Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
|
|
- Teresa Żurawska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1
2 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy obiekt w przestrzeni. Prosta - ślad punktu, który porusza się po najkrótszej drodze łączącej dwa punkty. Płaszczyzna - obiekt geometryczny, który przechodzi przez trzy niewspółliniowe punkty w przestrzeni. Proste równoległe biegną w tym samym kierunku i nie mają żadnego punktu wspólnego. Dr inż. Janusz Dębiński 2
3 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Półprosta jest zbiorem dokładnie tych wszystkich punktów prostej, które leżą po ustalonej stronie pewnego wyróżnionego punktu tej prostej, wraz z tym punktem. Punkt ten jest początkiem półprostej. Odcinek jest zbiorem dokładnie tych wszystkich punktów prostej, które leżą pomiędzy dwoma punktami prostej wraz z tymi punktami. Jest on więc najkrótszą drogą łączącą dwa punkty. Dr inż. Janusz Dębiński 3
4 2.2. Prawoskrętny kartezjański układ współrzędnych Układ współrzędnych w przestrzeni Z Z Z A(x, y, z) O O z x y x, y, z - współrzędne punktu A Dr inż. Janusz Dębiński 4
5 2.2. Prawoskrętny kartezjański układ współrzędnych Układ współrzędnych na płaszczyźnie x A(x, y) y II O I O III IV Oś - oś odciętych, oś - oś rzędnych. Dr inż. Janusz Dębiński 5
6 2.3. Kąt płaski Definicja kąta płaskiego b a S α a S α b α >0 α <0 S - wierzchołek kąta, a oraz b - ramiona kąta Dr inż. Janusz Dębiński 6
7 2.3. Kąt płaski Podstawowe kąty b S a=b b S a S a kąt pełny kąt półpełny kąt prosty b b S a S a S a kąt ostry b kąt wklęsły kąt rozwarty Dr inż. Janusz Dębiński 7
8 2.3. Kąt płaski Miara stopniowa kąta płaskiego Miara stopniowa kąta płaskiego opiera się na podziale kąta pełnego na 360 stopni. Stopień następnie dzieli się na 60 ' (minut), natomiast minutę na 60'' (sekund). 1 O ma więc 3600''. Sekundy dzieli się w sposób dziesiętny. Możliwy jest podział stopnia w sposób dziesiętny. Dr inż. Janusz Dębiński 8
9 2.3. Kąt płaski Miara łukowa kąta płaskiego A L B R α R O A R R O α =1 rad R B Obwód okręgu U =2 R Długość łuku L=R = 180 = rad = 57 O 17'44,8'' = 57,2957 O Dr inż. Janusz Dębiński 9
10 2.3. Kąt płaski Nazwa kąta Miara stopniowa Miara łukowa ostry o 90 o 2 prosty rozwarty półpełny o =90 o 90 o o 180 o o =180 o = 2 2 = wklęsły 180 o o 360 o 2 pełny o =360 o =2 Dr inż. Janusz Dębiński 10
11 2.3. Kąt płaski Kąty przyległe i wierzchołkowe b β γ δ α a Kąty przyległe (α, β) (β, γ) (γ, δ) (δ, α) Kąty wierzchołkowe (α, γ) (β, δ) Dr inż. Janusz Dębiński 11
12 2.3. Kąt płaski Kąty naprzemianległe i odpowiadające c β 1 α 1 γ 1 δ 1 a Kąty naprzemianległe (α 1, γ 2 ) (β 1, δ 2 ) (α 2, γ 1 ) (β 2, δ 1 ) Kąty odpowiadające (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) (γ 1, γ 2 ) (δ 1, δ 2 ) β 2 α 2 b γ 2 δ 2 Dr inż. Janusz Dębiński 12
13 2.4. Podstawowe twierdzenia geometrii Trójkąt prostokątny α c β a b γ α c a γ β b a+b > c b+c > a c+a > b a, b - przyprostokątne c - przeciwprostokątna P= 1 2 a b Twierdzenie Pitagorasa a 2 b 2 =c 2 Dr inż. Janusz Dębiński 13
14 2.4. Podstawowe twierdzenia geometrii Twierdzenie Talesa P 1 Q 1 P 2 S S Q 1 P 2 Q 2 P 1 Q 2 a b a b SP 1 SQ 1 = SP 2 SQ 2 SP 1 SQ 1 = P 1 P 2 Q 1 Q 2 Dr inż. Janusz Dębiński 14
15 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Definicje na okręgu O α A B sin = AB OB cos = OA OB tg = AB OA ctg = OA AB Dr inż. Janusz Dębiński 15
16 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym c β b sin = b c sin = a c α a γ cos = a c cos = b c tg = b a tg = a b ctg = a b ctg = b a Dr inż. Janusz Dębiński 16
17 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Znaki funkcji trygonometrycznych Ćwiartka I II III IV sin(α) cos(α) tg(α) ctg(α) Dr inż. Janusz Dębiński 17
