Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz"

Transkrypt

1 Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1

2 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy obiekt w przestrzeni. Prosta - ślad punktu, który porusza się po najkrótszej drodze łączącej dwa punkty. Płaszczyzna - obiekt geometryczny, który przechodzi przez trzy niewspółliniowe punkty w przestrzeni. Proste równoległe biegną w tym samym kierunku i nie mają żadnego punktu wspólnego. Dr inż. Janusz Dębiński 2

3 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Półprosta jest zbiorem dokładnie tych wszystkich punktów prostej, które leżą po ustalonej stronie pewnego wyróżnionego punktu tej prostej, wraz z tym punktem. Punkt ten jest początkiem półprostej. Odcinek jest zbiorem dokładnie tych wszystkich punktów prostej, które leżą pomiędzy dwoma punktami prostej wraz z tymi punktami. Jest on więc najkrótszą drogą łączącą dwa punkty. Dr inż. Janusz Dębiński 3

4 2.2. Prawoskrętny kartezjański układ współrzędnych Układ współrzędnych w przestrzeni Z Z Z A(x, y, z) O O z x y x, y, z - współrzędne punktu A Dr inż. Janusz Dębiński 4

5 2.2. Prawoskrętny kartezjański układ współrzędnych Układ współrzędnych na płaszczyźnie x A(x, y) y II O I O III IV Oś - oś odciętych, oś - oś rzędnych. Dr inż. Janusz Dębiński 5

6 2.3. Kąt płaski Definicja kąta płaskiego b a S α a S α b α >0 α <0 S - wierzchołek kąta, a oraz b - ramiona kąta Dr inż. Janusz Dębiński 6

7 2.3. Kąt płaski Podstawowe kąty b S a=b b S a S a kąt pełny kąt półpełny kąt prosty b b S a S a S a kąt ostry b kąt wklęsły kąt rozwarty Dr inż. Janusz Dębiński 7

8 2.3. Kąt płaski Miara stopniowa kąta płaskiego Miara stopniowa kąta płaskiego opiera się na podziale kąta pełnego na 360 stopni. Stopień następnie dzieli się na 60 ' (minut), natomiast minutę na 60'' (sekund). 1 O ma więc 3600''. Sekundy dzieli się w sposób dziesiętny. Możliwy jest podział stopnia w sposób dziesiętny. Dr inż. Janusz Dębiński 8

9 2.3. Kąt płaski Miara łukowa kąta płaskiego A L B R α R O A R R O α =1 rad R B Obwód okręgu U =2 R Długość łuku L=R = 180 = rad = 57 O 17'44,8'' = 57,2957 O Dr inż. Janusz Dębiński 9

10 2.3. Kąt płaski Nazwa kąta Miara stopniowa Miara łukowa ostry o 90 o 2 prosty rozwarty półpełny o =90 o 90 o o 180 o o =180 o = 2 2 = wklęsły 180 o o 360 o 2 pełny o =360 o =2 Dr inż. Janusz Dębiński 10

11 2.3. Kąt płaski Kąty przyległe i wierzchołkowe b β γ δ α a Kąty przyległe (α, β) (β, γ) (γ, δ) (δ, α) Kąty wierzchołkowe (α, γ) (β, δ) Dr inż. Janusz Dębiński 11

12 2.3. Kąt płaski Kąty naprzemianległe i odpowiadające c β 1 α 1 γ 1 δ 1 a Kąty naprzemianległe (α 1, γ 2 ) (β 1, δ 2 ) (α 2, γ 1 ) (β 2, δ 1 ) Kąty odpowiadające (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) (γ 1, γ 2 ) (δ 1, δ 2 ) β 2 α 2 b γ 2 δ 2 Dr inż. Janusz Dębiński 12

13 2.4. Podstawowe twierdzenia geometrii Trójkąt prostokątny α c β a b γ α c a γ β b a+b > c b+c > a c+a > b a, b - przyprostokątne c - przeciwprostokątna P= 1 2 a b Twierdzenie Pitagorasa a 2 b 2 =c 2 Dr inż. Janusz Dębiński 13

