PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO"

Wiktoria Jarosz
4 lat temu
Przeglądów:

1 Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek

2 Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna) opisywana jedną liczbą (wartością). Do skalarów należą np. energia, masa, temperatura. Tarcza 2D Rozkład temperatury

3 A jeśli do opisu potrzebny jest kierunek? Inne wielkości, np. przemieszczenie, prędkość, siła, przyspieszenie nie mogą być wyznaczane tylko przez ich wartości, gdyż zależą dodatkowo od ich kierunku. Wówczas mówimy o wielkościach wektorowych. Tarcza (belko-ściana) Pole wektorowe (kierunki) naprężeń głównych

4 Definicja Wektor W celu zdefiniowania wektora należy podać: kierunek (prostą na której leży wektor) zwrot długość (moduł) zwrot (określony przez kolejność punktów A i B) kierunek punkt przyłożenia (opcjonalnie) W interpretacji geometrycznej wektor to leżący na prostej i zawierający punkty A, B skierowany odcinek ([A, B] = [B, A]). Kierunkiem wektora nazywa się kierunek tej prostej, zwrot określony jest przez kolejność punktów A i B. moduł punkt zaczepienia a B A Istnieje kilka sposobów notacji wektora: [A, B] = AB = a = a = a.

5 Długość wektora Składowymi wektora nazywa się różnice odpowiednich współrzędnych jego końca B i początku A. Długość wektora a jest długością odcinka AB (odległość). Długość jest zawsze liczbą dodatnią. a a

6 Wektor jednostkowy Wektor, którego długość wynosi 1, nazywamy wektorem jednostkowym. Jeśli np. e jest wektorem jednostkowym, to e = 1. Wektor jednostkowy, który ma ten sam kierunek co wektor a, oznaczamy przez a o. Każdy wektor a można przedstawić za pomocą wektora jednostkowego a o : a = a a o. a a o a a o = 1 Wektor jednostkowy a o o tym samym kierunku co wektor a nazywa się wersorem.

7 Działania na wektorach Mnożenie wektora przez liczbę Przez rozumiemy wektor b, który: b = αa 1 dla α > 0 ma ten sam kierunek co wektor a i jest od niego α razy dłuższy/krótszy 2 dla α < 0 ma kierunek przeciwny do wektora a i jest od niego α razy dłuższy/krótszy 3 dla α = 0, a = 0. Dla mnożenia przez skalar zachodzą następujące prawa: 1 α a = a α 2 α (β a) = (α β) a = α β a 3 α (a + b) = α a + α b 4 (α + β) a = α a + β a 5 1 a = a, 0 a = 0, α 0 = 0

8 Działania na wektorach Zależność liniowa wektorów Mówimy, że między wektorami a i, i = 1, 2,... n istnieje zależność liniowa, jeśli istnieje n takich liczb α i, i = 1, 2,... n z których nie wszystkie są równe zeru, a dla których zachodzi zależność: α 1 a 1 + α 2 a α n a n = 0 (1) Wektory są liniowo niezależne gdy równanie (1) ma rozwiązanie trywialne tzn. α i = 0, dla i = 1, 2,... n. Dwa wektory są liniowo zależne, gdy są równoległe.

9 Działania na wektorach Dodawanie i odejmowanie wektorów Przez sumę geometryczną dwóch wektorów a i b rozumiemy wektor c, którego początek leży w początku wektora a a koniec w końcu wektora b: c = a + b a c = a + b b

10 Działania na wektorach Dodawanie i odejmowanie wektorów Przemienność, łączność a c b a c = a + b b a + b + c 1 Dla sumy obowiązują prawa: przemienności: a + b = b + a, łączności: (a + b) + c = a + (b + c). a + b a b + c 2 Takie same prawa obowiązują przy dodawaniu n wektorów. 3 Odejmowanie określone jest jako dodawanie wektora przeciwnego b do wektora a. b

11 Działania na wektorach Mnożenie wektorów Mnożenie dwóch wektorów może być określone jako: iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy.

12 Iloczyn skalarny Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej (operacja oznaczona ) przypisujący 2 argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. { a b cos ϕ jeśli a, b 0 a b = 0 jeśli a = 0 lub b = 0, lub a b gdzie: a, b długości wektorów, 0 ϕ π kąt pomiędzy nimi zawarty w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory.

13 Właściwości iloczynu skalarnego 1 Z definicji współrzędnej wektora względem osi wynika: a b = a b a = b a b = b a. 2 Jeżeli jeden z wektorów iloczynu skalarnego jest wektorem jednostkowym e, to: e a = a cos(e, a) = a e. 3 W celu otrzymania składowej wektora a wzdłuż pewnej osi, należy ten wektor pomnożyć skalarnie przez wektor jednostkowy e, który wyznacza kierunek dodatni tej osi. 4 Jeżeli obydwa wektory są sobie równe: a a = a a cos 0 = a 2 ; stąd widać zależność: a = a a. 5 Iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych względem siebie jest równy 0.

