (x ). (2.8) Wartość tg β, czyli wartość pochodnej funkcji w danym punkcie, jest równa wspó lczynnikowi kierunkowemu stycznej. Latwo zatem zrozumieć, że w przedzia lach w których funkcja jest rosna ι ca, pochodna jest dodatnia, a tam, gdzie funkcja jest maleja ι ca, pochodna jest ujemna. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 14

15 y f(x + x) styczna sieczna f(x ) β α x x + x x Rysunek 16: Interpretacja geometryczna pochodnej i ilorazu różnicowego. W fizyce sporo wielkości fizycznych definiuje sie ι poprzez pochodna ι. Na przyk lad, niech s = f(t) opisuje zależność przebywanej drogi s od czasu t (ruch może, ale nie musi, odbywać sie ι po prostej, liczy sie ι tylko przebywany dystans, a nie kierunek, tak jak na liczniku przebiegu w samochodzie). W przedziale czasu od t do t + t cia lo przebywa droge ι s = f(t + t) f(t ). Przyrost s f(t + t) f(t ) t t + t t Rysunek 17: Przyk lad zależności przebywanej drogi s od czasu t. drogi do przyrostu czasu w ruchu mie ι dzy chwila ι t a t + t, czyli stosunek s/ t ma sens pre ι dkości średniej w badanym przedziale czasu. Natomiast pochodna f (t ) to pre ι dkość chwilowa w chwili t, która ι możemy oznaczyć jako v(t ). Analogicznie, jeśli v(t) jest pre ι dkościa ι, to stosunek [v(t+ t) v(t)]/ t = v/ t jest średnim przyspieszeniem w przedziale czasu t, a a(t) = v (t) to przyspieszenie chwilowe w chwili t. Podobnie, jeśli Q(t) opisuje ilość ladunków, jaka przep lyne ι la przez przekrój przewodnika w przedziale czasowym [,t], to [Q(t+ t) Q(t)]/ t = Q/ t jest średnim nate ι żeniem pra ι du, a I(t) = Q (t) to chwilowe nate ι żenie pra ι du. Po lożenie cia la poruszaja ι cego sie ι po okre ι gu można opisać podaja ι c odpowiedni ka ι t. Wyobraźmy sobie obracaja ι ca ι sie ι tarcze ι, wybierzmy na jej brzegu punkt. Odcinek la ι cza ι cy środek okre ι gu z tym punktem w chwili t tworzy z osia ι x ka ι t α, jak na rysunku 18 (patrz też rysunek 13). Po czasie t ka ι t ulega zmianie o α, a szybkość tej zmiany wyraża pre ι dkość ka ι towa ω: α ω = lim t t. (2.9) Wzór (2.9) dotyczy wartości pre ι dkości ka ι towej, należy pamie ι tać, że jest to wielkość wektorowa. Generalniezatempierwszapochodnaodzwierciedladynamike ι, szybkośćzmianyjakiejświelkości w zależności od czasu, po lożenia, czy innej wielkości. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 15

16 y α + α α x Rysunek 18: Model obracaja ι cej sie ι tarczy. 2.2 Pochodna funkcji wektorowej Dotychczas omawialiśmy pierwsza ι pochodna ι wielkości skalarnych, teraz przejdziemy do wektorów. Wektor zmienny a nazywamy funkcja ι wektorowa ι zmiennej skalarnej t, jeżeli każdej wartości t odpowiada określony wektor a(t). Można zapisać a w trójwymiarowym uk ladzie wspó lrze ι dnych kartezjańskich mamy a = f(t), (2.1) a = a x i+a y j +a z k, (2.11) przy czym każda ze wspó lrze ι dnych a x, a y i a z jest funkcja ι t. Dobrym przyk ladem funkcji wektorowej jest wektor r(t) opisuja ι cy zależne od czasu po lożenie poruszaja ι cego sie ι punktu wgle ι dem punktu. Krzywa zakreślana przez koniec wektora r(t) (lub r 1 r 2 r 3 Rysunek 19: Hodograf wektora po lożenia r, wektory r 1 (t), r 2 (t) i r 3 (t) ilustruja ι wektor po lożenia w trzech różnych chwilach t 1, t 2 i t 3. innego wektora zależa ι cego od czasu) nazywa sie ι hodografem, rysunek 19. Wektor po lożenia przedstawiamy jako r = x i+y j +z k, (albo inaczej r = [x,y,z]), a wyznaczana ι przez ten wektor krzywa ι (czyli tor ruchu) opisać można równaniami x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2.12) Pochodna ι funkcji wektorowej (2.1) jest funkcja wektorowa zdefiniowana naste ι co: d a dt = lim t f(t+ t) f(t). (2.13) t Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 16

17 v r r r+ r Rysunek 2: Wektor pre ι dkości v jako pochodna wektora po lożenia r. Jeśli zatem wektor wodza ι cy r określa ruch (po lożenie danego punktu) w różnych chwilach t, to wektor v zdefiniowany jako pochodna v = d r dt = lim r t t (2.14) jest wektorem pre ι dkości w tym ruchu. We wzorze (2.14) wektor r odpowiada różnicy r(t+ t) r(t), czyli wyraża zmiane ι po lożenia w przedziale czasu [t,t+ t], patrz rysunek 2. W ruchu prostoliniowym oczywiste jest, że kierunek wektora pre ι dkości jest sta ly i pokrywa sie ι z torem ruchu. Analiza ruchu po okre ι gu prowadzi do wniosku, że pre ι dkość jest styczna do hodografu. Zauważmy (rysunek 21), że im t jest mniejsze, tym wektor r leży,,bliżej luku r r r r r+ r r+ r Rysunek 21: Zmiana po lożenia w ruchu prostoliniowym i po okre ι gu. wyznaczonego przez końce wektorów r i r + r. Jeśli t jest,,bardzo ma le, r praktycznie pokrywa sie ι lukiem. Wektor pre ι dkości zdefiniowany wzorem (2.14) jest wie ι c styczny do hodografu i dotyczy to każdego hodografu, a nie tylko w przypadku ruchu prostoliniowego czy po okre ι gu. W kontekście ruchu po okre ι gu warto podkreślić, że wektor pre ι dkości danego punktu jest prostopad ly do promienia wodza ι cego r wskazuja ι cego ten punkt, a zatem r d r dt =. (2.15) Naturalnie, kolejnym przyk ladem wielkości wektorowej zdefiniowanej jako pochodna jest przyspieszenie a. Na rysunku 22 widzimy tor ruchu oraz wektory pre ι dkości (oczywiście styczne do toru) w dwóch różnych chwilach. Zmiana pre ι dkości cia la jest wynikiem dzia lania zewne ι trznej si ly, a zgodnie z druga ι zasada ι dynamiki Newtona z si la ι powia ι zane jest przyspieszenie, określaja ι ce szybkość zmian pre ι dkości: a = d v dt = lim v t t. (2.16) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 17

18 v v v+ v Rysunek 22: Zmiana wektora pre ι dkości w trakcie ruchu. Jeżeli mamy funkcje ι wektorowa ι r(t) = [x(t),y(t),z(t)], to jej pochodna ι obliczamy, licza ι c pochodne jej sk ladowych [ d r(t) dx(t) =, dy(t), dz(t) ]. (2.17) dt dt dt dt Przyk lad Rozpatrzmy rzut poziomy z wysokości H z pre ι dkościa ι v. Wektor po lożenia cia la wykonuja ι cego y H x Rysunek 23: Rzut poziomy. ten ruch ma postać r(t) = [v t,h gt 2 /2], a zatem wektory pre ι dkości i przyspieszenia sa ι naste ι ce v(t) = d r(t) dt 2.3 Pochodna rze ι du n 2 = [v, gt], a(t) = d v(t) dt = [, g]. Pochodna ι rze ι du n 2 (w skrócie: n-ta ι pochodna ι ) funkcji f(x) nazywamy pochodna ι pochodnej rze ι du n 1: d n f(x) dx n = d d n 1 f(x) dx dx n 1. (2.18) Jeśli wie ι c mamy funkcje ι f(x) = x 4, to jej kolejne pochodne maja ι postacie f (x) = 4x 3, f (x) = 12x 2, f (3) (x) = 24x, f (4) (x) = 24 i f (n) (x) = dla n 5 (zwróćcie uwage ι na zapis rze ι du pochodnej). Jeżeli cia lo wykonuje ruch prostoliniowy, a s(t) opisuje zależność przebytej drogi od czasu, to przyspieszenie a(t), które jest zdefiniowane jako pierwsza pochodna pre ι dkości v(t), można przedstawić bezpośrednio jako druga ι pochodna ι drogi: a(t) = d2 s(t) dt 2. (2.19) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 18

19 Bardzo ważnym twierdzeniem, w którym wykorzystuje sie ι pochodne wyższych rze ι dów, jest twierdzenie Taylora. Mówi ono, że jeśli funkcja f(x) jest n-krotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x (czyli w pewnym przedziale (x δ,x +δ)), to dla każdego x należa ι cego do tego otoczenia istnieje taki punkt c, po lożony mie ι dzy x i x, że f(x) = f(x )+f (x )(x x )+ f (x ) 2! gdzie (x x ) f(n 1) (x ) (n 1)! (x x ) n 1 +R n, (2.2) R n = f(n) (c) (x x ) n (2.21) n! to tzw. reszta w postaci Lagrange a. Wzór Taylora (2.2) można zastosować do przybliżonego obliczania wartości funkcji. Przyk lad Rozważmy funkcje ι f(x) = x. Jej kolejne pochodne to: f (x) = 1 2 x 1/2, f (x) = 1 4 x 3/2, f (3) (x) = 3 8 x 5/2 itd. Za lóżmy, że interesuje nas wartość f(4.1) czyli 4.1. Ponieważ 4 = 2, jako x weźmiemy 4. Wybieraja ι c n = 1, mamy = = 2+ c 2.1. (2.22) c Ponieważ c jest pomie ι dzy 4 i 4.1, wartość c to oko lo 2, czyli ca ly czynnik 1 2 c setnych. Zwie ι kszaja ι c dok ladność i biora ι c n = 2, dostajemy.1 wynosi kilka 4.1 = c c.12 = c c.12 (2.23) i w tym przypadku reszta jest mniejsza od.1. Ida ι c dalej i uwzgle ι dniaja ι c n = 3, uzyskujemy 4.1 = c 2 c.13 = c 2 c.13, (2.24) a reszta jest już mniejsza od.1. Można wie ι c przyja ι ć, że z dok ladnościa ι do 4 5 miejsc po przecinku Tymczasem wynik uzyskany przy pomocy kalkulatora z dok ladnościa ι do 9 miejsc po przecinku jest naste ι cy Ekstrema funkcji Funkcja f określona na pewnym otoczeniu punktu x ma w tym punkcie maksimum (albo, odpowiednio, minimum) lokalne, jeśli istnieje taka liczba δ >, że f(x ) > f(x) (odpowiednio, f(x ) < f(x)) dla każdego x spe lniaja ι cego warunek < x x < δ. Krótko mówia ι c, jeśli mamy jakiś przedzia l o środku w punkcie x i dla wszystkich x z tego przedzia lu (ale różnych od x ) wartość funkcji jest mniejsza (wie ι ksza) od wartości w x to w x funkcja ma maksimum (minimum) lokalne, czyli ogólnie ekstremum lokalne (rysunek 24). Warto podkreślić, że ekstremum jest poje ι ciem lokalnym. To, że funkcja ma w jakimś punkcie minimum nie oznacza, że w innych przedzia lach nie może przyja ι ć jeszcze mniejszych wartości. Co wie ι cej, niektóre minima moga ι być wie ι ksze od niektórych maksimów (widać to na rysunku 24). Warunkiem koniecznym na to, aby funkcja określona na pewnym otoczeniu punktu x mia la w tym punkcie ekstremum, jest by f (x ) = lub by pochodna f (x ) nie istnia la (uwaga: nie znaczy to, że zerowanie pochodnej oznacza istnienie ekstremum np. funkcja f(x) = x 3 ma pochodna ι f (x) = 3x 2, która zeruje sie ι w x =, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum!). Funkcja zatem nie musi być w danym punkcie różniczkowalna, aby mog la mieć w nim ekstremum (rysunek 25). W punktach a i d wykres funkcji ma,,kanty, pochodna tam nie istnieje, ale funkcja ma ekstrema (maksimum w a i minimum w d). W punktach b (minimum lokalne funkcji) i c (maksimum lokalne funkcji) pochodna istnieje i wynosi, zatem styczna do wykresu w obu tych Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 19

20 y Rysunek 24: Wykres funkcji posiadaja ι cej maksima i minima lokalne. x y a b c d x Rysunek 25: Zwia ι zek mie ι dzy ekstremum a istnieniem pochodnej. punktach jest równoleg la do osi x. Rysunek 25 jest też dobra ι ilustracja ι do twierdzenia, które wia ι że rodzaj ekstremum z zachowaniem pierwszej pochodnej. Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest cia ι g la w punkcie x i ma pochodna ι w pewnym jego otoczeniu, to 1. jeśli f (x) > dla x < x i f (x) < dla x > x, to funkcja ma w punkcie x maksimum lokalne, 2. jeśli f (x) < dla x < x i f (x) > dla x > x, to funkcja ma w punkcie x minimum lokalne, natomiast w samym punkcie x pochodna może nie istnieć, ale jeśli istnieje, to jest równa zeru. Ekstremum jest wie ι c powia ι zane ze zmiana ι monotoniczności funkcji. Kolejne twierdzenie la ι czy rodzaj ekstremum z zachowaniem drugiej pochodnej. Twierdzenie Jeśli f (x ) = i f (x ), to w punkcie x funkcja ma maksimum przy f (x ) < natomiast minimum przy f (x ) >. Rozważymy teraz przyk lad, w którym wykorzystamy powyższe twierdzenia. Przyk lad Dwa cia la wykonuja ι ruch drgaja ι cy wzd luż osi x. Po lożenie pierwszego cia la opisuje funkcja x 1 (t) = sint, a po lożenie drugiego x 2 (t) = 5 cost (oczywiście, po lożenia sa ι podawane w jednostkach Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 2

