Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Transkrypt

1 I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie to druga pochodna po lożenia w chwili t, oczywiście przyspieszenie na ogó l zależy od czasu Jest to oczywiście wielkość wektorowa, wie c dlatego stosujemy,,t lusty druk albo strza lke (to rzecz gustu) Oznaczaja c po lożenie w chwili t przez x(t) = ( x (t), x (t), x 3 (t) ) otrzymujemy a(t) = x (t) W ogólności si la jest wektorem zależnym od po lożenia (np grawitacyjna), pre dkości poruszaja cego sie cia la (np tarcie) i czasu (np zwie kszamy lub zmniejszamy obroty silnika) Powinniśmy wie c traktować wektor F jako zależna od zmiennych x, x oraz t Wtedy druga zasada dynamiki przyjmuje postać F ( x(t), x (t), t ) = mx (t) Z jednej strony wyste puje druga pochodna funkcji x, a z drugiej funkcja zależna od x, x oraz t Zwykle naszym celem po napisaniu takiego równania jest znalezienie funkcji x chcemy zbadać ruch, czyli móc powiedzieć w jakim punkcie w danej chwili znajduje sie poruszaja cy sie obiekt Równania tego typu nazywane sa równaniami różniczkowymi, w tym konkretnym przypadku drugiego rze du, bowiem w równaniu wyste pochodne drugiego rze du niewiadomej funkcji, a pochodne wyższego rze du już nie Jeśli równanie nie daje sie zać, to możemy próbować przybliżyć - zanie, czasem przybliżyć równanie i zać równanie przybliżone w nadziei, że jego zania przybliżaja zania wyjściowego równania Zagadnienia te sa trudne W trakcie tego wyk ladu zajmować sie be dziemy jedynie najprostszymi typami równań różniczkowych i to tylko takimi, które można zać używaja c jedynie elementarnych funkcji W szkole uczniowie spotykaja sie na lekcjach fizyki z wahad lem matematycznym, poznaja prawa jego ruchu Zaczyna sie to wszystko od stwierdzenia, że jeśli x(t) oznacza ka t o jaki wahad lo odchylone jest od pionu w chwili t, to spe lniona jest równość x (t) = sin x(t) Zak ladam tu, że jednostki sa tak dobrane, że przyspieszenie ziemskie równe jest, d lugość wahad la też jest i dlatego nie ma żadnych

2 wspó lczynników w rodzaju g, l, Naste pnie nauczyciel oświadcza, że ponieważ zajmujemy sie jedynie sytuacja, w której amplituda wahań jest ma la, wie c możemy przyja ć, że sin x x,* co pozwala na zaje cie sie równaniem x (t) = x(t) ostatnie daje sie latwo zać, nauczymy sie tego w nieodleg lej przysz lości Można równanie x (t) = sin x(t) pomnożyć stronami przez x (t), w wyniku otrzymamy x (t)x (t) = x (t) sin x(t) Korzystaja c z wzoru na pochodna z lożenia możemy napisać równość ([ x (t) ] ) = ( cos x(t) ) Ponieważ pochodna funkcji [ x (t) ] cos x(t) zeruje sie na ca lej prostej, wie c ta funkcja jest sta la Fizycy te zwykli nazywać energia i dodaja c, że [ x (t) ] to energia kinetyczna, a cos x(t) to energia potencjalna To Nie ma wie c nic dziwnego w tym, że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest sta la Oznaczmy te sta la przez E Może ona przyjmować różne wartości, jednak nie moga one być mniejsze niż Jeśli [ x (t) ] cos x(t) =, to musi być x (t) = 0 i cos x(t) = dla każdej liczby t Odpowiada to temu, że wahad lo znajduje sie w swym najniższym po lożeniu i nie porusza sie inna ciekawa z punktu widzenia autora tekstu wartościa E, mianowicie przyjmiemy, że E = Nasze równanie ma wie c teraz postać: [ x (t) ] cos x(t) = Nie jest trudno odgadna ć jedno z zań Funkcja sta la x(t) = π spe lnia to równanie Rozwia zanie to odpowiada temu, że wahad lo znajduje sie bez ruchu w swym górnym po lożeniu Oczywiście tego rodzaju bezruch jest bardzo niestabilny i trudno go zrealizować w praktyce Przepiszmy równanie w postaci x (t) = ± ( + cos x(t)) = ± 4 cos x(t) = ± cos x(t) równaniem x (t) = cos x(t) Przepiszemy je w postaci = x (t) cos x(t) Ca lkuja c obie strony otrzymujemy x (t) x=x(t)/ t + C = dt = dt =========== cos x(t) dx=x (t)/ dt = dx cos x = cos xdx sin x = * Jeśli f jest funkcja różniczkowalna w punkcie p, to dla dostatecznie ma lych h zachodzi równość przybliżona f(p+h) f(p)+f (p)h Te przybliżona równość stosujemy tu dla f(x)=sin x, p=0 Zaste pujemy wie c sinus funkcja liniowa

