Funkcje falowe równanie Schroedingera

Transkrypt

1 Fukcje falowe rówaie Schroedigera

2 Fukcja falowa kwatowa iterpretacja jedo wmiarowe pułapki elektroów fukcje falowe ieskończoa i skończoa studia potecjału atom wodoru rówaie Schroedigera wprowadzeie i rozwiązaia elektro swobod elektro w ieskończoej studi potecjału

3 PRZYPOMNINI: Fale bieżące i stojące w apiętej struie impuls o profilu f( ) rozchodząc się w kieruku +: f f ' f vt impuls o profilu f( ) rozchodząc się w kieruku : ' f vt Hallida, Resick, Walker, Podstaw fizki, Copright Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 3 harmoicza fala bieżąca rozchodząca się w kieruku +: k A A ; cos cos k' A cosk vt k t v k, t) cos t k ( / dług. fali faza T czas

4 PRZYPOMNINI: fale stojące w struie przmocowaej do sztwej ścia Iterferecja fali padającej i odbitej daje falę stojącą: A cos f vt g vt k t A cosk t A siksi t A si t A ' ' A sik Dopuszczale rozwiązaia dla fali zlokalizowaej są dskrete (skwatowae): sikl ; kl ; L ; L Dla klasczej fali sprężstej zlokalizowaej kwatzacji podlega długość fali i częstość, a ie eergia. ergia zależ także od amplitud, która ie jest skwatowaa. Hallida, Resick, Walker, Podstaw fizki, Copright Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 3

5 Bieżącą falę harmoiczą w struie: moża, korzstając z rówości ulera: przedstawić w zapisie rzeczwistm z z dz z z dz id z lz i C z z e cos isi i si icos d i cos isi d izd Lokalizacja fal materii (elektrou) zespolom: p h ep i k A cos k t e i z cos isi A cos i A e k t; p k k t t Dla fal materii (fukcji falowej) zaczeie ma zarówo część rzeczwista jak i urojoa. W przpadku elektrou swobodego: lub: Lokalizacja fukcji falowej, poprzez kwatzację długości fali, prowadzi do kwatzacji eergii p c * m d c p m 4

6 lektro w pułapce jedowmiarowej ( studia potecjału) Jedowmiarowa pułapka elektroowa Stosując to samo podejście jak dla fali w struie otrzmam: 1 e kt ikt i i it e si k e Hallida, Resick, Walker, Podstaw fizki, Copright Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 3 co prowadzi do kwatzacji k, λ, p i eergii elektrou w pułapce: kl ; k ; L k L ergia potecjala elektrou w pułapce jedowmiarowej p m Asi L h m h 8mL

7 Fukcje falowe i eergie elektrou w studi potecjału A si h 8mL L L = 1 pm Hallida, Resick, Walker, Podstaw fizki, Copright Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 3 Przejścia optcze: h if f i

8 lektro w skończoej studi potecjału L = 1 pm ergie elektrou w skończoej i ieskończoej studi potecjału Fukcje falowe elektrou w skończoej studi potecjału Hallida, Resick, Walker, Podstaw fizki, Copright Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 3

9 Dwuwmiarowa pułapka elektroowa lektro w pułapce dwuwmiarowej Pułapka kwadratowa Fala bieżąca elektrou: e i k k t ik Hallida, Resick, Walker, Podstaw fizki, Copright Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 3 e it e e ik i krt e Fala stojąca dla elektrou w pułapce dwuwmiarowej i jego eergia wrazi się astępującmi wzorami: 1, p,,t p m e it hk si 1 L hk m si L h 8m L 1 L

10 Zagroda kwatowa Fukcja falowa elektrou: stoj biez i e e i kr t kr t ikr t e Blue corral - Niebieska Zagroda Origiall created b IBM, from America Scietist, the cover of Phsics Toda, 1993 Fe a Cu Fala stojąca dla elektrou w zagrodzie kwatowej kołowej i jego eergia wrazi się astępującmi wzorami: it r,t ie sikr k R h 8mR Dla zagrod smetria kołowa Origiall created b IBM