18 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ujemnego sin = sin cos =cos tg = tg ctg = ctg Dr inż. Janusz Dębiński 18
19 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Wartości funkcji trygonometrycznych Miara stopniowa Miara łukowa sin(α) cos(α) tg(α) ctg(α) Dr inż. Janusz Dębiński 19
20 2.6. Funkcje Definicja funkcji Załóżmy, że x i y są dwiema zmieniającymi się wielkościami, przy czym każdej wartości x przyporządkowujemy co najwyżej jedną wartość y. Mówimy wówczas, że y jest funkcją x y= f x x - zmienna niezależna albo argument funkcji y - zmienna zależna. Wszystkie wartości x, którym przyporządkowujemy wartości y nazywamy dziedziną funkcji. Daną funkcję przedstawiamy w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą zbioru punktów o współrzędnych (x, y), który nazywamy wykresem funkcji. Dr inż. Janusz Dębiński 20
21 2.6. Funkcje Funkcja rosnąca Jeżeli dla x 2 >x 1 funkcja spełnia warunek f(x 2 )>f(x 1 ). f(x 2 ) f(x 1 ) x 1 x 2 Dr inż. Janusz Dębiński 21
22 2.6. Funkcje Funkcja malejąca Jeżeli dla x 2 >x 1 funkcja spełnia warunek f(x 1 )>f(x 2 ). f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Dr inż. Janusz Dębiński 22
23 2.6. Funkcje Ciągłość funkcji Funkcja ciągła - przy niewielkich zmianach argumentu x wartości funkcji y zmieniają się także bardzo mało. Wykresem takiej funkcji jest linia ciągła. Przy pewnych wartościach x funkcja może nie być ciągła i wtedy wykres funkcji ma przerwę. Wartości argumentu x, przy których to zachodzi nazywamy punktami nieciągłości funkcji. Dr inż. Janusz Dębiński 23
24 2.6. Funkcje Funkcja prawo- i lewostronnie ciągła Skończony skok f(x) Dr inż. Janusz Dębiński 24
25 2.6. Funkcje Pochodna funkcji Pochodną funkcji f(x) jest nowa funkcja zmiennej x, która przyporządkowuje jej wartość ilorazu różnicowego, to znaczy stosunek przyrostu y do odpowiadającego mu przyrostu x przy x dążącym do zera. y f(x) x y '= dy dx = f ' x = d f x dx Dr inż. Janusz Dębiński 25
26 2.6. Funkcje Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji Styczna jest to prosta, która posiada jeden punkt wspólny z wykresem funkcji. Interpretacją geometryczną pochodnej funkcji f(x) w punkcie o odciętej równej a jest tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(x) w tym punkcie. f(a) f(x) α f ' a =tg α a Dr inż. Janusz Dębiński 26
27 2.6. Funkcje Właściwości pochodnej funkcji [ f x g x h x ] ' = f ' x g ' x h' x [a f x ] ' =a f ' x Dr inż. Janusz Dębiński 27
28 2.6. Funkcje Pochodna prawo- i lewostronna Jeżeli w jakimś punkcie nie możemy policzyć pochodnej funkcji, ale możemy ją policzyć nieskończenie blisko z lewej i prawej strony tego punktu, to takie pochodne nazywamy pochodną lewostronną i prawostronną. Funkcja posiada wtedy punkt kątowy. f(x) α 1 a α 2 f ' a 0 =tg 1 f ' a 0 =tg 2 Dr inż. Janusz Dębiński 28
29 2.6. Funkcje Funkcja rosnąca Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w pewnym przedziale i posiadającą ciągłą przynajmniej pierwszą pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Aby funkcja ta była rosnąca w tym przedziale, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest f ' x 0 f(x) α Dr inż. Janusz Dębiński 29
30 2.6. Funkcje Funkcja malejąca Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w pewnym przedziale i posiadającą ciągłą przynajmniej pierwszą pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Aby funkcja ta była malejąca w tym przedziale, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest f ' x 0 f(x) α Dr inż. Janusz Dębiński 30