3 z=sin x dz ========= dz=cos x dx z = ( z + ) dz = + z = ( ln z + ln + z ) = ln + z z = ln + sin x(t) sin x(t) = x(t) + sin ln = sin x(t) ( ) = + sin x(t) ln cos x(t) Można wie c napisać x(t) e (t+c) ( + sin = x(t) ( + sin = x(t) + sin = cos x(t) sin x(t) sin x(t) Sta d wyznaczamy sin x(t) = e(t+c) e (t+c) +, czyli x(t) = arcsin e(t+c) e (t+c) + Bez trudu można stwierdzić, że funkcja x jest na ca lej prostej (, + ) ściśle rosna ca Mamy też x(t) t π = π Fizyczna interpretacja znalezionego - zania jest naste ca: wahad lo zosta lo popchniete z taka si la, że be dzie poruszać sie z maleja ca pre dkościa w kierunku swego górnego po lożenia, ale nigdy go nie osia gnie! W szczególności to zanie nie jest funkcja okresowa Rozważony przyk lad to szczególny przypadek równania o zmiennych rozdzielonych x (t) = f(t)g ( x(t) ) zapisywanego cze sto nieca lkiem precyzyjnie w postaci x = f(t)g(x) W omówionym przyk ladzie mieliśmy f(t) = dla każdego t R oraz g(x) = cos x liczby x R póżniej dla każdej Podamy bez dowodu twierdzenie, którego ogólniejsza wersja zostanie podana Twierdzenie (o istnieniu i jednoznaczności dla równania o zmiennych rozdzielonych) Jeśli funkcja f jest cia g la na przedziale (α, β), a funkcja g jest ma cia g la pochodna na przedziale (a, b), to dla każdej pary punktów t 0 (α, β), x 0 (a, b) istnieje taka liczba δ > 0, że na przedziale (t 0 δ, t 0 + δ) (α, β) równanie x (t) = f(t)g ( x(t) ) ma dok ladnie jedno zanie x(t) spe lniaja ce warunek x(t 0 ) = x 0 Przyk lad równaniem x (t) = λx(t), w którym λ oznacza dana liczbe, a x poszukiwana zmiennej t Nie jest trudno zauważyć, że funkcja e λt jest zaniem tego równania Oczywiście nie 3

4 jedynym Jeśli pomnożymy te np przez 3, to też otrzymamy zanie Ogólnie funkcja Ce λt jest zaniem równania x (t) = λx(t) dla każdej liczby C, bo ( Ce λt) = λce λt Wykażemy, że innych zań to równanie nie ma Jeśli dla każdej liczby t zachodzi równość x (t) = λx(t), to ( x(t)e λt ) = x (t)e λt x(t)λe λt = λx(t)e λt x(t)λe λt = 0 Oznacza to, że funkcja x(t)e λt jest sta la na przedziale, na którym jest określona (zak ladamy, że dziedzina funkcji x jest pewien przedzia l) Oznaczaja c wartość funkcji x(t)e kt przez C otrzymujemy równość x(t) = Ce kt Wykazaliśmy, że odgadnie te zania sa jedynymi Przy okazji warto zauważyć, że zania tego równania tworza przestrzeń liniowa, co oznacza, że suma zań jest zaniem tego równania oraz że pomnożywszy zanie przez liczbe otrzymujemy naste pne zanie Równanie to pojawia sie np przy badaniu rozszerzalności cieplnej (d lugość jako funkcja temperatury), przy rozpadzie promieniotwórczym (masa jako funkcja czasu), badaniu liczebności populacji (np czasu) i wielu innych okazjach liczba zaje cy na danym obszarze jako funkcja Przyk lad Rozwia żemy równanie x (t) = tx(t) Piszemy t = x (t) x(t) Ca lkujemy obie strony wzgle dem t Otrzymujemy t + C = tdt = x (t) x(t) dt = dx x = ln x Sta d x = e C e t / i wobec tego x(t) = ±e c e t / Niech C oznacza dowolna liczbe rzeczywista (dodatnia, ujemna lub 0 ) i niech x(t) = C e t / Ta funkcja jest zaniem równania x (t) = tx(t), co można bez trudu sprawdzić (z przeprowadzonych wcześniej obliczeń wynika, że tak jest dla C 0 ) Innych zań nie ma, bowiem funkcja t jest cia g la na ca lej prostej (a nawet różniczkowalna i to nieskończenie wiele razy), funkcja x jest różniczkowalna i jej pochodna jest cia g la (bo jest sta la), wie c sa spe lnione za lożenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności, zatem teza też Przyjmuja c C = x 0 e t 0 i x(t) = C e t / = x 0 e t / t 0 / otrzymujemy zanie spe lniaja ce warunek x(t 0 ) = x 0, a to oznacza, że innych zań już nie ma Przyk lad 3 teraz równaniem x (t) = 3 x(t) Poste c tak, jak poprzednio otrzymujemy = x (t) 3, zatem t + C = dt = x(t) zatem x(t) = ( ) t+c x (t) 3 x(t) dt = 3 x dx = 3x/3,

