1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.

Transkrypt

1 1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi A, B, C, D. Dla odpowiedzi A Dla Dla Zatem przedział po zaznaczeniu na osi liczbowej będzie wyglądał następująco: Jest on taki sam, jak mamy podany w zadaniu. Zatem prawidłową odpowiedzią jest podpunkt A. Sprawdźmy jeszcze dla pewności pozostałe podpunkty. Dla odpowiedzi B Dla Dla

2 Dla odpowiedzi C Dla Dla Dla odpowiedzi D Dla Dla

3 Mamy tutaj mnożenie potęg o tych samych podstawach (2). Zatem, zgodnie ze wzorem podanym w kracie wzorów na stronie 1, poszczególne wykładniki należy do siebie dodać. Inny sposób: W tym zadaniu należało skorzystać jedynie ze wzoru na logarytm, który podany jest w karcie wzorów na stronie 2: Analogicznie:

4 W tym zadaniu trzeba było odpowiednio skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia, a potem prawidłowo zredukować wyrazy podobne: Oznaczmy przez wszystkie oszczędności Julii. Zadanie zrobimy to w dwóch etapach: 1) Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka: Zatem po przeznaczeniu pieniędzy na prezent, Julii pozostała już tylko połowa pieniędzy. 2) z tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Julii pozostało na koniec wyrażenie to należy pomnożyć jeszcze przez : wszystkich oszczędności. Chcemy znać tą liczbę w procentach, zatem

5 W zadaniu tym mamy wyliczyć. Z lewej i z prawej strony mamy ułamek, zatem możemy dane wyrażenie pomnożyć na krzyż. Otrzymamy następujące wyrażenie: Podane wyrażenie należy przekształcić w taki sposób, aby otrzymać wzór na, gdyż we odpowiedziach mamy wyrażenie w postaci. Na początku należy pomnożyć całe wyrażenie przez strony. Wyrażenie teraz będzie wyglądało następująco: Przekształcamy tak równanie, aby po jednej stronie pozostały wszystkie wyrażenia z, a z drugiej strony pozostałe wyrażenia., aby pozbyć się ułamka z prawej Wymnażamy wszystkie składniki nawiasu przez. Wyciągamy przed nawias, a następnie całe równanie dzielimy przez ten nawias.

6 Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi. Widzimy, że funkcja zaczyna się w, ale mamy tam puste kółeczko, co oznacza, że do dziedziny funkcji nie należy jeszcze liczba. Zatem przedział z lewej strony będzie niedomknięty. Koniec funkcji natomiast odczytujemy dla i mamy tam zamalowane kółeczko, co oznacza, że będziemy mieć w tamtym miejscu przedział domknięty. Wartości funkcji odczytujemy z kolei z osi. Widzimy, że największą wartość stanowi.

7 Na początku obliczamy miejsca zerowe funkcji, czyli takie, przez które przechodzi wykres funkcji. W tym celu należy przyrównać wzór podanej funkcji do zera: Równanie to liczymy osobno dla każdego nawiasu: Zatem dana funkcja będzie przecinała oś w punktach oraz. Teraz zastanówmy się jak funkcja będzie miała skierowane ramiona. Ponieważ przed nawiasami nie ma znaku, oznacza to, że funkcja jest dodatnia, to znaczy, że jej ramiona będą skierowane do góry. Zatem prawidłową odpowiedzią do tego zadania będzie odpowiedź D.

8 Zbiór wartości funkcji odczytujemy na osi. Jeżeli zbiór wartości zaczyna się w minus nieskończoności, oznacza to, że funkcja ma skierowane ramiona do dołu, a to z kolei oznacza, że współczynnik będzie ujemny. Funkcja postaci będzie wyglądała następująco: W tej chwili zbiór wartości wynosi. Żeby zbiór wartości kończył się na liczbie, musimy cały wykres przesunąć o jednostki w dół. Po przesunięciu wykresu o jednoski w dół otrzymamy wykres w postaci:. Zauważ, że jeżeli będziemy przesuwać wykres w lewo lub w prawo, to jego zbiór wartości się nie zmieni. Zatem prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź C, ponieważ współczynnik jest ujemny, a wykres został przesunięty o 2 jednostki w prawo i jednostki w dół.