11 lektro w pułapce trójwmiarowej Trójwmiarowa pułapka elektroowa z 3 1,, z 3 1 t i stoj L L L 8m h z L si L si L si e,,z,t 3 1 Hallida, Resick, Walker, Podstaw fizki, Copright Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 3 Fala stojąca dla elektrou w pułapce trójwmiarowej i jego eergia wrazi się: Kropka kwatowa; sztucz atom kotakt umożliwiają kotrolę liczb elektroów w kropce

12 ATOM WODORU, zlokalizowa elektro (dskrete eergie) Copright Spriger-Verlag, The Phsics of Atoms ad Quata b Herma Hake ad Has Christoph Wolf Copright for the Polish editio b Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa Seria Balmera, widmo emisje atomowego wodoru graica widma 364,56 m

13 WZÓR BALMRA m I liia = 3, II = 4, itd WZÓR RYDBRGA dla wodoru Liczba falowa 1 A R R = 19737,3 cm -1 stała Rdberga h hc Rhc 1 m 1 1 R m R Rhc = 13.6 ev

14 SCHMAT poziomów atomu wodoru OBSRWOWAN SRI: Lmaa m = 1 Balmera m = Paschea m = 3 Bracketa m = 4 Pfuda m = 5 = m + 1, m + itd Hallida, Resick, Walker, Podstaw fizki, Copright Wdawictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 3

15

16

17

18 Fala sprężsta Rówaie falowe przpomieie Operator Laplace a abla: 1 v t z prędkość w ciele stałm prędkość w gazach 1 v v m / s v p v RT d d B v 1 dt Fala elektromagetcza v 1 c v dt B

19 Rówaie Schrödigera - rówaie falowe rozwiązaie rówaia metodą rozdzieleia zmiech t t, t m t m t i t t i t t i V m 1 t t i V t m,, t i t V t m

20 V m i Q t l i Qt l d Q i dt iqt Qt Qt e cos isi cos Q Q stąd h Q h Rozwiązaie rówaia Schrödigera it t e, fukcja falowa e it Q - część zależa od czasu - część zależa od położeia t isit

21 Rówaie Schrödigera iezależe od czasu V m V m

22 Swobod elektro cost F d dv V V m Założeie V = m t i e ik e t, t k i t k t e e t t i ik si cos,,

23 lektro ma określoą fukcję falową w przedziale Ae ik Be ik d d ik ik i k Ae i k Be i k k i k m m Wiosek: Stała eergia kietcza elektrou C = p + K = K bo V =

24 Własości fukcji falowej 1) gęstość prawdopodobieństwa zalezieia elektrou * d 1 * Ae ik * ik A e AA * A A d 1 A 1 A Amplituda a końcach przedziału ) f. falowa () musi bć skończoa i ciągła dla wszstkich wartości 3) d d musi bć skończoa i ciągła dla wszstkich

25 Nieskończoa studia potecjału =a V a a V ; V d d m Dla < i > a V = to V m d d 1 1 cz. =

26 wewątrz studi V = < < a d m d ik C1e C e ik = = ik ik C1e Ce C 1 +C = C 1 = - C = = a ika ika ika ika C1e Ce C1e C1e korzstając z e A si k A si ka dla =; =a ika ika e i si ka

27 k a = =1,, a a * d 1 1 A si kd A a A a a si a 1 a a si a 3

28 eergia a a a a a m d d m si si 1 1 a m 1 ma ma 4 ma Wartości eergii własej elektrou dla ieskończoej studi potecjału =a V 1 =1 =

29 3-wmiarowa prostopadłościea studia potecjału m z z z z z m z m z z z ~ e ik ik e k i m

30 k 1 m k k k z z k k k m k A si a k k A si z k A z z z si Z waruku = dla z m b k c k z z a A b A c A z c z z b a ; ; ;

31

32

33

34 Rówaie Schroedigera tuelowaie

35

36

37

38

39

40

41

42 Przkład: Obliczć głębokość wikaia w obszar wzbroio, jeżeli praca wjścia elektrou z metalu wosi 4 ev.

43 Bariera o skończoej grubości

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53