21 Rysunek 26: Wykresy funkcji: (a) - X(t) = 5 cost sint; (b) - X (t) = sint cost. d lugości a t w jednostkach czasu). Ustalmy, dla jakich t cia la sa ι najbliżej albo najdalej siebie. Zdefiniujmy sobie odleg lość pomie ι dzy cia lami jako funkcje ι X(t) = x 2 (t) x 1 (t) = 5 cost sint, jest ona zilustrowana na wykresie 26a. Stwierdzamy obecność ekstremów, ale na piewrszy rzut oka trudno jest ocenić ich po lożenia. Latwiej jest poszukiwać miejsca zerowego pochodnej funkcji niż ekstremum samej funkcji. Sprawdźmy zachowanie pierwszej pochodnej: X (t) = sint cost (wykres 26b). Miejscami zerowymi pochodnej sa ι takie t, dla których tg t = 1, a zatem sa ι to punkty t k = ( k + 1 4) π, gdzie k jest ca lkowite. Na rysunkach 26a i 26b widać, że X w swoich miejscach zerowych zmienia znak i że w tych samych punktach zmienia sie ι monotoniczność funkcji X. Na podstawie zachowania obu funkcji latwo można wywnioskować, że cia la be ι da ι najbliżej siebie w chwilach t m = ( 2m+ 1 4) π a najdalej od siebie w chwilach tn = ( 2n+ 5 4) π (m i n saι ca lkowite). To samo wynika z analizy drugiej pochodnej: X (t) = cost+sint. Dla punktów t m (na przyk lad t = π/4) druga pochodna jest dodatnia, wie ι c X ma w nich minimum. Analogicznie, dla punktów t n (na przyk lad t = 5π/4) druga pochodna jest ujemna, wie ι c X ma w nich maksimum. W podanym przyk ladzie funkcja by la na tyle prosta, że aby wydobyć informacje o jej ekstremach, można by lo sie ι obejść bez badania pochodnej. W ogólniejszych przypadkach, analiza pochodnej jest jednak bardzo przydatna (np. przy badaniu przebiegu zmienności bardziej skomplikowanych funkcji). Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 21

22 3 Pochodna funkcji wielu zmiennych 3.1 Pochodna cza ι stkowa Rozważmy funkcje ι f(x,y). Pochodna ι cza ι stkowa ι funkcji f wzgle ι dem zmiennej x oznaczamy i definiujemy naste ι ca ι granica ι (o ile ona istnieje) f x = f x = lim x f(x+ x,y) f(x,y). (3.1) x Analogicznie wprowadzamy definicje ι pochodnej cza ι stkowej wzgle ι dem zmiennej y: f y = f y = lim y f(x,y + y) f(x,y). (3.2) y Pochodna ι cza ι stkowa ι obliczamy zatem, różniczkuja ι c funkcje ι wzgle ι dem jednej zmiennej i traktuja ι c pozosta le zmienne jak sta le. Pochodna cza ι stkowa informuje o szybkości zmian funkcji wzgle ι dem danej zmiennej w sytuacji, gdy wartości innych argumentów funkcji nie zmieniaja ι sie ι. Przyk lad Przyjrzyjmy sie ι używanemu w termodynamice równaniu van der Waalsa. Równanie to wia ι że ze soba ι ciśnienie p, obje ι tość V i temperature ι (bezwzgle ι dna ι ) T, w przypadku uk ladu zawieraja ι cego 1 mol gazu ma ono postać p = RT V b a V 2, (3.3) przy czym R to uniwersalna sta la gazowa, a a i b to sta le charakteryzuja ι ce dany gaz. Ciśnienie jest zatem funkcja ι temperatury gazu i zajmowanej przez niego obje ι tości. Pochodna cza ι stkowa p/ T mówi o tym, jak szybko zmienia loby sie ι ciśnienie, gdybyśmy przy sta lej obje ι tości zmieniali temperature ι gazu p T = R V b, p V = RT (V b) 2 + 2a V 3. (3.4) Z kolei, pochodna p/ V opisuje szybkość zmiany ciśnienia przy zmianie obje ι tości ale przy sta lej temperaturze. W ogólnym przypadku pochodne cza ι stkowe f x i f y zdefiniowane wzorami (3.1) i (3.2) sa ι funkcjami zmiennych x i y. Możemy je wie ι c różniczkować, otrzymuja ι c pochodne f xx, f xy, f yx i f yy : f xx = x f yx = x ( ) f x ( ) f y = 2 f x 2, = 2 f x y, f xy = ( ) f = 2 f y x y x, (3.5) f yy = ( ) f = 2 f y y y2. (3.6) Pochodne, w których wyste ι puje różniczkowanie wzgle ι dem dwóch (lub wie ι cej) różnych zmiennych, nazywamy pochodnymi mieszanymi. Zapis f xy oznacza, że najpierw obliczamy pochodna ι funkcji f wzgle ι dem x a potem wynik różniczkujemy wzgle ι dem y. W przypadku pochodnej f yx kolejność różniczkowania jest odwrotna. W kontekście pochodnych mieszanych warto wspomnieć o twierdzeniu Schwarza (zwanym również twierdzeniem Clairaut a): Jeśli pochodne f xy i f yx istnieja ι i sa ι cia ι g le, to sa ι sobie równe. Oczywiście, twierdzenie Schwarza można sformu lować bardziej ogólnie, dla funkcji wie ι kszej ilości zmiennych i z uwzgle ι dnieniem pochodnych wyższych rze ι dów. W najcze ι ściej rozważanych przyk- ladach odpowiednie pochodne mieszane sa ι cia ι g le, a wie ι c i równe. Omówimy teraz tzw. regu le ι lańcuchowa ι dla pochodnych cza ι stkowych. Za lóżmy, że mamy funkcje ι u = f(x,y), przy czym x i y sa ι funkcjami jednej zmiennej t. Funkcja z lożona U(t) = f(x(t),y(t)) jest funkcja ι jednej zmiennej, a jej pochodna ι obliczamy wed lug wzoru du dt = u x dx dt + u y dy dt, (3.7) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 22

23 o ile u/ x i u/ y sa ι cia ι g le a x(t) i y(t) sa ι różniczkowalne. Sumujemy zatem sk ladniki mówia ι ce o tym, jak u zależy od swoich poszczególnych argumentów i jak te argumenty zależa ι od t. Przyk lad Rozważmy cia lo poruszaja ι ce sie ι w taki sposób, że opisuja ι ce po lożenie tego cia la wspó lrze ι dne x i y zależa ι od czasu naste ι co: x(t) = x sin(ωt), y(t) = vt. A zatem,,w poziomie cia lo wykonuje ruch drgaja ι cy wokó l x, a,,w pionie mamy ruch ze sta la ι pre ι dkościa ι v. Odleg lość tego cia la od pocza ι tku uk ladu wspó lrze ι dnych wynosi r = x 2 +y 2 i jest ona funkcja ι t. Aby sprawdzić, jaka jest szybkość oddalania sie ι cia la od pocza ι tku uk ladu wspó lrze ι dnych, obliczamy pochodna ι r wzgle ι dem t i korzystamy w tym celu z regu ly lańcuchowej: dr dt = r x dx dt + r y dy dt = ωx2 sin(ωt)cos(ωt)+v 2 t x 2 sin2 (ωt)+v 2 t 2. (3.8) Zwróćmy uwage ι, że obliczona szybkość ma niewiele wspólnego z pre ι dkościa ι (chwilowa ι ) v. Zgodnie z tym, co już wiemy o wektorach i o pochodnych, v(t) = [x (t),y (t)], a zatem wartość pre ι dkości wynosi v(t) = x 2 (t)+y 2 (t) = ω 2 x 2 cos(ωt)+v2. (3.9) Podobnie, w ruchu po okre ι gu, cia lo porusza sie ι z pre ι dkościa ι, której kierunek cia ι gle sie ι zmienia, ale szybkość oddalania sie ι od środka okre ι gu wynosi zero, bo odleg lość cia la od środka okre ι gu jest sta la i odpowiada promieniowi. 3.2 Pochodna kierunkowa, gradient Wiemy już, że pochodna cza ι stkowa funkcji f(x,y) pokazuje, jaka jest szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku x lub y. W ogólnym przypadku może nas interesować szybkość zmian jakiejś wielkości fizycznej w konkretnym kierunku, a nie tylko wzd luż osi x czy y. Rozważamy wielkości be ι da ι ce polami skalarnymi, czyli funkcjami, które każdemu punktowi przestrzeni przyporza ι dkowuja ι skalar, jak np. temperatura, potencja l elektrostatyczny, energia potencjalna itp. (analogicznie, funkcje ι, która każdemu punktowi przestrzeni przyporza ι dkowuje wektor, nazwiemy polem wektorowym). W przestrzeni (niech be ι dzie to przestrzeń trójwymiarowa, zatem po lożenie danegu punktu określamy podaja ι c wartości 3 wspó lrze ι dnych), w której zdefiniowane jest pole skalarne ϕ wybierzmy dwa punkty: P i P, odleg le od siebie o d lugość PP. Wielkość ϕ = ϕ(p ) ϕ(p) (3.1) wyraża zmiane ι pola skalarnego ϕ przy przejściu z punktu P do P, natomiast iloraz (różnicowy) ϕ PP = ϕ(p ) ϕ(p) PP (3.11) opisuje średnia ι pre ι dkość zmiany pola skalarnego pomie ι dzy punktami P i P. Pochodna ι kierunkowa ι pola ϕ w punkcie P i w kierunku zgodnym z zaczepiona ι w tym punkcie pó losia ι s (rysunek 27) nazywamy granice ι ilorazu różnicowego (3.11), gdy P da ι ży do P po pó losi s: ϕ s = lim P P P ϕ PP. (3.12) Wzór (3.12) możemy przespisać w postaci ϕ s = ϕ u, (3.13) P gdzie u to wektor jednostkowy zaczepiony w punkcie P i skierowany zgodnie z osia ι s, a ϕ to wektor, który nazwiemy gradientem funkcji ϕ, zdefiniowany naste ι co: [ ϕ ϕ = x, ϕ y, ϕ ] (3.14) z Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 23

24 P s P u Rysunek 27: Rysunek do definicji pochodnej kierunkowej. i który obliczamy w punkcie P (warto zapamie ι tać, że symbol nazywa sie ι,,nabla ). Sam gradient pola skalarnego wyznacza kierunek, w którym pole zmienia sie ι najszybciej oraz wielkość pochodnej kierunkowej w tym kierunku. Ogólnie, wartość pochodnej kierunkowej w danym kierunku jest wie ι c iloczynem skalarnym gradientu i wektora jednostkowego w danym kierunku. Przyk lad Dla przyk ladu, znajdźmy pochodna ι kierunkowa ι funkcji φ(x,y,z) = x 3 +2xy 2 +yz 2 w punkcie P 1 = (1,2,1) w kierunku punktu P 2 = 1,,1. Zacznijmy od wyznaczenia poszczególnych pochodnych cza ι stkowych: φ x = 3x 2 +2y 2, φ y = 4xy+z 2, φ z = 2yz. Obliczmy gradient funkcji φ w punkcie P 1 : wykorzystujemy wzór (3.14), obliczone pochodne cza ι stkowe i wspó lrze ι dne punktu P 1, otrzymuja ι c φ P1=(1,2,1) = [11,9,4]. Aby móc skorzystać ze wzoru (3.13), musimy wyznaczyć wektor jednostkowy u, skierowany wzd luż pó losi s zaczynaja ι cej sie ι w P 1 i przechodza ι cej przez P 2. Najpierw obliczmy wektor U, o pocza ι tku w P 1 i końcu P 2 : U = [ 2, 2,]. Wektor u oczywiście ma taki sam kierunek i zwrot jak U, a zatem, aby go wyznaczyć, wystarczy wektor U podzielić przez jego d lugość (czyli go,,unormować ): U u = U = [ 2, 2,] 2 = 2 [ ] 2 2 2, 2, Wstawiaja ι c znalezione wspó lrze ι dne wektora u do (3.13), mamy [ ] dφ 2 2 ds = [11,9,4] 2, 2, = 1 2. Przyk lad Jako kolejny przyk lad rozważmy coś bardziej fizycznego. Wyobraźmy sobie mape ι fizyczna ι z izobatami liniami la ι cza ι cymi punkty o tej samej g le ι bokości dna. Za lóżmy, że mamy mape ι pewnego akwenu i że określaja ι c po lożenie danego punktu na mapie podajemy wspó lrze ι dne x i y. Niech g le ι bokość h w akwenie be ι dzie naste ι ca ι funkcja ι po lożenia: h = 1 x 2 y 2. Powiedzmy, że jesteśmy w punkcie (1,1) i interesuje nas, w która ι strone ι powinniśmy sie ι przesuwać, aby g le ι bokość ros la najszybciej. Chcemy zatem poznać kierunek najszybszej zmiany wartości funkcji h, czyli jej gradient. Mamy wie ι c ogólnie h = [ 2x, 2y], a w naszym konkretnym punkcie h (1,1) = [ 2, 2]. A teraz za lóżmy, że intersuje nas, jaka jest szybkość wzrostu g le ι bokości w punkcie (1,1) w kierunku punktu (1,). Wektor la ι cza ι cy punkt pierwszy z punktem drugim ma wspó lrze ι dne u = [, 1], czyli jest to wektor jednostkowy. Wykorzystuja ι c (3.13), mamy dh ds = [ 2, 2] [, 1] = 2, a zatem w punkcie (1,1) w kierunku punktu (1,) na jednostke ι drogi przypada przyrost g le ι bokości o 2 jednostki. Oczywiście, obok tego punktu dynamika zmiany be ι dzie już inna, ale gdyby stromość. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 24

25 dna by la w rozpatrywanym kierunku sta la, to przesunie ι cie w poziomie o 1 metr oznacza loby zwie ι kszenie g le ι bokości o 2 metry. Teraz wyznaczmy jeszcze, w jakim kierunku od punktu (1,1) pochodna kierunkowa jest równa zeru. Niech wektor jednostkowy v = [v x,v y ] określa ten szukany kierunek. Zerowanie pochodnej kierunkowej oznacza, że h (1,1) v = [ 2, 2] [v x,v y ] =. Mamy wie ι c 2v x +2v y =, czyli v y = v x. Jeśli v ma być wektorem jednostkowym, to vx 2 +vy 2 = 2v 2 x = 1. Uzyskujemy dwie możliwości: v 1 = [ 2/2, 2/2], v 2 = [ 2/2, 2/2]. Kierunek obu wektorów określa styczna ι do izobaty w punkcie (1,1). W fizyce niektóre wielkości wektorowe sa ι zdefiniowane jako gradienty odpowiednich pól skalarnych. Mamy na przyk lad E = ϕ (3.15) gdzie E to nate ι żenie pola elektrycznego a ϕ to potencja l elektryczny. Inny przyk lad to zależność q = λ T (3.16) przy czym q jest ge ι stościa ι strumienia ciep la, λ to charakteryzuja ι cy dany materia l wspó lczynnik przewodzenia ciep la, a T jest temperatura ι. Ogólnie, jeśli istnieje zwia ι zek A = Φ, (3.17) to mówimy, że Φ jest potencja lym skalarnym pola wektorowego A. Warto tu też zaznaczyć, że w literaturze gradient oznacza sie ι cze ι sto skrótem,,grad (np. pisze sie ι grad ϕ zamiast ϕ). 3.3 Dywergencja Na końcu poprzedniego podrozdzia lu pojawi la sie ι wielkość wektorowa q, która ι nazwaliśmy ge ι stościa ι strumienia ciep la. Wektor ge ι stości strumienia,,czegoś opisuje, ile,,tego czegoś przep- lywa w jednostce czasu przez jednostkowa ι powierzchnie ι prostopad la ι w danym punkcie do tego wektora. Niech teraz wektor q(x,y,z) be ι dzie ge ι stościa ι strumienia energii. Jeśli mamy jaka ι ś niewielka ι q ds n Rysunek 28: Wielkość wektorowa q, niewielka powierzchnia ds i wektor normalny do tej powierzchni n. powierzchnie ι ds, przy czym wektor normalny do tej powierzchni to n (wektor normalny, czyli jednostkowy wektor prostopad ly do tej powierzchni i skierowany na zewna ι trz, patrz rysunek 28), to wielkość q nds mówi, ile energii w jednostce czasu przep lywa przez te ι konkretna ι powierzchnie ι ds. Jeżeli wektor q jest równoleg ly do ds (a zatem q jest prostopad ly do n), to przez ds nie przep lywa nic. Wielkość q jest polem wektorowym i każda jej sk ladowa może być inna ι funkcja ι po lożenia Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 25

