3.Funkcje elementarne - przypomnienie
|
|
- Janusz Sikorski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51
2 1 Funkcje - wstępne definicje 2 Wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe i wielomianopodobne 3 Podstawowe własności funkcji: różnowartościowość i monotoniczność 4 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne 5 Dziedzina funkcji elementarnej - podsumowanie 6 Wklęsłość i wypukłość funkcji rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 2 / 51
3 Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51
4 Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51
5 Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51
6 Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51
7 Funkcja Matematyka pozwala nam opisywać zależności pomiędzy różnymi wielkościami. Zazwyczaj te zależności będą opisane w formie funkcji. Ten dział jest krótkim przypomnieniem, co o funkcjach powinniśmy wiedzieć, zanim przejdziemy do ich bardziej skomplikowanej analizy. Funkcja Funkcją f prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (notacja: f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty funkcji f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór f (X ) = {y Y : x X : f (x) = y} to zbiór wartości funkcji f. Elementy tego zbioru to wartości funkcji f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 3 / 51
8 Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 4 / 51
9 Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 4 / 51
10 Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Znane ze szkoły ciągi, czyli funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych. (a n = a(n)). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 4 / 51
11 Przykłady funkcji Jeśli wyraźnie tego nie zaznaczę, na razie będziemy się zajmować funkcjami rzeczywistymi (czyli o dziedzinie i przeciwdziedzinie zawartej w R), ewentualnie funkcjami o dziedzinach w C lub R n, ale znamy również zupełnie inne funkcje: Funkcja zadana na zbiorze ludzi np. funkcja matka, która każdemu człowiekowi przyporządkowuje jego matkę. Znane ze szkoły ciągi, czyli funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych. (a n = a(n)). Funkcja na zbiorze państw, przyporządkowująca każdemu państwu jego największego partnera handlowego (spośród innych państw). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 4 / 51
12 Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51
13 Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51
14 Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51
15 Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51
16 Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51
17 Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Funkcja użyteczności (w zależności) od nakładów lub od wyboru koszyka dóbr Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51
18 Przykłady funkcji Podstawowe przykłady ekonomiczne: Funkcja kosztu (w zależności) od wielkości produkcji Funkcja popytu (w zależności) od ceny Funkcja podaży (w zależności) od ceny Funkcja produkcji (w zależności) od nakładów Funkcja użyteczności (w zależności) od nakładów lub od wyboru koszyka dóbr Funkcja zysku (w zależności) od wielkości inwestycji Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 5 / 51
19 Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 6 / 51
20 Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 6 / 51
21 Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) f (x) = y x 2 + y 2 = 1, X = Y = [ 1, 1] (bo dla x = 0 przyjmowałaby 2 różne wartości) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 6 / 51
22 Przykłady nie-funkcji Nie są funkcjami : f (x) = 1 x, gdy X = Y = R (bo 0 D f ) f (x) = y x 2 + y 2 = 1, X = Y = [ 1, 1] (bo dla x = 0 przyjmowałaby 2 różne wartości) relacja rodzeństwa na zbiorze ludzi, która każdemu człowiekowi przypisuje wszystkich jego braci i siostry (bo niektórym argumentom nie przypisywałaby żadnych wartości, a innym kilka). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 6 / 51
23 Równość funkcji Należy pamiętać, że nawet funkcja rzeczywista nie składa się tylko z przepisu czyli wzoru obliczenia wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, ale też z samej dziedziny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 7 / 51
24 Równość funkcji Należy pamiętać, że nawet funkcja rzeczywista nie składa się tylko z przepisu czyli wzoru obliczenia wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, ale też z samej dziedziny. Równość funkcji Mówimy, że funkcja f jest równa funkcji g jeśli D f = D g i x Df f (x) = g(x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 7 / 51
25 Równość funkcji-przykład f (x) = x 4, D f = R f (x) = x2 4x, D x f = R \ {0} Te funkcje nie są równe, bo mają różną dziedzinę. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 8 / 51
26 Wykres i miejsce zerowe Wykres funkcji Wykresem funkcji f nazywamy zbiór par (x, y) X Y, takich, że f (x) = y. Oznaczamy go przez graph f. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 9 / 51