14 Współrzędne (składowe) kartezjańskie wektora Wektory a 1 e 1, a 2 e 2, a 3 e 3 nazywamy składowymi wektorowymi wektora a. Liczby a 1, a 2, a 3 są współrzędnymi lub składowymi wektora a. x 3 a 3 e 3 e 3 a a 2 e 2 a 1 e 1 e 1 e 2 x 2 x 1 w skrócie: a = [a 1, a 2, a 3 ]. a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3,

15 Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne Jeżeli 2 wektory w bazie e 1, e 2, e 3 są wyrażone za pomocą współrzędnych: a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 = a i e i czyli a = [a 1, a 2, a 3 ], b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 = b j e j czyli b = [b 1, b 2, b 3 ], dla i, j = 1, 2, 3. to iloczyn skalarny wynosi: 3 a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = a i b i. Jeżeli obydwa wektory iloczynu są jednakowe to: 3 a b = a 2 = a1 2 + a2 2 + a3 2 = ai 2, i=1 wówczas długość wektora wynosi: a = a = a a = Z iloczynu skalarnego wynika: cos ϕ = a b 3 a b = i=1 a ib i 3 3 i=1 a2 i i=1 b2 i i=1 3 i=1 a2 i..

16 Iloczyn skalarny jako niezmiennik Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem względem transformacji ortogonalnych (gdy drugi układ powstaje przez obrót układu pierwszego). Stąd wynika, że długości wektorów i kąt między dwoma wektorami są także niezmiennikami względem transformacji ortogonalnych.

17 Iloczyn wektorowy Definicja Iloczyn wektorowy wektorów a i b operator na przestrzeni liniowej (przekształcenie oznaczone ) przypisujący parze wektorów z tej przestrzeni wektor c spełniający następujące warunki: 1 Wektor c jest prostopadły do wektorów a, b. 2 Długość wektora c wynosi: c = a b = a b sin ϕ gdzie: ϕ - kąt pomiędzy wektorami a, b. 3 Wektor c tworzy z wektorami a, b układ prawoskrętny.

18 Iloczyn wektorowy Interpretacja geometryczna Iloczyn a b sin ϕ równa się wielkości pola równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b. c e b ϕ ϕ a a e b c

19 Właściwości iloczynu wektorowego 1 Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że a b i b a mają przeciwne zwroty, natomiast równe długości, wobec tego: a b = b a. 2 Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że a b = 0 gdy a = 0 lub b = 0 lub sin ϕ = 0 co oznacza, że a jest równoległy do b. 3 Ponieważ iloczyn wektorowy jest wektorem, można go znów pomnożyć przez wektor; lecz w tym przypadku nie zachodzi prawo łączności: a (b c) (a b) c. Można się o tym przekonać przyjmując a = b.

20 Iloczyn wektorowy wyrażony przez współrzędne Iloczyny wektorowe wektorów bazy jednostkowej e 1, e 2, e 3 mają następujące wartości: e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 0, e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 3, e 2 e 3 = e 3 e 2 = e 1, e 3 e 1 = e 1 e 3 = e 2. Dla wektorów: a = a x e 1 + a y e 2 + a z e 3, b = b x e 1 + b y e 2 + b z e 3, iloczyn wektorowy: a b = (a x b z a z b y )e 2 e 3 + (a z b x a x b z )e 3 e 1 + (a x b y a y b x )e 1 e 2 = (a x b z a z b y )e 1 + (a z b x a x b z )e 2 + (a x b y a y b x )e 3 = a y a z b y b z e 1 + a z a x b z b x e 2 + a x a y b x b y e 3. e 1 e 2 e 3 a b = a x a y a z b x b y b z

21 Zestawienie właściwości iloczynów skalarnego i wektorowego Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy 1. a b = a b cos ϕ 1. a b = a b sin ϕe Iloczyn skalarny jest skalarem Iloczyn wektorowy jest wektorem 2. a b = b a 2. a b = b a Iloczyn skalarny jest przemienny Iloczyn wektorowy nie jest przemienny 3. a b = 0 3. a b = 0 Warunek prostopadłości Warunek równoległości dwóch wektorów właściwych dwóch wektorów właściwych W iloczynach zachodzi prawo rozdzielności względem dodawania: 4. a (b + c) = a b + a c 4. a (b + c) = a b + a c (a + b) (c + d) = (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d a c + a d + b c + b d

22 Zestawienie właściwości iloczynów skalarnego i wektorowego Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Postać iloczynów wyrażona przez składowe skalarne: e 1 e 2 e 3 5. a b = a x b x + a y b y + a z b z 5. a b = a x a y a z b x b y b z 6. a b 6. {a (b c)} Iloczyn skalarny istnieje Iloczyn wektorowy istnieje dla tylko dla dwóch wektorów dowolnej liczby czynników e 1 e 2 e 3 7. a b = a x b x + a y b y + a z b z 7. a b = a x a y a z = a xb x + a y b y + a zb z = Ilocz. skal. jest niezmiennikiem względem transformacji ortogonalnej układu b x b y b z e 1 e 2 e 3 a x a y a z b x b y b z Ilocz. wekt. nie jest niezmiennikiem względem transf. ortogonalnej układu, jest on pseudowektorem

Podobne dokumenty

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)