Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n

Transkrypt

1 Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania kwadratowe Funkcje kwadratowe Figury na płaszczyźnie Proste, płaszczyzny i kąty w przestrzeni Kontrakt i wymagania Lekcja. Pojęcie równania kwadratowego. Str Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n n 1 a n x + a n 1 x a x + a1 x + a 0 = 0. Np. x-1 = 0; -x 4 +x +x = 0; 5x 6 7x = 0. Jeżeli a n 0, to n nazywamy stopniem tego równania. Czyli jest to wykładnik najwyższej potęgi. Np. 3x 5 x + 4 = 0, równanie stopnia 5. x +7 = 0, równanie stopnia Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci ax + bx + c = 0, gdzie a 0. a, b, c są to dowolne liczby współczynniki. 4. Rozwiązania równania kwadratowego nazywamy pierwiastkami i są to miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej. Stąd równanie kwadratowe może mieć dwa rozwiązania lub jedno lub wcale. 5. Równanie kwadratowe ax + bx + c = 0 dla którego b = 0 lub c = 0 nazywamy równaniem kwadratowym niezupełnym. Np. x + 8 = 0; -x + 7x = 0; 5x 8x = 0. Strona 1 z 1

2 6. Metoda rozwiązywania równań kwadratowych niezupełnych oparta jest na rozkładaniu tego równania na czynniki, przez wyłączenie przed nawias x lub zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia: a b = = (a-b)(a+b). Przykłady a) Rozwiąż równanie 5x +10x = 0 Dane jest równanie: 5x +10x = 0 x(5x+10) = 0 - wyłączamy x przed nawias x = 0 5x+10 = 0 x 1 = 0 5x = -10 /:5 x = - b) Rozwiąż równanie Dane jest równanie: x 5 = 0 x 5 = 0 (x-5)(x+5) = 0 - stosujemy wzór skróconego mnożenia x -5 = 0 x+5 = 0 x 1 = 5 x = -5 Ćwiczenie 8 i 9 b) i c) str. 164 Ćwiczenie 8 i 9 a) str. 164 Lekcja 3. Rozwiązywanie zadań równania kwadratowe niezupełne. Str Zadanie 1.4 d)-l) str. 165 Zadanie 1.5 d)-i) str. 165 Zadanie 1.4 d)-l) str. 165 Zadanie 1.5 d)-i) str. 165 Lekcja 4-5. Kartkówka. Równania kwadratowe zupełne. Str Równaniem kwadratowym zupełnym nazywamy równanie postaci ax + bx + c = 0, gdzie a 0 i b 0 i c 0. a, b, c są to dowolne liczby różne od zera.. Pierwiastki takiego równania kwadratowego obliczamy według procedury: Dane jest równanie: ax + bx + c = 0. a) obliczamy deltę (wyróżnik) = b 4 a c b) jeżeli > 0, to mamy dwa pierwiastki, które obliczamy ze wzorów: b x1 = oraz x a b + = a Strona z 1

3 jeżeli = 0, to mamy jeden pierwiastek podwójny, który obliczamy ze wzoru: b x 0 a jeżeli < 0, to nie ma pierwiastków i piszemy brak pierwiastków Przykład Rozwiąż równanie: 4x 0x + 3 = 0 a = 4; b = -0; c = 3 = (-0) 4*4*3 = 3 = 3 = 4 ( ) x 1 = = = ( 5 + ) 5 + x = = = 4 8 Ćwiczenie 13 str. 167 Ćwiczenie 14 str. 168 Zadanie 1.7 a)-c) str. 168 Rozwiązywanie równań kwadratowych Zadanie 1.7 d)-l) str Zadanie 1.8 i 1.9 d)-f) str. 169 Zadanie 1.8 i 1.9 a)-c) str. 169 Lekcja 6. Kartkówka. Praktyczne zastosowanie równań kwadratowych. Str Zadanie str. 171 Zadanie 1.17 str. 17 Lekcja 7-8. Wykres funkcji y = ax. Str Jeżeli a 0, to funkcję zapisana w postaci y = ax + bx + c nazywamy funkcja kwadratową zapisaną w postaci ogólnej lub trójmianem kwadratowym. Wykresem jej jest parabola Współczynniki: a, b, c to liczby rzeczywiste. Np. y = x 5x +1; y = x 5. Strona 3 z 1

4 Ćwiczenie 1 Narysuj wykres funkcji y = x funkcja kwadratowa Dziedzina Tabelka (trzy, pięć punków) Wykres Wykresem jest PARABOLA Punkt (0; 0) nazywa się WIERZCHOŁKIEM paraboli. Wykres ma OŚ SYMETRII x = 0. Krzywe nazywamy RAMIONAMI paraboli. i są skierowane do góry, gdy a>0. Funkcja ta rośnie dla x ( 0; ). Funkcja ta maleje dla x ( ;0). Funkcja ta dla x = 0 ma minimum y min = 0 Ćwiczenie Narysuj wykres funkcji y = -x funkcja kwadratowa Dziedzina Tabelka (trzy, pięć punków) Wykres Wykresem jest PARABOLA Punkt (0; 0) nazywa się WIERZCHOŁKIEM paraboli. Wykres ma OŚ SYMETRII x = 0. Krzywe nazywamy RAMIONAMI paraboli. i są skierowane w dół, gdy a<0. Funkcja ta rośnie dla x ( ;0). Funkcja ta maleje dla x ( 0; ). Funkcja ta dla x = 0 ma maksimum y max = 0 Zadnia Ćwiczenie str. 174 Ćwiczenie 3 str. 175 Zadanie 13.4 a) i c) str. 177 Ćwiczenia rysowanie funkcji kwadratowych. Zadnia Zadanie 13.1 str. 176 Zadanie 13.3 str. 177 Zadanie 13.5 str. 177 Zadanie 13.6 str. 177 Narysuj wykres funkcji y = x i y = -x Lekcja Kartkówka. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Str Jeżeli a 0, to funkcję zapisana w postaci y = ax + bx + c nazywamy funkcja kwadratową zapisaną w postaci ogólnej lub trójmianem kwadratowym. Współczynniki: a, b, c to liczby rzeczywiste. Np. y = x 5x +1; y = x 5. Strona 4 z 1

5 . Jeżeli a 0, to funkcję zapisana w postaci y = a(x-p) + q nazywamy funkcja kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej. Wartości: p i q to współrzędne wierzchołka paraboli x w = p i y w = q. Np. y = 3(x+3) 5 wierzchołek ma współrzędne (-3; -5), ramiona do góry; y = (x-7) + wierzchołek ma współrzędne (7; ), ramiona w dół. 3. Wykres funkcji zapisanej w postaci y = a(x-p) + q powstaje z wykresu funkcji y = ax, przez jego przesunięcie względem osi OX o p jednostek. Jak p jest dodatnie (p>0) to w prawo, a jak ujemne (p<0) to w lewo. Oraz względem osi OY o q jednostek. Jak q jest dodatnie (q>0) to w górę, a jak ujemne (q<0) to w dół. Przykład Narysuj wykres funkcji y = (x+) + 4. Czyli rysujemy wykres funkcji y = -x i przesuń go o dwie jednostki w lewo i cztery do góry. Ćwiczenie 6,7,8 str. 178 Zadanie 13.8 a)-c) str. 18 Zadanie 13.9 a)-c) str. 18 Przesuniętych funkcji kwadratowych. Ćwiczenie 9 str. 179 Ćwiczenie 10 str. 180 Ćwiczenie 11 str. 181 Zadanie a)-c) str. 183 Rozwiązywanie zadań związanych z funkcją kwadratową w postaci kanonicznej. Zadanie i str. 18 Zadanie c)-d) str. 183 Zadanie a)-b) str. 183 Lekcja Kartkówka. Postać kanoniczna i ogólna funkcji kwadratowej. Str Jeżeli a 0, to funkcję zapisana w postaci y = ax + bx + c nazywamy funkcja kwadratową zapisaną w postaci ogólnej lub trójmianem kwadratowym. Współczynniki: a, b, c to liczby rzeczywiste. Np. y = x 5x +1; y = x 5.. Jeżeli a 0, to funkcję zapisana w postaci y = a(x-p) + q nazywamy funkcja kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej. Wartości: p i q to współrzędne wierzchołka paraboli x w = p i y w = q. Np. y = 3(x+3) 5 wierzchołek ma współrzędne (-3; -5), ramiona do góry; y = (x-7) + wierzchołek ma współrzędne (7; ), ramiona w dół. Strona 5 z 1

6 3. By przejść w przypadku funkcji kwadratowej z jednej postaci do drugiej korzystamy ze wzorów, których trzeba nauczyć się na pamięć. Wyróżnik funkcji kwadratowej, równania kwadratowego = b 4 a c. Poza tym b p = x w = i q = a y w - = 4a Przykład Przedstaw funkcję kwadratową y = x 10x + 7 w postaci kanonicznej. a = 1; b = - 10; c = 7. = (-10) 4*1*7 = = -8 p = -(-10)/*1 = 5 q = -(-8)/4*1 = Zatem y = (x-5) + Ćwiczenie 1 str. 185 Zadanie d)-i) str. 187 Zadanie a)-b) str. 187 Szkicowanie wykresów funkcji y = ax +bx+c Ćwiczenie 14 str. 186 Zadanie i c)-f) str. 187 Zadanie a)-b) str. 187 Lekcja 14. Kartkówka. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Str Jeżeli dana jest funkcja kwadratowa y = ax + bx + c, gdzie a 0, to jej miejszami zerowymi nazywamy punkty przecięcia z osią OX. Strona 6 z 1

7 . By obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej y = ax + bx + c, to przyrównujemy ją do zera i otrzymujemy równanie kwadratowe ax + bx + c = 0, które rozwiązujemy. 3. Równanie kwadratowe rozwiązujemy według procedury: Dane jest równanie: ax + bx + c = 0, gdzie a 0 a) obliczamy deltę (wyróżnik) = b 4 a c b) jeżeli > 0, to mamy dwa pierwiastki, które obliczamy ze wzorów: b x1 = oraz x a b + = a jeżeli = 0, to mamy jeden pierwiastek podwójny, który obliczamy ze wzoru: b x 0 a jeżeli < 0, to nie ma pierwiastków i piszemy brak miejsc zerowych. Otrzymane pierwiastki to punkty przecięcia przez parabolę osi OX, czyli miejsca zerowe funkcji. Przykład Oblicz miejsca zerowe funkcji y = x - 5x + 3. Dana jest funkcja: y = x - 5x + 3 x - 5x + 3 = 0 a = ; b = -5; c = 3 = (-5) 4**(3) = 1 = 1 = x 1 = = 1 x = = = 1,5 Odp. Funkcja ma dwa miejsca zerowe 1 i 1,5, czyli w dwóch punktach przecina oś OX Ćwiczenie 15 str. 189 Zadanie 13.0 str. 191 Zadanie 13.1 a)-c) str. 191 Strona 7 z 1

8 Lekcja 15. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej. Str Jeżeli dana jest funkcja kwadratowa y = ax + bx + c, gdzie a 0, to funkcja ta zapisana w postaci y = a(x x 1 )(x x ) nazywa się postacią iloczynową funkcji kwadratowej, gdzie x 1 i x są to miejsca zerowe danej funkcji kwadratowej, czyli pierwiastki odpowiedniego równania kwadratowego.. Przejście od postaci ogólnej do postaci iloczynowej dla funkcji kwadratowej wykonujemy według procedury: a) funkcje przyrównujemy do zera i powstaje równanie kwadratowe; b) rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe; c) zapisujemy funkcję kwadratowa w postaci iloczynowej. Przykład Przedstaw funkcję y = x + 5x 3 w postaci iloczynowej. Dana jest funkcja: y = x + 5x 3 x + 5x 3 = 0 a = ; b = 5; c = -3 = 5 4**(-3) = 49 = 49 = 7 x 1 = 5 7 = x = = 1 Zatem y = ( x + 3) x Ćwiczenie 16 str. 190 Zadanie 13. str. 19 Zadanie 13.3 str Ćwiczenia związane z obliczaniem miejsc zerowych funkcji kwadratowej Zadanie Zadanie 13.3, 13.4, 13.5, 13.6 b)-c) str. 19 Zadanie 13.3, 13.4, 13.5, 13.6 w każdym podpunkt a) str. 19 Lekcja 16. Kartkówka. Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowych. Str Aby wyznaczyć najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej y = ax + bx + c gdzie a 0 w przedziale <m; n> musimy: a) obliczyć wartości funkcji dla m i n, czyli f(m) i f(n); b b) obliczyć x wierzchołka paraboli x w = ; a c) jeżeli x w należy do podanego przedziału obliczamy wartość funkcji dla x w, czyli f(x w ); Strona 8 z 1

9 d) następnie spośród wartości funkcji f(m), f(n), f(x w ) wybieramy wartość największa lub najmniejszą. Przykład Wyznacz wartość największą funkcji y = -x + 8x -5 w przedziale <-; 3> Dana jest funkcja: y = -x + 8x -5 i przedział <-; 3>. f(-) = -(-) +8*(-) 5 = -9 f(3) = -*3 +8*3 5 = 1 a=-; b=8; c=-5 b 8 x w = = = a *( ) - ;3 f() = -* +8* 5 = 3 Odp. Podana funkcja w określonym przedziale ma największą wartość dla x = i wartość ta wynosi 3. Ćwiczenie 0 str. 194 Zadanie 13.7 i 13.8 str. 195 Zadanie 13.9 a)-b) str. 195 Obliczanie największej i najmniejszej wartości funkcji Zadanie 13.9 c)-f) str. 195 Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji y = -3x + 1x +5 w przedziale <-1; 3>. Lekcja 17. Praktyczne zastosowanie funkcji kwadratowych. Str Zadanie str. 198 Zadanie i 13.3 str. 199 Ćwiczenie 3 str. 198 Lekcja Kartkówka. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych. Str Nierównością kwadratową nazywamy nierówność postaci: ax + bx + c > 0, gdzie a 0. Znaki nierówności mogą być inne np. > ; < ; ;.. Nierówność kwadratowa rozwiązujemy według procedury: a) najpierw rozwiązujemy równanie kwadratowe; b) rysujemy oś i zaznaczamy pierwiastki równania; c) szkicujemy parabolę; d) odczytujemy rozwiązanie nierówności. Strona 9 z 1

10 Przykład. Rozwiąż nierówność: -x + x +3 > 0. Dana jest nierówność: - x + x +3 > 0 - x + x +3 = 0 a = -1; b = ; c = 3 = 4*(-1)*3 = 16 = 16 = x 1 = = 3 x = = 1 ( 1) ( 1) Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór x (-1;3) Ćwiczenie 4 str. 00 Ćwiczenie 5 str. 01 Ćwiczenie 7 str. 0 Zadanie a) i b) str. 03 Rozwiązywanie nierówności kwadratowych. Zadanie 13.6 c)-l) str. 03 Zadanie str. 03 Zadanie str. 03 Strona 10 z 1

11 Lekcja 0-1. Powtórzenie wiadomości z funkcji kwadratowych i sprawdzian. Str Rozwiązywanie równań. a) (x + ) = 9 b) 3x(x + ) = 9 c) 8x - 14x + 4 = 1 d) (1 3x) = 4 e) (x - 3) = 8x. Rozwiązywanie nierówności. 3 a) x x -1 > 0 b) x + x + < 0 c) x < x d) x < 5x 4 e) 7x 14x > 0 3. Narysuj wykres funkcji. a) y = (x-3) 1 b) y = -x +4x Strona 11 z 1

12 Strona 1 z 1