31 2.6. Funkcje Ekstremum funkcji Funkcja f(x) z dziedziną D ma w punkcie a maksimum absolutne lub globalne, jeżeli dla wszystkich zmiennych x należących do dziedziny f a f x Funkcja f(x) ma w punkcie a maksimum względne lub lokalne, jeżeli nierówność powyższa jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a. Dr inż. Janusz Dębiński 31
32 2.6. Funkcje Ekstremum funkcji Funkcja f(x) z dziedziną D ma w punkcie a minimum absolutne lub globalne, jeżeli dla wszystkich zmiennych x należących do dziedziny f a f x Funkcja f(x) ma w punkcie a minimum względne lub lokalne, jeżeli nierówność powyższa jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a. Dr inż. Janusz Dębiński 32
33 2.6. Funkcje Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji Dla funkcji ciągłych maksimum lub minimum lokalne może być tylko w tych punktach, w których pochodna funkcji równa się zero, lub w ogóle nie istnieje. W miejscu maksimum lub minimum lokalnego styczna jest równoległa do osi lub do osi, lub w tym miejscu jest punkt kątowy. f(x) f(x) f(x) Dr inż. Janusz Dębiński 33
34 2.6. Funkcje Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji Mówi on, że pochodna funkcji musi zmieniać znak przy przejściu przez punkt, w którym funkcja może mieć ekstremum. f'(x)=0 E f'(x)>0 f(x) f'(x)<0 f(x) f'(x)<0 E f'(x)=0 f'(x)>0 Dr inż. Janusz Dębiński 34
35 2.6. Funkcje Funkcja liniowa Postać funkcji liniowej f x =a x b a - współczynnik kierunkowy prostej Miejsce zerowe x 0 = b a Dr inż. Janusz Dębiński 35
36 2.6. Funkcje Funkcja liniowa Pochodna funkcji liniowej f ' x =a Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji liniowej należy wyznaczyć jej wartości w dwóch dowolnych punktach. Dr inż. Janusz Dębiński 36
37 2.6. Funkcje Funkcja liniowa a>0, b>0 a>0, b<0 a<0, b>0 a<0, b<0 a>0, b=0 a<0, b=0 a=0, b>0 a=0, b<0 Dr inż. Janusz Dębiński 37
38 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Postać funkcji kwadratowej f x =a x 2 b x c Współczynnik a musi być różny od zera. Wykresem tej funkcji jest krzywa, którą nazywamy parabolą. Jeżeli współczynnik a>0, to brzuszek paraboli skierowany jest w dół, jeżeli a<0, to brzuszek paraboli skierowany jest do góry. Dr inż. Janusz Dębiński 38
39 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa O ilości miejsc zerowych funkcji kwadratowej decyduje wyróżnik, który ma następującą postać =b 2 4 a c Jeżeli jest on ujemny, to funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych. Jeżeli równy jest on zero, to funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe o odciętej równej x 0 = b 2 a Dr inż. Janusz Dębiński 39
40 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Jeżeli jest on dodatni, to funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe o odciętych równych x 01 = b 2 a x 02 = b 2 a Dr inż. Janusz Dębiński 40
41 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Pochodna funkcji kwadratowej f ' x =2 a x b Funkcja kwadratowa posiada jedno ekstremum. Znajduje się ono w punkcie o odciętej równej x ext = b 2 a Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji kwadratowej należy wyznaczyć jej wartości w trzech dowolnych punktach. Dr inż. Janusz Dębiński 41
42 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa f(x)=a x 2 +b x+c x ext E f'(x)=2 a x+b E f'(x)=2 a x+b x ext f(x)=a x 2 +b x+c Dr inż. Janusz Dębiński 42
43 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa a>0, <0 a>0, =0 a>0, >0 a<0, <0 a<0, =0 a<0, >0 Dr inż. Janusz Dębiński 43
44 2.7. Macierze Definicja macierzy Macierzą A wymiaru m n nazywamy m n elementów, będących liczbami rzeczywistymi, tworzących tablicę, która składa się z m wierszy i n kolumn. a 11 a 12 a 1n a A=[ 21 a 22 a 2 n a m1 a m2 a mn] Dr inż. Janusz Dębiński 44