26 z (x,y,z) y z x x y Rysunek 29: Prostopad lościan z krawe ι dziami o d lugościach x, y i z. q(x,y,z) = [q x (x,y,z),q y (x,y,z),q z (x,y,z)]. (3.18) Za lóżmy, że mamy punkt (x,y,z) i jest on wierzcho lkiem prostopad lościanu o krawe ι dziach x, y i z (rysunek 29). Prostopad lościan ma 6 ścianek, wektory jednostkowe normalne do poszczególnych ścianek to, odpowiednio, dla ścianki przedniej i tylnej: [1,,] i [ 1,,], dla ścianki prawej i lewej: [,1,] i [, 1,], a dla ścianki górnej i dolnej [,,1] i [,, 1]. Na podstawie (3.18) możemy przyja ι ć, że wartość energii wyp lywaja ι cej w jednostce czasu przez tylna ι ścianke ι prostopad lościanu to E tyl = [q x (x,y,z),q y (x,y,z),q z (x,y,z)] [ 1,,] y z = q x (x,y,z) y z, (3.19) natomiast z przedniej ściany wyp lywa E prz = [q x (x+ z,y,z),q y (x+ x,y,z),q z (x+ x,y,z)] [1,,] y z = q x (x+ x,y,z) y z. (3.2) Przypominaja ι c sobie twierdzenie Taylora (2.2), możemy zapisać (o ile x jest ma le) a w naszym przypadku Dostajemy wie ι c (w przybliżeniu) f(x+ x) f(x)+f (x) x, (3.21) q x (x+ x,y,z) q x (x,y,z)+ q x(x,y,z) x E prz = x. (3.22) ( q x (x,y,z)+ q ) x(x,y,z) x y z, (3.23) x a suma energii wyp lywaja ι cej przez ścianki tylna ι i przednia ι wynosi przy czym E tyl +E prz = q x(x,y,z) x V, (3.24) V = x y z. (3.25) to obje ι tość prostopad lościanu. Analogiczna analiza dla ścianek lewej i prawej daje wynik E lew +E pra = q y(x,y,z) y V, (3.26) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 26

27 a dla dolnej i górnej E dol +E gor = q z(x,y,z) V. (3.27) z Suma energii wyp lywaja ι cej w jednostce czasu przez wszystkie ścianki wynosi ( qx (x,y,z) E calk = + q y(x,y,z) + q ) z(x,y,z) V. (3.28) x y z Zauważmy, że powyższe wyrażenie można przepisać z użyciem operatora nabla: [ E calk = x, y, ] [q x (x,y,z),q y (x,y,z),q z (x,y,z)] V = q V. z (3.29) Wniosek jest taki, że wielkość q daje informacje ι, ile energii w jednostce czasu wyp lywa z obszaru o jednostkowej obje ι tości (gdy rozmiary obszaru da ι ża ι do zera) q = q x x + q y y + q z z. (3.3) Czynnik q to tzw. dywergencja pola wektorowego q, oznacza sie ι ja ι czasem jako div q. Przyk lad Za lóżmy, że rozk lad temperatury w jakimś obszarze opisuje funkcja T(x,y,z) = T e (x2 +y 2 +z 2), T >. (3.31) Gdy w jakimś uk ladzie temperatura jest różna w różnych miejscach, ciep lo przep lywa z miejsc o wyższej temperaturze do miejsc ch lodniejszych. Ge ι stość strumienia ciep la jest zdefiniowana jako gradient temperatury, opisuje ja ι funkcja (3.16). Obliczmy dywergencje ι q: q = λ ( T) = λ [ x, y, z ] [ T x, T y, T z ]. (3.32) Możemy to wyrażenie zapisać nieco inaczej: [ q = λ x, y, ] [ z x, y, ] T = λ T. (3.33) z Symbolem oznaczyliśmy operator Laplace a, inaczej laplasjan; jeśli mamy pole skalarne Φ, to ( ) 2 Φ = x y z 2 Φ = Φ = ( ) 2 Φ. (3.34) Interesuje nas interpretacja dywergencji w równaniu (3.33). Potrzebne nam sa ι pochodne cza ι stkowe drugiego rze ι du funkcji T(x,y,z), w przypadku pochodnej wzgle ι dem x otrzymujemy 2 x 2 T(x,y,z) = ( ) ( 2T xe (x2 +y 2 +z 2 ) = T 4x 2 2 ) e (x2 +y 2 +z 2). (3.35) x Uwzgle ι dniaja ι c powyższa ι i pozosta le pochodne w (3.33), mamy q = λt ( 4x 2 +4y 2 +4z 2 6 ) e (x2 +y 2 +z 2). (3.36) Na podstawie dywergencji ge ι stości strumienia q można wnioskować o roz lożeniu źrode l ciep la. W punkcie (,,) dywergencja jest dodatnia (przyjmujemy, że λ > ), a zatem z niewielkiej obje ι tości zawieraja ι cej ten punkt ciep lo be ι dzie wyp lywać, be ι dzie dostarczane do uk ladu, a to znaczy, że w obje ι tościtejdzia lajakieśźrod lociep la(egzoenergetycznereakcjechemiczne, reakcjeja ι drowe, ciep lo wydzielane w trakcie przep lywu pra ι du elektrycznego itp.). Z kolei w punkcie (1,1,1) wartość q jest ujemna, wie ι c w niewielkim obszarze zawieraja ι cym ten punkt dzia la jakieś ch lodzenie, ciep lo nie wyp lywa z okolicy tego punktu, tylko przeciwnie wp lywa do tej okolicy, jest zasysane, zabierane z uk ladu. Jeżeli w obszarze, w którym zdefiniowane jest pole wektorowe, dywergencja tego pola wsze ι dzie wynosi zero, to pole takie nazywamy bezźród lowym. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 27

28 3.4 Rotacja Wiemy już, że zapis A = Φ (3.37) oznacza, że funkcja Φ jest potencja lem skalarnym pola wektorowego A. Funkcja wektorowa może też mieć tzw. potencja l wektorowy. Jeśli zachodzi zwia ι zek A = u, (3.38) to funkcja u jest potencja lem wektorowym pola wektorowego A. Po prawej stronie równania (3.38) mamy operacje ι, która ι traktujemy jak iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora u i która ι nazywamy rotacja ι wektora u. Przypomnijmysobiepewnefaktyzwia ι zanezruchemobrotowym. Za lóżmy, żemamyobracaja ι ca ι sie ι przeciwnie do ruchu wskazówek zegara tarcze ι (rysunek 3). Po lożenie każdego punktu tej tarczy ω r v k i j Rysunek 3: Model tarczy obracaja ι cej sie ι przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. można scharakteryzować wektorem r = [x,y,z], a pre ι dkość wektorem v. Wektor pre ι dkości ka ι towej oznaczmy tradycyjnie jako ω. Wszystkie te wektory powia ι zane sa ι zależnościa ι v = ω r. (3.39) Za lóżmy, że uk lad wspó lrze ι dnych jest usytuowany w taki sposób, że skierowanie wektora ω jest zgodne ze skierowaniem osi z. S luszny jest zatem wzór ω = ω k, (3.4) gdzie k jest wersorem odpowiadaja ι cym osi z. Obliczmy wektor v w punkcie (x,y,z), korzystamy przy tym ze wzoru (1.32)): i j k v = ω x y z = ωy i+ωx j. (3.41) Stwierdzamy, że wektor pre ι dkości ma niezerowe sk ladowe w kierunku osi x i y. Wyznaczmy teraz rotacje ι wektora v: i j k v = x y z ωy ωx = 2ω k = 2 ω. (3.42) Generalnie zatem z ruchem obrotowym zwia ι zana jest niezerowa rotacja wektora pre ι dkości. Jeżeli rotacja danego pola wektorowego u jest wsze ι dzie równa zeru, to mówimy, że pole u jest bezwirowe. Na za lożeniu bezwirowości niektórych pól opieraja ι sie ι ważne modele stosowane w dynamice p lynów. Przyk lad Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 28

29 Spróbujmy opisać pre ι dkość cieczy w kubku z herbata ι, która ι zamieszaliśmy zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Możemy przyja ι ć, że rozważamy ruch obrotowy na p laszczyźnie, jak pokazano na rysunku 31. Z ma la ι pomoca ι trygonometrii stwierdzamy, że w punkcie (x,y) wartości y (x,y) α r α v x Rysunek 31: Ruch obrotowy. sk ladowych v x i v y wektora pre ι dkości v = [v x,v y ] wynosza ι v x = vsinα = v y r, (3.43) v y = vcosα = v x r, (3.44) gdzie r = x 2 +y 2 a znak,,- we wzorze (3.44) wynika z faktu, że pre ι dkość jest w wybranym na rysunku punkcie skierowana,,bardziej w dó l niż do góry. Oczywiste jest (wynika to też ze wzoru (3.39)), że wartość pre ι dkości jest proporcjonalna do odleg lości od osi obrotu (jak na karuzeli), a zatem v = ar, (3.45) gdzie a jest sta la ι dodatnia ι (ściśle mówia ι c, a = ω). Wzory (3.43) i (3.44) możemy zatem przepisać jak poniżej v x = vsinα = ay, (3.46) v y = vcosα = ax. (3.47) A teraz zamiast kubka wyobraźmy sobie rure ι z p lyna ι ca ι w niej woda ι. Rura niech jest skierowana wzd lużosiz awodaniechwykonujeruchobrotowytakijakwpowyższymkubkuadotegoprzesuwa sie ι jednostajnie wzd luż rury ze sta la ι sk ladowa ι pre ι dkości v z (woda nie dość, że sie ι kre ι ci, to jeszcze przesuwa sie ι zgodnie z osia ι z, czyli każda cza ι steczka wody porusza sie ι po spirali). Wektor pre ι dkości w punkcie (x,y,z) ma zatem sk ladowe v = [ay, ax,v z ]. (3.48) Sprawdzimy, czy takie pole pre ι dkości jest bezwirowe. Obliczamy rotacje ι i j k v = x y z = [,, 2a], (3.49) ay ax v z nie jest to zatem pole bezwirowe. Warto zatem zapamie ι tać, że niezerowa rotacja wektora pre ι dkości oznacza obecność ruchu obrotowego. Kierunek wektora rotacji pre ι dkości określa oś rotacji (zwrot wynika z regu ly prawej d loni), natomiast d lugość wektora rotacji pre ι dkości określa szybkość rotacji. Ale operator rotacji pojawia Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 29

30 sie ι nietylkowopisieruchu. PrzypomnijmysobieprawoApere a(jednozrównańwuk ladzierównań Maxwella), wia ι ża ι ce wektor indukcji pola magnetycznego B, wektor nate ι żenia pola elektrycznego E i wektor ge ι stości pra ι du elektrycznego j: B = µµ j +µµ εε E t. (3.5) Z powyższego wzoru wynika dobrze znany fakt, że linie pola magnetycznego wokó l prostoliniowego przewodnika z pra ι dem maja ι kszta lt wspó lśrodkowych okre ι gów. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 3

31 4 Ca lka 4.1 Ca lka nieoznaczona i oznaczona Omawianie podstawowych w lasności i zastosowań ca lek rozpoczniemy od przypomnienia i uporza ι dkowania podstawowych definicji i twierdzeń. Funkcje ι F(x) nazywamy funkcja ι pierwotna ι funkcji f(x) na przedziale X, jeśli dla każdego x należa ι cego do przedzia lu X zachodzi F (x) = f(x). (4.1) Na przyk lad, funkcja F(x) = x 2, x R jest funkcja ι pierwotna ι funkcji f(x) = 2x z x R, bo F (x) = 2x (a dziedziny sie ι pokrywaja ι ). Twierdzenie Każda funkcja cia ι g la na przedziale X ma na nim funkcje ι pierwotna ι. Twierdzenie Jeżeli F(x) jest funkcja ι pierwotna ι funkcji f(x) na przedziale X, to F(x)+C, gdzie C jest dowolna ι sta la ι, wyraża wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) na przedziale X. Wyrażenie F(x) + C nazywamy ca lka ι nieoznaczona ι funkcji f(x) na przedziale X i oznaczamy f(x)dx przy czym x nazywamy zmienna ι ca lkowania, f(x) to funkcja podca lkowa, f(x)dx to wyrażenie podca lkowe, a...dx to symbol ca lkowania. Wyznaczanie ca lek nieoznaczonych w skrócie nazywa sie ι ca lkowaniem. Można powiedzieć, że ca lkowanie jest dzia laniem odwrotnym wzgle ι dem różniczkowania. Twierdzenie o ca lkowaniu przez cze ι ści Jeśli funkcje u(x) i v(x) maja ι cia ι g le pochodne, to zachodzi u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx. (4.2) Korzystaja ι c z twierdzenia o ca lkowaniu przez cze ι ści, mamy dowolność w wyborze funkcji u(x) i v(x). Należy tego wyboru dokonać tak, aby ca lka po prawej stronie(4.2) by la możliwie naj latwiejsza. Przyk lad Rozważmy ca lke ι xsinxdx. Jeśli wybierzemy u = x i v = sinx, to mamy u = 1 i v = cosx, a zatem xsinxdx = xcosx+ cosxdx = xcosx+sinx+c. Gdybyśmy wybrali u = sinx i v = x, mielibyśmy u = cosx i v = x 2 /2, czyli dostalibyśmy xsinxdx = x2 x 2 2 sinx 2 cosxdx, co oczywiście nadal by loby prawda ι, ale nowa funkcja podca lkowa by laby bardziej skomplikowana niż wyjściowa. Twierdzenie należy stosować tak, aby sobie u latwiać, a nie utrudniać. Twierdzenie o ca lkowaniu przez podstawienie Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 31