14 2.4. Podstawowe twierdzenia geometrii Twierdzenie Talesa P 1 Q 1 P 2 S S Q 1 P 2 Q 2 P 1 Q 2 a b a b SP 1 SQ 1 = SP 2 SQ 2 SP 1 SQ 1 = P 1 P 2 Q 1 Q 2 Dr inż. Janusz Dębiński 14

15 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Definicje na okręgu O α A B sin = AB OB cos = OA OB tg = AB OA ctg = OA AB Dr inż. Janusz Dębiński 15

16 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym c β b sin = b c sin = a c α a γ cos = a c cos = b c tg = b a tg = a b ctg = a b ctg = b a Dr inż. Janusz Dębiński 16

17 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Znaki funkcji trygonometrycznych Ćwiartka I II III IV sin(α) cos(α) tg(α) ctg(α) Dr inż. Janusz Dębiński 17

18 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ujemnego sin = sin cos =cos tg = tg ctg = ctg Dr inż. Janusz Dębiński 18

19 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Wartości funkcji trygonometrycznych Miara stopniowa Miara łukowa sin(α) cos(α) tg(α) ctg(α) Dr inż. Janusz Dębiński 19

20 2.6. Funkcje Definicja funkcji Załóżmy, że x i y są dwiema zmieniającymi się wielkościami, przy czym każdej wartości x przyporządkowujemy co najwyżej jedną wartość y. Mówimy wówczas, że y jest funkcją x y= f x x - zmienna niezależna albo argument funkcji y - zmienna zależna. Wszystkie wartości x, którym przyporządkowujemy wartości y nazywamy dziedziną funkcji. Daną funkcję przedstawiamy w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą zbioru punktów o współrzędnych (x, y), który nazywamy wykresem funkcji. Dr inż. Janusz Dębiński 20

21 2.6. Funkcje Funkcja rosnąca Jeżeli dla x 2 >x 1 funkcja spełnia warunek f(x 2 )>f(x 1 ). f(x 2 ) f(x 1 ) x 1 x 2 Dr inż. Janusz Dębiński 21

22 2.6. Funkcje Funkcja malejąca Jeżeli dla x 2 >x 1 funkcja spełnia warunek f(x 1 )>f(x 2 ). f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Dr inż. Janusz Dębiński 22

23 2.6. Funkcje Ciągłość funkcji Funkcja ciągła - przy niewielkich zmianach argumentu x wartości funkcji y zmieniają się także bardzo mało. Wykresem takiej funkcji jest linia ciągła. Przy pewnych wartościach x funkcja może nie być ciągła i wtedy wykres funkcji ma przerwę. Wartości argumentu x, przy których to zachodzi nazywamy punktami nieciągłości funkcji. Dr inż. Janusz Dębiński 23

24 2.6. Funkcje Funkcja prawo- i lewostronnie ciągła Skończony skok f(x) Dr inż. Janusz Dębiński 24

25 2.6. Funkcje Pochodna funkcji Pochodną funkcji f(x) jest nowa funkcja zmiennej x, która przyporządkowuje jej wartość ilorazu różnicowego, to znaczy stosunek przyrostu y do odpowiadającego mu przyrostu x przy x dążącym do zera. y f(x) x y '= dy dx = f ' x = d f x dx Dr inż. Janusz Dębiński 25

26 2.6. Funkcje Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji Styczna jest to prosta, która posiada jeden punkt wspólny z wykresem funkcji. Interpretacją geometryczną pochodnej funkcji f(x) w punkcie o odciętej równej a jest tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(x) w tym punkcie. f(a) f(x) α f ' a =tg α a Dr inż. Janusz Dębiński 26

27 2.6. Funkcje Właściwości pochodnej funkcji [ f x g x h x ] ' = f ' x g ' x h' x [a f x ] ' =a f ' x Dr inż. Janusz Dębiński 27