9 Najlepszym sposobem będzie narysowanie sobie takiej rosnącej funkcji liniowej. Na początku w układzie współrzędnych zaznaczmy sobie jakieś dodatnie miejsce zerowe (punkt leżący na osi ). Teraz wystarczy tylko poprowadzić prostą skierowaną w górę przez to nasze zaznaczone miejsce zerowe. Teraz można odczytać wszystkie potrzebne informacje. Jest to funkcja rosnąca, zatem współczynnik będzie większy od zera. Natomiast współczynnik odczytujemy na osi. Widzimy, że funkcja przecina tę oś na wartości ujemnej. Zatem współczynnik będzie mniejszy od zera. Zatem prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D.

10 Wzór na sumę (strona 3). początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy odczytać z karty wzorów Skorzystamy z tego pierwszego wzoru. Podstawiamy wszystkie dane, jakie mamy podane w zadaniu: Najłatwiej w tym zadaniu będzie policzenie na początku pierwszego i drugiego wyrazu ciągu:

11 Na początek wyliczmy sobie samego tangensa, dzieląc wyrażenie przez. Otrzymujemy: Sinusa i cosinusa najłatwiej będzie wyliczyć z trójkąta: Przeciwprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa: Zatem sinus i cosinus przyjmą wartości:

12 Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie równobocznym, wówczas jego promień stanowi tego trójkąta: wysokości Na rysunku mamy zaznaczone trzy promienie okręgu: Zatem zarówno trójkąt, jak i są równoramienne. W takim razie:

13 Zatem cały kąt będzie równy: Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego (twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym). Więc kąt. I sposób Oznaczamy sobie odcinki, tak jak na rysunku: Układamy stosunek odpowiednich boków (z twierdzenia Talesa):

14 II sposób Jeżeli boki i są równe (punkt dzieli odcinek na dwie równe części), to odcinki i również muszą być takie same. Układamy stosunek odpowiednich boków: Szukamy wśród tych czterech prostych takich dwóch współczynników, które są względem siebie jednocześnie przeciwne i odwrotne. Taką sytuację mamy w przypadku prostych i (liczba jest jednocześnie i odwrotna i przeciwna do liczby ).

15 Na początku możemy odrzucić dwie odpowiedzi. W zadaniu jest powiedziane, że okrąg ma promień. Zatem, zgodnie z poniższym wzorem (strona 6 w karcie wzorów), prawa strona równania powinna wynosić. Do wyboru pozostaje nam już tylko odpowiedź A lub C. Teraz wystarczy podstawić tylko odpowiednie współrzędne punktu strona równania będzie taka sama jak prawa strona równania: do wzoru i sprawdzić, czy lewa Dla odpowiedzi A Odpowiedź nieprawidłowa. Dla odpowiedzi B Lewa strona jest równa prawej, zatem prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź C.

16 Na początek narysujmy sobie kwadrat z dwoma jego przekątnymi i zaznaczonymi na nim punktami. Łatwo zauważyć, że jedna z przekątnych przecina drugą przekątną dokładnie w połowie. Zatem w tym zadaniu należało policzyć tylko współrzędne środka odcinka. Wzór znajduje się w karcie wzorów na stronie 4.

17 Wzór na pole powierzchni całkowitej walca znajdziemy w karcie wzorów na stronie 13. Średnica podstawy wynosi, zatem jej promień będzie wynosił. Mamy już wszystkie potrzebne dane, możemy podstawiać do wzoru: Najpierw wypiszmy sobie wzory na objętości graniastosłupa i ostrołupa: Zatem:

18 Na początku policzymy omegę. Rzucamy monetą razy, zatem będziemy mieć kubełki : orzeł reszka orzeł reszka orzeł reszka W każdym rzucie możemy otrzymać zarówno orła, jak i reszkę, zatem omega będzie równa: Teraz policzmy zdarzenie A wypadła co najmniej jedna reszka. Najłatwiej będzie nam po prostu wypisać wszystkie możliwości: 1) ROO 2) ORO 3) OOR 4) RRO 5) ROR 6) ORR 7) RRR Takich możliwości mamy, zatem prawdopodobieństwo będzie równe:

19 Na początku musimy policzyć. Aby policzyć średnią arytmetyczną, należy dodać do siebie wszystkie liczby i podzielić tą sumę przez ilość liczb: Następnie trzeba wszystkie liczby ułożyć rosnąco: Mamy dwie środkowe liczby: i. Medianę obliczymy dodając do siebie te dwie liczby i dzieląc na :