9. Mimośrodowe działanie siły

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "9. Mimośrodowe działanie siły"

Transkrypt

1 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc. Siły te zostały przedstawione na rysunku 9.1. Przedstawione na nim siły przekrojowe związane są z dowolnym układem osi środkowyc Y 0Z 0 i są dodatnie. M Y0 MZ0 Y 0 M Y0 M Z0 X Y 0 X Z 0 Z 0 Rys Siły przekrojowe przy mimośrodowym działaniu siły. Wektor momentu zginającego jest prostopadły do płaszczyzny działania momentu zginającego, a jego zwrot określa reguła śruy prawoskrętnej. Śrua ta ędzie się wkręcała zgodnie ze zwrotem wektora momentu zginającego. Wynika z tego, że dodatni moment zginający M Y0 rozciąga włókna dolne pręta natomiast dodatni moment zginający M Z0 rozciąga włókna, któryc współrzędne y 0 są ujemne. Mimośrodowe działanie siły występuje najczęściej w słupac al. Ponadto ala musi yć wyposażona w suwnicę, która ędzie powodowała powstanie jednego z momentów zginającyc. Rysunek 9.2 przedstawia słup ali ociążony mimośrodowo. Siła normalna oraz moment zginający M Y0 powstają w wyniku działania ociążenia działającego w płaszczyźnie ramy. atomiast moment zginający M Z0 powstaje w wyniku działania ociążenia prostopadłego do płaszczyzny ramy. Będzie to na przykład ociążenie amowaniem suwnicy przenoszone przez elkę podsuwnicową, parcie wiatru na ścianę szczytową ali. Rysunki 9., 9.4, 9.5, 9.6 oraz 9.7 przedstawiają inne przykłady al z elkami podsuwnicowymi. azwa mimośrodowe działanie siły ierze się stąd, że działanie siły normalnej i dwóc momentów zginającyc możemy zastąpić statycznie równoważnym stanem, w którym siła normalna zostanie przeniesiona do pewnego punktu, którego współrzędne ędą nazywały się mimośrodami. Mimośrody spełniają warunki M Y0 = e Z0. (9.1) M Z0 = e Y0. (9.2)

2 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 2 Rys Słup ali ociążony mimośrodowo. Rys. 9.. Hala z elką podsuwnicową. Rys Hala z elką podsuwnicową.

3 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY Rys Hala z elką podsuwnicową. Rys Hala z elką podsuwnicową. Rysunek 9.8 przedstawia oa statycznie równoważne ociążenie przekroju pręta. Jak widać z tego rysunku dodatnia siła normalna na dodatnim mimośrodzie e Z0 jest równoważna dodatniemu momentowi zginającemu M Y0. atomiast dodatnia siła tnąca na ujemnym mimośrodzie e Y0 jest równoważna dodatniemu momentowi zginającemu M Z0. Dlatego we wzorze (9.2) po lewej stronie jest znak minus.

4 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 4 Rys Hala z elką podsuwnicową. e Y0 Y 0 M Y0 M Z0 X Y 0 e Z0 X Z 0 Z 0 Rys.9.8. Statycznie równoważne ociążenie przekroju pręta. 9.2 Wyznaczenie naprężeń normalnyc aprężenia normalne w przypadku mimośrodowego działania siły wyznacza się przy założeniu ipotezy płaskic przekrojów (Bernoulliego). Stwierdza ona, że płaski przekrój prostopadły do osi pręta w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem) pozostaje nadal płaski i prostopadły do wygiętej osi pręta w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Rysunki 9.9 oraz 9.10 przedstawiają odpowiednio elkę swoodnie podpartą wykonaną z gąki w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem) i aktualnej (po odkształceniu). a rysunkac tyc został zaznaczony kąt prosty między osią pręta i przekrojem. Dzięki temu założeniu możemy przyjąć, że odkształcenia liniowe po kierunku osi X e X w dowolnym punkcie przekroju ędą liniową funkcją położenia tego punktu w układzie osi środkowyc Y 0Z 0. Możemy to zapisać w postaci

5 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 5 Rys Pręt (elka swoodnie podparta) przed odkształceniem. Rys Pręt (elka swoodnie podparta) po odkształceniu. X =a 0 a 1 y 0 a 2 z 0. (9.) Ccąc wyznaczyć naprężenia normalne s X należy zastosować prawo Hooke'a ędzie miało postać identyczną jak dla osiowego działania siły czyli X =E X, (9.4) w którym E oznacza moduł Younga, który jest jedną ze stałyc materiałowyc.