28 2.6. Funkcje Pochodna prawo- i lewostronna Jeżeli w jakimś punkcie nie możemy policzyć pochodnej funkcji, ale możemy ją policzyć nieskończenie blisko z lewej i prawej strony tego punktu, to takie pochodne nazywamy pochodną lewostronną i prawostronną. Funkcja posiada wtedy punkt kątowy. f(x) α 1 a α 2 f ' a 0 =tg 1 f ' a 0 =tg 2 Dr inż. Janusz Dębiński 28

29 2.6. Funkcje Funkcja rosnąca Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w pewnym przedziale i posiadającą ciągłą przynajmniej pierwszą pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Aby funkcja ta była rosnąca w tym przedziale, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest f ' x 0 f(x) α Dr inż. Janusz Dębiński 29

30 2.6. Funkcje Funkcja malejąca Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w pewnym przedziale i posiadającą ciągłą przynajmniej pierwszą pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Aby funkcja ta była malejąca w tym przedziale, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest f ' x 0 f(x) α Dr inż. Janusz Dębiński 30

31 2.6. Funkcje Ekstremum funkcji Funkcja f(x) z dziedziną D ma w punkcie a maksimum absolutne lub globalne, jeżeli dla wszystkich zmiennych x należących do dziedziny f a f x Funkcja f(x) ma w punkcie a maksimum względne lub lokalne, jeżeli nierówność powyższa jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a. Dr inż. Janusz Dębiński 31

32 2.6. Funkcje Ekstremum funkcji Funkcja f(x) z dziedziną D ma w punkcie a minimum absolutne lub globalne, jeżeli dla wszystkich zmiennych x należących do dziedziny f a f x Funkcja f(x) ma w punkcie a minimum względne lub lokalne, jeżeli nierówność powyższa jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a. Dr inż. Janusz Dębiński 32

33 2.6. Funkcje Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji Dla funkcji ciągłych maksimum lub minimum lokalne może być tylko w tych punktach, w których pochodna funkcji równa się zero, lub w ogóle nie istnieje. W miejscu maksimum lub minimum lokalnego styczna jest równoległa do osi lub do osi, lub w tym miejscu jest punkt kątowy. f(x) f(x) f(x) Dr inż. Janusz Dębiński 33

34 2.6. Funkcje Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji Mówi on, że pochodna funkcji musi zmieniać znak przy przejściu przez punkt, w którym funkcja może mieć ekstremum. f'(x)=0 E f'(x)>0 f(x) f'(x)<0 f(x) f'(x)<0 E f'(x)=0 f'(x)>0 Dr inż. Janusz Dębiński 34

35 2.6. Funkcje Funkcja liniowa Postać funkcji liniowej f x =a x b a - współczynnik kierunkowy prostej Miejsce zerowe x 0 = b a Dr inż. Janusz Dębiński 35

36 2.6. Funkcje Funkcja liniowa Pochodna funkcji liniowej f ' x =a Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji liniowej należy wyznaczyć jej wartości w dwóch dowolnych punktach. Dr inż. Janusz Dębiński 36

37 2.6. Funkcje Funkcja liniowa a>0, b>0 a>0, b<0 a<0, b>0 a<0, b<0 a>0, b=0 a<0, b=0 a=0, b>0 a=0, b<0 Dr inż. Janusz Dębiński 37

38 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Postać funkcji kwadratowej f x =a x 2 b x c Współczynnik a musi być różny od zera. Wykresem tej funkcji jest krzywa, którą nazywamy parabolą. Jeżeli współczynnik a>0, to brzuszek paraboli skierowany jest w dół, jeżeli a<0, to brzuszek paraboli skierowany jest do góry. Dr inż. Janusz Dębiński 38

39 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa O ilości miejsc zerowych funkcji kwadratowej decyduje wyróżnik, który ma następującą postać =b 2 4 a c Jeżeli jest on ujemny, to funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych. Jeżeli równy jest on zero, to funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe o odciętej równej x 0 = b 2 a Dr inż. Janusz Dębiński 39

