ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora

Transkrypt

1 ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go zdefiniować analitycznie Definicja 3 Zbiorem Cantora nazywamy zbiór { } c n C 3 : c n n 0, 2 Innymi s lowy, zbiór C sk lada sie z liczb przedzia lu euklidesowego I [0, ], które w systemie trójkowym zapisuja sie przy użyciu tylko cyfr 0 i 2, a wie c maja postać c (0c c 2 c 3 ) 3, c, c 2, c 3, 0, 2 Nietrudno sprawdzić, że jeśli pierwsza cyfra c 0, to c [0, ], a 3 gdy c 2, to c [ 2, ] Podobnie, jeśli c 3 2 0, to w zależności od tego, czy c 0, czy c 2, mamy c [0, ] lub c [6, 7 ], a w przypadku c 2 2, otrzymamy, odpowiednio do wartości pierwszej cyfry, c [ 2, 3] lub c [ 8, ] Kontynuuja c w ten sposób badanie po lożenia w przedziale I danej liczby c (0c c 2 c 3 ) 3 C, w zależności od wartości jej kolejnych cyfr, możemy stwierdzić, że dla każdego n N, c należy do przedzia lu postaci [ in I c c 2 c n i ] 3 n, n +, 3 n dla pewnej liczby naturalnej i n < 3 n, przy czym po lożenie to jest zdeterminowane cyframi c,,c n w naste puja cy, indukcyjny sposób dla n > : jeśli [ in c I c c n i ] 3 n, n + 3 n i c n 0, to [ 3in c I c c n c n 3, 3i ] n +, n 3 n 3

2 4 3 ZBIÓR CANTORA a gdy c n 2, to c I c c n c n [ 3in + 2, 3i ] n n 3 n Dla wygody, przedstawia sie po lożenie punktu c C w przedziale I w postaci naste puja cego schematu-drzewa I I I 2 I Z powyższych uwag wynika naste puja ce stwierdzenie Stwierdzenie 3 Każdy punkt c (0c c 2 c 3 ) 3 C wyznaczony jest jednoznacznie przez przez cia g cyfr c, c 2, {0, 2} Ponieważ opisane wyżej przedzia ly I c c 2 c n maja d lugości 3 n da ża ce do 0, to można również stwierdzić, że każdy punkt c (0c c 2 c 3 ) 3 C wyznacza jednoznacznie cia g takich przedzia lów, których jest jedynym punktem wspólnym Otrzymujemy sta d naste puja cy geometryczny, indukcyjny opis zbioru Cantora, przyjmowany cze sto za jego definicje Wyste puja ce w nim przedzia ly, to w laśnie przedzia ly I c c 2 c n

3 3 ZBIÓR CANTORA 5 Stwierdzenie 32 Niech I n be dzie suma 2 n sk ladowych, be da - cych przedzia lami domknie tymi, powsta lymi z podzia lu każdej sk ladowej zbioru I n na 3 przystaja ce przedzia ly d lugści każdy i usunie cia 3 n wne trza środkowego z nich Wtedy C I n N Warto zanotować, jako lemat, naste puja ce, przydatne spostrzeżenie, które latwo wynika ze stwierdzenia 32 Lemat 3 Jeśli c (0c c 2 c 3 ) 3 i c (0c c 2 c 3 ) 3 sa punktami zbioru Cantora C, to c c < wtedy i tylko wtedy, gdy c 3 n i c i dla i < n Przejdźmy teraz do omówienia podstawowych w lasności topologicznych zbioru Cantora, rozumianego jako podprzestrzeń prostej euklidesowej Bezpośrednio z definicji 3 i określenia szeregu zbieżnego wynika naste puja cy fakt Stwierdzenie 33 Zbiór {(0c c n ) : c,,c n 0, 2, n N} jest podzbiorem przeliczalnym i ge stym w C Stwierdzenie 34 Zbiór Cantora jest w sobie ge sty Dowód Niech c c n, gdzie c 3 n n 0, 2 Oznaczmy x k k c n 3 n, y k k Wtedy x k, y k C, x k y k i oczywiście c n 3 + n nk+ lim k x k lim k y k c 2 3 n Stwierdzenie 35 Zbiór Cantora C jest przestrzenia zwarta Dowód Jest to konsekwencja stwierdzenia 32, gdyż C, jako przekrój podzbiorów I n domknie tych w przedziale I jest podzbiorem domknie tym przestrzeni zwartej I, wie c jest podprzestrzenia zwarta na mocy stwierdzenia 0 Stwierdzenie 36 Jedynymi podprzestrzeniami spójnymi zbioru Cantora sa podzbiory jednopunktowe