6 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 6 Po podstawieniu (9.4) do równania (9.) otrzymano wzór na naprężenia normalne w postaci X = 0 1 y 0 2 z 0. (9.5) Definicje poszczególnyc sił przekrojowyc (siły normalnej i momentów zginającyc M Y0 i M Z0) mają postać = X d, M Y0 = X z 0 d, (9.6) (9.7) M Z0 = X y 0 d. (9.8) Minus we wzorze (9.8) wynika z tego, że dodatnie naprężenia normalne w ćwiartkac, w któryc współrzędna y 0 jest ujemna powoduje powstanie dodatniego momentu zginającego M Z0. Podstawiając (9.5) do (9.6) otrzymano = 0 1 y 0 2 z 0 d. (9.9) Całkę (9.9) możemy przedstawić jako sumę całek wyciągając przed znak całki stałe 0, 1 i 2. W wyniku tego otrzymano = 0 d 1 y 0 d 2 z 0 d. (9.10) Wzór (9.10) można przekształcić do postaci = 0 1 S Z0 2 S Y0. (9.11) Ponieważ układ Y 0Z 0 jest układem osi środkowyc to momenty statyczne S Y0 i S Z0 wynoszą zero. Stała 0 ędzie miała ostatecznie postać 0 =. (9.12)

7 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 7 Podstawiając (9.5) do (9.7) otrzymano M Y0 = 0 1 y 0 2 z 0 z 0 d. (9.1) Wzór (9.1) po wymnożeniu, zamianie całki sumy na sumę całek i wyciągnięciu stałyc 0, 1 i 2 przed znak całki ędzie miał postać M Y0 = 0 z 0 d 1 y 0 z 0 d 2 z 2 0 d. (9.14) Wzór (9.14) można przekształcić do postaci M Y0 = 0 S Y0 1 I Y0Z0 2 I Y0. (9.15) Ostatecznie wzór (9.15) ędzie miał postać M Y0 = 1 I Y0Z0 2 I Y0. (9.15) Podstawiając (9.5) do (9.8) otrzymano M Z0 = 0 1 y 0 2 z 0 y 0 d. (9.16) Wzór (9.16) po wymnożeniu, zamianie całki sumy na sumę całek i wyciągnięciu stałyc 0, 1 i 2 przed znak całki ędzie miał postać M Z0 = 0 y 0 d 1 y 0 2 d 2 y 0 z 0 d. (9.17) Wzór (9.17) można przekształcić do postaci M Z0 = 0 S Z0 1 2 I Y0Z0. (9.18) Ostatecznie wzór (9.18) ędzie miał postać

8 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 8 M Z0 = 1 2 I Y0Z0. (9.19) Wzory (9.15) i (9.19) tworzą układ równań w postaci { 1 2 I Y0Z0 = M Z0 1 I Y0Z0 2 I Y0 =M Y0. (9.20) Wyznacznik główny tego układu wynosi 2 W =I Y0 I. Y0Z0 (9.21) Wyznacznik W 1 wynosi W 1 = M Z0 I Y0 M Y0 I Y0Z0. (9.22) Ostatecznie stała 1 wynosi 1 = M I M Y0 Y0 Y0Z0 2 (9.2) I Y0 Wyznacznik W 2 wynosi W 2 =M Y0 M Z0 I Y0Z0. (9.24) Ostatecznie stała 2 wynosi 2 = M I M I Y0 Z0 Z0 Y0Z0 2 I Y0. (9.25) Ostatecznie wzór na naprężenia normalne ma postać X = M I M Y0 Y0 Y0Z0 y 2 0 M I M I Y0 Z0 Z0 Y0Z0 z. 2 0 (9.26) I Y0 I Y0