40 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Jeżeli jest on dodatni, to funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe o odciętych równych x 01 = b 2 a x 02 = b 2 a Dr inż. Janusz Dębiński 40

41 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Pochodna funkcji kwadratowej f ' x =2 a x b Funkcja kwadratowa posiada jedno ekstremum. Znajduje się ono w punkcie o odciętej równej x ext = b 2 a Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji kwadratowej należy wyznaczyć jej wartości w trzech dowolnych punktach. Dr inż. Janusz Dębiński 41

42 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa f(x)=a x 2 +b x+c x ext E f'(x)=2 a x+b E f'(x)=2 a x+b x ext f(x)=a x 2 +b x+c Dr inż. Janusz Dębiński 42

43 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa a>0, <0 a>0, =0 a>0, >0 a<0, <0 a<0, =0 a<0, >0 Dr inż. Janusz Dębiński 43

44 2.7. Macierze Definicja macierzy Macierzą A wymiaru m n nazywamy m n elementów, będących liczbami rzeczywistymi, tworzących tablicę, która składa się z m wierszy i n kolumn. a 11 a 12 a 1n a A=[ 21 a 22 a 2 n a m1 a m2 a mn] Dr inż. Janusz Dębiński 44

45 2.7. Macierze Macierz kwadratowa Jeżeli liczba kolumn równa się liczbie wierszy, to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową. A=[a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn] Dr inż. Janusz Dębiński 45

46 2.7. Macierze Wektor kolumnowy Macierzą wymiaru n 1 nazywamy wektorem kolumnowym. a=[a 1 a 2 a n] Dr inż. Janusz Dębiński 46

47 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Każdej macierzy kwadratowej możemy jednoznacznie przyporządkować pewną liczbę, którą nazywamy wyznacznikiem n-tego stopnia macierzy. det A= a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn Dr inż. Janusz Dębiński 47

48 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Wyznacznik drugiego stopnia obliczymy ze wzoru a 11 a 12 a 21 a 22 =a 11 a 22 a 12 a 21 Dr inż. Janusz Dębiński 48

49 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Wyznacznik trzeciego stopnia obliczymy z zastosowaniem reguły Sarrusa, która ma postać a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11 a12 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Dr inż. Janusz Dębiński 49

50 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Iloczyn dwóch macierzy A i B jest dobrze określony jedynie w przypadku, kiedy liczba kolumn pierwszej macierzy równa się liczbie wierszy drugiej macierzy. Wymiar macierzy wynikowej - [n m] [m k] = [n k] C=A B A=[ a 11 a 12 a 11 b 12 b 13 b a 21 a 22 a 23] B=[b b 21 b 22 b 23 b [2 4] 24 b 31 b 32 b 33 b 34] [2 3] C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 [3 4] c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 50

51 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Iloczyn macierzy wyznaczamy z pomocą schematu Falcka. Element c 11 macierzy C wyznaczymy sumując iloczyny elementów pierwszego wiersza macierzy A i pierwszej kolumny macierzy B. A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23] B=[b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34] c 11 =a 11 b 11 a 12 b 21 a 13 b 31 C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 51

52 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Element c 23 macierzy C wyznaczymy sumując iloczyny elementów drugiego wiersza macierzy A i trzeciej kolumny macierzy B. A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23] B=[b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34] c 23 =a 21 b 13 a 22 b 23 a 23 b 33 C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 52

53 2.7. Macierze Wyrażenie algebraiczne i tożsamość algebraiczna Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub całą grupę wielkości algebraicznych: liczb, symboli literowych, połączonych znakami +, itd. oraz różnego rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych. 2 a 3 x y 3 [1 2 z t 1 1 u ] 2 s Tożsamością algebraiczną nazywamy taką równość dwóch wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa. a b=b a Dr inż. Janusz Dębiński 53

54 2.7. Macierze Równanie Równaniem nazywamy taką równość dwóch wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu w miejsce symboli literowych wartości liczbowych z pewnego określonego zakresu jest ono spełnione. Dla jednej zmiennej możemy równanie zapisać w postaci g x = f x Zmienną x występującą w tym równaniu nazywamy niewiadomą, a jej szczególne wartości x 1, x 2,..., x n nazywamy pierwiastkami równania. Dr inż. Janusz Dębiński 54