32 Jeśli funkcja h(x) ma cia ι g la ι pochodna ι h (x) na przedziale X i przekszta lca go na przedzia l T, na którym określona jest cia ι g la funkcja g, to zachodzi g[h(x)]h (x)dx = g(t)dt, (4.3) gdzie t = h(x). Przyk lad Przeanalizujmy ca lke ι cos(x)e sinx dx. Zauważmy, że argumentem funkcji exp jest funkcja sinx, co wie ι cej sin x = cosx, a cosx to czynnik, przez który mnożona jest funkcja exp. Mamy wie ι c t = sinx, a ponadto dt = cosxdx (bo dt dx = cosx), a zatem cos(x)e sinx dx = e t dt = e t +C = e sinx +C. Maja ι c już troche ι wiedzy na temat ca lek nieoznaczonych, możemy przejść do naste ι pnego etapu ca lekoznaczonych. Powiedzmy, żemamyfunkcje ι f(x)ograniczona ι naprzedziale[a,b]. Zprzedzia lu [a,b] wyodre ι bniamy n granicza ι cych ze soba ι przedzia lów: [a,x 1 ], [x 1,x 2 ],..., [x n 1,b], jak na rysunku 32. Definiuja ι c x = a i x n = b, możemy powiedzieć, że j-ty przedzia l to [x j 1,x j ]. y f(x) a ξ 1 x 1 ξ 2 x 2 x n 1 ξ n 1 b x Rysunek 32: Podzia l przedzia lu [a, b], w którym określona jest funkcja f(x) na mniejsze przedzia ly. Szerokość j-tego przedzia lu wynosi x j = x j x j 1. Określamy n liczb ξ j, przy czym ξ j [x j 1,x j ], j = 1,2,...,n, czyli w każdym przedziale mamy wybrana ι jedna ι liczbe ι. Tworzymy tzw. sume ι Riemanna: n n S n = f(ξ j )(x j x j 1 ) = f(ξ j ) x j, (4.4) j=1 jest to suma pól prostoka ι tów określonych przez szerokości przedzia low i wartości f(ξ j ). Ca lke ι oznaczona ι funkcji f(x) wzgle ι dem x przedziale [a,b] oznaczamy b a jej definicja zwia ι zana jest z suma ι Riemanna: b a a f(x)dx = lim f(x)dx, L j=1 j=1 n f(ξ j ) x j, (4.5) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 32

33 gdzie L to szerokość najwie ι kszego przedzia lu. Wartości a i b nazywa sie ι, odpowiednio, dolna ι i górna ι granica ι ca lkowania. Granica ta ma być niezależna od sposobu podzielenia przedzia lu [a,b]. Jeżeli ta granica istnieje, to nazywamy ja ι ca lka ι Riemanna, a o funkcji f(x) mówimy, że jest ca lkowalna w sensie Riemanna. Twierdzenie Jeżeli funkcja f(x) jest cia ι g la, albo przedzia lami cia ι g la (czyli posiada skończona ι ilość punktów niecia ι g lości, w których istnieja ι obie granice jednostronne), to granica po prawej stronie (4.5) istnieje. Geometrycznie ca lka oznaczona odpowiada polu mie ι dzy wykresem funkcji a osia ι x (w przedzia- lach, w których f(x) <, przyjmujemy, że pola sa ι ujemne). Twierdzenie Jeśli funkcja f(x) jest cia ι g la na przedziale [a,b], natomiast F(x) jest jej funkcja ι pierwotna ι, to co zapisuje sie ι również b a b a f(x)dx = F(x) b a f(x)dx = F(b) F(a), (4.6) lub b a f(x)dx = [ F(x) ] b a. Wyznaczanie ca lki oznaczonej sprowadza sie ι zatem do znalezienia funkcji pierwotnej i do podstawienia w niej a i b. Twierdzenie o wartości średniej Jeżeli funkcja f(x) jest cia ι g la na przedziale domknie ι tym [a,b], to istnieje wewna ι trz tego przedzia lu taki punkt c, że b a f(x)dx = f(c)(b a). (4.7) Liczbe ι 1 b f(x)dx = f(c) (4.8) b a a nazywamy wartościa ι średnia ι ca lkowa ι funkcji f(x) na przedziale [a,b]. Wartość f(c) jest taka, y f(x) a c b x Rysunek 33: Interpretacja twierdzenia o wartości średniej. że pole prostoka ι ta o bokach b a i f(c) jest równe polu mie ι dzy wykresem funkcji a osia ι x (rysunek 33). Przyk lad Napie ι cie w sieci elektrycznej zmienia sie ι w czasie naste ι co U(t) = 325sin(1πt) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 33

34 (czas wyrażony jest w sekundach a napie ι cie w woltach). Średnia wartość napie ι cia w przedziale czasu [,t ] wynosi zatem U sr = 1 t t U(t)dt = 325 t t = 325 1πt [cos(1πt ) 1]. Jeśli t = 1, to otrzymamy U sr =. 4.2 Ca lki niew laściwe sin(1πt)dt = 325 cos(1πt) t 1πt Omówimy dwa rodzaje tzw. ca lek niew laściwych. Pierwszy rodzaj ca lek niew laściwych, to takie przypadki, w których co najmniej jedna z granic ca lkowania jest nieskończona. Ca lki te oblicza sie ι, wprowadzaja ι c w odpowiedni sposób granice. Przypadek 1: Przyk lad: Przypadek 2: Przyk lad: Przypadek 3: 1 a f(x)dx = lim c c T e x dx = lim e x dx = lim T T (e T e ) = 1. b f(x)dx = lim c a b c f(x)dx. (4.9) f(x)dx. (4.1) 1 1 ( 1 1 dx = lim dx = lim x2 T T x2 T ( 1) 1 ) = 1. T f(x)dx = lim c z c f(x)dx+ lim d d z f(x)dx, (4.11) przy czym c i d sa ι od siebie niezależne, czyli granice też od siebie nie zależa ι, a z wybieramy tak jak nam wygodnie. Przyk lad: T2 e x dx = lim e x dx+ lim e x dx = 2. T 1 T T 1 2 Warto też wspomnieć o tzw. wartości g lównej ca lki niew laściwej, odpowiadaja ι cej sytuacji, gdy granice wyste ι ce w przypadku 3 sa ι ze soba ι ściśle powia ι zane: Przyk lad Zajmijmy sie ι naste ι ca ι ca lka ι niew laściwa ι : sinxdx = lim T 1 T 1 sinxdx+ lim T 2 f(x)dx = lim A T2 Ca lka ta nie istnieje, ponieważ nie istnieja ι granice A A f(x)dx. (4.12) sinxdx = lim T 1 (1 cost 1) lim T 2 (cost 2 1). lim cost 1 oraz lim cost 2. T 1 T 2 A teraz zbadajmy wartość g lówna ι tej samej ca lki: sinxdx = lim A A A sinxdx = lim (cosa cos( A)) =. T A Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 34

35 O drugim rodzaju ca lek niew laściwych mówimy, np. gdy funkcja podca lkowa jest nieograniczona w co najmniej jednym punkcie przedzia lu [a,b]. Przypadek 1: funkcja nieograniczona w punkcie a (czyli lim x a f(x) = ± ): b a b f(x)dx = lim f(x)dx. (4.13) ε a+ε Przypadek 2: funkcja nieograniczona w punkcie b (czyli lim x b f(x) = ± ): b a f(x)dx = lim ε b ε a f(x)dx. (4.14) Przypadek 3: funkcja nieograniczona w punkcie c [a,b] (czyli lim x c f(x) = ± ): b a c ε1 b f(x)dx = lim ε 1 a f(x)dx+ lim ε 2 f(x)dx. c+ε 2 (4.15) Analogiczne wzory maja ι zastosowanie, gdy funkcja f(x) jest nieokreślona (czyli też niecia ι g la) w punktach, odpowiednio, a, b lub c. A zatem nie tylko nieograniczoność funkcji klasyfikuje dane ca lki jako ca lki niew laściwe drugiego rodzaju. Przyk lad Rozważmy ca lke ι : dx = lim dx = lim lnε = +, x ε ε x ε ca lka ta wie ι c rozbiega. A teraz zbadajmy ca lke ι 1 1 lnxdx = lim lnxdx = lim [xlnx 1 ] 1ε dx = lim [xlnx x] 1 ε ε ε ε ε ε lnε 1 = 1 lim[ε(lnε 1)] = 1 lim ε ε 1 = 1 lim ε = 1+ lim ε ε = 1. Podrodzeskorzystaliśmyztwierdzeniaoca lkowaniuprzezcze ι ści(u = lnx,v = 1),oraztwierdzenia de l Hospitala 2. Jeśli odpowiednie granice wyste ι ce we wzorach (4.9) (4.15) istnieja ι i sa ι skończone, to mówimy wówczas, że dana ca lka niew laściwa jest zbieżna (w przeciwnym razie ca lka jest rozbieżna). Analize ι zbieżności ca lek cze ι sto u latwiaja ι tzw. kryteria porównawcze, o których tutaj jednak mówić nie be ι dziemy. 2 Twierdzenie de l Hospitala: Jeżeli funkcje f i g sa ι określone w przedziale (a,b), a punkt c należy do tego przedzia lu, c (a,b), a ponadto lim f(x) =, i lim g(x) =, x c x c albo lim f(x) = ±, i lim g(x) = ±, x c x c oraz istnieja ι skończone pochodne f (a) i g (a), przy czym g (a), to f(x) lim x c g(x) = lim f (x) x c g (x). ε 1 ε 1 ε 2 Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 35

36 4.3 Ca lki wielkokrotne Uogólnimy teraz poje ι cie ca lki na przypadek funkcji dwóch zmiennych. Niech funkcja f(x,y) be ι dzie określona na pewnym zamknie ι tym obszarze S, be ι da ι cym cze ι ścia ι p laszczyzny. Ca lke ι podwójna ι funkcji f(x,y) na tym obszarze oznaczamy f(x,y)ds, S gdzie ds jest elementem powierzchni należa ι cym do S. Ca lke ι podwójna ι można zdefiniować jako granice ι cia ι gu odpowiednich sum Riemanna, analogicznie jak we wzorze (4.5), z tym że obszar ca lkowania dzieli sie ι na mniejsze podobszary, a w sumie Riemanna uwzgle ι dnia sie ι pola tych podobszarów. Geometrycznie ca lke ι podwójna ι interpretujemy jako obje ι tość obszaru pomie ι dzy wykresem funkcji f(x, y) a obszarem S. Jeśli obszar S określony jest przez nierówności a x b i ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x) (patrz rysunek 34), przy czym ϕ 1 (x) i ϕ 2 (x) sa ι funkcjami cia ι g lymi w przedziale a x b, a dla każdego x z przedzia lu otwartego (a,b) zachodzi ϕ 1 (x) < ϕ 2 (x), to obszar S nazywamy obszarem normalnym wzgle ι dem osi x, a ca lke ι podwójna ι obliczać można poprzez tzw. ca lke ι iterowana ι ( b ) ϕ2(x) f(x,y)ds = f(x,y)dy dx. (4.16) S a Obliczaja ι c te ι ca lke ι, najpierw zajmujemy sie ι ca lka ι wzgle ι dem y, traktuja ι c x jak sta la ι, a potem ca lkujemywzgle ι demx. Analogiczniezdefiniowaćmożnaobszarnormalnywzgle ι demosiy iwówczas ϕ 1(x) y y= ϕ (x) 2 y β y= ϕ (x) 1 S α x= ψ (y) 1 S x= ψ 2 (y) a b x x Rysunek 34: Obszar S jako obszar normalny wzgle ι dem osi x (po lewej) oraz wzgle ι dem osi y (po prawej). w ca lce iterowanej mamy inna ι kolejność f(x,y)ds = Przyk lad S β Weźmy ca lke ι I = α ( ) ψ2(x) f(x,y)dx dy. (4.17) S ψ 1(x) xy 2 ds, gdzie S to obszar ograniczony funkcjami y = x 2 i y = 2x (rysunek 35). Traktuja ι c obszar S jako normalny wzgle ι dem osi x, mamy a = i b = 2 (minimalna i maksymalna wartość x) oraz ϕ 1 (x) = x 2 i ϕ 2 (x) = 2x (funkcje,,dolna i,,górna la ι cza ι ce punkty najbardziej wysunie ι te na lewo i na prawo). Korzystamy ze wzoru (4.16) i mamy 2 ( 2x ) 2 ( 2x ) 2 [ ] y I = xy 2 dy dx = x y 2 3 2x dy dx = x dx x 2 x 2 3 x 2 = (8x 4 x 7 )dx = Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 36

37 Rysunek 35: Obszar ca lkowania ograniczony funkcjami y = x 2 i y = 2x. Ida ι c druga ι droga ι i traktuja ι c obszar S jako normalny wzgle ι dem osi y, dostajemy α = i β = 4 (minimalna i maksymalna wartość y) oraz ψ 1 (y) = y/2 i ψ 2 (y) = y (funkcje,,lewa i,,prawa, la ι cza ι ce punkt po lożony najniżej z punktem po lożonym najwyżej, funkcje te wyrażaja ι zależność x od y) 3. Stosujemy wzór (4.17) i dostajemy I = = ( ) y xy 2 dx dy = 4 y/2 (y 3 y4 4 4 ) dx = ( ) y y 2 xdx dy = y/2 4 [ ] x y 2 2 y dy 2 y/2 Oczywiście, wynik jest taki sam w obu przypadkach. W ogólnej sytuacji jedna z opcji może być zdecydowanie latwiejsza do zastosowania niż druga. Tytu lem tego rozdzia lu by ly ca lki wielkokrotne, ale ograniczyliśmy sie ι do ca lki podwójnej. 4.4 Krótkie uzupe lnienie dotycza ι ce ca lek Twierdzenia i w lasności ca lki oznaczonej funkcji jednej zmiennej uogólnia sie ι na przypadek ca lek wielokrotnych (np. twierdzenie o wartości średniej). Niektóre wielkości fizyczne zdefiniowane sa ι jako pochodne innych wielkości, można zatem definiować wielkości za pomoca ι ca lek. Na przyk lad, w ruchu prostoliniowym, obserwowanym od chwili t =, droge ι s i pre ι dkość v możemy w chwili t = t powia ι zać naste ι co: v(t ) = ds(t) dt zatem s(t ) = t=t t v(t)dt. Ca lki wykorzystuje sie ι do liczenia d lugości krzywych, pól powierzchni obszarów p laskich, pól powierzchni bocznych i obje ι tości bry l, wyste ι też w metodach wariacyjnych, s luża ι do obliczania konkretnych parametrów fizycznych, np. po lożenia środka masy, wartości średnich różnych wielkości itp. Ca lki wykorzystuje sie ι również do przekszta lcania różnego typu zagadnień (metody transformacji ca lkowych). Duże znaczenie maja ι funkcje zdefiniowane poprzez ca lki. Jednym z przyk ladów takich funkcji to funkcja Γ: Γ(x) = z x 1 e z dz, z >, (4.18) 3 Funkcja,,lewa postać y = 2x, a my chcemy uzależnić x od y, zatem natychmiast dostajemy x = y/2, czyli ψ 1 (y) = y/2. Analogicznie, funkcja,,prawa to y = x 2, przy czym x, sta ι d x = y, a zatem ψ 2 (y) = y. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 37