9 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 9 Jeżeli osie środkowe są jednocześnie osiami głównymi (I Y0Z0=0) to wzór (9.26) ędzie miał postać X = M Z0 I Z0 y 0 M Y0 I Y0 z 0. (9.27) Podstawiając wzory (9.1) i (9.2) do wzoru 9.26 otrzymano X = e I e I Y0 Y0 Z0 Y0Z0 y 2 0 e I e Z0 Y0 Y0Z0 z. 2 0 (9.28) I Y0 I Y0 Wzór (9.28) można przekształcić do postaci X = 1 e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0 I Y0 y 2 0 e Z0 e Y0 I Y0Z0 0 z. (9.29) 2 I Y0 Wzór (9.29) ędzie pomocny przy oliczaniu położenia osi oojętnej. W punktac leżącyc na osi oojętnej naprężenia normalne wynoszą zero. Warunek ten ędzie spełniony, wtedy gdy przyrówna się wyrażenie w nawiasie do zera (drugi przypadek czyli siła normalna równa zero odrzucono). Wzór (9.29) ędzie miał postać 1 e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0 y 2 0 e Z0 e Y0 I Y0Z0 z 2 0 =0. (9.0) I Y0 I Y0 Wzór (9.0) stanowi równanie osi oojętnej, który najwygodniej doprowadzić do postaci odcinkowej. Postać odcinkową prostej przedstawia równanie y 0 y p z 0 z p =1, (9.1) które graficznie zostało przedstawione na rysunku Równanie (9.0) ędzie miało e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0 y 2 0 e Z0 e Y0 I Y0Z0 z 2 0 =1. (9.2) I Y0 I Y0

10 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 10 y p Y 0 y0 y p z p z 0 =1 z p Z 0 Rys Odcinkowa postać prostej. y 0 z 0 =1 2 2 I Y0 I Y0 I. Y0Z0 (9.) e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0 e Z0 e Y0 I Y0Z0 Współrzędne odcinkowe prostej wynoszą ostatecznie 2 I y p = Y0 e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0, (9.4) 2 I z p = Y0 e Z0 e Y0 I Y0Z0. (9.5) Jeżeli układ osi środkowyc jest układem osi głównyc (dla układu osi głównyc I Y0Z0 równa się zero) to wzory (9.4) i (9.5) ędą miały postać y p = I Zgl e Ygl, (9.6) z p = I Ygl e Zgl. (9.7) Wprowadzając pojęcie promienia ezwładności, który dla układu osi głównyc wynosi

11 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 11 = i I Ygl Ygl, (9.8) = i I Zgl Zgl, (9.9) wzory (9.6) i (9.7) można sprowadzić do postaci y p = i 2 Zgl, e Ygl (9.40) z p = i 2 Ygl. (9.41) e Zgl Z analizy wzorów (9.40) i (9.41) wynika, że w układzie osi głównyc oś oojętna przecodzi przez te ćwiartki układu współrzędnyc, w któryc nie znajduje się punkt przyłożenia siły normalnej. Wzory (9.4), (9.5), (9.40) i (9.41) ędą także pomocna przy wyznaczeniu rdzenia przekroju. 9. Rdzeń przekroju Rdzeniem przekroju nazywamy taki oszar, w którym przyłożona siła normalna powoduje w całym przekroju naprężenia normalne s X jednakowego znaku. Znak naprężenia normalnego jest oczywiście taki sam jak znak siły normalnej. Rdzeń przekroju jest oszarem wypukłym. Oznacza to, że jeżeli w takim oszarze połączymy dwa dowolne punkty i B odcinkiem to odcinek ten cały znajduje się wewnątrz oszaru. Przedstawia to rysunek Oszar wypukły Oszar wklęsły B B Rys Oszar wklęsły i wypukły.

12 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 12 Ponieważ w środku ciężkości naprężenie normalne ma taki sam znak jak siła normalna (naprężenie jest równe ilorazowi siły normalnej i pola powierzcni) więc środek ciężkości musi się znajdować wewnątrz rdzenia przekroju. Jeżeli przekrój posiada jedną lu więcej osi symetrii to także i rdzeń przekroju ędzie miał tyle samo osi symetrii. Rdzeń przekroju nie może wycodzić poza oszar wypukły, który można zudować na przekroju (przekrój może yć oszarem wklęsłym). Ccąc wyznaczyć położenie rdzenia przekroju należy jednostkową siłę normalną przykładać w narożnikac oszaru wypukłego zudowanego na przekroju czyli znane są wartości e Y0 i e Z0 (e Ygl i e Zgl w układzie osi głównyc). Korzystając z wzorów (9.4) i (9.5), a w układzie osi głównyc z wzorów (9.40) i (9.41) można wyznaczyć wartości y P i z P. a rysunku 9.1 przedstawiono kilka przykładowyc przekrojów i zudowanyc na nic oszarów wypukłyc. Jednostkową siłę należy przykładać w oznaczonyc punktac oszarów wypukłyc Rys Przykładowe przekroje i oszary wypukłe zudowane na nic. Jednym z najczęściej spotykanyc przekrojów jest przekrój prostokątny. Przedstawia go rysunek Rys Przekrój prostokątny.