55 2.7. Macierze Równanie liniowe i układ równań liniowych Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie w postaci a x b=0 Układ n równań liniowych z n niewiadomymi {a11 x1 a12 x 2 a1 n xn=a1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n =a 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n =a n Dr inż. Janusz Dębiński 55

56 2.7. Macierze Układ równań liniowych Wykorzystując iloczyn macierzy układ równań możemy zapisać tym samym w postaci A x=a {a11 x1 a12 x 2 a1 n xn=a1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n =a 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n =a n w której macierz A nazywamy macierzą główną układu równań. 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] Dr inż. Janusz Dębiński 56

57 2.7. Macierze Układ równań liniowych 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] Rozpatrujemy tylko układy równań, w których przynajmniej jeden element wektora a jest różny od zera. Układy takie nazywamy układami równań niejednorodnych. Aby miał on rozwiązanie wyznacznik z macierzy głównej A musi być różny od zera. Dr inż. Janusz Dębiński 57

58 2.7. Macierze Układ równań liniowych - metoda Cramera 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] 11 a 12 a 1 n a D= a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn 1 a 12 a 1n a12 a1 a D 1 = a 2 a 22 a 2 n a a n a n 2 a nn D 21 a 22 a 2 n= a11 a n 1 a n 2 a n x 1 = D 1 D x n = D n D, Dr inż. Janusz Dębiński 58

59 2.8. Wektory Definicja wektora Wielkości charakteryzowane jedynie liczbami rzeczywistymi nazywamy skalarami. Przykładem wielkości skalarnej są: masa, temperatura, energia, moc. Wektorem nazywamy wielkość, do której pełnego opisu oprócz wartości liczbowej konieczne jest określenie kierunku oraz zwrotu w przestrzeni. Przykładem wielkości wektorowej jest prędkość. Wektor prędkości jest styczny do toru ruchu ciała. Dr inż. Janusz Dębiński 59

60 2.8. Wektory Definicja wektora Do ilościowego opisu wektora służą: 1. zwrot wektora określany poprzez podanie punktu początkowego A oraz końcowego B 2. długość wektora czyli długość odcinka AB 3. kierunek wektora określany przez prostą, na której znajdują się punkty A i B. Dr inż. Janusz Dębiński 60

61 2.8. Wektory Wektor biegunowy Wektory biegunowe służą do opisu wielkości określonych przez liczbę rzeczywistą, kierunek i zwrot. a B A Dr inż. Janusz Dębiński 61

62 2.8. Wektory Wektor osiowy Wektory osiowe służą do opisu wielkości, które dodatkowo wymagają określenia kierunku obrotu. Zwrot wektora osiowego jest zgodny z kierunkiem przesuwu śruby prawoskrętnej kręcącej się zgodnie z obrotem danej wielkości, a jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny, na której działa dana wielkość. B A a a A B Dr inż. Janusz Dębiński 62

63 2.8. Wektory Równość wektorów Mówimy, że dwa wektory biegunowe lub osiowe a i b są równe, jeżeli mają te same długości, kierunki i zwroty. Wektory przeciwne mają z kolei tą samą długość oraz kierunek, ale przeciwne zwroty. W przypadku wektorów osiowych przeciwny zwrot oznacza, że wektory te kręcą się w przeciwnych kierunkach. Dr inż. Janusz Dębiński 63

64 2.8. Wektory Typy wektorów Wektor swobodny jest to taki wektor, który nie zmienia swoich właściwości, to znaczy długości, kierunku i zwrotu, przy dowolnym równoległym przesunięciu w przestrzeni niezależnie do tego, gdzie umieścimy jego punkt początkowy. Jeżeli właściwości wektora związane są z pewnym punktem, to wektor taki nazywamy wektorem związanym. Wektor ślizgający jest to wektor, który można przesuwać wzdłuż prostej pokrywającej się z jego kierunkiem działania. Wektorem zerowym nazywamy wektor o długości zero. Jego punkty początkowy i końcowy pokrywają się. Nie potrafimy ponadto określić jednoznacznie jego kierunku. Dr inż. Janusz Dębiński 64