5 Wydawać by sie mog lo, że zaliśmy równanie, czyli że znaleźliśmy wszystkie jego zania Jednak tym razem mamy k lopot W tym przypadku f(t) =, wie c funkcja f jest cia g la a nawet różniczkowalna (bo jest sta la), ale funkcja g(x) = 3 x nie jest różniczkowalna w punkcie 0 g (0) istnieje, ale jest nieskończona: g (0) = Za lożenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności nie sa spe lnione Bez trudu sprawdzamy, że funkcja określona wzorami x(t) = { t 3 7 dla x 0 0 dlax < 0 spe lnia równanie x (t) = 3 x(t), funkcja tożsamościowo równa 0, też spe lnia to równanie, obie przyjmuja wartość 0 w punkcie t = 0 i oczywiście nie pokrywaja sie na żadnym przedziale o środku w punkcie 0 Przyk lad 4 Znajdziemy zania równania x (t) = x(t) Możemy to równanie przepisać w postaci = x (t) x(t) Ca lkuja c obie strony otrzymujemy Wynika sta d od razu, że x(t) = t + C = dt = x (t) x(t) dt = x dx = x t+c Jeśli chcemy, by x(t 0) = x 0, gdzie t 0 i x 0 sa dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to musi być spe lniona równość x 0 = zatem C = t 0 x 0 Wynika sta d, że x(t) = t t 0 x 0 = x 0 x 0 (t t 0 ) t 0 +C, Zwykle ża da sie, by zania równania różniczkowego określone by ly na pewnym przedziale (być może nieskończonym) W tym przypadku należy wykluczyć z dziedziny zania punkt t 0 + x 0 Dzieli on prosta na dwie pó lproste Dziedzina poszukiwanego zania tego równania jest ta z nich, która zawiera punkt t 0 : jeśli x 0 > 0, to dziedzina jest pó lprosta (, t 0 + x 0 ), a jeśli x 0 < 0, to dziedzina zania jest pó lprosta (t 0 + x 0, ) { x Zwykle uk lad równań (t) = f(t, x), x (t 0 ) = x 0, nazywany jest zagadnieniem Cauchy ego: dane sa funkcja f oraz liczby t 0, x 0 Należy znaleźć x Kilka zadań W niektórych zadaniach z listy poniżej można nie znajdować jawnego wzoru na x i podać wynik w postaci f(t, x(t)) = 0 0 Rozwia zać równanie x + tx = 0 0 Rozwia zać równanie x + t x = 0 03 Rozwia zać równanie x + tx = t 5