13 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 Pole powierzcni przekroju prostokątnego wynosi =. (9.42) Główny moment ezwładności względem osi wynosi I Ygl = 12. (9.4) Kwadrat promienia ezwładności względem tej osi wynosi 12 i Ygl = = (9.44) Główny moment ezwładności względem osi Zgl wynosi I Zgl = 12. (9.45) Kwadrat promienia ezwładności względem tej osi wynosi 12 i Zgl = = (9.46) Jednostkową siłę normalną przykładamy w punkcie numer 1, który ma współrzędne {eygl= 2 e Zgl = 2. (9.47) Współrzędna y P wynosi

14 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 14 2 y p = i 2 Zgl 12 = e Ygl 2 = 6. (9.48) Współrzędna z P wynosi 2 z p = i 2 Ygl 12 = e Zgl 2 = 6. (9.49) Oś oojętną dla jednostkowej siły przyłożonej w punkcie numer 1 przedstawia rysunek Rys Oś oojętna dla jednostkowej siły normalnej w punkcie numer 1. Ze względu na to, że przekrój prostokątny posiada dwie osie symetrii nie ma potrzey oliczania położenia pozostałyc osi oojętnyc ze wzorów (9.40) i (9.41). Wystarczy stwierdzić, że współrzędne punktów przyłożenia siły e Ygl równają się 6 lu 6 natomiast współrzędne ezgl równają się 6 lu 6. Położenie osi oojętnyc ustala się na podstawie zasady, która oowiązuje w układzie osi głównyc, że oś oojętna przecodzi przez te ćwiartki układu współrzędnyc w któryc nie jest przyłożona siła normalna. Położenie odpowiednic osi oojętnyc przedstawia rysunek Rysunek 9.17 przedstawia rdzeń przekroju dla przekroju prostokątnego.

15 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY Rys Osie oojętne dla jednostkowyc sił normalnyc Rys Rdzeń przekroju dla przekroju prostokątnego. 9.4 Elementy nie przenoszące rozciągania Elementami nie przenoszącymi rozciągania ędą pręty wykonane z etonu, ponieważ eton ma ardzo niską wytrzymałość na rozciąganie, która jest 10-krotnie niższa niż wytrzymałość na ściskanie. Elementami takimi ędą także stopy fundamentowe, ponieważ w gruncie nie występują naprężenia rozciągające. W tym punkcie ędą rozpatrywane pręty lu elementy konstrukcyjne ściskane, w któryc siła normalna ściskająca znajduje się poza rdzeniem przekroju. Jak wiadomo, jeżeli siła znajduje się poza rdzeniem w przekroju pręta lu elementu konstrukcyjnego wykonanego z materiału przenoszącego ściskanie i rozciąganie wystąpiłyy zarówno naprężenia ściskające jak i rozciągające. Jeżeli mamy do czynienia prętem lu elementem konstrukcyjnym wykonanym z materiału nie przenoszącego rozciągania naprężeń rozciągającyc nie ędzie.

16 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 16 W dalszej części tego punktu ędą analizowane pręty lu elementy konstrukcyjne mające przekrój prostokątny ociążone siłą normalną ściskającą i jednym momentem zginającym. Przekrój taki został przedstawiony na rysunku M Ygl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Wektor momentu zginającego M Ygl przedstawia rysunek M Ygl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Moment zginający M Ygl możemy zastąpić siłą normalną ściskającą na mimośrodzie, który wynosi e Zgl = M Ygl. (9.50) Mimośród e Zgl ędzie ujemny ponieważ moment zginający M Ygl jest dodatni natomiast siła normalna jest ujemna. Zakładamy ponadto, że mimośród ten jest większy niż, czyli siła normalna znajduje się poza 6 rdzeniem. Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek 9.20.

17 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 17 e Zgl Rys Siła normalna na mimośrodzie. Zakłada się, że naprężenia normalne ędą miały kształt klina o podstawie trójkąta prostokątnego. Wykres naprężeń został przedstawiony na rysunku e Zgl 0 L c e Zgl 0 L Rys aprężenia w przekroju prostokątnym.