4 6 3 ZBIÓR CANTORA Dowód Niejedopunktowymi podprzestrzeniami spójnymi prostej euklidesowej moga być wy la cznie różnego typu przedzia ly Przypuśćmy wie c, że jakiś przedzia l [a, b], gdzie b > a, zawiera sie w C I n Wtedy [a, b] I n, wie c istnieje sk ladowa I c c 2 c n zbioru I n, zawieraja ca przedzia l [a, b] dla każdego n Wynika sta d, że 0 < b a dla 3 n każdego n, co jest niemożliwe Uwaga 3 W lasność przestrzeni C opisana w stwierdzeniu 36 nazywa sie ca lkowita niespójnościa tej przestrzeni Kolejne w lasności zbioru Cantora nie sa już tak oczywiste można je nawet uznać za zaskakuja ce Stwierdzenie 37 Iloczyn kartezjański C C jest homeomorficzny z C Dowód Określimy naturalny homeomorfizm h : C C C wzorem h(c, c ) (0c c c 2c 2 ) 3, gdzie c (0c c 2 ) 3, c (0c c 2 ) 3 Latwo widać, że h jest funkcja wzajemnie jednoznaczna Pozostaje sprawdzić cia g lość h (zob wniosek 02) Wygodnie jest w tym wypadku sprawdzać jednostajna cia g lość h Niech ɛ > 0 i n be dzie taka liczba naturalna, że 3 2n+ < ɛ Za lóżmy,że ρ((c, c ), (d, d )) c d 2 + c d 2 < 3 2n+, gdzie ρ jest metryka w iloczynie C C Wtedy c d < oraz c d < Na podstawie lematu 3 3 2n+ 3 2n+ liczby c i d maja takie same pierwsze n cyfr, tzn jeśli c (0c c 2 ) 3 i d (0d d 2 ) 3, to c i d i dla i n; podobnie jeśli c (0c c 2 ) 3 i d (0d d 2 ) 3, to c i d i dla i n Wynika sta d, znów na podstawie lematu 3, że h(c, c ) h(d, d ) (0c c c 2 c 2 c n c n ) 3 (0d d d n d n ) 3 < 3 2n+ < ɛ Stosuja c prosta indukcje, otrzymujemy naste puja cy wniosek Wniosek 3 Iloczyn kartezjański skończenie wielu zbiorów Cantora przez siebie jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora

5 3 ZBIÓR CANTORA 7 Uwaga 32 Podobny fakt zachodzi również dla iloczynu nieskończonego: iloczyn kartezjański przeliczalnej ilości zbiorów Cantora przez siebie jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora Dowodzić tego można w sposób podobny do dowodu stwierdzenia 37 Twierdzenie 3 Istnieje przekszta lcenie cia g le zbioru Cantora C na przedzia l euklidesowy I [0, ] Prekszta lcenie takie można określić wzorem s((0c c 2 ) 3 ) c n 2 2 n Dowód Zauważmy najpierw, że przekszta lcenie s przyjmuje wartości w przedziale I Widać to z oszacowania 0 c n n 2 2 n 2 n Naste pnie sprawdzimy, że jest to przekszta lcenie na W tym celu przedstawmy dowolna liczbe x I w zapisie dwójkowym x (0b b 2 ) 2, gdzie b, b 2, {0, }; oznacza to, jak wiadomo, że x b n Przyjmuja c c 2 n n 2b n, dla każdego n, otrzymujemy równość s(0c c 2 ) 3 ) 2 c n 2 n 2 2b n 2 n x Pozostaje do uzasadnienia cia g lość przekszta lcenia s Wygodnie jest sprawdzać od razu jego jednostajna cia g lość Niech wie c ɛ > 0 Wybieramy liczbe naturalna N tak duża, by < ɛ ( szereg 2 n jest zbieżny, wie c takie N istnieje!) Przyjmuja c δ, wnosimy na 3 N podstawie lematu 3, że jeśli c (0c c 2 ) 3, c (0c c 2 ) 3 oraz c c < δ, to c n c n dla n < N Sta d s(c) s(c ) 2 c n 2 n 2 2 c n 2 n 2 c n c n 2 n 2 c n c n 2 n 2 2 n 2 n < ɛ Definicja 32 Przekszta lcenie s : C I, opisane w twierdzeniu 3, nazywamy funkcja schodkowa

6 8 3 ZBIÓR CANTORA Wniosek 32 Zbiór Cantora ma moc continuum c Dowód Moc C nie jest mniejsza niż moc obrazu s(c) I, która wynosi c, a z drugiej strony C jest podzbiorem przedzia lu I, wie c moc C nie jest wie ksza od c Uwaga 33 Warto zwrócić uwage na wniosek 32 W geometrycznym opisie i przy próbie rysowania przybliżeń zbioru Cantora, zauważamy jedynie jego punkty trójkowo-wymierne (postaci c k 3 n (0c, c n ), dla pewnych k 3 n ), których jest oczywiście przeliczalnie wiele (stwierdzenie 33) Wie kszość punktów zbioru Cantora jest dla nas niewidoczna! Wniosek 33 Istnieja przekszta lcenia cia g le zbioru Cantora na kostki euklidesowe I n dowolnego wymiaru skończonego n oraz na kostke Hilberta I ℵ 0 Dowód Jeśli s : C I jest funkcja schodkowa i C n oznacza iloczyn kartezjański n egzemplarzy zbiorów Cantora przez siebie, to przekszta lcenie s n : C n I n określone wzorem s n (c, c 2,, c n ) (s(c ), s(c 2 ), s(c n )) jest przekszta lceniem cia g lym i na Ponadto, z wniosku 3 wiemy, że istnieje homeomorfizm h : C C n, wie c z lożenie s n h : C I n jest przekszta lceniem cia g lym zbioru C na kostke I n W przypadku kostki Hilberta argumentacja jest podobna Uwaga 34 Zachodzi znacznie ogólniejszy fakt, który podajemy tylko informacyjnie : każda przestrzeń metryczna zwarta jest obrazem cia g lym zbioru Cantora! (zob [ES]) Wniosek 34 Istnieja przekszta lcenia cia g le przedzia lu euklidesowego I [0, ] na kostki euklidesowe I n dowolnego wymiaru n i na kostke Hilberta Dowód Jeśli Y jest jedna z tych kostek, to istnieje przekszta lcenie cia g le f zbioru Cantora C na Y Ponieważ C jest domknie tym podzbiorem w I, to można skorzystać z twierdzenia Tietzego 4, które gwarantuje istnienie przed lużenia cia g lego f : I Y przekszta lcenia f Można też skonstruować takie przed lużenie bezpośrednio, nie korzystaja c z twierdzenia Tietzego W tym celu skorzystamy z opisu geometrycznego zbioru C zawartego w stwierdzeniu 32 Oznaczmy przez a i b końce dowolnie ustalonej sk ladowej dope lnienia w I zbioru I n

7 3 ZBIÓR CANTORA (te sk ladowe sa przedzia lami otwartymi usuwanymi w konstrukcji geometrycznej zbioru C) Ponieważ przedzia ly otwarte (a, b) sa roz la czne z C, wie c na nie trzeba przed lużyć przekszta lcenie f Jeśli f(a) f(b), to k ladziemy f (x) f(a) dla wszystkich x (a, b); w przeciwnym razie, odcinek prostoliniowy f(a)f(b) o końcach f(a), f(b) zawiera sie w kostce Y i można go sparametryzować funkcja α : [a, b] f(a)f(b) (zależna oczywiście, tak jak i punkty a, b, od cia gu cyfr c,,c n ) w standardowy sposób: α(x) x a x a f(b) + ( b a b a )f(a) Teraz możemy określić przed lużenie f na punktach x [a, b] wzorem f (x) α(x) Cia g lość f w punktach odcinków otwartych postaci (a, b) wynika wprost z cia g lości parametryzacji α Uzasadnimy cia g lość f w punktach zbioru Cantora Niech ɛ > 0 Z jednostajnej cia g lości przekszta lcenia f (zob stwierdzenie 05) wynika istnienie liczby δ > 0 takiej, że jeśli x, x C oraz x x < δ, to f(x) f(x ) < ɛ 2 Niech c C Istnieje sk ladowa I c c n zbioru I n zawieraja ca c o średnicy mniejszej od δ Przedzia l I c c n może mieć wspólne końce z co najwyżej dwiema sk ladowymi dope lnienia I \ C, czyli przedzia lami otwartymi postaci (a, b), (a, b ), rozważanymi wyżej przy określaniu przed lużenia f Na przedzia lach [a, b], [a b ] określone sa parametryzacje α i α, które, oczywiście, też sa jednostajnie cia g le, wie c istnieje liczba θ > 0 taka, że jeśli x, x [a, b] (x, x [a, b ]) oraz x x < θ, to α(x) α(x ) < ɛ 2 ( α (x) α (x ) < ɛ 2, odpowiednio) Przyjmijmy δ min{δ, θ} i za lóżmy, że x I \ C oraz x c < δ W przypadku, gdy x I c c n, istnieje sk ladowa dope lnienia I \ C postaci (a x, b x ), zawieraja ca punkt x i zawarta wraz z końcami a x, b x w I c c n (przypomnijmy przy tym, że te końce należa do zbioru Cantora C) Wtedy otrzymujemy oszacowanie odleg lości f (x) f (c) f (x) f (a x ) + f (a x ) f (c) f (b x ) f (a x ) + f(a x ) f(c) f(b x ) f(a x ) + f(a x ) f(c) < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ Gdy x / I c c n, to x (a, b) lub x (a, b ) Za lóżmy, że x (a, b) i przyjmijmy, że przedzia l (a, b) leży na prawo od przedzia lu I c c n (dla