27 Wykres i miejsce zerowe Wykres funkcji Wykresem funkcji f nazywamy zbiór par (x, y) X Y, takich, że f (x) = y. Oznaczamy go przez graph f. Miejsce zerowe Miejscem zerowym lub pierwiastkiem funkcji f nazywamy każdy x X taki, że f (x) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 9 / 51
28 Wykres i miejsce zerowe-przykład f (x) = x 4, D f = R rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 10 / 51
29 Wykres i miejsce zerowe-przykład f (x) = x 4, D f = R Na rysunku wykres funkcji f. Jej jedynym miejscem zerowym jest 4. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 10 / 51
30 Wiadomości ze szkoły Wiadomości ze szkoły, które powinni Państwo znać zawarte będą w pliku Wstępne informacje o funkcjach elementarnych, który można znaleźć wśród notatek do kursu na stronie Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 11 / 51
31 Wiadomości ze szkoły Wiadomości ze szkoły, które powinni Państwo znać zawarte będą w pliku Wstępne informacje o funkcjach elementarnych, który można znaleźć wśród notatek do kursu na stronie Jeśli Państwo tych informacji i umiejętności nie mają - polecam rozdział 1 (repetytorium) wskazanej w bibliografii książki Gurgula i Sudera Matematyka dla kierunków ekonomicznych Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 11 / 51
32 Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 12 / 51
33 Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. Powinni Państwo także wiedzieć: ile najwyżej pierwiastków rzeczywistych ma wielomian danego stopnia, że wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, jaki jest warunek podzielności wielomianu przez dwumian postaci x a, kiedy liczba całkowita lub wymierna może być pierwiastkiem wielomianu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 12 / 51
34 Wiadomości ze szkoły - wielomiany Pojęcia ze szkoły, które Państwo powinni znać: wielomian, stopień wielomianu, współczynniki wielomianu, wyraz wolny, jednomian, funkcja stała (wielomian stopnia 0), funkcja afiniczna lub liniowa (wielomian stopnia 1 - wyjaśnienie na dalszym slajdzie!), równość wielomianów, pierwiastek wielomianu, twierdzenie Bezouta, rozkład wielomianu na czynniki. Powinni Państwo także wiedzieć: ile najwyżej pierwiastków rzeczywistych ma wielomian danego stopnia, że wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, jaki jest warunek podzielności wielomianu przez dwumian postaci x a, kiedy liczba całkowita lub wymierna może być pierwiastkiem wielomianu. Dodatkowo Państwo powinni umieć: rozwiązywać równania kwadratowe, rozkładać wielomian na czynniki pierwsze (jeśli ma on pierwiastki całkowite lub wymierne), dzielić przez siebie wielomiany, rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 12 / 51
35 Identyczność - oznaczenie Jednym z najprostszych wielomianów jest tzw. identyczność na liczbach rzeczywistych, czyli funkcja dana wzorem f (x) = x. Jej definicję możemy uogólnić na funkcje o dowolnych dziedzinach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 13 / 51
36 Identyczność - oznaczenie Jednym z najprostszych wielomianów jest tzw. identyczność na liczbach rzeczywistych, czyli funkcja dana wzorem f (x) = x. Jej definicję możemy uogólnić na funkcje o dowolnych dziedzinach. Identyczność Niech X będzie dowolnym zbiorem (niekoniecznie podzbiorem R). Wtedy funkcję f : X X, taką, że x X f (x) = x nazywamy identycznością na zbiorze X i oznaczamy przez id X lub I X (a czasem tylko I ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 13 / 51
37 Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 14 / 51
38 Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Powinni Państwo także wiedzieć/umieć: jak wyznaczać miejsca zerowe funkcji wymiernej, jak sprowadzać funkcje wymierne do wspólnego mianownika, jak rozwiązywać równania i nierówności z funkcją wymierną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 14 / 51
39 Wiadomości ze szkoły - funkcje wymierne Poniższe pojęcie powinni Państwo znać ze szkoły: Funkcja wymierna Funkcję f nazywamy funkcją wymierną, gdy jest postaci f (x) = W (x) V (x), gdzie W i V są wielomianami, przy czym V nie jest wielomianem stale równym 0. Powinni Państwo także wiedzieć/umieć: jak wyznaczać miejsca zerowe funkcji wymiernej, jak sprowadzać funkcje wymierne do wspólnego mianownika, jak rozwiązywać równania i nierówności z funkcją wymierną. Pamiętamy o zasadzie: znak ilorazu (jeśli ma sens) jest równy znakowi iloczynu (pomocne w rozwiązywaniu nierówności wymiernych). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 14 / 51
40 Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51
41 Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51
42 Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51
43 Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 x a i x 1 a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą.dla innych funkcji potęgowych, trzeba dopasować dziedzinę do wykładnika. Jeśli a jest liczbą ujemną, to z dziedziny musimy usunąć 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51
44 Przypomnienie ze szkoły - funkcje potęgowe Funkcja potęgowa Funkcją potęgową zmiennej x nazywamy funkcję postaci f (x) = x a, gdzie a R. Na naszym wykładzie rozważamy tylko funkcje, dla których a Q. Przypominam, że x a = 1 i x 1 x a a = a x. Dlatego funkcja potęgowa może być zakamuflowana jako ułamek albo pierwiastek. Funkcje potęgowe, dla których a N są po prostu jednomianami, więc mają dziedzinę rzeczywistą.dla innych funkcji potęgowych, trzeba dopasować dziedzinę do wykładnika. Jeśli a jest liczbą ujemną, to z dziedziny musimy usunąć 0. Jeśli zaś a = p jest ułamkiem q nieskracalnym oraz q jest parzyste, to liczby ujemne też nie należą do dziedziny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 15 / 51
45 Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 16 / 51
46 Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 16 / 51
47 Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. Innymi słowy, funkcja wielomianopodobna to funkcja różniąca się od wielomianu tym, że zmienna występuje w niej w potęgach niekoniecznie naturalnych. Ma wiele własności podobnych do wielomianu, ale należy uważać na jej dziedzinę i dostosować ją do jej składowych funkcji potęgowych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 16 / 51
48 Funkcje wielomianopodobne Ta definicja jest niestandardowa, nie znajdzie się jej w podręcznikach, ale dla wygody będziemy jej używać na wykładzie. Funkcja wielomianopodobna Funkcją wielomianopodobną zmiennej x nazywamy dowolną skończoną sumę funkcji postaci f (x) = a r x r, gdzie r R i a r R. Innymi słowy, funkcja wielomianopodobna to funkcja różniąca się od wielomianu tym, że zmienna występuje w niej w potęgach niekoniecznie naturalnych. Ma wiele własności podobnych do wielomianu, ale należy uważać na jej dziedzinę i dostosować ją do jej składowych funkcji potęgowych. Przykład: f (x) = x 5 2 3x x + 1 x 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 16 / 51
49 Różnowartościowość funkcji Co prawda to też było w szkole, ale jest to na tyle ważne, że przypomnę: Injekcja (funkcja różnowartościowa) Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (lub injekcją), jeśli nie przyjmuje nigdy tej samej wartości dla dwu różnych argumentów, czyli a,b X (a b f (a) f (b)) lub też (sformułowanie równoważne) a,b X (f (a) = f (b) a = b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 17 / 51
50 Różnowartościowość funkcji - przykład f (x) = 2x + 1 jest różnowartościowa g(x) = x 2 nie jest różnowartościowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 18 / 51
51 Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51
52 Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51
53 Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51
54 Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51
55 Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Dla funkcji g(x) = x 2 wystarczy podać kontrprzykład: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51
56 Różnowartościowość funkcji - przykład Z rysunku widać różnowartościowość (lub jej brak), ale pewniej jest sprawdzić obliczeniami. Dla funkcji f (x) = 2x + 1 jeśli założymy, że f (a) = f (b) dla pewnych wartości a i b to otrzymamy: 2a + 1 = 2b + 1 2a = 2b a = b, co dowodzi, że funkcja f jest różnowartościowa. Dla funkcji g(x) = x 2 wystarczy podać kontrprzykład: otóż g( 1) = 1 = g(1), co przeczy różnowartościowości tej funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 19 / 51
57 Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51
58 Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51
59 Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51
60 Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51
61 Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51
62 Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51
63 Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Równanie x 2 = 4 możemy zamienić na x 2 = 2 2, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51
64 Różnowartościowość funkcji - zastosowanie Różnowartościowość funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu równań. Dla funkcji różnowartościowej f, jeśli wiemy, że f (a) = f (b), to a = b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Na przykład, wiemy, że f (x) = x jest różnowartościowa na [0, + ). Dlatego możemy równanie x = 4 zapisać jako x = 16 i, dzięki różnowartościowości funkcji x zniknąć pierwiastek z obu stron równania, otrzymując x = 16. Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są różnowartościowe. Na przykład, niech g(x) = x 2. Równanie x 2 = 4 możemy zamienić na x 2 = 2 2, ale teraz zniknięcie kwadratu nie doprowadzi nas do równoważnej postaci - otrzymamy tylko x = 2, tracąc drugi możliwy pierwiastek: x = 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 20 / 51
65 Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f zachodzi a < b f (a) < f (b). jeśli dla każdych a, b A Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 21 / 51
66 Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 21 / 51