18 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 18 Zgodnie z rysunkiem 9.21 odległość siły normalnej od krawędzi przekroju olicza się ze wzoru c= 2 e Zgl. (9.51) Siła normalna i wypadkowa z naprężeń normalnyc muszą yć w równowadze. Przedstawia to rysunek c ezgl 0 W L Rys Równowaga siły normalnej i wypadkowej z naprężeń normalnyc. W praktyce sprowadza się to do dwóc warunków. Pierwszy z nic wynika z tego, że wypadkowa z naprężeń normalnyc równa się ojętości wykresu tyc naprężeń. Otrzymano pierwszy warunek równowago w postaci W = = L. (9.52) Drugi warunek równowagi sprowadza się do tego, ay siła normalna i wypadkowa z naprężeń normalnyc znajdowały się na jednej linii pionowej. Wynika z tego, że wymiar L wynosi c= L L= c. (9.5) Podstawiając wzór (9.5) do (9.52) otrzymano zależność wyrażającą naprężenie s 0 w postaci 0 = 2 c. (9.54) aprężenie normalne s 0 jest oczywiście ujemne (ściskające). Rysunek 9.2 przedstawia przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Moment zginający M Ygl ma zwrot przeciwny do zaznaczonego na rysunku 9.18.

19 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 19 M Ygl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Statycznie równoważne ociążenie przedstawia rysunek M Ygl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Mimośród e Zgl ędzie dodatni ponieważ moment zginający M Ygl jest ujemny a także i siła normalna jest ujemna. Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek e Zgl Rys Siła normalna na mimośrodzie.

20 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 20 Rysunek 9.26 przedstawia wykres naprężeń normalnyc, które olicza się ze wzoru (9.54). e Zgl L 0 e Zgl c 0 L Rys Wykres naprężeń normalnyc. Rysunek 9.27 przedstawia sytuację, w której przekrój prostokątny jest ociążony siłą normalną i momentem zginającym M Zgl. M Zgl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo.

21 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 21 Statycznie równoważne ociążenie przedstawia rysunek M Zgl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Moment zginający możemy zastąpić siłą normalną na mimośrodzie, który wynosi e Ygl = M Zgl. (9.55) Mimośród e Ygl ędzie dodatni, ponieważ moment zginający M Zgl jest dodatni natomiast siła normalna jest ujemna. Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek e Ygl Rys Siła normalna na mimośrodzie. Wykres naprężeń normalnyc przedstawia rysunek 9.0. Wypadkowa z naprężeń normalnyc wynosi W = = L. (9.56)

22 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 22 L e Ygl 0 c e Ygl 0 W L Rys Wykres naprężeń normalnyc. Długość L równa się L= c. (9.57) Ostatecznie wzór na naprężenia normalne na postać 0 = 2 c. (9.58) Rysunek 9.1 przedstawia przekrój prostokątny ociążony siłą normalną i momentem zginającym o przeciwnym zwrocie. Rysunek 9.2 przedstawia statycznie równoważne ociążenie. Mimośród, na którym działa siła normalna został przedstawiony na rysunku 9.. Mimośród ten wyznacza się ze wzoru (9.55) i jest ujemny, ponieważ siła normalna jest ujemna i moment zginający M Zgl jest ujemny. Rysunek 9.4 przedstawia wykres naprężeń normalnyc oliczonyc ze wzoru (9.58). Podsumowując wzory (9.54) i (9.58) na oliczenie naprężeń normalnyc należy stwierdzić, że ma on ogólną postać

23 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 2 2 siła normalna 0 = odległość wymiar, (9.59) w którym: odległość - odległość punktu przyłożenia siły normalnej od liższej krawędzi przekroju prostokątnego, wymiar wymiar przekroju prostokątnego prostopadły do osi, na której jest przyłożona siła normalna. M Zgl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. M Zgl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. 9.5 Przykład liczowy Wyznaczyć wykres naprężeń normalnyc w przekroju przestawionym na rysunku 9.5. Siła normalna ściskająca o wartości -400,0 k jest przyłożona w punkcie numer 5. Wymiary przekroju są podane w centymetrac. Położenie środka ciężkości przedstawia rysunek 9.6. Carakterystyki geometryczne przekroju wynoszą =818,4 cm 2, (9.60)

24 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 24 e Ygl Rys. 9.. Siła normalna na mimośrodzie. L e Ygl 0 e Ygl c 0 L Rys Wykres naprężeń normalnyc. I Y0 =47460 cm 4, (9.61) I Z0 =8000 cm 4, (9.62)

25 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 25 I Y0Z0 = cm 4. (9.6) 27,0 15, ,0 15,0 5 27,0 4 12,0 15,0 15,0 [cm] Rys Wymiary przekroju pręta. 27,0 15, ,0 15,0 5 Y 0 1,55 1,45 1,55 27,0 4 Z 0 19,24 22,76 [cm] 12,0 15,0 15,0 Rys Położenie środka ciężkości przekroju pręta.