45 2.7. Macierze Macierz kwadratowa Jeżeli liczba kolumn równa się liczbie wierszy, to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową. A=[a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn] Dr inż. Janusz Dębiński 45
46 2.7. Macierze Wektor kolumnowy Macierzą wymiaru n 1 nazywamy wektorem kolumnowym. a=[a 1 a 2 a n] Dr inż. Janusz Dębiński 46
47 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Każdej macierzy kwadratowej możemy jednoznacznie przyporządkować pewną liczbę, którą nazywamy wyznacznikiem n-tego stopnia macierzy. det A= a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn Dr inż. Janusz Dębiński 47
48 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Wyznacznik drugiego stopnia obliczymy ze wzoru a 11 a 12 a 21 a 22 =a 11 a 22 a 12 a 21 Dr inż. Janusz Dębiński 48
49 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Wyznacznik trzeciego stopnia obliczymy z zastosowaniem reguły Sarrusa, która ma postać a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11 a12 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Dr inż. Janusz Dębiński 49
50 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Iloczyn dwóch macierzy A i B jest dobrze określony jedynie w przypadku, kiedy liczba kolumn pierwszej macierzy równa się liczbie wierszy drugiej macierzy. Wymiar macierzy wynikowej - [n m] [m k] = [n k] C=A B A=[ a 11 a 12 a 11 b 12 b 13 b a 21 a 22 a 23] B=[b b 21 b 22 b 23 b [2 4] 24 b 31 b 32 b 33 b 34] [2 3] C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 [3 4] c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 50
51 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Iloczyn macierzy wyznaczamy z pomocą schematu Falcka. Element c 11 macierzy C wyznaczymy sumując iloczyny elementów pierwszego wiersza macierzy A i pierwszej kolumny macierzy B. A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23] B=[b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34] c 11 =a 11 b 11 a 12 b 21 a 13 b 31 C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 51
52 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Element c 23 macierzy C wyznaczymy sumując iloczyny elementów drugiego wiersza macierzy A i trzeciej kolumny macierzy B. A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23] B=[b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34] c 23 =a 21 b 13 a 22 b 23 a 23 b 33 C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 52
53 2.7. Macierze Wyrażenie algebraiczne i tożsamość algebraiczna Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub całą grupę wielkości algebraicznych: liczb, symboli literowych, połączonych znakami +, itd. oraz różnego rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych. 2 a 3 x y 3 [1 2 z t 1 1 u ] 2 s Tożsamością algebraiczną nazywamy taką równość dwóch wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa. a b=b a Dr inż. Janusz Dębiński 53
54 2.7. Macierze Równanie Równaniem nazywamy taką równość dwóch wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu w miejsce symboli literowych wartości liczbowych z pewnego określonego zakresu jest ono spełnione. Dla jednej zmiennej możemy równanie zapisać w postaci g x = f x Zmienną x występującą w tym równaniu nazywamy niewiadomą, a jej szczególne wartości x 1, x 2,..., x n nazywamy pierwiastkami równania. Dr inż. Janusz Dębiński 54
55 2.7. Macierze Równanie liniowe i układ równań liniowych Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie w postaci a x b=0 Układ n równań liniowych z n niewiadomymi {a11 x1 a12 x 2 a1 n xn=a1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n =a 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n =a n Dr inż. Janusz Dębiński 55
