Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie Zaoczne, Sieradz WDAM

Transkrypt

1 Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie Zaoczne, Sieradz WDAM Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = arc cos ( x + 1 x ) + Rozwiązanie. Wymagane są następujące zastrzeżenia: x +. 1 x + 1 x 1, (1) Zastrzeżenie (1) jest koniunkcją dwóch warunków. Równoważnie x + 0, () 0. () x + x + 1 x 1 x + 1 x 1. x + 1 x + x + 1 x + 4. Każdy z tych czynników rozwiążemy oddzielnie. Pierwszy czynnik koniunkcji (1) jest równoważny alternatywie czyli rozwiązaniem tej alternatywy jest x + 1 x + x + 1 x x 1 x, x ( ; 1 1; + ). (4) Drugi czynnik koniunkcji jest równoważny koniunkcji x + 1 x + 4 x + 1 x 4 x x 5. 1

2 Zatem rozwiązaniem drugiego czynnika koniunkcji jest x 5 ;. (5) Biorąc część wspólną warunków (4) i (5), otrzymujemy rozwiązanie zastrzeżenia (1) Z warunku () mamy natychmiast a z warunku () mamy natychmiast x 5 ; 1 1;. (6) x, (7) x ( ; + ). (8) Biorąc część wspólmą warunków (6), (7) i (8), otrzymujemy dziedzinę naturalną x ( ; 1 1;. Zadanie. Dane są funkcje f (x) = log (x 1) i g (x) = (x + 5). a) Wyznacz złożenia f g i g f oraz ich dziedziny naturalne. b) Zdefiniuj funkcje h i k tak, aby f = k h. c) Wyznacz funkcję odwrotną względem funkcji g. Rozwiązanie. Łatwo widać, że dziedzinami danych funkcji są D f = ( 1 ; + ) i D g = R. a) (f g) (x) = f (g (x)) = f ( (x + 5) ) ) ( ) = log ( (x + 5) 1 = log 6 (x + 5) 1, (g f) (x) = g (f (x)) = g (log (x 1)) = (log (x 1) + 5). Dziedzinę funkcji f g uzyskujemy rozwiązując nierówność: 6 (x + 5) 1 > 0 (x + 5) > 1 6 x + 5 > 1 6, skąd ( ) 1 D f g = 5; +. 6

3 Łatwo widać, że D g f = ( 1 ; + ). b) Zdefiniujmy h (x) = x 1 i k (x) = log x. Wówczas f = k h. Inne rozwiązanie otrzymamy, gdy h (x) = x i k (x) = log (x 1). c) Sprawdzimy różnowartościowość funkcji g. Weźmy dowolne x 1, x R i załóżmy, że g (x 1 ) = g (x ), tzn. Dzieląc stronami przez, otrzymujemy (x 1 + 5) = (x + 5). (x 1 + 5) = (x + 5). Wyciągając z obu stron pierwiastek trzeciego stopnia, mamy x = x + 5. Stąd x 1 = x. Na mocy definicji funkcja g jest różnowartościowa. Dla wyznaczenia wzoru na funkcję odwrotną rozwiązujemy równanie y = (x + 5) względem niewiadomej x. Dzieląc stronami przez, otrzymujemy (x + 5) = y. Wyciągając z obu stron pierwiastek trzeciego stopnia, mamy x + 5 = y Ostatecznie, Zadanie. Trójmian kwadratowy x = y 5. x g 1 (x) = 5, x R. f (x) = x 1x 7 zapisz w postaci kanonicznej i opisz w jaki sposób jego wykres powstaje z wykresu funkcji y = x. Rozwiązanie. Mamy następujące rachunki ( f (x) = x + 4x + 7 ) ( = x + 4x = ) [ (x + ) 5 ] = (x + ) + 5.

4 Postacią kanoniczną jest f (x) = (x + ) + 5. Wykres funkcji f otrzymujemy z wykresu funkcji y = x przez wykonanie kolejno następujących operacji 1) Trzykrotne rozciągnięcie w pionie, ) Symetryczne odbicie względem osi Ox, ) Przesunięcie o w lewo, 4) Przesunięcie o 5 w górę. Zadanie 4. Rozwiąż równanie 4 x + 16 = 10 x. Rozwiązanie. Łatwo widać, że dziedziną równania jest D = ; + ). Ponieważ z własności działań na potęgach mamy 4 ( x = ) x, więc podstawiając t = x otrzymujemy z danego równania równanie kwadratowe t 10t + 16 = 0. (9) Wyróżnikiem trójmianu stojącego po lewej stronie jest = = 6, więc rozwiązaniem równania (9) jest Wracając do zmiennej x mamy t = t = 8. x = x = 8. Z różnowartościowości funkcji wykładniczej mamy równoważnie x = 1 x =. Podnosząc stronami do kwadratu, mamy x = 1 x = 9. Stąd x = lub x = 11. Ponieważ obie te liczby należą do dziedziny, więc ostatecznym rozwiązaniem jest Zadanie 5. Rozwiąż nierówność x = x = 11. x x 1 x x + x. 4

5 Rozwiązanie. Rozkład mianownika na czynniki jest postaci (x 1) (x + ), więc dziedziną nierówności jest D = R\{, 1}. Przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika Rozkładamy licznik na czynniki x x 1 x x + x 0 x x 1 + x + x x x x + x + x 4x 1 x x x + x 4x 1 = x (x + ) 4 (x + ) = (x + ) ( x 4 ) = (x + ) (x ) (x + ). Przy założeniu, że x D nasza nierówność jest więc równoważna nierówności (x 1) (x + ) (x + ) (x ) 0. Szkicujemy wykres lewej strony tej nierówności Z wykresu odczytujemy rozwiązanie, uwzględniając dziedzinę x ; ) ( ; 1) ; + ). 5