38 Rysunek 36: Wykresy funkcji: (a) - y = e x2 ; (b) - y = erf (x). która ι traktuje sie ι jako uogólnienie funkcji silnia. Inny przyk lad to tzw. funkcja b le ι du (rysunek 36), jest to ca lka z rozk ladu normalnego (Gaussa): erf (x) = 2 x e t2 dt, < x <. (4.19) π Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 38

39 5 Równania różniczkowe 5.1 Równania różniczkowe zwyczajne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rze ι du pierwszegonazywamyrównanieopostaci F(x,y,y ) =, (5.1) w równaniu tym szukana ι jest funkcja y(x). Jeśli równanie (5.1) można rozwia ι zać wzgle ι dem y, otrzymujemy równanie w postaci normalnej y = f(x,y). (5.2) Równaniem różniczkowym zwyczajnym rze ι du n nazywa sie ι równanie F(x,y,y,y,...,y (n) ) =, (5.3) a jeśli daje sie ι ono rozwia ι zać wzgle ι dem y (n), to przybiera postać normalna ι y (n) = f(x,y,y,...,y (n 1) ). (5.4) Stopniem równania różniczkowego nazywamy najwyższy stopień funkcji niewiadomej lub jej pochodnej, wyste ι cych w danym równaniu. Na przyk lad równanie y (3) +x 8 y 3 y 2 =. (5.5) jestrównaniemtrzeciegorze ι duitrzeciegostopnia. Wprzypadku,gdyfunkcjaniewiadomawyste ι puje w równaniu tylko w pierwszej pote ι dze i nie wyste ι puje w postaci iloczynów, to wówczas równanie jest liniowe. Na przyk lad równania sa ι liniowe, ale równanie y (x)+x 2 y(x) =, y (x)+p(x)y(x) = Q(x) y (x)+y (x)y(x) = zawiera iloczyn y (x)y(x), wie ι c jest drugiego stopnia i nie jest liniowe. Jeżeli równanie różniczkowe zwyczajne można zapisać w postaci d n y X n dx n +X d n 1 y n 1 dx n X dy 1 dx +X y =, (5.6) gdzie X,..., X n sa ι dowolnymi funkcjami zmiennej x, to równanie to jest jednorodne. W równaniu jednorodnym w postaci (5.6) nie ma sk ladników w których nie wyste ι powa laby funkcja y lub któraś z jej pochodnych. Równanie (5.6) jest jednorodne i liniowe, wśród równań nieliniowych też można wyróżnić jako szczególne przypadki równania jednorodne. Oczywista ι cecha ι równania jednorodnego liniowego jest to, że jeśli jakaś funkcja jest jego rozwia ι zaniem, to rozwia ι zaniem jest też iloczyn tej funkcji i dowolnej sta lej. Rozwia ι zaniem szczególnymlubca lka ι szczególna ι równaniaróżniczkowegonazywamykażda ι funkcje ι, która w rozważanym obszarze po podstawieniu do równania sprowadza je w tożsamość (czyli spe lnia to równanie). Na przyk lad w przypadku równania y (x) = y(x), x [,2π] latwo sprawdzić, że ca lkami szczególnymi sa ι funkcje y 1 (x) = sinx i y 2 (x) =.1cosx. A zatem ca lka ι szczególna ι jest po prostu jakaś funkcja spe lniaja ι ca dane równanie. Sformu lujemy teraz poje ι cie rozwia ι zania ogólnego (ca lki ogólnej). Za lóżmy, że mamy równanie różniczkowe rze ι du n: y (n) = f(x,y,y,...,y (n 1) ) (5.7) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 39

40 i punkt P(a,b 1,...,b n ). Rozwia ι zaniem ogólnym (ca lka ι ogólna ι ) równania (5.7) nazwiemy funkcje ι g(x), zawieraja ι ca ι n dowolnych sta lych niezależnych od siebie i takich, że jeśli obierzemy dowolny punkt P, to można tym sta lym nadać jednoznacznie określone wartości liczbowe, przy których rozwia ι zanie be ι dzie spe lnia lo n warunków pocza ι tkowych: g(a) = b 1, g (a) = b 2,..., g (n 1) (a) = b n. (5.8) Punkt P to pewna wybrana wartość x, wartość szukanej funkcji w x i wartości kolejnych pochodnych tej funkcji, do rze ι du n 1 w la ι cznie, w x. Rozwia ι zanie ogólne ma tyle niezależnych od siebie sk ladników, ile wynosi rza ι d równania różniczkowego. Rozwia ι zanie ogólne zawiera wszystkie możliwe rozwia ι zania szczególne. Równanie różniczkowe wraz z narzuconymi na nie warunkami pocza ι tkowymi tworzy zagadnienie pocza ι tkowe. Przyk lad Dla równania rozwia ι zanie ogólne ma postać y (x) = y(x) g(x) = Asinx+Bcosx, przy czym A i B to dowolne sta le 4. Jeżeli równanie uzupe lnimy o warunki pocza ι tkowe y() = 1, y () = 5 (czyli mamy punkt P(,1, 5)), to jedyna ι funkcja ι g(x) spe lniaja ι ca ι te warunki be ι dzie funkcja z A = 5 i B = 1: g(x) = 5sinx+1cosx. Rozwia ι zanemu przez nas zagadnieniu pocza ι tkowemu latwo można nadać sens fizyczny: równanie opisuje zależność po lożenia od czasu (y jest po lożeniem a x czasem) cia la o jednostkowej masie zawieszonego na spre ι żynie o jednostkowym wspó lczynniku spre ι żystości, y() = 1 oznacza, że pocza ι tkowe po lożenie wynosi lo 1 [jednostek d lugości], a y () = 5 oznacza, że pocza ι tkowa pre ι dkośćwynosi la5[odpowiednichjednostekpre ι dkości]iby laskierowanaprzeciwnieniżpocza ι tkowe wychylenie. Przyk lad Mamy przedmiot, którego temperatura w chwili t = wynosi la T i który stygnie równomiernie (temperatura w ca lej jego obje ι tości jest taka sama). Znaleźć funkcje ι opisuja ι ca ι zależność temperatury przedmiotu od czasu, jeśli temperatura otoczenia jest sta la i wynosi T 1. Niech y(t) oznacza różnice ι temperatur przedmiotu i otoczenia. W krótkim przedziale czasu dt temperatura różnica zmienia sie ι o dy. Oczywiście, im różnica jest wie ι ksza, tym szybciej cia lo stygnie. Szybkość stygnie ι cia be ι dzie też zależeć od parametrów cia la. Zapostulujmy zwia ι zek dy = Aydt. Mówi on, że zmiana różnicy temperatur w czasie dt jest proporcjonalna do dt i do samej różnicy y, zależy też od parametrów wymiany ciep la (pomie ι dzy cia lem i otoczeniem) opisanych sta la ι A. Znak,,- wynika z faktu, że z czasem różnica temperatur maleje, czyli przyrost y jest ujemny. Równanie to możemy przepisać w postaci dy dt = Ay lub też y = Ay. 4 Rozwia ι zanie ogólne tego równania można również wyrazić za pomoca ι funkcji exp z urojonym argumentem: g(x) = Ce ix +De ix, C i D dowolne sta le. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 4

41 Warunkiem pocza ι tkowym jest pocza ι tkowa różnica temperatur cia la i otoczenia y() = T T 1. Ogólne rozwia ι zanie równania można uzyskać, zapisuja ι c je w postaci z rozdzielonymi zmiennymi (czyli po jednej stronie sk ladniki zawieraja ι ce y a po drugiej sk ladniki zawieraja ι ce t) dy y = Adt i ca lkuja ι c 1 dy = A y Dostajemy lny = At+c czyli y(t) = c e At (c jest sta le). Uwzgle ι dniaja ι c warunek pocza ι tkowy, dostajemy dt. y(t) = (T T 1 ) e At a sama temperatura przedmiotu be ι dzie opisana wyrażeniem (T T 1 ) e At + T 1. Uwaga: czy kiedykolwiek temperatura przedmiotu zrówna sie ι z temperatura ι otoczenia? Jak to rozumieć? W powyższym przyk ladzie rozwia ι zuja ι c równanie różniczkowe skorzystaliśmy z faktu, że da lo sie ι ono zapisać jako równanie o zmiennych rozdzielonych. Sprowadzanie równania do takiej postaci a potem bezpośrednie ca lkowanie to jedna z wielu metod znajdowania rozwia ι zań równań różniczkowych. Niektóre inne metody to skorzystanie z tzw. równania charakterystycznego, czy metoda operatorowa. W praktyce korzysta sie ι też ze znajomości rozwia ι zań innych (podobnych) równań, poszukuje sie ι rozwia ι zania w tablicach rozwia ι zań, a niekiedy mówi sie ι o,,metodzie zgadywania, w której metoda ι prób i b le ι dów szuka sie ι w laściwego rozwia ι zania. 5.2 Zagadnienie brzegowe Przypomnijmy, że zagadnienie pocza ι tkowe zawiera równanie różniczkowe rze ι du n: y (n) = f(x,y,y,...,y (n 1) ). (5.9) i warunki pocza ι tkowe dla y, y,..., y (n 1) dla pewnej konkretnej wartości zmiennej niezależnej, np. x = x, a zatem dane sa ι wartości y(x ), y (x ),..., y (n 1) (x ). W zagadnieniu brzegowym rozwia ι zanie równania różniczkowego (5.9) ma spe lniać warunki określone na końcach przedzia lu zmienności zmiennej niezależnej x (a w ogólności, na brzegu rozważanego obszaru). Z punktu widzenia fizyki ważnym przyk ladem zagadnienia brzegowego jest tzw. zagadnienie Sturma Liouville a: [p(x)y (x)] +q(x)y(x)+λρ(x)y(x) =, x [a,b], (5.1) A y(a)+b y (a) =, A 1 y(b)+b 1 y (b) =, (5.11) przy czym λ jest liczba ι, natomiast funkcje p(x), q(x) i ρ(x) sa ι rzeczywiste i cia ι g le w przedziale [a,b] (p (x) również jest cia ι g la), a dodatkowo p(x) i ρ(x) (ta ostatnia to tzw. funkcja wagowa) musza ι być w tym przedziale nieujemne. Liczby A i A 1 sa ι rzeczywiste i przynajmniej jedna spośród nich jest różna od zera, to samo dotyczy liczb B i B 1. Równanie posiadaja ι ce postać (5.1) nazywa sie ι samosprze ι żone. W zagadnieniu Sturma Liouville a jest ono uzupe lnione o dwa warunki brzegowe, zdefiniowane, odpowiednio, na pocza ι tku i na końcu przedzia lu [a,b] i określaja ι ce wartość funkcji y lub jej pochodnej y lub zwia ι zek pomie ι dzy y i y w a i b. Równanie (5.1) z warunkami (5.11) posiada nietrywialne rozwia ι zania tylko dla pewnych wartości λ, zwanych wartościami w lasnymi, zbiór wartości w lasnych nazywamy widmem zagadnienia. Odpowiadaja ι ca ι danej wartości w lasnej funkcje ι y(x) nazywamy funkcja ι w lasna ι. W lasności wartości w lasnych i funkcji w lasnych zagadnienia Sturma Liouville a: Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 41

42 1. Wartości w lasne tworza ι cia ι g liczb rzeczywistych λ < λ 1 < λ 2 <... < λ n <... da ι ża ι cy do nieskończoności. 2. Jeśli y(x) i z(x) sa ι funkcjami w lasnymi odpowiadaja ι cymi danej wartości w lasnej, to y(x) = cz(x), gdzie c jest sta la ι. Oznacza to, że z punktu widzenia zagadnienia funkcje y(x) i z(x) w zasadzie niczym sie ι nie różnia ι, jest to jakby ta sama funkcja. 3. Jeśliy(x)iz(x)sa ι funkcjamiw lasnymiodpowiadaja ι cymidwómróżnymwartościomw lasnym, to b a y(x)z(x)ρ(x)dx = (5.12) imówimy,żefunkcjeodpowiadaja ι ceróżnymwartościomw lasnymsa ι ortogonalnenaprzedziale [a,b] z waga ι ρ(x). Równanie (5.1) zawiera w sobie dość ogólna ι klase ι równań różniczkowych drugiego rze ι du. Bez wie ι kszych problemów można pokazać, że równanie o postaci A(x)y (x)+b(x)y (x)+c(x)y(x)+λd(x)y(x) = można doprowadzić do postaci samosprze ι żonej (5.1), o ile funkcje A(x), B(x), C(x) i D(x) spe lniaja ι odpowiednie za lożenia. Przyk lad Rozwia ι zać poniższe zagadnienie brzegowe y (x) = λy(x), x [,a], y() = y(a) =. Naszym celem jest znalezienie możliwych wartości λ i odpowiadaja ι cych im funkcji w lasnych. Oczywiście, mamy tu do czynienia z zagadnieniem Sturma Lioville a, nasze równanie jest szczególnym przypadkiem równania (5.1) z funkcjami p(x) = 1, q(x) = i ρ(x) = 1. Rozwia ι zanie ogólne naszego równania ma postać y(x) = Csin( λx)+c cos( λx), gdzie C i C to sta le. Z faktu, że funkcja y ma sie ι zerować w x = wynika natychmiast, że C =, pozostajemy zatem z y(x) = Csin( λx). Z drugiego warunku brzegowego wynika że sin( λa) =. Funkcja sinus przyjmuje wartość zero, gdy jej argument jest ca lkowita ι wielokrotnościa ι π: λn a = nπ, n Z, a zatem λ n = n2 π 2 a 2, n Z (symbol Z oznacza zbiór liczb ca lkowitych). Zauważmy, że znak n nie wp lywa na wartości w lasne, n ujemne nie wnosza ι żadnych nowych informacji do widma. Rozwia ι zania ostatecznie zapiszemy w postaci λ n = n2 π 2 ( nπx ) a 2, y n(x) = C n sin, n = 1,2,3,... a Ujemne wartości n pomijamy, bo nie wnosza ι nic nowego ani do widma ani do zbioru funkcji w lasnych. Wartości n = również nie uwgle ι dniamy, bo daje ona rozwia ι zanie trywialne (funkcja y jest tożsamościowo równa zeru, nie niesie wie ι c żadnych informacji, nie może reprezentować żadnego sensowengo rozwia ι zania fizycznego). Zagadnienia brzegowe wyste ι w fizyce bardzo cze ι sto. Pojawiaja ι sie ι np. w mechanice kwantowej, w opisie przep lywu ciep la itd. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 42