65 2.8. Wektory Iloczyn skalara i wektora Jeżeli mnożymy dany wektor a przez skalar s, to taki nowy wektor ma ten sam kierunek, natomiast jego długość jest równa iloczynowi wartości s przez długość wektora a. Zwrot nowego wektora zależy od wartości skalara. Jeżeli s>0, to zwrot nowego wektora jest taki sam jak zwrot wektora a. Jeżeli s<0, to zwrot ten jest przeciwny do zwrotu wektora a. Dr inż. Janusz Dębiński 65

66 2.8. Wektory Suma wektorów Sumą dwóch wektorów jest wektor c, którego kierunek przechodzi przez punkt przecięcia się kierunków wektorów a i b. Długość wektora c jest przekątną równoległoboku, którego bokami są wektory a oraz b. Zwrot wektora c zależy od zwrotów wektorów a i b. Dodawanie dwóch wektorów jest działaniem przemiennym, czyli zachodzi związek a b=b a=c Dr inż. Janusz Dębiński 66

67 2.8. Wektory Suma wektorów b b c b c a a a Dr inż. Janusz Dębiński 67

68 2.8. Wektory Suma wektorów b c b a a c b a Dr inż. Janusz Dębiński 68

69 2.8. Wektory Iloczyn skalarny wektorów Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a oraz b nazywamy skalar, który ma wartość a b= a b cos a α b Dr inż. Janusz Dębiński 69

70 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów Mnożenie wektorowe jest działaniem, które dwóm wektorom a i b przyporządkowuje ich iloczyn wektorowy a b=c którym jest wektor c prostopadły do wektorów a i b. Zwrot wektora c pokrywa się z kierunkiem przesuwu śruby prawoskrętnej, która kręci się od wektora a do wektora b. Długość wektora c wyznaczamy z zależności c = a b sin Dr inż. Janusz Dębiński 70

71 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów a b=c c b α a Dr inż. Janusz Dębiński 71

72 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów b a= c b α a c Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym, zachodzi zależność a b= b a Dr inż. Janusz Dębiński 72

73 2.8. Wektory Warunek prostopadłości i równoległości dwóch wektorów Na podstawie definicji iloczynu skalarnego możemy stwierdzić, że dwa wektory są do siebie prostopadłe, jeżeli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Jest to więc warunek prostopadłości dwóch wektorów. Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów wynosi zero, to wektory te są do siebie równoległe. Jest to zatem warunek równoległości dwóch wektorów. Dr inż. Janusz Dębiński 73

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02 Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Egzamin wstępny z matematyki na kierunek Matematyka będzie przeprowadzony

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom rozszerzony

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom rozszerzony Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. LICZBY RZECZYWISTE Kl. I poziom rozszerzony podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki kl.i LO

Plan wynikowy z matematyki kl.i LO Literka.pl Plan wynikowy z matematyki kl.i LO Data dodania: 2006-09-23 09:27:55 Przedstawiam Państwu plan wynikowy z matematyki dla klasy pierwszej LO wg programu programu DKOS 4015-12/02 na rok szkolny

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328

Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328 Drogi Czytelniku 9 Oznaczenia matematyczne 11 Podstawowe wzory 15 Rozdział I. Zbiory. Działania na zbiorach 21 1. Zbiór liczb naturalnych 22 1.1. Działania w zbiorze liczb naturalnych 22 1.2. Prawa działań

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH im. ZBIGNIEWA HERBERTA w TRZEBIATOWIE PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI Klasa pierwsza liceum ogólnokształcącego i liceum profilowanego Praca zbiorowa 03 lutego 2003r. Publikacja

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka 1 wymagania edukacyjne

Matematyka 1 wymagania edukacyjne Matematyka 1 wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo