Tekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda

Transkrypt

1 Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest cia g le, to mówimy o krzywej cia g lej, jeśli jest klasy C r, to krzywa jest klasy C r. Krzywa jest przedzia lami lub kawa lkami) klasy C r wtedy, gdy przedzia l [a, b] jest suma skończenie wielu przedzia lów i na każdym z nich r jest klasy C r w końcach mówimy o pochodnych jednostronnych). Jeżeli dla każdej liczby t P zachodza be da obie nierówności r t) 0 r +t), to mówimy o krzywej regularnej. Jeżeli istnieje taka liczba M 0, że dla dowolnych liczb a < t < t 2 <... < t n < t n b zachodzi nierówność rt ) r ) + rt 2 ) rt ) + + rt n ) rt n ) M, to krzywa nazywamy prostowalna na przedziale [a, b], a kres górny sum wyste puja - cych w tej nierówności nazywany jest d lugościa krzywej r: P R 3. Twierdzenie 7.2 o d lugości krzywej) Jeśli krzywa r jest klasy C, to jej d lugość jest równa b a r t) dt. Dowód. Z twierdzenia o wartości średniej wynika, że rt + h) rt) r t)h h sup θ [0,] r t + θh) r t). Sta d i z jednostajnej cia g lości funkcji r wynika, że dla każdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że jeśli a < t < t 2 <... < t n < t n b oraz t j t j < δ dla j, 2,..., n, to zachodza też nierówności rt ) r ) + rt 2 ) r t ) + + rt n ) r t n ) [ r ) t ) + r t ) t 2 t ) + + r t n ) t n t n )] < ε oraz r ) t )+ r t ) t 2 t )+ + r t n ) t n t n ) b a r t) dt < ε, zatem rt ) r ) + rt 2 ) rt ) + + rt n ) rt n ) b a r t) dt < 2ε. W dalszym cia gu zak ladać be dziemy, że funkcja r jest klasy C. Mówimy, że dwie krzywe r : P R 3 i r 2 : P 2 R 3 sa równoważne, jeśli istnieje taka funkcja klasy C dt z P na P 2, że r 2 ts)) r s) i ds s) > 0 dla każdego s P. Cze sto myślimy o krzywej jako o klasie równoważności w laśnie zdefiniowanej relacji równoważności, a nie jako o jednym odwzorowaniu. Wtedy funkcje r i r 2 nazywane sa różnymi parametryzacjami tej samej krzywej.

2 Stwierdzenie 7.3 o istnieniu parametryzacji naturalnej) Dla każdej krzywej istnieje równoważna jej parametryzacja d lugościa luku, wie c taka, że dr ds s) dla każdego s. Dowód. Niech int P i niech r oznacza jaka kolwiek parametryzacje krzywej. Niech st) t r τ) dt. Funkcja s zmiennej t jest ściśle rosna ca, bo ma wsze dzie dodatnia pochodna : s t) r t). Ponieważ ta pochodna jest klasy C, wie c funkcja s też jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Ma też funkcje odwrotna, bo jej pochodna jest wsze dzie różna od 0. Mamy dalej d ds r ts) ) ) dr dt ts) dt ds s) r t) r t) Ta równość kończy dowód. r t) r t). W dalszym cia gu litera s be dzie oznaczać parametr naturalny, wie c taki, wzgle - dem którego pochodna jest wektorem d lugości. Be dziemy też pisać rs) lub rt) rozumieja c, że s jest funkcja zmiennej t luc, że t jest funkcja zmiennej s. Oznaczenia takie nie poowduja na ogó l nieporozumień, choć z bardzo formalnego punktu widzenia nie sa precyzyjne. W dalszej cze ści wyk ladu okaże sie, że jest to nie tylko zgodne z tradycja, ale też bardzo pożyteczne. Zajmiemy sie teraz prosta styczna do krzywej r. Ustalamy teraz s i be dziemy poszukiwać prostej najściślej przylegaja cej do krzywej r w punkcie rs). Mamy rs + h) rs) + r s)h + 2 r s)h 2 + oh 2 ). Odleg lość punktu rs + h) od prostej przechodza cej przez punkt rs), równoleg lej do wektora v jest równa rs + h) rs) rs+h) rs)) v v v v r s)h + 2 r s)h 2 v v r s) v h + 2 r s) v h 2) v + oh 2 ) h r s) r s) v v v v) + 2 h2 r s) r s) v v v v) + oh 2 ). Wynika sta d, że najmniejszy b la d dla ma lych h pope lnimy, gdy be dzie spe lniona równość r s) r s) v v v v, czyli gdy v r s). Oznacza to, że najdok ladniej przybliża krzywa prosta do niej styczna, co jest rezultatem oczekiwanym. Zadamy naste pne pytanie. Chodzi teraz o p laszczyzne najdok ladniej przybliżaja ca krzywa r w otoczeniu punktu rs). Odleg lość punktu rs + h) od p laszczyzny prostopad lej do wektora w 0, przechodza cej przez punkt rs) jest, jak wiemy, równa rs+h) rs)) w w r s)h+ 2 r s)h 2 +oh 2 )) w w oh 2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy r s) w 0 i r s) w 0. Wobec tego jeśli r s) 0, to wektor w musi być równoleg ly do wektora r s) r s). Udowodniliśmy 2

3 Twierdzenie 7.4 o p laszczyźnie ściśle stycznej do krzywej) Jeśli r s) 0 i dh) oznacza odleg lość punktu rt + h) od p laszczyzny przechodza cej przez punkt rs), prostopad lej do wektora r s) r s), to dh) oh 2 ), przy czym jest to jedyna p laszczyzna, która ma te w lasność. Definicja 7.5 p laszczyzny ściśle stycznej do krzywej) Jeśli dh) oznacza odleg lość punktu rs + h) od p laszczyzny Π i dh) oh 2 ), to mówimy, że Π jest ściśle styczna do krzywej r. Definicja 7.6 punktu wyprostowania krzywej) rs) jest punktem wyprostowania krzywej r wtedy i tylko wtedy, gdy r s) 0. Definicja 7.7 normalnych) Za lóżmy, że rs) nie jest punktem wyprostowania krzywej r. Oznaczamy wtedy Ts) r s), Ns) r s) r s) i Ts) Bs) Ns). Ts) to wektor styczny do krzywej. Wektor Ns) jest nazywany normalna g lówna do krzywej, a wektor Bs) binormalna. Definicja 7.8 krzywizny krzywej) Liczbe r s) nazywamy krzywizna krzywej w punkcie rs) i oznaczamy ja symbolem κs). Możemy wie c napisać: T x) r s) κs)ns). Znajdziemy teraz tzw. okra g styczny do krzywej w punkcie, w którym krzywizna jest dodatnia. Be dzie to okra g, którego rza d styczności do krzywej be dzie wyższy niż, czyli wyższy niż rza d styczności do prostej stycznej. Jest jasne, że okra g ten musi leżeć na p laszczyźnie ściśle stycznej, a jego środek musi znaleźć sie na normalnej do krzywej, wie c na normalnej g lównej. Musi wie c to być punkt postaci rs)+ϱns), gdzie ϱ oznacza pewna liczbe rzeczywista. Mamy rs + h) rs) ϱns) 2 ϱ 2 r s)h + 2 r s)h 2 + oh 2 ) ϱns) 2 ϱ 2 h 2 ϱr s) Ns) ) + oh 2 ) h 2 ϱκs) ) + oh 2 ). Wobec tego rza d styczności jest wie kszy niż wtedy i tylko wtedy, gdy ϱ κs). Definicja 7.9 środka i promienia krzywizny) Promieniem krzywizny w punkcie rs) nazywamy liczbe ϱs) κs), a środkiem krzywizny punkt Cs) rs) + ϱs)ns). Okra g o środku Cs) i promieniu ϱs) nazywany jest ściśle stycznym do krzywej w punkcie rs). Można udowodnione już twierdzenie wypowiedzieć tak: 3

4 Twierdzenie 7.0 o okre gu ściśle stycznym) Jeżeli dla dostatecznie ma lych h liczba Dh) oznacza odleg lość punktu rs + h) od okre gu o środku w punkcie Cs) rs) + κs) Ns), to Dh) oh2 ). Udowodnimy teraz naste puja ce Twierdzenie 7. Freneta) Jeśli r s) 0, to prawdziwe sa wzory: T s) κs)ns), N s) κs)ts) + τs)bs), B s) τs)ns), gdzie τs) r s) r s)) r s) r s), Ts) r s), Ns) r s) 2 r s), Bs) Ts) Ns). Dowód. Pierwszy z tych wzorów wyprowadziliśmy wcześniej. Trzy ostatnie to definicje. Wektory T, N, B sa wzajemnie prostopad le, d lugość każdego z nich jest równa, wie c T T N N B B, zatem 2 T T 2 N N 2 B B 0. Wynika sta d, że wektor N jest kombinacja liniowa wektorów T i B, a wektor B kombinacja liniowa wektorów T i N. Istnieja wie c takie liczby α, τ, β, γ, że N α T + τ B oraz B β T + γ N. Mnoża c skalarnie te równości stronami przez wektory T, N i B otrzymujemy T N α, B N τ, T B β, N B γ. Różniczkuja c równości T N 0, N B 0, B T 0 stronami otrzymujemy T N + T N 0, N B + N B 0, B T + B T 0. Z ostatnich siedmiu równości wynika natychmiast, że α T N T N κs), τ B N B N γ, β T B T B 0 i γ N B N B τs). Otrzymaliśmy drugi i trzeci wzór z tezy twierdzenia. Należy jeszcze wyrazić τs) za pomoca wektorów rs), r s), r s) i r s). Zachodza równości τs) Bs) N s) r s) ) r s) r s) d r s) ds ) r s) r s) r s) ) r s) r s) r s) r s) ) r s) r s) 2 r s) r s) ) r s). Dowód zosta l zakończony. Definicja 7.2 skre cenia) r s) + r s) ) d r s) ds r s) r s) r s) r s) 2 r s) Skre ceniem krzywej r w punkcie rs) nazywamy liczbe τs). ) Niech ϕh) [0, π] oznacza ka t mie dzy wektorami Bs) i Bs + h). Mamy sin ϕh) Bs + h) Bs) Bs) + B s)h + oh) ) Bs) 4

5 B s)h + oh) ) Bs) τs)ns)h + oh) ) Bs) τs) h + oh). Wynika sta d Stwierdzenie 7.3 Jeśli r s) 0, to lim ϕh) h 0 h τs). Czas na wyrażenie wektorów T, N, B oraz krzywizny i skre cenia za pomoca funkcji r i jej pochodnych przy użyciu dowolnej parametryzacji. Czasem naturalna parametryzacje można znaleźć jedynie używaja c tzw. funkcji specjalnych. Jest tak w przypadku elipsy, wie c bardzo prostej krzywej. W dalszym cia gu be dziemy pisać rt) maja c na myśli dowolna parametryzacje krzywej. Symbol r st)) oznaczać be dzie dr ds st)), czyli pochodna funkcji r zmiennej s w punkcie st). Symbol r t) oznacza pochodna funkcji r zmiennej t w punkcie t. Prawdziwy jest wie c wzór r t) r st))s t) w tym wzorze litera r oznacza punkt na krzywej przy czym może on być opisywany za pomoca parametru t po lewej stronie) lub za pomoca parametru naturalnego s po prawej stronie). Można też napisać r s) r t)t s). Z tej równości i z tego, że r s) oraz t s) > 0 wynika natychmiast, że t s) r t). Dalej t jest funkcja s. Mamy wie c Tt) r s) r t)t s) r s) d2 ds 2 rts)) d ds r ts)) r ts)) r t)t s) r t) r t). Sta d wynika, że r t) r t) r t) 2 r t) +r t) r t) t s) r t) r t) r t) 2 r t) r t) r t) )) r 4 r t) t) r t) ) ) r t).* 4 Wobec tego Ns) r t) r t)) r t) r t) r t)) r t) r t) r t) 2 r t) r t) r t)) r t) r t)) r t). Możemy napisać Bs) Ts) Ns) r t) r t)r t)) 2 r t)r t) r t) ) r t) r t)r t)) 2 r t)r t) r t) ) r t) r t)r t)) 2 r t) r t)r t)) 2 Mamy dalej r t) r t) r t) r t). κt) r s) r t) 4 r t) r t) 2 r t) r t) r t)) r t) 4 r t) r t) ) r t) r t) 4 r t) r t) r t) r t) 3 r t) r t). Zachodzi równość B s) + r t) r t) ) r t) r t) 2 ) r t) r t) t r t) r t) s) r t) r t) r t) r t) r t) + r t) r t))r t) r t)) r t) r t) r t) Z wzoru Freneta, prostopad lości wektorów r t) r t) i r t) r t) ) r t) * u v) wvu w) uv w) dla dowolnych u,v,w R 3, co studenci wykaża bez trudu. Wektory r r i r sa prostopad le, wie c d lugość ich iloczynu wektorowego to iloczyn ich d lugości. 5

6 oraz formu ly na B τt) B s) Ns) wynika, że r t) r t) r t) r t) r t) r t) r t) 2 r t) r t) r t)) r t) r t)) r t) r t) r t) r t) r t) r t) r t) r t) 2 r t) r t) r t) r t) r t) 2 r t) r t) ) r t) r t) r t) 2 r t) r t) ) r t). Udowodnimy teraz, że jeśli dane sa funkcje κ > 0 i τ na pewnym przedziale otwartym, to istnieje krzywa r, której krzywizna jest κ, a skre ceniem τ. Poprzedzimy to twierdzeniem o istnieniu i jednoznaczności rozwia zań uk ladu równań różniczkowych liniowych. Twierdzenie 7.4 o istnieniu i jednoznaczności rozwia zań ) * Jeśli A jest funkcja cia g la na przedziale otwartym a, b) o wartościach w LR k, R k ), to dla każdego a, b) i każdego x 0 R k istnieje dok ladnie taka jedna funkcja różniczkowalna x: a, b) R k, że x ) x 0 oraz x t) At)xt). Przy ustalonym przyporza dkowanie punktowi x 0 funkcji x jest liniowym izomorfizmem przestrzeni R k na przestrzeń wszystkich funkcji x: a, b) R k spe lniaja - cych równanie x t) At)xt). Dowód. Dowód przeprowadzimy zak ladaja c, że a, b. Czytelnik powinien zmodyfikować rozumowanie tak, by uzyskać dowód w dowolnej sytuacji. Funkcja różniczkowalna x: R R k spe lnia warunki x ) x 0, x t) At)xt) wtedy i tylko wtedy, gdy jest cia g la i xt) x 0 + t Aτ)xτ)dτ dla każdego t R. Ustalmy d > 0 i α > 0. Niech x α,d sup{ xt) e α t t0 : t d}. Niech ϕx)t) x 0 + t Aτ)xτ)dτ dla t [ d, + d]. Ponieważ A jest funkcja cia g la, wie c istnieje taka liczba M > 0, że dla każdego t [ d, + d] zachodzi nierówność At) M. Mamy zatem ϕx ) ϕx 2 ) ) t) α,d sup t t0 d e α t t Aτ) x τ) x 2 τ) ) dτ M sup t t0 d e α t t x τ) x 2 τ) ) e α τ e α τ dτ M sup t t0 d e α t x x 2 α,d t e α τ dτ M α x x 2 α,d. Jeśli wie c α > d, to przekszta lcenie ϕ odwzorowuja ce przestrzeń funkcji cia g- lych z [ d, + d] z norma α,d w R k jest zwe żaja ce, a ta przestrzeń jest zupe lna, wie c ϕ ma dok ladnie jeden punkt sta ly. Zwie kszaja c d otrzymujemy funkcje na wie kszym przedziale. W tej przestrzeni * Ogólniejsza wersja pojawi sie na równaniach różniczkowych Ca lkownie odbywa sie po każdej wspó lrze dnej z osobna. Z różniczkowalności funkcji x i z równania x t)at)xt) wynika cia g lość pochodnej x. 6