43 5.3 Równania różniczkowe niejednorodne Ograniczymysie ι dorównańliniowych. Rozważamyrównanieróżniczkowelinioweniejednorodne o postaci X n (x)y (n) niej (x)+x n 1(x)y (n 1) niej (x)+...+x 1 (x)y niej(x)+x (x)y niej (x) = g(x). (5.13) Otym,żejesttorównanieniejednorodnedecydujewyste ι powaniesk ladnikaniezależnegoodszukanej funkcji y niej, w tym przypadku jest to funkcja g(x). Równaniem jednorodnym odpowiadaja ι cym równaniu (5.13) jest oczywiście X n (x)y (n) (x)+x n 1 (x)y (n 1) (x)+...+x 1 (x)y (x)+x (x)y(x) =. (5.14) Wiemy już, że rozwia ι zanie ogólne równania jednorodnego rze ι du n zawiera n sk ladników y(x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x), (5.15) przy czym C 1, C 2,..., C n to sta le, a funkcje y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) to rozwia ι zania szczególne niezależne od siebie (czyli żadne z nich nie da sie ι wyrazić przez pozosta le 5 ). I tak na przyk lad rozwia ι zaniem ogólnym równania y (x)+y(x) = jest funkcja y(x) = C 1 sinx+c 2 cosx. Rozwia ι zanie ogólne równania niejednorodnego (5.13) jest suma ι rozwia ι zania ogólnego równania jednorodnego i dowolnego rozwia ι zania równania niejednorodnego ỹ(x): y niej (x) = ỹ(x)+c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+...+c n y n (x). (5.16) Aby wie ι c mieć rozwia ι zanie ogólne równania niejednorodnego, musimy mieć rozwia ι zanie ogólne równania jednorodnego i jakieś rozwia ι zanie szczególne równania niejednorodnego. Funkcji ỹ(x) można szukać tzw. metoda ι uzmiennienia sta lych ỹ(x) = C 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), (5.17) w której funkcje ι zapisujemy tak jak rozwia ι zanie ogólne równania jednorodnego, ale wielkości C 1, C 2,..., C n traktujemy nie jako sta le, a jako funkcje x. Twierdzenie Jeśli funkcje C 1 (x), C 2 (x),..., C n (x) spe lniaja ι uk lad C 1(x)y 1 (x)+c 2(x)y 2 (x)+...+c n(x)y n (x) = C 1(x)y 1(x)+C 2(x)y 2(x)+...+C n(x)y n(x) = C 1(x)y (n 1) 1 (x)+c 2(x)y (n 1) 2 (x)+...+c n(x)y n n 1 (x) = g(x), (5.18) to funkcja ỹ(x) określona wzorem (5.17) jest rozwia ι zaniem szczególnym równania niejednorodnego (5.13). 5 Ściśle mówia ι c chodzi tu o poje ι cie liniowej niezależności. Funkcje y 1 (x), y 2 (x),..., y n(x) sa ι liniowo niezależne wtedy, gdy równość b 1 y 1 (x)+b 2 y 2 (x)+...+b ny n(x) = jest s luszna dla każdego x tylko w przypadku, gdy wszystkie wspó lczynniki b i sa ι zerami. W laśnie to oznacza, że żadnej z funkcji nie można wyrazić przez kombinacje ι liniowa ι pozosta lych. Przyk ladowo, funkcje y 1 (x) = 1, y 2 (x) = x i y 3 (x) = x 2 sa ι liniowo niezależne, ale jeśli mamy y 1 (x) = 1, y 2 (x) = x i y 3 (x) = 3x 2, to nie jest to zbiór funkcji liniowo niezależnych, bo y 3 (x) = 3y 2 (x) 2y 1 (x). Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 43

44 Wszystko to może wydawać sie ι bardzo skomplikowane, ale sporo powinno sie ι wyjaśnić, gdy omówimy przyk lad. Przyk lad Znaleźć ogólne rozwia ι zanie równania y (x)+y(x) = 1. Zapiszmy od razu odpowiednie równanie jednorodne i jego rozwia ι zanie ogólne y jedn(x)+y jedn (x) = y jedn (x) = C 1 sinx+c 2 cosx. Ogólne rozwia ι zanie równania niejednorodnego be ι dzie mia lo wie ι c postać a funkcji ỹ(x) szukamy w postaci Uk lad równań (5.18) przyjmie postać y(x) = ỹ(x)+c 1 sinx+c 2 cosx, ỹ(x) = C 1 (x)sinx+c 2 (x)cosx. C 1(x)sinx+C 2(x)cosx = C 1(x)cosx C 2(x)sinx = 1, a szukaja ι c niewiadomych C 1 (x) i C 2 (x) możemy użyć np. metody wyznaczników. Poszczególne wyznaczniki wynosza ι W = sinx cosx cosx sinx = sin2 x cos 2 x = 1, Mamy wie ι c W 1 = cosx 1 sinx = cosx, W 2 = sinx cosx 1 = sinx. C 1(x) = W 1 W = cosx, C 2(x) = W 2 W = sinx. Ca lkuja ι c powyższe rozwia ι zania otrzymujemy C 1 (x) = sinx, C 2 (x) = cosx (pomijamy sta le ca lkowania, bo i tak wszystko co potrzebne be ι dzie uwzgle ι dnione w rozwia ι zaniu ogólnym równania jednorodnego). Dostajemy zatem czyli szukane rozwia ι zanie to ỹ(x) = sin 2 x+cos 2 x = 1, y(x) = 1+C 1 sinx+c 2 cosx. Podstawiaja ι c to rozwia ι zanie do wyjściowego równania, uzyskujemy tożsamość (zdanie prawdziwe). Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 44

45 5.4 Funkcje Bessela Istnieja ι równania różniczkowe, które wyja ι tkowo cze ι sto pojawiaja ι sie ι w różnych zagadnieniach. Funkcje spe lniaja ι ce niektóre wybrane, badane już od setek lat, równania nazywa sie ι funkcjami specjalnymi. W tym podrozdziale omówimy krótko tzw. funkcje Bessela. Równanie różniczkowe drugiego rze ι du o postaci x 2 y +xy + ( x 2 ν 2) y = (5.19) nosi nazwe ι równania Bessela, a jego rozwia ι zania nazywa sie ι ogólnie funkcjami walcowymi lub cylindrycznymi. Wielkość ν to parametr zwany wskaźnikiem lub rze ι dem funkcji walcowej. Jedno z rozwia ι zań szczególnych równania Bessela ma postać J ν (x) = s= ( 1) s ( x ) ν+2s, (5.2) s!γ(ν +s+1) 2 jest to funkcja Bessela I rodzaju. Jeśli ν nie jest liczba ι naturalna ι, rozwia ι zanie ogólne równania (5.19) można zapisać w postaci y(x) = C 1 J ν (x)+c 2 J ν (x), (5.21) przy czym C 1 i C 2 to dowolne sta le 6. Funkcja Bessela II rodzaju (inaczej: funkcja Neumanna) zdefiniowana jest naste ι co cos(νπ)j ν (x) J ν (x) dla ν n sin(νπ) Y ν (x) = (5.22) cos(νπ)j ν (x) J ν (x) lim dla ν = n, ν n sin(νπ) gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych. Przy tak zdefiniowanej funkcji Bessela II rodzaju rozwia ι zanie ogólne równania Bessela (5.19), niezależnie od tego, czy ν jest naturalne czy nie, można wyrazić jako y(x) = C 1 J ν (x)+c 2 Y ν (x). (5.23) W niektórych sytuacjach zamiast używać rozwia ι zania w postaci (5.23) wygodniej jest wykorzystywać rozwia ι zanie w postaci kombinacji tzw. funkcji Hankela I i II rodzaju, funkcje te sa ι zdefiniowane jako odpowiednie kombinacje funkcji J ν (x) i Y ν (x). W zastosowaniach najwie ι ksze znaczenie maja ι funkcje Bessela z ν naturalnym i po lówkowym. Na rysunku 37 przedstawiono kilka pierwszychfunkcjibesselaiiiirodzajuzrze ι demnaturalnymwprzedziale[,1]. Wartozauważyć, że funkcje Bessela I rodzaju pozostaja ι ograniczone w pobliżu x =, podczas gdy funkcje Bessela II rodzaju da ι ża ι do. Dotyczy to zreszta ι nie tylko funkcji z ca lkowitym rze ι dem. Funkcje Bessela posiadaja ι nieskończenie wiele miejsc zerowych. Funkcje Bessela znalaz ly zastosowanie w opisie bardzo wielu zagadnień, np. wahad lo o zmiennej d lugości, membrana ko lowa, falowód cylindryczny, przep lyw ciep la w walcu itd. Jedno z tych zagadnień pojawi sie ι w naste ι pnym podrozdziale. 5.5 Przyk lady równań różniczkowych cza ι stkowych Dotychczas rozważaliśmy równania różniczkowe zwyczajne. W równaniach różniczkowych cza ι stkowych szukane sa ι funkcje dwóch lub wie ι cej zmiennych, równania te zawieraja ι pochodne cza ι stkowe. Przyk ladowe równanie różniczkowe cza ι stkowe: 2 f(x,y) x 2 +xy 2 f(x,y) x y = y. (5.24) Z punktu widzenia zastosowań najważniejsze sa ι równania drugiego rze ι du, a wśród nich najistotniejsze sa ι : 6 Gdy ν nie jest liczba ι naturalna ι, funkcje J ν(x) i J ν (x) sa ι liniowo niezależne. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 45

46 Rysunek 37: Wykresy funkcji Bessela: (a) - J (x), J 1 (x), J 2 (x); (b) - Y (x), Y 1 (x), Y 2 (x). równanie falowe 2 u( r,t) t 2 a 2 u( r,t) = Q( r,t) (5.25) funkcja u( r,t) opisuje po lożenie poruszaja ι cego sie ι cia la, wielkość a to parametr opisuja ι cy w lasności ośrodka (przy za lożeniu, że ośrodek jest jednorodny), a funkcja Q( r, t) reprezentuje si ly dzia laja ι ce na cia lo równanie dyfuzji u( r, t) a 2 u( r,t) = Q( r,t) (5.26) t funkcja u( r,t) opisuje np. temperature ι ośrodka albo ste ι żenie jakiejś substancji, wielkość a to parametr opisuja ι cy odpowiednie w lasności ośrodka (jednorodnego), a funkcja Q( r,t) reprezentuje np. źród la ciep la (albo odbiorniki ciep la), lub, odpowiednio, źród lo jakiejś substancji; zauważmy, że równanie (5.26) wygla ι da bardzo podobnie jak (5.25), ale opisuje zupe lnie inne zjawiska fizyczne równanie teorii potencja lu u( r) = 4πρ( r) (5.27) funkcja u( r) opisuje potencja l elektrostatyczny, a funkcja ρ( r) reprezentuje ge ι stość ladunków elektrycznych. Zanimpowiemypare ι s lówometodachrozwia ι zywaniarównańróżniczkowychcza ι stkowych, przypomnijmy sobie najcze ι ściej stosowane uk lady wspó lrze ι dnych, oraz postaci operatora Laplace a w tych uk ladach (rysunek 38): uk lad wspó lrze ι dnych kartezjańskich uk lad wspó lrze ι dnych sferycznych (kulistych) r = [x,y,z], (5.28) f = 2 f x f y f z 2 (5.29) x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ, (5.3) θ ka ι t azymutalny, ϕ ka ι t biegunowy, f = 1 ( r 2 r 2 f ) + r r 1 r 2 sinθ θ ( sinθ f ) + θ 1 r 2 sin 2 θ 2 f ϕ 2 (5.31) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 46

47 uk lad wspó lrze ι dnych walcowych (cylindrycznych) x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z, (5.32) f = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ f z2. (5.33) z z z r θ r r r r x y x ϕ y x ϕ r y Rysunek 38: Wspólrze ι dne w uk ladach (od lewej) kartezjańskim, sferycznym i walcowym. Zauważamy, że w uk ladzie wspó lrze ι dnych sferycznych r to odleg lość punktu, na który wskazuje wektor r od pocza ι tku uk ladu (czyli d lugość wektora r), natomiast w uk ladzie wspó lrze ι dnych walcowych r to odleg lość tego punktu od osi z. Istniejewielemetodrozwia ι zywaniazagadnieńzrównaniamiróżniczkowymicza ι stkowymi. Niektóre z nich to metoda separacji zmienych, metody transformacji ca lkowych, metoda funkcji Greena. Sa ι też metody numeryczne, a wśród nich metoda różnic skończonych, metoda elementów skończonych i metoda elementów brzegowych. Rozważymy teraz dwa przyk lady, w pierwszym z nich poszukamy rozwia ι zania zarówno analitycznie jak i numerycznie. Przyk lad Pocza ι tkowy rozk lad temperatury w cienkim pre ι cie o d lugości L i z izolowana ι powierzchnia ι boczna ι opisuje funkcja f(x). Wyznaczymy temperature ι w dowolnym punkcie pre ι ta i w dowolnej chwili t >, jeśli od chwili t = końce tego pre ι ta sa ι utrzymywane w temperaturze równej zero. Musimy rozwia ι zać równanie dyfuzji (5.26), ale w naszym zagadnieniu nie ma źróde l ciep la, wie ι c pomijamy sk ladnik Q. Ponadto, ponieważ pre ι t jest cienki, a do tego jego powierzchnia boczna jest izolowana, temperatura w pre ι cie zależeć be ι dzie tylko od odleg lości od pocza ι tku pre ι ta. Przek ladaja ι c wszystkie te informacje na je ι zyk matematyki, mamy T(x,t) t = a 2 2 T(x,t) x 2, x [,L], t >, (5.34) T(x,) = f(x), (5.35) T(,t) =, T(L,t) =. (5.36) Zauważmy, że równanie (5.34) jest równaniem różniczkowym pierwszego rze ι du ze wzgle ι du na zmienna ι t (czas) i drugiego rze ι du ze wzgle ι du na po lożenie x. Jest ono uzupe lnione o warunek (5.35), możemy go nazwać warunkiem pocza ι tkowym, wyraża on rozk lad temperatury w ca lym pre ι cie w jednej konkretnej chwili (t = ), i o dwa warunki (5.36) opisuja ι ce wartość temperatury w dwóch konkretnych punktach (x = i x = L) i dowolnym czasie. Zagadnienie to rozwia ι żemy metoda ι rozdzielenia zmiennych (metoda separacji zmiennych, metoda Fouriera), tzn. za lożymy, że szukana funkcja może być przedstawiona jako iloczyn funkcji jednej zmiennej: T(x,t) = X(x)Y(t). (5.37) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 47

