Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 14, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Transkrypt

1 Podstawy Fiyki IV Optyka elementami fiyki współcesnej wykład 4, wykład: pokay: ćwicenia: Cesław Radewic Radosław Chrapkiewic, Filip Oimek Ernest Grodner

2 Wykład 3 - prypomnienie płasko-równoległy interferometr Fabry-Perot amplituda i faa fali prechodącej transmisja natężenia reonanse finesse interferometr F-P jako filtr spektralny, dolność rodielca, FSR siatka dyfrakcyjna wór siatkowy, rędy ugięcia dyspersja kątowa, dolność rodielca, FSR dyspersja kątowa prymatu spektrometry: prymatycny, siatkowy dudnienia, ultrakrótkie impulsy jako wynik składania cęstości harmonicnych

3 Superpoycja wielu fal płaskich momochrom. 0 Pryjmijmy D gaussowki rokład w płascyźnie k x k y A k x, k y = A 0 e k x i policmy pole w = 0 E x, y, 0 = π +k y σ dk x dk y E k x, k y = A 0 π E k x, k y = A k x, k y e i k xx+k y y+k wektor falowy pojedyncej fali charakteryujemy podająck x ora k y ; trecią składową licymy e wiąku dyspersyjnego k = k x + k y + k = n ω dk x dk y e k x +k y σ c +i k x x+k y y Korystamy lematu Siegmana dy e Ay By = π A eb A dla ReA > 0 i licymy pole E x, y, 0 = A 0 σ e σ x +y 4 = A 0 σ e σr 4

4 superpo. wielu fal wiąka gaussowska. E k x, k y, = A k x, k y e i k xx+k y y+k k x Dla gaussowskiego rokładu składowych pola w 0 mamy E x, y, = dk π x dk y E k x, k y, = = A 0 π = A 0 π eik = A 0 π eik E k x, k y = A k x, k y e i k xx+k y y+k = 0 dk x dk y dk x dk y dk x dk y e k x +k y σ +i k x x+k y y+k k x +k y k = e σ+ik k x +k y +i kx x+k y y = e k x +k y σ +i k x x+k y y A σ r = 0 σ e 4 prybliżenie pryosiowe: k x + k y k daje k = k k x k y k k x +k y co skutkuje polem k +k y k E x, y, = A 0 σ e σ r 4 = A 0 σ e Re σ r 4 gauss i Im σ r 4 gdie espolony parametr σ jest definiowany równością σ = + i σ k paraboloida=sfera

5 fala parabolicna r-nie falowe w ośrodku jednorodnym, iotropowym dielektryku n E r, t = 0 c daje, pry ałożeniu fali monochromatycnej E r, t = A r e iωt, równanie Helmholta + k A r = 0 e wiąkiem dyspersyjnym k = n ω c Jeśli roważamy pole skalarne A r to + k A r = 0 y x Fala sferycna A r = A 0 r e ikr, r = r w prybliżeniu pryosiowym r = x + y + x + y ma postać A r A 0 e ik e ik x +y x + y Ponieważ równanie x +y = const opisuje paraboloidę obrotową to falę taką naywamy falą parabolicną

6 pryosiowe r-nie Helmholta, Laplasjan w r-niu Helmholta + k A r = 0 wygodnie jest podielić na cęść poprecną ora osiową : = x + y + = T +, T= x + y Wprowadamy wolnomienną obwiednię fali ψ x, y, taką, że A r = ψ x, y, e ik i różnickujemy po A = ψ e ik ikψe ik = ψ ψ ik k ψ e ik W prybliżeniu pryosiowym dowód: ψ ds = ψ ds S S ψ + λ ψ ψ + ψ λ λ ψ ψ k π ψ ψ k ψ co daje r-nie Helmholta T ψ ik ψ = 0 wolnomienna obwiednia ψ k π ψ

7 T ψ ik ψ = 0 Wstawmy falę parabolicną ψ x, y, A 0 pryosiowe r-nie Helmholta, e ikx+y Rachunki : fala parabolicna spełnia r-nie Helmholta w wersji pryosiowej spróbujmy cegoś bardiej ogólnego : ψ x, y, A 0 q e ik x +y q, q = + a ψ + ψ = x y ik ψ = k i k x +y q q 3 k i k x +y q q 3 A 0 e ik x +y q A 0 e ik x +y q też spełnia pryosiowe r-nie Helmholta E x, y, = A σ r 0 σ e ik e 4 + i σ = σ k E x, y, = A 0 q() e ik e ik x +y q() q = i 0 + wiąka gaussowska

8 wiąka gaussowska- inne podejście Startujemy pryosiowego r-nia Helmholta: T ψ ik ψ = 0. postulujemy symetrię cylindrycną T = r r r r. Postulujemy kr i P + ψ = e q() 3. Pracowicie różnickujemy i wstawiamy do r-nia Helmholta k q () dq d r k dp d + i q() ψ = 0 dq d = 0 q = q 0 + w = 0 mamy ψ = e ip(0) stąd q 0 = i 0 ikr e q0 dp d + i q() = 0 e ip = + / 0 e iarctan / 0 A x, y, = A 0 ψ(x, y, )e ik = A 0 + / 0 e i k+arctan / 0 e ikr i 0 +

9 wiąka gaussowska trochę porądków w rachunkach: A x, y, = A 0 ψ(x, y, )e ik = A 0 + / 0 e i k+arctan / 0 e ikr i 0 + pryjryjmy się wyrażeniu i i 0 + = atem + 0 i ikr = k 0r kr i i = r w kr i R() dwa nowe parametry to w() ora R() są definiowane r-niami w = + 0 k 0 = λ 0 πn + / 0 R = + 0 = + / 0 w() i R() definiują parametr q wiąki gaussowskiej: q() = R() i λ πw ()

10 wiąka gaussowska własności, Natężenie I = A(x, y, ) = A 0 w 0 w() e r w () w - promień wiąki na poiomie /e w = λ 0 πn + / 0 = w 0 + / 0 lim w = w 0/ 0, kąt robieżności Θ = w 0 = λ 0 πnw 0 gdie w 0 = w 0 = λ 0 πn to tw. talia (prewężenie) wiąki asięg Rayleigha: 0 w 0 = w 0

11 wiąka gaussowska własności, Natężenie I = A(x, y, ) = A 0 w 0 w() e r w () natężenie na osi: I 0,0, = I 0 + / 0 I(0,0, ) / I / 0 moc wiąki: P = 0 I r, πrdr % mocy na kole o promieniu r 0 P r 0 0 I r, πrdr w0 = e r 0 = I 0πw 0 0 0

12 wiąka gaussowska własności, 3 r ik fronty falowe: A x, y, e R() fronty falowe są parabolicne=sferycne a promień sfery to R = + 0 = + / 0 minimalna wartość krywiny frontu falowego to R 0 = 0 a asymptota lim R = konwencja naków!

13 wiąka gaussowska- własności 4 faa na osi A x, y, e i k+arctan / 0 faa fali płaskiej faa Guoya arctan / 0

14 wiąki Gaussa-Hermita, Wiąka Gaussa: A G x, y, = A 0 q() e ik e ik x +y q() rowiąanie próbne dla sersej klasy wiąek: A x, y, = X u Y(v)e il() A G x, y,, u = x w(), v = spełnia warunki y w() amplituda wiąki: X x w() Y y w() x w +y 0 w() e w () kstałt frontów falowych jak w wiące gaussowskiej rowiąanie próbne wstawiamy do pryosiowego r-nia Helmholta X X u X u u + Y Y v Y v v + kw L x = 0 μ μ μ + μ

15 wiąki Gaussa-Hermita, 3 r-nia: X X u + u = μ u X Y Y v + v = μ v Y w L x = μ + μ X, Y - wielomiany Hermita H l, H m Rekurencyjna definicja wielomianu Hermita H l+ u = uh l u lh l u H 0 u =, H u = u L = l + m arctan / 0 mody TEM lm TEM 0 TEM

16 parametr M wiąki W prewężeniu wiąki wynacamy jest romiary σ x = x I x,y,0 dxdy I x,y,0 dxdy, σ y = y I x,y,0 dxdy I x,y,0 dxdy Fakt: w dalekim polu rokład natężenia achowuje kstałt a romiary wiąki rosną liniowo odległością od prewężenia I x, y, M = M I(x, y, ) dięki cemu kąty robieżności wiąki w dalekim polu są dobre definiowane i możemy policyć ich wariancje Θ x = lim Θ x I Θx,Θ y, dθ x dθ y I Θ x,θ y, dθ x dθ y, Θ y = lim Θ y I Θx,Θ y, dθ x dθ y I Θ x,θ y, dθ x dθ y dla wiąki gaussowskiej σ x = σ y = σ G = w 0 Θ x = Θ y = Θ G = w 0 / 0 a ilocyn σ G Θ G = λ/π jest najmniejsy dla każdej innej wiąki o danych σ i Θ M = σθ > σ G Θ G

17 wiąka gaussowska i socewka cyli cienka socewka skupiająca R R = f = R R f Jednoceśnie w = w Możemy policyć parametr q wiąki a socewką = q R i λ πw q f = R i λ πw f = R 0, R 0 Prykład: prewężenie wiąki o danym 0 w predniej płascyźnie ogniskowej q = i 0 + f bo obowiąuje formuła q + d = q + d = = q q q f i 0 +f f = f + i f 0 W tylnej płascyźnie ogniskowej socewki mamy q 3 = q + f = i f 0 - urojony parametr q onaca prewężenie q 3 = i 03 = f 0 w 0 w 03 = λ 0 πn λ 03 = λ 0 03 = λf πn π n πn

18 propagacja w.g. q() = i d pusta prestreń: q = i 0 + = i d = q + d Macier ABCD dla swobodnej propagacji to A B C D = d 0 Zatem q = Aq + B Cq + D ogólne prawo ABCD dla wiąek gaussowskich q = Aq +B Cq +D cienka socewka skupiająca o ogniskowej f = q q f Macier ABCD socewki A B C D = 0 f Zatem = = f q q q f fq cyli nowu = f q + = Cq +D q +0 Aq +B q = Aq + B Cq + D

19 propagacja w.g.; prykład cienka socewka skupiająca, prewężenie wiąki wejściowej na socewce macier układu A B C D = d 0 0 f w płascyźnie q = i 0, = i q 0 = d/f d f Prekstałcamy prawo ABCD dla wiąek gaussowskich do postaci = D q Co daje q = q +C B q +A q f d q + d f rachunki = R i R = d/ 0 + d/f d 0 /f d/f λ πw w = w d/f + d/ 0 warunek na prewężenie f R = d = + f/ 0 romiar wiąki w płascyźnie ogniskowej f w = w = f λ 0 πw 0 d