56 2.7. Macierze Układ równań liniowych Wykorzystując iloczyn macierzy układ równań możemy zapisać tym samym w postaci A x=a {a11 x1 a12 x 2 a1 n xn=a1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n =a 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n =a n w której macierz A nazywamy macierzą główną układu równań. 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] Dr inż. Janusz Dębiński 56
57 2.7. Macierze Układ równań liniowych 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] Rozpatrujemy tylko układy równań, w których przynajmniej jeden element wektora a jest różny od zera. Układy takie nazywamy układami równań niejednorodnych. Aby miał on rozwiązanie wyznacznik z macierzy głównej A musi być różny od zera. Dr inż. Janusz Dębiński 57
58 2.7. Macierze Układ równań liniowych - metoda Cramera 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] 11 a 12 a 1 n a D= a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn 1 a 12 a 1n a12 a1 a D 1 = a 2 a 22 a 2 n a a n a n 2 a nn D 21 a 22 a 2 n= a11 a n 1 a n 2 a n x 1 = D 1 D x n = D n D, Dr inż. Janusz Dębiński 58
59 2.8. Wektory Definicja wektora Wielkości charakteryzowane jedynie liczbami rzeczywistymi nazywamy skalarami. Przykładem wielkości skalarnej są: masa, temperatura, energia, moc. Wektorem nazywamy wielkość, do której pełnego opisu oprócz wartości liczbowej konieczne jest określenie kierunku oraz zwrotu w przestrzeni. Przykładem wielkości wektorowej jest prędkość. Wektor prędkości jest styczny do toru ruchu ciała. Dr inż. Janusz Dębiński 59
60 2.8. Wektory Definicja wektora Do ilościowego opisu wektora służą: 1. zwrot wektora określany poprzez podanie punktu początkowego A oraz końcowego B 2. długość wektora czyli długość odcinka AB 3. kierunek wektora określany przez prostą, na której znajdują się punkty A i B. Dr inż. Janusz Dębiński 60
61 2.8. Wektory Wektor biegunowy Wektory biegunowe służą do opisu wielkości określonych przez liczbę rzeczywistą, kierunek i zwrot. a B A Dr inż. Janusz Dębiński 61
62 2.8. Wektory Wektor osiowy Wektory osiowe służą do opisu wielkości, które dodatkowo wymagają określenia kierunku obrotu. Zwrot wektora osiowego jest zgodny z kierunkiem przesuwu śruby prawoskrętnej kręcącej się zgodnie z obrotem danej wielkości, a jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny, na której działa dana wielkość. B A a a A B Dr inż. Janusz Dębiński 62
63 2.8. Wektory Równość wektorów Mówimy, że dwa wektory biegunowe lub osiowe a i b są równe, jeżeli mają te same długości, kierunki i zwroty. Wektory przeciwne mają z kolei tą samą długość oraz kierunek, ale przeciwne zwroty. W przypadku wektorów osiowych przeciwny zwrot oznacza, że wektory te kręcą się w przeciwnych kierunkach. Dr inż. Janusz Dębiński 63
64 2.8. Wektory Typy wektorów Wektor swobodny jest to taki wektor, który nie zmienia swoich właściwości, to znaczy długości, kierunku i zwrotu, przy dowolnym równoległym przesunięciu w przestrzeni niezależnie do tego, gdzie umieścimy jego punkt początkowy. Jeżeli właściwości wektora związane są z pewnym punktem, to wektor taki nazywamy wektorem związanym. Wektor ślizgający jest to wektor, który można przesuwać wzdłuż prostej pokrywającej się z jego kierunkiem działania. Wektorem zerowym nazywamy wektor o długości zero. Jego punkty początkowy i końcowy pokrywają się. Nie potrafimy ponadto określić jednoznacznie jego kierunku. Dr inż. Janusz Dębiński 64
65 2.8. Wektory Iloczyn skalara i wektora Jeżeli mnożymy dany wektor a przez skalar s, to taki nowy wektor ma ten sam kierunek, natomiast jego długość jest równa iloczynowi wartości s przez długość wektora a. Zwrot nowego wektora zależy od wartości skalara. Jeżeli s>0, to zwrot nowego wektora jest taki sam jak zwrot wektora a. Jeżeli s<0, to zwrot ten jest przeciwny do zwrotu wektora a. Dr inż. Janusz Dębiński 65