48 Podstawiaja ι c (5.37) do (5.34) i dziela ι c wynik przez iloczyn a 2 XY, dostajemy 1 Y (t) a 2 Y(t) = X (x) X(x). (5.38) Lewa strona równania (5.38) zależy tylko od zmiennej t a prawa tylko od x. Aby strony by ly sobie równe i to niezależnie od tego jakie jest t i jakie jest x, każda z nich musi być równa jakiejś sta lej wielkości, zwanej parametrem separacji, która ι dla wygody oznaczymy jako µ 2. Mamy zatem 1 a 2 Y (t) Y(t) = µ2, X (x) X(x) = µ2. (5.39) Przepiszmy lewe równanie w postaci Latwo sprawdzić, że jego ogólne rozwia ι zanie ma postać Teraz weźmy prawe z równań (5.39) i zapiszmy je naste ι co Y (t) = a 2 µ 2 Y(t). (5.4) Y(t) = Ae a2 µ 2t. (5.41) X (x) = µ 2 X(x). (5.42) Na podstawie jednego z poprzednich podrozdzia lów wiemy, że jego rozwia ι zanie ogólne można wyrazić jak poniżej X(x) = Bsin(µx)+Ccos(µx), (5.43) ale ponieważ temperatura ma sie ι zerować w x =, pomijamy sk ladnik zawieraja ι cy funkcje ι cosinus, zeruja ι c sta la ι C. Otrzymujemy zatem X(x) = Bsin(µx), (5.44) ale biora ι c z kolei pod uwage ι warunek zerowania temperatury w x = L, zapiszemy sin(µl) =, (5.45) a sta ι d wynika, że µl = nπ a zatem µ n = nπ L, (5.46) przy czym n może być dowolna ι liczba ι ca lkowita ι. Mamy wie ι c nieskończenie wiele możliwych wartości parametru separacji i wszystkie te możliwości musimy uwzgle ι dnić w rozwia ι zaniu, dlatego zapiszemy Y n (t) = A n e a2 n 2 π 2 t/l 2, X n (x) = B n sin(nπx/l), (5.47) a szukana temperatura wyraża sie ι w postaci T(x,t) = n X n (x)y n (t) = n D n e a2 n 2 π 2 t/l 2 sin(nπx/l). (5.48) Sumowanie uwzgle ι dnia wszystkie możliwe wartości n. Powiedzieliśmy wcześniej, że n reprezentuje liczby ca lkowite, ale patrza ι c na wzór (5.48) widzimy, że sk ladnik, w którym n = jest zerem, wie ι c nie ma sensu uwzgle ι dniać go w sumie. Co wie ι cej, biora ι c sk ladniki np. z n = 5 i n = 5 i korzystaja ι c z nieparzystości funkcji sinus możemy zapisać D 5 sin 5πx L e 25a = 2 π 2 t/l 2 +D 5 sin 5πx ( D 5 sin 5πx L D 5sin 5πx L 2 L e 25a π 2 t/l 2 ) e 25a2 π 2 t/l 2 = D 5sin 5πx L e 25a 2 π 2 t/l 2. (5.49) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 48

49 Czyli tak naprawde ι sk ladniki z n ujemnym nie daja ι nic nowego (żadnych nowych funkcji) ponad to, co wnosza ι sk ladniki z n dodatnim. W rozwia ι zaniu uwzgle ι dnijmy wie ι c tylko sk ladniki z n dodatnim: T(x,t) = D nsin nπx 2 L e a n 2 π 2 t/l 2 (5.5) n=1 (równie dobrze moglibyśmy wzia ι ć tylko sk ladniki,,ujemne i sumować od n = do n = 1). W dalszym cia ι gu mamy do wyznaczenia nieskończenie wiele sta lych D n. Uwzgle ι dniaja ι c warunek pocza ι tkowy (5.35), dostajemy D nsin nπx = f(x). (5.51) L n=1 Równanie to przemnóżmy przez wybrana ι funkcje ι sin mπx L, a naste ιpnie wyca lkujmy wzgle ι dem x w granicach od do L. Uzyskujemy wyrażenie n=1 D n L sin nπx L sin mπx L dx = L f(x)sin mπx L Wykorzystuja ι c w lasności funkcji trygonometrycznych można pokazać, że L gdzie δ nm to delta Kroneckera 7. Mamy L 2 sin nπx L D nδ nm = n=1 dx. (5.52) sin mπx L dx = L 2 δ nm, (5.53) L f(x)sin mπx L dx. (5.54) Z definicji delty Kroneckera wynika, że wszystkie sk ladniki, w których n m zeruja ι sie ι, a to oznacza, że z ca lej sumy po prawej stronie równania (5.54) pozostaje tylko sk ladnik, w którym n = m: L L 2 D m = f(x)sin mπx dx. (5.55) L W powyższym wyrażeniu uwzgle ι dnione sa ι różne możliwe pocza ι tkowe rok lady temperatury. Przyjmijmy teraz, że w chwili t = temperatura w każdym punkcie pre ι ta by la sta la i wynosi la T : Otrzymujemy D m = 2 L T f(x) = T. (5.56) L sin mπx L dx, (5.57) apowykonaniuca lkowaniastwierdzimy,żeniezerowesa ι tylkowspó lczynnikizindeksaminieparzystymi: Ostatecznie, wynik ma postać D 2k =, D 2k+1 = T(x,t) = 4T π k= 1 2k +1 4T, k N. (5.58) (2k +1)π (2k +1)πx sin e a2 (2k+1) 2 π 2 t/l 2. (5.59) L Ateraztensamprzyk ladrozwia ι żemymetoda ι numeryczna ι,be ι dzietometodaróżnicskończonych. Mamy zagadnienie (5.34) (5.36), powiedzmy, że jego dziedzina ι jest prostoka ι t zdefiniowany przez nierówności x L, t τ, jak na rysunku 39. Przedzia l,,po lożeniowy [,L] podzielmy na 7 delta Kroneckera jest zdefiniowana naste ι co { 1 gdy n = m δ nm = gdy n m. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 49

50 t t M M 1 t τ t t t 2 1 t x L x x x x x x 1 2 N 1 Rysunek 39: Podzia l dziedziny zagadnienia (5.34) (5.36). N N przedzia lów [x i,x i+1 ], i =,1,2,...,N 1, przy czym x = a x N = L, a szerokość każdego przedzia lu wynosi x = L/N. Analogicznie, przedzia l,,czasowy [, τ] dzielimy na M przedzia lów [t j,t j+1 ], j =,1,2,...,M 1, przy czym t = a t M = τ, a szerokość każdego przedzia lu wynosi t = τ/m. Oczywiste jest, że w naszym przypadku x i = i x, i =,1,2,...,N oraz t j = j t, j =,1,2,...,M. Przetnijmy nasz prostoka ι t prostymi x = x i i t = t j. Punkty (x i,t j ), których przecinaja ι sie ι proste, nazwiemy we ι z lami, wyróżniamy we ι z ly zewne ι trzne (leża ι ce na brzegu prostoka ι ta) i wewne ι trzne. Przypomnijmy sobie, że pierwsza pochodna funkcji jest zdefiniowana jako granica ilorazu różnicowego (podrozdzia l 2.1). Jeśli x jest ma le, s luszne jest przybliżenie f (x) f(x+ x) f(x). (5.6) x Bezwie ι kszegotrudumożnapokazać, żedruga ι pochodna ι funkcjif(x)wpunkciexprzybliżyćmożna wyrażeniem f (x) f(x+ x) 2f(x)+f(x x) ( x) 2. (5.61) Z powyższych wyrażeń wynika, że pierwsza ι pochodna ι funkcji T(x,t) wzgle ι dem t i druga ι pochodna ι tej funkcji wzgle ι dem x w punkcie (x i,t j ) przybliżyć można naste ι co T t T(x i,t j+1 ) T(x i,t j ) 2 T, x=xi,t=t j t x 2 T(x i+1,t j ) 2T(x i,t j )+T(x i 1,t j ) x=xi,t=t j ( x) 2. (5.62) Definiuja ι c T(x i,t j ) = T i,j, (5.63) możemy wzory (5.62) zapisać nieco krócej T t T i,j+1 T i,j, x=xi,t=t j t 2 T x 2 T i+1,j 2T i,j +T i 1,j x=xi,t=t j ( x) 2. (5.64) Aterazkluczowymoment: wrównaniu(5.34)pochodnezaste ι pujemyilorazamiróżnicowymi(5.64): T i,j+1 T i,j t = a 2T i+1,j 2T i,j +T i 1,j ( x) 2. (5.65) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 5

51 Równanie różniczkowe zasta ι piliśmy zatem równaniem różnicowym. Co wie ι cej, dziedzine ι cia ι g la ι zasta ι piliśmy zbiorem we ι z lów (x i,t j ), proces ten to przyk lad tzw. dyskretyzacji. Równanie (5.65) przekszta lcamy do postaci T i,j+1 = T i,j + a2 t ( x) 2 (T i+1,j 2T i,j +T i 1,j ), (5.66) która ma sens dla i = 1,2,...,N 1, oraz j =,1,...,M 1. Widzimy, że maja ι c wszystkie wartości odpowiadaja ι ce danej chwili, możemy oszacować wartości w naste ι pnej chwili w we ι z lach wewne ι trznych. Schemat dzia lania jest prosty: z warunku pocza ι tkowego mamy wszystkie wartości T i,, w (5.66) podstawiamy j =, otrzymujemy wartości T i,1, dla dla i = 1,2,...,N 1, T,1 i T N,1 dostajemy z warunków brzegowych, w (5.66) podstawiamy j = 1, otrzymujemy wartości T i,2, dla dla i = 1,2,...,N 1, T,2 i T N,2 dostajemy z warunków brzegowych, i tak dalej, aż do j = M 1. Zaprezentowane podejście jest w zasadzie najprostszym z możliwych (bo oczywiście sa ι inne sposoby dykretyzacji lub inne wzory na ilorazy różnicowe), ale niesie pewne ograniczenie. Metoda może dać akceptowalne przybliżenia, jeśli spe lniony jest warunek stabilności t ( x)2 2a 2. (5.67) W przeciwnym razie możemy otrzymać zupe lnie nieoczekiwane wartości. A teraz wreszcie próba zilustrowania rozwia ι zań. Przyjmijmy, że a = 1, T = 1, L = 1 i że interesuje nas rozk lad temperatury w chwili t = 1. W rozwia ι zaniu (5.59) mamy sumowanie nieskończonej liczby sk ladników, jeśli chcemy te ι funkcje ι stablicować, musimy przyja ι ć jaka ι ś skończona ι wartość górnego indeksu sumowania k max. W ten sposób pomijamy nieskończenie wiele sk ladników, ale generalnie im wie ι ksze k tym czynnik e (a2 (2k+1) 2 π 2 t/l 2) staje sie ι bliższy zeru, czyli sk ladnikizwie ι kszymk daja ι coraztomniejszywk ladwrozwia ι zanie. Narysunku4zaprezentowany Rysunek 4: Rozk lad temperatury (5.59) w zależności od wartości górnego indeksu sumowania. jest interesuja ι cy nas rozk lad temperatury w zależności od wartości k max, wynik dla k max = 5 praktycznieróżnisie ι niezauważalnieodwynikudlak max = 2. Generalniezauważamyteż, żewyniki oddaja ι sens zagadnienia pre ι t w chwili pocza ι tkowej mia l wsze ι dzie sta la ι temperature ι równa ι 1 i jest studzony na obu końcach. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 51

52 Rysunek 41: Rozk lad temperatury uzyskany metoda ι różnic skończonych w zależności od wartości N. Zobaczmy też, jakie wyniki dla tych samych parametrów daje metoda różnic skończonych, sa ι one pokazane na rysunku 41. Rozważone sa ι 3 przypadki: N = 1, N = 2 i N = 5. Aby spe lniony by l warunek stabilności (5.67), przyje ι to, że t =.1( x) 2, oznacza to, że M w poszczególnych przypadkach wynosi M = 1, M = 4 i M = 25. Generalnie, należy zak ladać, że im wie ι ksze sa ι wartości N i M, tym wyniki sa ι dok ladniejsze, bo tym mniejsze sa ι wartości x i t, a zatem tym dok ladniej pochodne sa ι przybliżone przez ilorazy różnicowe (choć z drugiej strony, im wie ι cej operacji numerycznych, tym wie ι cej niedok ladności, wie ι c zawsze trzeba to jakoś wyważyć). Porównajmy jeszcze wyniki uzyskane metoda ι analityczna ι dla k max = 5 z wynikami otrzymanymi metoda ι numeryczna ι dla N = 5, sa ι one pokazane na rysunku 42. Mamy wyniki z dwóch zupe lnie Rysunek 42: Porównanie wyników otrzymanych analitycznie i numerycznie. różnych metod i widać, że sa ι one zgodne. Aby przećwiczyć jeszcze raz wykorzystanie metody separacji zmiennych, a przy okazji poznać przyk lad zastowania funkcji Bessela zajmijmy sie ι naste ι pnym zagadnieniem. Przyk lad Rozważamy drgania membrany ko lowej o promieniu R. Membrana jest zamocowana na brzegu, Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 52

53 nie dzia laja ι na nia ι si ly zewne ι trzne. Zak ladamy, że znamy pocza ι tkowe wychylenie każdego punktu membrany i jego pre ι dkość i przyjmujemy, że zagadnienie ma symetrie ι osiowa ι. Przyk ladem membrany może być be ι ben. Membrana wykonuje drgania, a nas interesuje nas wychylenie danego punktu z po lożenia równowagi, funkcje ι opisuja ι ca ι to wychylenie oznaczmy jako u. Symetria osiowa oznacza, że zależność wychylenia od po lożenia sprowadza sie ι do zależności od odleg lości od środka membrany, oczywiście wychylenie jest też funkcja ι czasu. Wprowadźmy sobie uk lad wspó lrze ι dnych biegunowych (rysunek 43). W uk ladzie wspólrze ι dnych biegunowych y R r ϕ x Rysunek 43: Uk lad wspó lrze ι dnych biegunowych. po lożenie punktu określa sie ι podaja ι c jego odleg lość od pocza ι tku uk ladu r i ka ι t ϕ mierzony od osi x do odcinka la ι cza ι cego punkt z pocza ι tkiem uk ladu wspó lrze ι dnych, ka ι t mierzymy przeciwnie do wskazówek zegara. Oczywiste sa ι zwia ι zki x = rcosϕ, y = sinϕ. Operator Laplace a we wspó lrze ι dnych biegunowych ma postać (porównaj z laplasjanem dla uk ladu wspó lrze ι dnych walcowych, (5.33)) f = 2 f r r f r + 1 r 2 2 f ϕ 2. Drgania membrany opisywane sa ι przez równanie falowe (5.25), które w naszym przypadku ma postać 1 2 u(r,t) a 2 t 2 = 2 u(r,t) r u(r, t) (5.68) r r (ponieważ u nie zależy od ϕ, pochodna u wzgle ι dem ϕ jest równa zeru, sta ι d brak w maszym równaniu falowym jednego sk ladnika). Fakt, że membrana jest zamocowana na brzegu, oznacza, że jej wychylenie jest tam równe zeru, czyli u(r,t) =. (5.69) Stosujemy metode ι separacji zmiennych, wie ι c zak ladamy, że szukana ι funkcje ι u można wyrazić jako iloczyn funkcji jednej zmiennej: u(r, t) = R(r)T(t). (5.7) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 53

