Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

Transkrypt

1 1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x x 1)(x x 2) W każdej z tych postaci współczynnik a jest różny niż 0 (a 0) bo gdyby a było zerem to nie mielibyśmy już funkcji kwadratowej tylko liniową Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Aby narysować parabolę potrzebujemy kilku punktów, które wystąpiły w powyższych wzorach (pod warunkiem, że istnieją). Wyjaśnijmy więc co oznaczają poszczególne litery we wzorach: przy pomocy współczynników a, b, c występujących w postaci ogólnej wyznacza się tzw. wyznacznik, oznaczany grecką literą (delta), który oblicza się ze wzoru: b 2 4ac Od wyznacznika zależy ile miejsc zerowych ma parabola jeśli > 0, to są 2 miejsca zerowe x 1 i x 2 (patrz poniżej) parabola przecina oś X jeśli 0, to jest jedno miejsce zerowe x o p (patrz poniżej) parabola dotyka osi X jeśli < 0, to nie ma miejsc zerowych parabola w całości jest nad osią lub pod osią a współczynnik od którego zależy jak skierowane są ramiona paraboli jeśli a > 0 (dodatnie), to ramiona paraboli skierowane są do góry (patrz rysunek) jeśli a < 0 (ujemne), to ramiona paraboli skierowane są do dołu (patrz rysunek) p, q współrzędne wierzchołka paraboli, które obliczamy ze wzorów: ; q x 1, x 2 miejsca zerowe funkcji kwadratowej, które obliczamy ze wzorów: x 1 ; x 2

2 2

3 3 Wzory Viete a Jeśli x1 i x2 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f(x) ax2 + bx + c,, to zachodzą zależności x1 + x2 x1 x2

4 4 Przykład 1 Dana jest funkcja kwadratowa w postaci ogólnej y x 2 + 2x - 3 oblicz miejsca zerowe tej funkcji oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem podaj równanie prostej będącą osią symetrii paraboli zapisz funkcję w postaci iloczynowej zapisz funkcję w postaci kanonicznej zapisz miejsce przecięcia z osią Y narysuj wykres tej funkcji podaj zbiór wartości tej funkcji W naszej funkcji kwadratowej: a 1, b 2, c -3 Oblicz miejsca zerowe funkcji: Δ b 2 4ac (-3) x 1 x miejsca zerowe to: -3 i 1 Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli: -1 q - 4 parabola ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych (-1, -4) Napisz równanie osi symetrii paraboli: jeśli znamy współrzędne wierzchołka paraboli to osią symetrii jest zawsze pierwsza współrzędna piszemy więc: x -1 Zapisz funkcję w postaci iloczynowej: Postać iloczynowa to f(x) a(x x 1)(x x 2), ponieważ miejsca zerowe x 1 i x 2 obliczyliśmy już wcześniej, to wystarczy teraz podstawić je do powyższego wzoru i otrzymamy: f(x) 1 (x (-3))(x 1) (x + 3)(x - 1) Zapisz funkcję w postaci kanonicznej: Postać kanoniczna to f(x) a(x p) 2 + q ponieważ współrzędne wierzchołka paraboli p i q obliczyliśmy już wcześniej, to wystarczy teraz podstawić je do powyższego wzoru i otrzymamy: f(x) 1 (x (-1)) 2 + (-4) (x + 1) 2 4 Zapisz miejsce przecięcia z osią Y: Miejsce przecięcia paraboli z osią Y jest zawsze równe współczynnikowi c we wzorze paraboli, czyli u nas jest to 3

5 5 Narysuj wykres tej funkcji: aby narysować wykres funkcji potrzeba: - miejsc zerowych - współrzędnych wierzchołka paraboli - miejsca przecięcia paraboli z osią Y ponieważ to wszystko już znaleźliśmy wcześniej, to możemy przystąpić do narysowania tej paraboli: Podaj zbiór wartości tej funkcji: zbiór wartości funkcji możemy odczytać na podstawie wykresu, albo nie używając wykresu określić go wg zasady: jeśli a > 0 (ramiona paraboli skierowane są do góry), to zbiór wartości jest: (q, ) jeśli a < 0 (ramiona paraboli skierowane są do dołu), to zbiór wartości jest: (-, q) u nas a 1, q - 4 zatem zbiór wartości to przedziała (- 4, ) Przykład 2 Jakie współrzędne ma wierzchołek paraboli o równaniu: a) y 2 (x -4) 2 +1 b) y - (x - 1) 2 5 c) y - 4x Wszystkie powyższe wzory funkcji kwadratowej przedstawione są w postaci kanonicznej, czyli f(x) a(x - p) 2 + q zauważmy, gdzie w tym wzorze znajduje się p, a gdzie q (czyli współrzędne wierzchołaka paraboli) - widzimy, że p znajduje się tuż po x-ie, ale przed kwadratem, oraz, że przed p stoi znak - czyli odczytując p musimy pamiętać o zmianie znaku na przeciwny - widzimy, że q jest tu jakby wyrazem wolnym stojącym na końcu równania Mając powyższe na uwadze, odczytuję, że współrzędne wierzchołka paraboli będą: a) (4, 1) b) (1, - 5) c) (0, 6)

6 6 Przykład 3 Naszkicuj parabolę, która jest wykresem funkcji f(x) -3(x 2)(x + 1) podanej w postaci iloczynowej Mamy podaną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, więc mogę z tej postaci odczytać miejsca zerowe będą to x 1 2 oraz x 2-1 W przykładzie 1 wspomnieliśmy, że do narysowania wykresu funkcji przydały by się jeszcze współrzędne wierzchołka paraboli oraz miejsce przecięcia z osią Y W tym celu musimy postać iloczynową sprowadzić do postaci ogólnej, po prostu wymnażając nawiasy: f(x) - 3(x 2 2x + x 2) - 3(x 2 x 2) -3x 2 + 3x + 6 w tej funkcji współczynniki wynoszą a - 3, b 3, c 6 Δ (-3) od razu odczytujemy miejsce przecięcia z osią Y, bo jest to współczynnik c, czyli 6 obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli: q 6 i możemy już narysować wykres:

7 7 Przykład 4 Liczby x 1 i x 2 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f(x) x 2 6x - 5. Oblicz x 1 + x 2 oraz x 1 x 2 oraz x x 2 2 Współczynniki naszej funkcji wynoszą: a 1, b - 6, c - 5 x 1 + x 2 (z wzoru Viete a) 6 x 1 x 2 (z wzoru Viete a) - 5 x x 2 2 (x 1 + x 2) 2-2 x 1 x 2 (tak sprytnie sobie wykombinowałem, żeby teraz użyć wzorów Viete a) ( ) (-5) Przykład 5 Określ najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) w podanym przedziale: a) f(x) x 2 6x w przedziale <-2; 4> b) f(x) 3x 2 2x + 1 w przedziale <0; 3> Najmniejsza lub największa wartość funkcji kwadratowej w danym przedziale domkniętym może występować na końcach tego przedziału lub w punkcie będącym wierzchołkiem paraboli (o ile będzie on do tego przedziału należał) jak to wygląda w praktyce: a) 1. Obliczamy wartość funkcji na końcach przedziału: f(-2) (-2) 2-6 (-2) f(4) Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli czyli p i sprawdzamy czy należy do podanego przedziału domkniętego 3 należy do przedziału <-2; 4> b) 3. Obliczamy q q f(p) Porównujemy otrzymane 3 wartości u nas 16, - 8, to najmniejsza wartość funkcji f(x) w podanym przedziale 16 to największa wartość funkcji f(x) w podanym przedziale 1. Obliczamy wartość funkcji na końcach przedziału: f(0) f(3) Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli czyli p i sprawdzamy czy należy do podanego przedziału domkniętego należy do przedziału <0; 3> 3. Obliczamy q q f(p) 3 ( ) Porównujemy otrzymane 3 wartości u nas 1, 22, 0 0 to najmniejsza wartość funkcji f(x) w podanym przedziale 22 to największa wartość funkcji f(x) w podanym przedziale

8 8 Wykres i własności funkcji wykładniczej Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci: f(x) a x, gdzie a musi być dodatnie i różne od 1 (a > 0 i a 1) Co należy wiedzieć o tej funkcji? dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, a zbiorem wartości wszystkie liczy rzeczywiste dodatnie nie ma miejsc zerowych (nie przecina osi X) przecina oś Y zawsze w punkcie (0; 1) od współczynnika a zależy czy jest rosnąca czy malejąca jeśli a > 1, to funkcja rośnie jeśli 0 < a < 1 (a jest ułamkiem z przedziału od 0 do 1), to funkcja maleje a > 1 0 < a < 1 Wykres i własności funkcji f(x) Funkcja y, w której a 0 jest przykładem prostej funkcji wymiernej. Nazywamyy ją proporcjonalnością odwrotną, a wielkości x i y- odwrotnie proporcjonalnymi. Liczba a to współczynnik proporcjonalności. Co należy wiedzieć o tej funkcji? dziedziną i zbiorem wartości funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste poza 0. nie ma miejsc zerowych (nie przecina osi X) nie przecina osi Y od współczynnika a zależy w których ćwiartkach układu współrzędnych leży wykres a w konsekwencji czy funkcja jest rosnąca czy malejąca jeśli a > 0, to wykres leży w 1 i 3 ćwiartce i w każdej z tych ćwiartek funkcja jest malejąca jeśli a < 0, to wykres leży w 2 i 4 ćwiartce i w każdej z tych ćwiartek funkcja jest rosnąca

9 9 Przykład 6 Basen napełniono w ciągu 8 godzin, wpuszczając do niego wodę w tempie 2 litrów na sekundę. a) W jakim tempie powinna płynąć woda, aby basen napełnił się w czasie 6 godzin. b) W jakim czasie napełni się basen, jeśli woda będzie płynąć z prędkością 5 litrów na sekundę. Ponieważ prędkość napełniania basenu podana jest w l/sek, to na początku musimy 8 godzin oraz 6 godzin zamienić na sekundy s 28800s s 21600s a) korzystamy z proporcji odwrotnej, gdzie iloczyn liczb w jednym wierszu jest równy iloczynowi liczb w drugim wierszu 2l/s s x s 21600x : x 2,7l/s b) korzystamy z proporcji odwrotnej, gdzie iloczyn liczb w jednym wierszu jest równy iloczynowi liczb w drugim wierszu 2l/s s 5l/s x 5x s :5 x 11520s Tu sekundy zamieniamy na godziny 72000: ,2godz