7 też jest rozwia zanie naszego równania. Bez trudu stwierdzamy, że jest ono przed lużeniem rozwia zania określonego na krótszym przedziale z jednoznaczności). Zbiór rozwia zań równania x t) At)xt) jest oczywiście przestrzenia liniowa formalne sprawdzenie. Ponieważ wartość tego rozwia zania w punkcie wyznacza je, przy czym kombinacji liniowej punktów x 0 odpowiada kombinacja liniowa ich rozwia zań, wie c przestrzeń rozwia zań jest izomorficzna z przestrzenia zosta l zakończony. R k. Dowód Wzory Freneta przy danych funkcjach κ i τ można potraktować jako uk lad równań różniczkowych, w którym niewiadomymi sa wspó lrze dne wektorów T, N i B Czytelniku jak wygla da macierz At)?). Z udowodnionego twierdzenia wynika, że ma on dok ladnie jedno rozwia zanie spe lniaja ce warunek pocza tkowy trzeba powiedzieć, jakie wartości maja przyjmować niewiadome funkcje w dowolnie wybranym punkcie dziedziny). Pozostawiamy Czytelnikowi sprawdzenie tego, że startuja c z wzajemnie prostopad lych wektorów o d lugości otrzymujemy funkcje, których wartości spe lniaja ten warunek w ca lej swej dziedzinie oczywiście wspólnej). ZADANIA 7. 0 Udowodnić, że jeśli r s) 0 i Πh) oznacza p laszczyzne przechodza ca przez punkt rs+h), prostopad la do wektora r s+h), a P h) jest punktem przecie cia Πh) i normalnej g lównej do krzywej r w punkcie rs), to lim h 0 P h) Cs) Udowodnić, że jeśli r s) 0 i bh) jest wektorem o d lugości, prostopad lym do p laszczyzny, która przechodzi przez punkty rs h), rs) i rs + h), to lim bh) ±Bs). h Niech a, b > 0 i rt) at b sin t, a b cos t). Sprawdzić dla jakich a, b krzywa ma punkty samoprzecie cia. Znaleźć d lugość luku tej krzywej odpowiadaja cemu przedzia lowi [0, π] w przypadku a b. Znaleźć ewentualne punkty wyprostowania krzywej r. Znaleźć krzywizne i skre cenie krzywej r Znaleźć p laszczyzne ściśle styczna do linii śrubowej: x a cos t, y a sin t, z bt w dowolnym punkcie oraz ka t, który tworzy ona z osia OZ Znaleźć p laszczyzne ściśle styczna do krzywej x y, x 2 z Znaleźć p laszczyzne ściśle styczna do krzywej x t 2, y t t 2, z 2t Znaleźć trójścian Freneta krzywej y x 3, z x 4. Znaleźć punkty wyprostowania tej krzywej. 7

8 7. 08 Wykazać, że jeśli wszystkie p laszczyzny normalne krzywej przechodza przez jeden punkt, to krzywa leży na sferze o środku w ich punkcie wspólnym Wykazać, że jeśli wszystkie p laszczyzny ściśle styczne do krzywej przechodza przez jeden punkt, to krzywa jest p laska Obliczyć krzywizne linii lańcuchowej: y a 2 e x/a + e x/a ), z Znaleźć środki krzywizny elipsy x2 a + v2 2 b w tych jej punktach, w których ma 2 ona najwie ksza lub najmniejsza krzywizne Znaleźć krzywizne i skre cenie krzywej r, jeśli rt) t, t 2, t 3 ) Znaleźć krzywizne i skre cenie krzywej r, jeśli rt) t, + t, t + t ) Znaleźć krzywizne i skre cenie krzywej r, jeśli jej wspó lrze dne spe lniaja równania y 2 x, x 2 z. 8