54 Wstawiamy ten iloczyn do równania (5.68), a naste ι pnie dzielimy uzyskane równanie przez ten sam iloczyn, otrzymujemy ( 1 R (r)+ 1 ) R(r) r R (r) = 1 1 a 2 T(t) T (t). (5.71) Ponieważ lewa strona równości (5.71) zależy tylko od r, a prawa tylko od t i obie strony musza ι być sobie równe dla każdej wartości r i t, każda z nich musi być równa jakiejś liczbie (parametr separacji), która ι oznaczymy jako λ. Dostajemy dwa równania, jedno z nich ma postać a jego rozwia ι zaniem ogólnym jest d 2 T(t) dt 2 = λa 2 T(t), (5.72) Drugie równanie jest naste ι ce T(t) = Asin( λat)+bcos( λat). (5.73) d 2 R(r) dr r dr(r) dr +λr(r) = (5.74) i jeśli porównamy je z równaniem (5.19), to stwierdzimy, że gdyby nie by lo w nim sta lej λ, by loby ono równaniem Bessela z ν =. Zdefiniujmy nowa ι zmienna ι i przeanalizujmy cia ι g równości Podobnie 2 r 2 f = r r f = s r s = λr (5.75) s f = ds dr ( ) r f = ds dr s s f = λ f. (5.76) s ( ds dr Uwzgle ι dniaja ι c powyższe rozważania w równaniu (5.74), dostajemy równanie d 2 R ds s dr ds ) s f = λ 2 f. (5.77) s2 +R = (5.78) i teraz już mamy równanie Bessela dla ν = dla zmiennej s. Jego ogólnym rozwia ι zaniem jest kombinacja funkcji Bessela I i II rodzaju z argumentem s. Biora ι c to wszystko pod uwage ι, mamy R(r) = CJ ( λr)+dy ( λr). (5.79) Nasze równanie falowe jest równanie rze ι du drugiego ze wzgle ι du na r, a podany by l tylko jeden warunek brzegowy, opisuja ι cy u w konkretnym r. Oczywiste jest jednak, że zamocowana membrana nie może wychylić sie ι w nieskończoność, a jak pamie ι tamy (rysunek 37 b), funkcje BesselaII rodzaju da ι ża ι do, gdy ich argument zmierza do zera. Musimy zatem przyja ι ć, że D = i pozostajemy z Z warunku brzegowego (5.69) wynika, że R(r) = CJ ( λr). (5.8) J ( λr ) =. (5.81) Z podrozdzia lu o funkcjach Bessela wiemy już, że funkcje Bessela posiadaja ι nieskończenie wiele miejsc zerowych. Oznaczaja ι c kolejne dodatnie miejsca zerowe funkcji J jako α i, i = 1,2,... (wartości miejsc zerowych funkcji Bessela sa ι stablicowane, można je też wyznaczać numerycznie), zapiszemy λi R = α i a zatem λ i = α2 i R 2. (5.82) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 54

55 Wkońcowymrozwia ι zaniumusimyzatemuwzgle ι dnićwszystkiemożliwewartościλ i. Podsumowuja ι c dotychczasowe rozważania, mamy u(r,t) = i=1 ( )[ ( ) ( )] αi αi αi J r E i sin at +F i cos at. (5.83) R R R Wartości sta lych E i oraz F i można obliczyć z warunków opisuja ι cych pocza ι tkowe wychylenie i pocza ι tkowa ι pre ι dkość każdego punktu membrany. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 55

56 6 Metoda przekszta lceń ca lkowych W tym zestawie zajmiemy sie ι metoda ι przekszta lceń ca lkowych. Jej niektóre przyk lady to metoda przekszta lcenia Fouriera i metoda przekszta lcenia Laplace a. Omówimy krótko metode ι przekszta lcenia Fouriera. 6.1 Przekszta lcenie Fouriera Przekszta lceniem Fouriera danej funkcji f(t) nazywamy przyporza ι dkowanie jej funkcji F(ω) wed lug wzoru F(ω) = 1 e iωt f(t)dt, (6.1) 2π gdziet,ω R,aca lkaistnieje. Funkcje ι f(t)nazywasie ι orygina lem,zaśfunkcje ι F(ω) transformata ι. Fakt, że F(ω) jest transformata ι Fouriera funkcji f(t) zapisujemy naste ι co F(ω) = F{f(t)}. (6.2) Przekszta lceniem odwrotnym Fouriera nazywamy przyporza ι dkowanie transformacie F(ω) orygina lu f(t) w taki sposób, aby spe lniony by l warunek (6.1). Fakt, że f(t) jest wynikiem transformacji odwrotnej Fouriera funkcji F(ω) zapisujemy Zazwyczaj s luszny jest wzór F 1 {F(ω)} = f(t). (6.3) f(t) = F 1 {F(ω)} = 1 2π e iωt F(ω)dω. (6.4) Przy odpowiednich za lożeniach (które w zagadnieniach fizycznych z regu ly sa ι spe lnione) zachodzi relacja F{f(t) (n) } = (iω) n F{f(t)} = (iω) n F(ω). (6.5) W ogólnym przypadku możemy mieć do czynienia z funkcja ι wie ι kszej ilości zmiennych. Jeżeli mamy funkcje ι f(x,t), to jej transformata Fouriera wzgle ι dem zmiennej t zdefiniowana jest ca lka ι F t {f(x,t)} = F(x,ω) = 1 2π Transformacje ι odwrotna ι przeprowadzamy naste ι co f(x,t) = Ft 1 {F(x,ω)} = 1 2π e iωt f(x,t)dt. (6.6) e iωt F(x,ω)dω. (6.7) Jeślitransformujemypochodna ι orygina lu, ważnejest, czypochodnajestwzgle ι demtejsamejzmiennej, wzgle ι dem której transformujemy orygina l. Mamy { n } f(x,t) F t t n = (iω) n F t {f(x,t)} = (iω) n F(x,ω), (6.8) ale F t { n f(x,t) x n } = n x n F t{f(x,t)} = n F(x,ω). (6.9) xn Generalnie widać, że przekszta lcenie prowadzi do zmiany dziedziny funkcji, można wie ι c powiedzieć, prowadzi nas do troche ι innego świata, niż ten, z którego startujemy. Na przyk lad f(x,t) może być funkcja ι po lożenia i czasu, a F(x,ω) funkcja ι po lożenia i cze ι stotliwości. Przekszta lceniaca lkowesa ι jedna ι zmetodrozwia ι zywaniazagadnieńzrównaniamiróżniczkowymi. Aby zobaczyć transformacje ι Fouriera,,w akcji rozważmy naste ι cy przyk lad. Przyk lad Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 56

57 Belka wykonuje drgania spre ι żyste. Wychylenie danego punktu belki od po lożenia równowagi opisuje funkcja y(x,t) spe lniaja ι ca równanie 4 y(x,t) x a 4 2 y(x,t) t 2 =, (6.1) gdzie a jest sta la ι zależna ι od wielkości belki i materia lu, z którego jest zrobiona. Znamy pocza ι tkowe wychylenie: y(x,) = f(x) (6.11) (f(x) jest jaka ι ś dana ι funkcja ι ) i wiemy, że jej pocza ι tkowa pre ι dkość jest w każdym punkcie zerowa: y t =. (6.12) t= Belka jest nieskończona (x (, )). Mamy tu równanie różniczkowe, i to aż 4 rze ι du ze wzgle ι du na x. Spośród obu argumentów funkcji y(x,t) zmienna x należy do ca lego zbioru liczb rzeczywistych, natomiast t jest nieujemne. Zdefiniujmy zatem transformate ι Fouriera funkcji y(x,t) wzgle ι dem x: Y(ω,t) = 1 e iωx y(x,t)dx. (6.13) 2π Podkreślmy, że tu transformata jest wzgle ι dem x, a nie wzgle ι dem t, jak w (6.6). Obliczmy transformate ι równania (6.1): 1 2π To samo możemy zapisać symbolicznie 4 y(x,t) x 4 e iωx dx+ 1 a 4 1 2π F x { 4 y(x,t) x 4 a na podstawie (6.8), (6.9) i (6.13) dostajemy } + 1 a 4 F x ω 4 Y(ω,t)+ 1 a y(x,t) t 2 e iωx dx =. (6.14) { 2 } y(x,t) t 2 =, (6.15) Y(ω,t) =, (6.16) t2 czyli 2 t 2 Y(ω,t)+a4 ω 4 Y(ω,t) =. (6.17) Widzimy, że tranformacja Fouriera doprowadzi la nas do równania różniczkowego wzgle ι dem tylko jednej zmiennej. W tym przypadku jest to równanie bardzo proste, jego rozwia ι zanie ogólne ma postać Y(ω,t) = Acos(a 2 ω 2 t)+bsin(a 2 ω 2 t). (6.18) Przekszta lcenie Fouriera warunków pocza ι tkowych (6.11) i (6.12) prowadzi do wzorów Y(ω,) = 1 2π Y(ω,t) t f(x)e iωx dx, (6.19) =. (6.2) t= Jeśli zróżniczkujemy (6.18) wzgle ι dem t i uwzgle ι dnimy (6.2), natychmiast dostajemy, że B =. Warunek (6.19) przepiszmy jeszcze raz, ale zamiast literki x użyjmy jakiegoś innego oznaczenia, np. ξ (wynik przecież nie zależy od tego, jak nazywa sie ι zmienna ca lkowania): Y(ω,) = 1 2π f(ξ)e iωξ dξ. (6.21) Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 57

58 Porównanie (6.18) z podstawionym t = (pamie ι tajmy, że B =, choć akurat w tym przypadku nie ma to znaczenia) z (6.21) prowadzi do naste ι cego wniosku: Mamy wie ι c A = 1 2π f(ξ)e iωξ dξ. (6.22) Y(ω,t) = 1 cos(a 2 ω 2 t) f(ξ)e iωξ dξ. (6.23) 2π Znaleźliśmy transformate ι, możemy wie ι c powrócić do orygina lu y(x,t). Transfrormacja powrotna prowadzi w naszym przypadku do y(x,t) = 1 2π cos(a 2 ω 2 t)f(ξ)e iω(x ξ) dξdω. (6.24) Rozwia ι zanie sprowadza sie ι zatem do dwukrotnego policzenia ca lki. Teraz już widać, dlaczego po drodze wprowadziliśmy ξ zamiast x. Czynnik A jest wynikiem ca lkowania, liczba ι. Jeśli w ca lce definiuja ι cej A pozostawimy x i przeprowadzimy przekszta lcenie powrotne, pojawia sie ι problem z funkcja ι podca lkowa ι. Jeżeli wszystko robimy w laściwie, jedynym czynnikiem zawieraja ι cym x powinno być e iωx. 6.2 Dyskretna transformata Fouriera Dyskretna transformata Fouriera ma duże znaczenie w analizie danych pomiarowych, gdy sygna l jest próbkowany, tzn. gdy nie mamy cia ι g lej funkcji, a tylko zbiór konkretnych wartości, np. mierzymy wysokość fali w konkretnych chwilach, albo wartości jakiejś funkcji w konkretnych punktach (po lożeniach). Za lóżmy zatem, że mamy {a,a 1,a 2,...,a N 1 } zbiór N wartości rzeczywistych. Dyskretna transformata Fouriera prowadzi do zbioru N wartości zespolonych {A,A 1,A 2,...,A N 1 }, wynosza ι cych A k = N 1 n= a n e 2πi N kn, k N 1. (6.25) Maja ι cwartości{a,a 1,A 2,...,A N 1 }możemy,,odzyskać wartości{a,a 1,a 2,...,a N 1 },stosuja ι c przekszta lcenie odwrotne a n = 1 N N 1 k= A k e 2πi N kn, k N 1. (6.26) Rysunek 44: Zbiór 1 wartości pewnej wielkości. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 58

59 Rysunek 45: Wartości bezwzgle ι dne liczb otrzymanych poprzez zastosowanie dyskretnej transformaty Fouriera do liczb z rysunku 44. Rysunek46: Modyfikacjazbioruliczbzrysunku45, pozostawiono5liczbonajwie ι kszychmodu lach, a pozosta le wyzerowano. Rysunek 47: Przekszta lcenie odwrotne wartości z rysunku 46. Dyskretna ι transformate ι Fouriera możemy wykorzystać do,,oczyszczania sygna lu z zak lóceń. Przyk lad Mamy zbiór 1 wartości be ι da ι cych wynikami pomiaru pewnej wielkości (np. co konkretny krok czasowy mierzono wychylenie jekiegoś cia la od po lożenia równowagi), sa ι one pokazane na rysunku 44. Zauważyćmożna, żegeneralniepunktynarysunku44uk ladaja ι sie ι wzd lużpewnejg ladkiejkrzywej. Stosuja ι c dyskretna ι transformate ι Fouriera otrzymujemy 1 liczb zespolonych, ich modu ly sa ι zilustrowane na rysunku 45. Stwierdzamy, że 5 spośród tych liczb ma modu ly wyraźnie wie ι ksze od pozosta lych liczb, których wartości modu lów rozk ladaja ι sie ι przypadkowo. Pozostawmy 5 liczb o Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 59

60 Rysunek 48: Rozk lad wartości pewnej funkcji w kwadracie. Rysunek 49: Wartości bezwzgle ι dne liczb otrzymanych poprzez zastosowanie dyskretnej transformaty Fouriera do liczb z rysunku 48. Rysunek 5: Modyfikacja zbioru liczb z rysunku 49, cze ι ść z nich wyzerowano. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 6

61 Rysunek 51: Przekszta lcenie odwrotne wartości z rysunku 5. najwie ι kszych modu lach, a reszte ι wyzerujmy, patrz rysunek 46. Jeśli do zmodyfikowanego zbioru liczb zastosujemy przekszta lcenie odwrotne, otrzymamy rozk lad zbliżony do rozk ladu wyjściowego (rysunek 47), ale wyg ladzony i zdecydowanie latwiejszy do analizy. Dyskretna ι transformate ι Fourierastosowaćmożnarównieżwprzypadkuwie ι kszejilościwymiarów. Za lóżmy, że mamy M N wartości u x,y, x =,1,...,M 1, y =,1,...,N 1. Uzyskamy z nich M N wartości V m,n : V m,n = M 1 x= N 1 y= Przekszta lcenie odwrotne w tym przypadku wygla ι da naste ι co u x,y e 2πi M mx e 2πi N ny. (6.27) u x,y = 1 MN M 1 N 1 m= n= V m,n e 2πi M mx e 2πi N ny. (6.28) Przyk lad Dysponujemy wartościami funkcji dwóch zmiennych w pewnych konkretnych punktach należa ι cych dojakiegośkwadratu,rozk ladtychwartościilustrujerysunek48. Obliczamydyskretna ι transformate ι Fouriera i ilustrujemy modu ly uzyskanych liczb, patrz rysunek 49. Widzimy wyraźne maksima w rogach kwadratu i przypadkowe fluktuacje w pozosta lych obszarach, zeruja ι c odpowiednie liczby, usuwamy te fluktuacje (rysunek 5). Stosujemy przekszta lcenie odwrotne i dostajemy rysunek 51, prezentuja ι cy,,oczyszczona ι wersje ι danych z rysunku 48. Takie podejście można wykorzystać przede wszystkim do cyfrowej obróbki obrazu. Obliczenia w fizyce i technice, S. Bielski 61