OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Transkrypt

1 OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego

2 Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić równania dla współczynników rozwinięcia c(t). Skorzystamy przy tym z rozwinięcia (2.9) Ψ(t) = k c k (t)e i E k t φ k ( r). Mamy więc i Ψ t = i k dc k (t) e i E k t φ k + k c k (t)e k e i E k t φ k. (3.1) Pamiętając o tym, że Ĥ = Ĥat + ĤI i Ĥatφ k = E k φ k otrzymujemy ĤΨ = ĤatΨ + ĤI Ψ = k c k (t)e i E k t E k φ k + k c k (t)e i E k t Ĥ I φ k (3.2)

3 Równania ewolucji czasowej Porównanie (3.1) i (3.2) prowadzi do i k dc k (t) e i E k t φ k = k c k (t)e i E k t Ĥ I φ k. (3.3) Mnożymy obie strony przez φ n i całkujemy i k dc k (t) e i E k t d 3 xφ nφ k = k c k (t)e i E k t d 3 xφ nĥi φ k. (3.4) Warunek ortonormalności (2.13) φ n( r)φ k ( r)d 3 r = n k = δ kn. zostawia w sumie po lewej stronie tylko wyraz z k = n, co daje i dc n(t) e i Ent = c k (t)e i E k t d 3 xφ nĥi φ k. (3.5) k

4 Równania ewolucji czasowej i dc n(t) e i Ent = k c k (t)e i E k t d 3 xφ nĥi φ k. Całka występująca z prawej strony określa element macierzowy hamiltonianu oddziaływania między stanami własnymi niezaburzonego hamiltonianu. d 3 xφ nĥi φ =(ĤI ) nk = n ĤI k (3.6) Równanie (3.5) przyjmuje postać i dc n(t) = k e i(ω k ω n)t (ĤI ) nk c k (t), (3.7) gdzie ω k = E k / i odpowiednio dla ω n. Jest to układ nieskończenie wielu równań różniczkowych pierwszego rzędu. W ogólności suma po k obejmuje także całkę po widmie ciągłym, a nie tylko dyskretną sumę po stanach związanych.

5 Przybliżenie dwupoziomowe Rozwiązanie układu równań (3.7) jest mozliwe tylko przy zastosowaniu metod przybliżonych. W sytuacji rezonansu optycznego, gdy częstość fali elektromagnetycznej jest dostrojona do jednej z częstości rezonansowych w atomie, tj. ω E 2 E 1 = ω 0, stosujemy przybliżenie atomu dwupoziomowego. Polega ono na tym, że spośród wszystkich poziomów energetycznych pozostawiamy tylko te dwa, z którymi fala elektromagnetyczna jest w rezonansie.!! 0 =" 2 # " 1 " $ "! " " #!! #!"#$%&'()*+,-).,./%0&1+23.%45"3.6)!)6.$%) 7&$%0&6&3+)7&)5"#$%&'5-)0."&3+3$&8.6)! 0, $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

6 Przybliżenie dwupoziomowe W przybliżeniu dwupoziomowym spośród wszystkich równań (3.7), i dc n(t) = k e i(ω k ω n)t (ĤI ) nk c k (t), pozostają tylko dwa, gdyż wskaźniki n i k przyjmują teraz tylko wartości 1 i 2. i dc 1(t) i dc 2(t) =(ĤI ) 11 c 1 (t)+e i(ω2 ω1)t (ĤI ) 12 c 2 (t), (3.8) = e i(ω1 ω2)t (ĤI ) 21 c 1 (t)+(ĥi ) 22 c 2 (t). (3.9) Hamiltonian oddziaływania jest operatorem samosprzężonym, tak że jego elementy macierzowe spełniają równość (Ĥ) nk =(Ĥ) kn, czyli także (Ĥ) 21 =(Ĥ) 12

7 Przybliżenie dwupoziomowe Biorąc pod uwagę, że ω 0 = ω 2 ω 1 (3.10) jest częstością rezonansową, możemy równania (3.8) zapisać w postaci i dc 1(t) =(ĤI ) 11 c 1 (t)+e iω0t (ĤI ) 12 c 2 (t), (3.11) i dc 2(t) = e iω0t (Ĥ I ) 21 c 1 (t)+(ĥ I ) 22 c 2 (t). (3.12)

8 Przybliżenie dipolowe i hamiltonian oddziaływania Przybliżenie dipolowe Pole elektromagnetyczne fali ma postać (2.3) E( r, t) = E 0 cos(ωt k r), Z kolei wartość wektora falowego jest związana z długością fali promieniowania λ k = 2π λ B( r, t) = B 0 cos(ωt k r). Oddziaływanie elektronu z polem elektromagnetycznym jest ograniczone do obszaru wewnątrz atomu, przynajmniej dla przejść typu bound-bound. Rozmiary atomu są rzędu promienia Bohra, przyjmując więc, że początek układu współrzędnych umieszczony jest w jądrze atomu, mamy dla r: r a B m. Tak więc k r kr 2π r λ. Typowa długość fali elektromagnetycznej z optycznego zakresu widma jest rzędu setek nanometrów, np. dla światła czerwonego λ Wynika stąd, że typowa wartość kr jest rzędu wielkości 10 4 i jest tym samym dużo mniejsza od jedności.

9 Przybliżenie dipolowe i hamiltonian oddziaływania Przybliżenie dipolowe Możemy wobec tego zaniedbać k r w wyrażeniu dla pola fali elektromagnetycznej.pole elektryczne przybliżamy przez E( r, t) E(t) = E 0 cos ωt. (3.13) W przybliżeniu dipolowym pomijamy przestrzenne zmiany pola fali elektromagnetycznej w obszarze wewnętrznym atomu.oddziaływanie elektronu nierelatywistycznego z polem magnetycznym można zaniedbać ze względu na małą wartość siły Lorentza, F magn = e v B, dla v << c. Hamiltonian oddziaływania Siła działająca na elektron ze strony fali elektromagnetycznej zależy tylko od czasu i ma postać F (t) =e E 0 cos ωt. (3.14) Potencjał odpowiadający takiemu przestrzennie jednorodnemu polu sił ma postać V ( r, t) = e r E 0 cos ωt, gdyż, jak łatwo sprawdzić (3.15) F = V. (3.16)

10 Przybliżenie dipolowe i hamiltonian oddziaływania Hamiltonian oddziaływania Hamiltonian oddziaływania kwantowego elektronu z polem fali elektromagetycznej w przybliżeniu dipolowym otrzymamy zastępując wektor wodzący r przez operator położenia ˆ r, Ĥ I (t) = eˆ r E(t) = eˆ r E 0 cos ωt. (3.17) Operator ˆ ξ = eˆ r jest operatorem momentu dipolowego electronu (w ogólności cząstki naładowanej). Oddziaływanie z polem elektrycznym postaci (3.17) jest oddziaływaniem postaci ˆ ξ E. Wracając do równań ewolucji czasowej (3.11) i dc 1(t) =(ĤI ) 11 c 1 (t)+ e iω0t (ĤI ) 12 c 2 (t), i dc 2(t) = e iω0t (ĤI ) 21 c 1 (t)+ (ĤI ) 22 c 2 (t), widzimy, że ażeby efektywnie rozwiązać te równania musimy znać elementy macierzowe hamiltonianu oddziaływania [ (ĤI ) 11 (Ĥ I ) 12 (ĤI ) 21 (ĤI ) 22 (ĤI ) 21 =(ĤI ) 12 ], (3.18)

11 Przybliżenie dipolowe i hamiltonian oddziaływania Elementy macierzowe hamiltonianu oddziaływania Elementy macierzowe określone są przez wzór (3.6) d 3 xφ nĥi φ =(ĤI ) nk = n ĤI k. Biorąc pod uwagę postać hamiltonianu oddziaływania (3.17) otrzymujemy (ĤI ) kn = ee 0 cos ωt φ k( r) rφ n ( r)d 3 x, (3.19) skąd widać, że musimy obliczyć elementy macierzowe operatora położenia elektronu.diagonalny element macierzowy jest równy średniej wartości operatora położenia w stanie własnym φ k ( r) kk = φ k( r) rφ k ( r)d 3 x = φ k 2 rd 3 x = r k, (3.20) która dla elektronu związanego w atomie jest równa zeru. Znikają więc diagonalne elementy hamiltonianu oddziaływania.

12 Równania ewolucji czasowej Równania ewolucji czasowej w przybliżeniu dwupoziomowym przyjmują wobec tego postać i dc 1(t) = e iω0t (Ĥ I ) 12 c 2 (t), (3.21) i dc 2(t) = e iω0t (ĤI ) 21 c 1 (t). (3.22) Biorąc pod uwagę, że ĤI = eˆ r E 0 cos ωt = ˆ ξ E0 cos ωt, gdzie ξ jest operatorem momentu dipolowego, otrzymujemy dla elementów macierzowych hamiltonianu oddziaływania (Ĥ I ) 12 = ˆ ξ12 E 0 cos ωt i (Ĥ I ) 21 =(Ĥ I ) 12 = ˆ ξ 12 E 0 cos ωt (3.23)

13 Równania ewolucji czasowej Równania ewolucji czasowej zapiszemy wobec tego jako i dc 1(t) = ˆ ξ12 0 e iω0t cos ωtc 2 (t), (3.24) i dc 2(t) = ˆ ξ 12 E 0 e iω0t cos ωtc 1 (t). (3.25) Wprowadzając parametr λ = ˆ ξ 12 E 0 otrzymujemy (3.26) dc 1 (t) = iλe iω0t cos(ωt) c 2 (t), (3.27) dc 2 (t) = iλ e iω0t cos(ωt) c 1 (t). (3.28)