26 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 26 Współrzędne punktu przyłożenia siły normalnej (numer 5) wynoszą e Y0 = 19,24 cm, (9.64) e Z0 = 1,55 cm. (9.65) Momenty zginające wynoszą M Y0 = 400,0 1,55= 620,0 kcm, (9.66) M Z0 = 400,0 19,24=7696 kcm. (9.67) Podstawiając do wzoru (9.26) otrzymano postać funkcji naprężeń normalnyc X = 400, y 818, z (9.68) Równanie (9.68) ma więc ostatecznie postać X = 0,4888 0,1245 y 0 0,0895 z 0. (9.69) Ccąc wyznaczyć postać odcinkową osi oojętnej należy równanie (9.69) przyrównać do zera 0,4888 0,1245 y 0 0,0895 z 0 =0. (9.70) Równanie (9.70) można przekształcić do postaci 0,1245 y 0 0,0895 z 0 =0,4888. (9.71) Dzieląc oustronnie równanie (9.71) przez 0,4888 otrzymano

27 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 27 0,2547 y 0 0,1717 z 0 =1. (9.72) Postać odcinkową osi oojętnej przedstawia poniższe równanie y 0,9 z 0 5,82 =1. (9.7) Współrzędne odcinkowe osi oojętnej wynoszą więc y p =,9 cm, (9.74) z 0 = 5,82 cm. (9.75) Położenie osi oojętnej przedstawia rysunek 9.7. oś oojętna 1 2 Y 0-5,82 5 -,9 4 Z 0 Rys Położenie osi oojętnej. Taela 9.1 przedstawia wartości naprężeń normalnyc w punktac 1 do 5 wyliczonyc ze wzoru (9.69) Taela 9.1. Wartości naprężeń normalnyc w punktac 1-5. r y0 z0 s X s X [cm] [cm] [k/cm 2 ] [MPa] 1 19,24-1,45-1,755-17,55

28 0,0-4,88 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 28 r y0 z0 s X s X 2-7,76-1,45 1,607 16,07-22,76 1,55 1,208 12,08 4 7,24 1,55-2,528-25, ,24 1,55 -,014-0,14 Wykres naprężeń normalnyc w przekroju pręta przedstawia rysunek ,08 +16, ,55-25,28 [MPa] 1 2-0,14 Y 0-5,82 5 -,9 4 Rys Wykres naprężeń normalnyc w przekroju pręta. Z 0

29 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 29 (9.1)

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3

Z1/7. ANALIZA RAM PŁASKICH ZADANIE 3 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1 05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.

4. Czyste zginanie. 4.1 Podstawowe definicje M P. Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu. 4. CZYSTE ZGINNIE 1 4. 4. Czyste zginanie 4.1 odstawowe definicje Momentem M siły względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r oraz wektora siły. M= r. (4.1) Wektor r jest promieniem

Bardziej szczegółowo

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Część 2 8. MECHNIK ELEMENTÓW PRĘTOWYCH WIDOMOŚCI WSTĘPNE 1 8. WIDOMOŚCI WSTĘPNE 8.1. KLSYFIKCJ ZSDNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI Podstawą klasyfikacji zasadniczych elementów konstrukcji jest kształt geometryczny

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki 1. Układ sił na przedstawionym rysunku a) jest w równowadze b) jest w równowadze jeśli jest to układ dowolny c) nie jest w równowadze d) na podstawie tego rysunku

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Laboratorium wytrzymałości materiałów

Laboratorium wytrzymałości materiałów Politechnika Lubelska MECHANIKA Laboratorium wytrzymałości materiałów Ćwiczenie 3 - Czyste zginanie statycznie wyznaczalnej belki Przygotował: Andrzej Teter (do użytku wewnętrznego) Czyste zginanie statycznie

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE

Rys. 1. Elementy zginane. KONSTRUKCJE BUDOWLANE PROJEKTOWANIE BELEK DREWNIANYCH 2013 2BA-DI s.1 WIADOMOŚCI OGÓLNE WIADOMOŚCI OGÓLNE O zginaniu mówimy wówczas, gdy prosta początkowo oś pręta ulega pod wpływem obciążenia zakrzywieniu, przy czym włókna pręta od strony wypukłej ulegają wydłużeniu, a od strony wklęsłej

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku..