6 04 Rozwia zać równanie x + tx = 0 05 Rozwia zać równanie tx + x = 0 06 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego tx + x = 0, x(0) = 0 07 Rozwia zać równanie tx x = 0 08 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego tx x = 0, x(0) = 0 09 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x + tx = 0, x(0) = 0 Rozwia zać równanie x + t sin x = 0 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x + t sin x = 0, x(0) = π Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego (t )x + tx = 0, x(0) = 3 Rozwia zać równanie t xx + x = 4 Rozwia zać równanie x tx = tx 5 Rozwia zać równanie x = cos(t x) Można ewentualnie podstawić y = x t 6 Rozwia zać równanie x = 4t + x Tu też można coś podstawić, ale co? 7 Rozwia zać równanie (t + )x + tx = 0 8 Rozwia zać równanie tx x = + x 9 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego tx + x = x, x() = 0 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x cos t + x sin t = sin t, x(0) = Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x cos t + x sin t = sin t, x(0) = Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x x = 3t 3, x(0) = 0 3 Znaleźć zanie ogólne równania x (t) = sin t x(t) i takie zanie x, że x(0) = 0 4 Duży garnek świeżo ugotowanej zupy o temperaturze 00 C ch lodzony jest w bieża cej wodzie o temperaturze 5 C ; zupa jest mieszana, wie c można przyja ć, że jej temperatura jest taka sama we wszystkich punktach garnka W cia gu 0 minut temperatura zupy obniżona zosta la do 60 C W jakim czasie garnek ostygnie do temperatury 0 C? Wiadomo, że obowia zuje prawo stygnie cia, które sfromu lowa l Newton:,, szybkość zmniejszania sie temperatury uk ladu jest proporcjonalna do różnicy temperatur pomie dzy uk ladem a otoczeniem 5 Lódka porusza sie w wodzie bez nape du (zosta la rozpe dzona wcześniej) Opór wody jest proporcjonalny do pre dkości (chwilowej) lódki W pewnej chwili pre d- kość lódki by la równa,5 m/s, a po naste pnych 4 s już tylko m/s Po jakim czasie pre dkość lódki zmniejszy sie do 4 cm/s? 6 Znaleźć zanie równania różniczkowego x(t)x (t) + t = spe lniaja ce warunek pocza tkowy x() = 4 Podać dziedzine tego zania 6

7 7 Znaleźć zanie równania różniczkowego x(t)x (t) + t = spe lniaja ce warunek pocza tkowy x() = 0 Podać dziedzine tego zania 8 Funkcja t cos t jest zaniem jednego, dwóch a może nawet trzech równań wypisanych niżej: x (3) (t) + 3x (t) = 0, x (3) (t) + 3x (t) = 6 sin t t sin t, x (3) (t) + 3x (t) = 6 cos t t cos t Których? Odpowiedź należy dok ladnie uzasadnić! 9 Znaleźć zanie równania różniczkowego x (t) t +t x(t) = t +t spe lniaja ce warunek pocza tkowy x(0) = 0 30 Znaleźć wszystkie dodatnie, niemaleja ce funkcje wypuk le f: (0, ) (0, ), które maja naste ca w lasność: styczna do wykresu w punkcie (x, f(x)) dzieli na po lowy pole pod wykresem funkcji ograniczonej do przedzia lu (0, x), czyli pole zbioru {(t, y): 0 < t < x oraz 0 < y < f(t)} 3 Znaleźć zanie ogólne równania tx (t) + x = cos t Znaleźć takie zanie równania tx (t) + x = cos t, że x(0) = 3 Niech f: (0, ) (0, ) oznacza różniczkowalna, której pochodna jest dodatnia w każdym punkcie pó lprostej (0, ) i to taka, że styczna do jej wykresu w dowolnym punkcie (x, f(x)), x > 0, przecina dodatnia pó loś OX w pewnym punkcie P (x) leża cym mie dzy punktami (0, 0) i (x, 0) G f (x) = {(t, y): Niech 0 < t < x i 0 < y < f(t)}, be dzie,,obszarem pod wykresem funkcji f ograniczonej do dziedziny (0, x) Napisać wzór na pole obszaru G f (x) Znaleźć f wiedza c, że pole trójka ta o wierzcho lkach (x, 0), ( x, f(x) ) i P (x) stanowi 3 5 pola obszaru G f (x) 33 Temperatura cia la zmniejszy la sie w cia gu 0 minut ze 00 C do 60 C Temperatura powietrza równa jest 0 C Zgodnie z prawem stygnie cia (Newtona): szybkość zmniejszania sie temperatury stygna cego cia la jest proporcjonalna do różnicy temperatur cia la i otoczenia Po jakim czasie temperatura cia la be dzie równa 5 C? 7