66 2.8. Wektory Suma wektorów Sumą dwóch wektorów jest wektor c, którego kierunek przechodzi przez punkt przecięcia się kierunków wektorów a i b. Długość wektora c jest przekątną równoległoboku, którego bokami są wektory a oraz b. Zwrot wektora c zależy od zwrotów wektorów a i b. Dodawanie dwóch wektorów jest działaniem przemiennym, czyli zachodzi związek a b=b a=c Dr inż. Janusz Dębiński 66
67 2.8. Wektory Suma wektorów b b c b c a a a Dr inż. Janusz Dębiński 67
68 2.8. Wektory Suma wektorów b c b a a c b a Dr inż. Janusz Dębiński 68
69 2.8. Wektory Iloczyn skalarny wektorów Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a oraz b nazywamy skalar, który ma wartość a b= a b cos a α b Dr inż. Janusz Dębiński 69
70 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów Mnożenie wektorowe jest działaniem, które dwóm wektorom a i b przyporządkowuje ich iloczyn wektorowy a b=c którym jest wektor c prostopadły do wektorów a i b. Zwrot wektora c pokrywa się z kierunkiem przesuwu śruby prawoskrętnej, która kręci się od wektora a do wektora b. Długość wektora c wyznaczamy z zależności c = a b sin Dr inż. Janusz Dębiński 70
71 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów a b=c c b α a Dr inż. Janusz Dębiński 71
72 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów b a= c b α a c Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym, zachodzi zależność a b= b a Dr inż. Janusz Dębiński 72
73 2.8. Wektory Warunek prostopadłości i równoległości dwóch wektorów Na podstawie definicji iloczynu skalarnego możemy stwierdzić, że dwa wektory są do siebie prostopadłe, jeżeli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Jest to więc warunek prostopadłości dwóch wektorów. Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów wynosi zero, to wektory te są do siebie równoległe. Jest to zatem warunek równoległości dwóch wektorów. Dr inż. Janusz Dębiński 73
PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste
CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Katalog wymagań programowych
MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowo1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5
Matematyka Liceum Klasa II Zakres podstawowy Pytania egzaminacyjne 07. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: 5 A. y = B. y = 5 C. y = D. y =.. Dana jest funkcja liniowa f() = + 4. Które
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoWykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego
Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
Bardziej szczegółowoOstatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoRozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte = = = 2. = =1 (D) Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x. (D) Zad 5. #./ 0'!
Zad 1., Rozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte 2 2 4 2 Zad 2. log 50 log 2log log 252 czyli 1 Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x.!,!," średnia: 0,9& czyli średnia to 90% października
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014
I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom rozszerzony
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom rozszerzony podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych,
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoKLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z matematyki kl.i LO
Literka.pl Plan wynikowy z matematyki kl.i LO Data dodania: 2006-09-23 09:27:55 Przedstawiam Państwu plan wynikowy z matematyki dla klasy pierwszej LO wg programu programu DKOS 4015-12/02 na rok szkolny
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo