. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

Transkrypt

1 Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany i funkcje wymierne Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Kontrakt i wymagania Druga lekcja test diagnozujący i jego omówienie Lekcja 3 Wykres funkcji y = ax. Str Ćwiczenie 1 Narysuj wykres funkcji y = x funkcja kwadratowa Dziedzina Tabelka (trzy, pięć punków) Wykres Wykresem jest PARABOLA Punkt (0; 0) nazywa się WIERZCHOŁKIEM paraboli. Wykres ma OŚ SYMETRII x = 0, ogólnie x = a. Krzywe nazywamy RAMIONAMI paraboli. i są skierowane do góry a>0, mogą też być skierowane w dół a<0. Funkcja ta rośnie dla x ( 0; ). x ;0. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie str. 180 a) i b) Zadanie 1 str. 180 a) i b) Uwaga!. Najpierw obliczamy wartość współczynnika a. Lekcja 4-5. Przesunięcie wykresu funkcji kwadratowej. Str Przypomnienie! Przesunięcie wykresu może być opisane słowami lub za pomocą wektora a = [ p; q] p to współrzędna X wektora i oznacza o ile jednostek mamy wykres przesunąć wzdłuż osi OX. Np. p = 3 wykres przesuwamy o trzy jednostki wzdłuż osi OX w prawo; p = wykres przesuwamy o dwie jednostki wzdłuż osi OX w lewo. q to współrzędna Y wektora i oznacza o ile jednostek mamy wykres przesunąć wzdłuż osi OY. Np. q = wykres przesuwamy o dwie jednostki wzdłuż osi OY do góry; q = 5 wykres przesuwamy o pięć jednostki wzdłuż osi OY w dół. Strona 1 z 9

2 1. Jeżeli dana jest funkcja y = ax (lub f(x) = ax ) i jej wykres przesuwamy o wektor [ p; q] to wykres przesunięty opisany jest wzorem y = a(x-p) + q (lub f(x) = a(x-p) + q).. Wykresem funkcji y = a(x-p) + q, gdzie 0 (p; q), a jej osia symetrii jest prosta x = p. a =, a jest parabola o wierzchołku w punkcie Przykład Narysuj wykres funkcji y = -x i przesuń go o dwie jednostki w lewo i cztery do góry, czyli o wektor a = [- ; 4]. Otrzymamy nowy wykres (przesunięty), który opisany jest przez funkcję: y = (x+) + 4 Zadanie Ćwiczenie 3 a) i b) str. 181 Ćwiczenie 34 a) i b) str. 183 Zadanie 1 str. 183 a) i b) Rozwiązywanie zadań przesuwanie wykresów funkcji. Zadanie str. 183 b) i c) Zadanie 3 str. 183 e) i f) Powtórzenie. Zadanie str. 183 a) i b) Zadanie 3 str. 183 a) i b) Zadanie 4 str. 183 a) i b) Kartkówka na następnej lekcji Lekcja 6-8. Kartkówka. Postać kanoniczna i ogólna funkcji kwadratowej. Str Jeżeli a 0, to funkcję zapisana w postaci y = ax + bx + c nazywamy funkcja kwadratową zapisaną w postaci ogólnej lub trójmianem kwadratowym. Współczynniki: a, b, c to liczby rzeczywiste. Np. y = x 5x +1; y = x 5.. Jeżeli a 0, to funkcję zapisana w postaci y = a(x-p) + q nazywamy funkcja kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej. Wartości: p i q to współrzędne wierzchołka paraboli x w = p i y w = q. Np. y = 3(x+3) 5 wierzchołek ma współrzędne (-3; -5), ramiona do góry; y = (x-7) + wierzchołek ma współrzędne (7; ), ramiona w dół. Strona z 9

3 3. By przejść w przypadku funkcji kwadratowej z jednej postaci do drugiej korzystamy ze wzorów, których trzeba nauczyć się na pamięć. Wyróżnik funkcji kwadratowej, równania kwadratowego = b 4 a c. Poza tym b p = x w = i q = a y w - = 4a Przykład Przedstaw funkcję kwadratową y = x 10x + 7 w postaci kanonicznej. a = 1; b = - 10; c = 7. = (-10) 4*1*7 = = -8 p = -(-10)/*1 = 5 q = -(-8)/4*1 = Zatem y = (x-5) + Ćwiczenie 1 a) i b) str Ćwiczenie a) i b) str Ćwiczenie 4 a) i b) str Zadanie 1 str. 188 a) i b) Zadanie str. 188 a) i b) Ćwiczenia w przekształcaniu funkcji kwadratowej z jednej postaci w drugą. Zadanie 3 str. 188 f) i) Ćwiczenie 3 str. 190 c) d) Zadanie 1 str. 190 a) b) Zadanie str. 191 a) b) Zadanie 1 str. 190 c) i d) Zadanie str. 191 c) i d) Rozwiązywanie zadań z przekształcania funkcji kwadratowych. Zadanie 3 str. 191 c) f) Zadanie 4 str. 191 c) f) Powtórzenie Zadanie 1 str. 191 c) f) Zadanie 3 str. 191 a) i b) Zadanie 4 str. 191 a) i b) Kartkówka na następnej lekcji Strona 3 z 9

4 Lekcja 9-1. Kartkówka. Równania kwadratowe. Str Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci ax + bx + c = 0, gdzie a 0, czyli jest to funkcja kwadratowa y = ax + bx + c przyrówna do zera.. Rozwiązania równania kwadratowego nazywamy pierwiastkami i są to miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej. 3. Pierwiastków równania kwadratowego obliczamy według procedury: Dane jest równanie: ax + bx + c = 0, gdzie a 0 a) obliczamy deltę (wyróżnik) = b 4 a c b) jeżeli > 0, to mamy dwa pierwiastki, które obliczamy ze wzorów: b x1 = oraz x a b + = a jeżeli = 0, to mamy jeden pierwiastek podwójny, który obliczamy ze wzoru: a x 0 b jeżeli < 0, to nie ma pierwiastków i piszemy brak pierwiastków Strona 4 z 9

5 Przykład Rozwiąż równanie: 4x 0x + 3 = 0 a = 4; b = -0; c = 3 = (-0) 4*4*3 = 3 = 3 = 4 ( ) x 1 = = = ( 5 + ) 5 + x = = = 4 8 Ćwiczenie 1 a)-d) str. 197 Ćwiczenie a)-d) str. 197 Zadanie 1 str. 198 a) i b) Zadanie str. 198 a) i b) Rozwiązywanie równań kwadratowych Zadanie 1 str. 198 c) - i) Zadanie str. 198 c) - i) Zadanie 3 str. 198 a) c) Powtórzenie. Zadanie 1 str. 198 a) i b) Powtórzenie. Zadanie str. 198 a) i b) Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań kwadratowych. 1. (z - 4) = (z - 4)(z - 1). (3p + ) = 7(3p + ) 3. (k - 3) + (k - ) - (k - 1) = 0 4. (y - 1) - 6(y - 1) + 5 = x(x + ) + (x-1) = 1-5x 6. (k + 1)(k - 1) + k(k + 1) = 6k 7. (3x - ) - x - x = 1 8. (1 3z) + 3z 4z = 9 9. (t - 3) = 8t 10. (p + 1) = (p + )(3 - p) (4-3x) = 16-3x 1. (u + 4) = 5(u + 14) 13. w = - 8w x 7 = - x 15. z 0,8z + 0,1 =0 16. (k 1)(k ) = (u 1) = 4u (5 + x)(7 x) = (4x 3)(3x +3) (t 3) = 0 0. (w 3)(w + 1) 3w(w +1) = y + 1 = - y. (t 1)(t + ) = x +0,3x 0,9 = u 4u = (x 3) -4x 4 +3x = 4x- 6. x 5x = p = p 4 8. (-3w + 4)(3w + 4) 10 = - 3w z = 1z ,5t = t 31. (3 u )u (u + 1) = -u(u + 1)(u ) Strona 5 z 9

6 1 3. ( x - ) = 3x -x = -t + 6t 34. (3y 1) -4( y) = (3u ) = u + u x + 9 = (x 4) + 14x 37. 5(z + 1) = z(3 z) 38. (k 4) + (k 4)(k + ) = x - 5 x 5 = (p 3 1) = (p 3 + )(p 3 ) + p -3p -p 3 Lekcja Kartkówka. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej. Str Jeżeli dana jest funkcja kwadratowa y = ax + bx + c, gdzie a 0, to funkcja ta zapisana w postaci y = a(x x 1 )(x x ) nazywa się postacią iloczynową funkcji kwadratowej, gdzie x 1 i x są to miejsca zerowe danej funkcji kwadratowej, czyli pierwiastki odpowiedniego równania kwadratowego.. Przejście od postaci ogólnej do postaci iloczynowej dla funkcji kwadratowej wykonujemy według procedury: a) funkcje przyrównujemy do zera i powstaje równanie kwadratowe; b) rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe; c) zapisujemy funkcję kwadratowa w postaci iloczynowej. Przykład Przedstaw funkcję y = x + 5x 3 w postaci iloczynowej. Dana jest funkcja: y = x + 5x 3 x + 5x 3 = 0 a = ; b = 5; c = -3 = 5 4**(-3) = 49 = 49 = 7 x 1 = 5 7 = x = = 1 Zatem y = ( x + 3) x Ćwiczenie 1 str. 00 Ćwiczenie 4 str. 01 a)-c) Ćwiczenie str. 00 a)-c) Zadanie 1 str. 0 a) i b) Zadanie str. 0 a) i b) 1 Strona 6 z 9

7 Rozwiązywanie zadań związanych z prezentacja iloczynową funkcji kwadratowej. Zadanie 1 str. 0 i) i l) Zadanie str. 0 f) i i) Zadanie 3 str. 0 e) i f) Powtórzenie. Zadanie 1 str. 0 a) i b) Powtórzenie. Zadanie str. 0 a) i b) Na następnej lekcji kartkówka Lekcja Kartkówka. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych. Str Nierównością kwadratową nazywamy nierówność postaci: ax + bx + c > 0, gdzie a 0. Znaki nierówności mogą być inne np. > ; < ; ;.. Nierówność kwadratowa rozwiązujemy według procedury: a) najpierw rozwiązujemy równanie kwadratowe; b) rysujemy oś i zaznaczamy pierwiastki równania; c) szkicujemy parabolę; d) odczytujemy rozwiązanie nierówności. Przykład. Rozwiąż nierówność: -x + x +3 > 0. Dana jest nierówność: - x + x +3 > 0 - x + x +3 = 0 a = -1; b = ; c = 3 = 4*(-1)*3 = 16 = 16 = x 1 = = 3 x = = 1 ( 1) ( 1) Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór x (-1;3) Ćwiczenie 1 str. 06 a)-c) Ćwiczenie str. 06 a)-c) Zadnie 1 e)-h) str. 07 Zadanie 1 str. 07 a) i d) Strona 7 z 9

8 Rozwiązywanie nierówności kwadratowych. Zadanie c) i d) str. 07 Zadanie 3 c) i d) str. 07 Zadanie 6 c) i h) str. 07 Zadanie a) i b) str. 07 Zadanie 3 a) i b) str. 07 Zadanie 6 a) i b) str. 07 Ćwiczenia w rozwiązywaniu nierówności kwadratowych 1. Rozwiąż nierówności kwadratowe: 3 e) 7x 14x > 0 a) x x -1 > 0 f) 3x 4x b) x + x + < 0 c) x < x d) x < 5x 4. Wyznacz dziedzinę funkcji: a) y = x 5 b) y = 6x 7x 5 c) f(x) = 6x x 1 d) y = x x + 13 e) f(x) = - 9x + x 1 9 5x + 9 4x 9 g) > h) 4x 8 -x + 5x - f) y = x 5x Powtórzenie. Zadanie 1 str. 07 a) i b) Powtórzenie. Zadanie str. 07 a) i b) Na następnej lekcji kartkówka Lekcja Kartkówka. Praktyczne zastosowanie funkcji kwadratowych. Str Aby wyznaczyć najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej y = ax + bx + c gdzie a 0 w przedziale <m; n> musimy: a) obliczyć wartości funkcji dla m i n, czyli f(m) i f(n); b b) obliczyć x wierzchołka paraboli x w = ; a c) jeżeli x w należy do podanego przedziału obliczamy wartość funkcji dla x w, czyli f(x w ); d) następnie spośród wartości funkcji f(m), f(n), f(x w ) wybieramy wartość największa lub najmniejszą. Przykład Wyznacz wartość największą funkcji y = -x + 8x -5 w przedziale <-; 3> Dana jest funkcja: y = -x + 8x -5 i przedział <-; 3>. f(-) = -(-) +8*(-) 5 = -9 f(3) = -*3 +8*3 5 = 1 a=-; b=8; c=-5 Strona 8 z 9

9 b 8 x w = = = a *( ) - ;3 f() = -* +8* 5 = 3 Odp. Podana funkcja w określonym przedziale ma największą wartość dla x = i wartość ta wynosi 3. Ćwiczenie str. 08 a)-b) Ćwiczenie 3 str. 09 Zadanie 1 str. 09 Zadanie str. 09 Zadanie 3 str. 09 Rozwiązywanie zadań tekstowych związanych z funkcjami kwadratowymi. 1-9 str. 10 Ćwiczenia 3-4 str. 11 Zadanie 1-3 str. 13 Lekcja 1-3. Powtórzenie wiadomości z funkcji kwadratowych. Str Test str. 19 Zestaw I 1-8 c) i d) str. 16 Zestaw I Zadanie 1-8 a) i b) str. 13 Zestaw II 1-8 c) i d) str Zestaw II Zadanie 1-8 a) i b) str Rozwiązywanie zadań krótkiej i rozszerzonej odpowiedzi. Zadanie 1-9 str. 0 Lekcja 4-5. Sprawdzian z funkcji kwadratowych i jego omówienie. Str Strona 9 z 9