Rysunek Łuk trójprzegubowy, kołowy, obciążony ciężarem własnym na prawym odcinku łuku.. rzykład 10.. Łuk obciążony ciężarem przęsła. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, którego oś ma kształt części półokręgu. Łuk obciążony jest ciężarem własnym. Zakładamy, że prawe przęsło łuku jest nieporównanie

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH

SKRĘCANIE WAŁÓW OKRĄGŁYCH KRĘCANIE AŁÓ OKRĄGŁYCH kręcanie występuje wówczas gdy para sił tworząca moment leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi elementu konstrukcyjnego zwanego wałem Rysunek pokazuje wał obciążony dwiema parami

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Rozciąganie/ ściskanie prętów prostych Naprężenia i odkształcenia, statyczna próba rozciągania i ściskania, właściwości mechaniczne, projektowanie elementów obciążonych osiowo.

Bardziej szczegółowo

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH 5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

Zginanie proste belek

Zginanie proste belek Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE 1 10. 10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe 10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej.

Bardziej szczegółowo

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Ścinanie i skręcanie. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Ścinanie i skręcanie dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 Ścinanie proste Ścinanie czyste Ścinanie techniczne 2 Ścinanie Czyste ścinanie ma miejsce wtedy, gdy na czterech ścianach prostopadłościennej kostki występują

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania

Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji.

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Mechanika Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Przyłożenie układu zerowego (układ sił równoważących się, np. dwie siły o takiej samej mierze,

Bardziej szczegółowo

Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci

Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Redukcja płaskiego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Twierdzenie o redukcji: Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE BETONOWE PROJEKT ŻELBETOWEJ HALI SŁUPOWO-RYGLOWEJ

KONSTRUKCJE BETONOWE PROJEKT ŻELBETOWEJ HALI SŁUPOWO-RYGLOWEJ KONSTRUKCJE BETONOWE PROJEKT ŻELBETOWEJ HALI PRZEMYSŁOWEJ O KONSTRUKCJI SŁUPOWO-RYGLOWEJ SŁUP - PROJEKTOWANIE ZAŁOŻENIA Słup: szerokość b wysokość h długość L ZAŁOŻENIA Słup: wartości obliczeniowe moment

Bardziej szczegółowo

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Kratownice

ĆWICZENIE 6 Kratownice ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin

15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: Elektroautomatyka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze w

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE OSIOWE. Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta ROZCIĄGNIE I ŚCISKNIE OSIOWE Pojęcia podstawowe. Zasada de Saint Venanta Pręt obciążony siłami podłużnymi (działającymi wzdłuż osi pręta) nazywamy prętem rozciąganym, gdyż siła podłużna jest dodatnia (N

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM)

PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (POWYM) Automatyka i Robotyka Sem. 3 Dr inŝ. Anna DĄBROWSKA-TKACZYK (4,, 8, 5) X; (8, 3,, 9) XI; (6, 3, 0), XII; (3, 0, 7, 4) I 3 XI (wtorek) zamiast 5 XI (czwartek) Dzień

Bardziej szczegółowo

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.

Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

Pomiar siły parcie na powierzchnie płaską

Pomiar siły parcie na powierzchnie płaską Pomiar siły parcie na powierzchnie płaską Wydawać by się mogło, że pomiar wartości parcia na powierzchnie płaską jest technicznie trudne. Tak jest jeżeli wyobrazimy sobie pomiar na ściankę boczną naczynia

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał

J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał Prawo Archimedesa Na każdy element pola ds działa elementarny napór Napór całkowity P ρg S nzds Główny wektor momentu siły naporu M ρg r nzds S dp Αρχίµηδης ο Σΰρακοσιος

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram

ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram. Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram Wykresy N i Q Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II POTĘGI zna pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym umie zapisać potęgę w postaci iloczynu umie zapisać iloczyn jednakowych

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

3. Rozciąganie osiowe

3. Rozciąganie osiowe 3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału

Bardziej szczegółowo