8 00 3 ZBIÓR CANTORA drugiego przypadku rozumowanie jest analogiczne) Wtedy f (x) f (c) f (x) f (a) + f (a) f (c) Wreszcie, jeśli x C i x c < δ, to oczywiście α(x) α(a) + f(a) f(c) < ɛ f (x) f (c) f(x) f(c) < ɛ Uwaga 35 Przekszta lcenia cia g le przedzia lu I na kwadrat I 2 zwa sie tradycyjnie przekszta lceniami Peana Opis geometryczny takiego przekszta lcenia zamieszczaja podre czniki [ES] i [Ku] Na zakończenie warto wymienić jeszcze kilka ważnych w lasności zbioru Cantora, których dowody (lub wskazówki do nich) można znaleźć np w [ES] i [Ku] Przestrzeń topologiczna X jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenia metryczna zwarta, w sobie ge sta, której jedynymi podprzestrzeniami spójnymi sa podzbiory jednopunktowe Każda przestrzeń metryzowalna w sposób zupe lny i w sobie ge sta zawiera podprzestrzeń homeomorficzna ze zbiorem Cantora Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa której każdy punkt ma otoczenia otwarto-domknie te dowolnie ma lej średnicy (taka przestrzeń nazywa sie zero-wymiarowa) jest homeomorficzna z podzbiorem zbioru Cantora

9 ĆWICZENIA 0 Ćwiczenia () Sprawdź, czy zbiór końców usuwanych przedzia lów w konstrukcji zbioru Cantora C (tzn zbiór końców sk ladowych zbiorów I n dla wszystkich n N) jest przeliczalny i ge sty w C i czy jest zwarty (2) Wskaż kilka podzbiorów otwarto-domknie tych w C Wykaż, że zbiór C jest podobny do swych podzbiorów C [0, ], 3 C [ 2, ], C [0, ], C 3 [2, ], itd 3 (3) Niech X {0, } {0, } z metryka f ρ ((s, s 2, ), (t, t 2, )) min{n : s n t n } lub 0, gdy (s, s 2, ) (t, t 2, ) Sprawdź, że ρ jest metryka w X Wykaż, że przekszta lcenie f : C X określone wzorem ( t 3 + t ) ( t 2, t 2 2, ) gdzie t n {0, 2} dla każdego n, jest homeomorfizmem (4) Skonstruuj zbiór homeomorficzny ze zbiorem Cantora C zawarty w zbiorze liczb niewymiernych z metryka euklidesowa (zob [Ku]) (5) Przestrzeń metryczna X jest grupa topologiczna, gdy w X jest określone dzia lanie grupowe, które jest cia g le jako przekszta lcenie X X X i w którym branie elementu odwrotnego x x też jest przekszta lceniem cia g lym X X Sprawdzić, czy przestrzenie euklidesowe, przestrzeń Hilberta l 2, R ℵ 0, okra g S {z (R 2, ρ e ) : z }, torus n-wymiarowy (S ) n sa grupami topologicznymi (z jakimi dzia laniami?) Korzystaja c z zadania 3 pokazać, że zbiór Cantora jest grupa topologiczna (6) Czy istnieja przekszta lcenia cia g le (homeomorfizmy) z: C na C 3, C na Q, C na R \ Q, C na I 3, C na R 2, C na okra g S, C na sfere S 2, C na C I, C na X {0,,,, }, C na 2 3 X I, I na C, X I na C, R na C, Q na C, Q I na C, S 2 na C? Podaj przekszta lcenia (wykorzystuj, m in funkcje z C na I) lub przyczyne ich braku (np zwartość, spójność) (7) Czy zbiór Cantora jest ścia galny? Czy przestrzeń X suma odcinków la cza cych punkt (, ) z 2 punktami zbioru C na osi x na p laszczyźnie euklidesowej jest ścia - galna?