67 Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Jeśli w powyższych zdaniach mamy do czynienia tylko ze słabymi nierównościami między f (a) i f (b), to mówimy o funkcjach słabo rosnących/malejących lub niemalejących/nierosnących. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 21 / 51
68 Monotoniczność funkcji Kolejna znana definicja: Monotoniczność Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) < f (b). Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f jeśli dla każdych a, b A zachodzi a < b f (a) > f (b). Jeśli w powyższych zdaniach mamy do czynienia tylko ze słabymi nierównościami między f (a) i f (b), to mówimy o funkcjach słabo rosnących/malejących lub niemalejących/nierosnących. Jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca w zbiorze A, to mówimy, że jest monotoniczna w tym zbiorze. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 21 / 51
69 Monotoniczność funkcji - przykład Domyślnie, jeśli nie mówimy w jakim zbiorze funkcja jest rosnąca/malejąca, zakładamy, że jest ona rosnąca/malejąca w całej swojej dziedzinie. f (x) = x 3 jest rosnąca. g(x) = x 2 nie jest monotoniczna. Jest malejąca w (, 0] i rosnąca w [0, ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 22 / 51
70 Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 23 / 51
71 Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! f (x) = x 3 3x jest rosnąca w przedziale (, 1] i w przedziale [1, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 23 / 51
72 Monotoniczność funkcji - przykład Uwaga! To, że funkcja jest rosnąca/malejąca w zbiorze A i jest rosnąca/malejąca w zbiorze B nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w zbiorze A B! f (x) = x 3 3x jest rosnąca w przedziale (, 1] i w przedziale [1, + ).Natomiast nie można powiedzieć, że jest rosnąca w (, 1] [1, + ), gdyż np. f ( 1) = 2 > 2 = f (1), a 1 < 1, co przeczy warunkowi funkcji rosnącej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 23 / 51
73 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51
74 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51
75 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51
76 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51
77 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51
78 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Dlatego, jeśli mamy założenie x > 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < 2 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51
79 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Monotoniczność funkcji jest kluczowa przy rozwiązywaniu nierówności. Dla funkcji rosnącej f, jeśli wiemy, że f (a) > f (b), to a > b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć f po obu stronach. Dla funkcji malejącej g, jeśli wiemy, g(a) > g(b), to a < b, dlatego możemy rozwiązując równanie zniknąć g po obu stronach i zmienić kierunek nierówności. Oczywiście działa to także dla słabych nierówności. Na przykład, wiemy, że f (x) = x 2 jest rosnąca na [0, + ). Dlatego, jeśli mamy założenie x > 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < 2 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w [0, + ) zniknąć kwadrat z obu stron równania, otrzymując x < 2 (i łącznie z założeniem początkowym x (0, 2)). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 24 / 51
80 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51
81 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51
82 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51
83 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51
84 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. Równanie x 2 < 4 możemy zamienić na x 2 < 2 2, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51
85 Monotoniczność funkcji - zastosowanie Analogicznie, wiemy, że f (x) = x 2 jest malejąca na (, 0]. Dlatego, jeśli mamy założenie x < 0 możemy nierówność x 2 < 4 zapisać jako x 2 < ( 2) 2 i, dzięki monotoniczności funkcji x 2 w (, 0] zniknąć kwadrat z obu stron równania i jednocześnie zmienić kierunek nierówności otrzymując x > 2 (i łącznie z założeniem początkowym x ( 2, 0)). Nie można tak zrobić na funkcjach które nie są monotoniczne. Na przykład, niech g(x) = x 2, bez założeń o dziedzinie. Równanie x 2 < 4 możemy zamienić na x 2 < 2 2, ale teraz zniknięcie kwadratu nie doprowadzi nas do równoważnej postaci - otrzymamy tylko x < 2, tracąc drugi konieczny warunek: x > 2 (a np. x = 3 spełnia x < 2, a nie spełnia wyjściowej nierówności x 2 < 4). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 25 / 51
86 Monotoniczność i różnowartościowość funkcji Monotoniczność i różnowartościowość Funkcja monotoniczna jest różnowartościowa, ale twierdzenie odwrotne do tego nie musi być prawdziwe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 26 / 51
87 Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 27 / 51
88 Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zawsze R, jej zbiorem wartości R +. Funkcja taka zawsze jest monotoniczna: malejąca dla 0 < a < 1, rosnąca dla a > 1 (z tego korzystamy przy rozwiązywaniu równości i nierówności). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 27 / 51
89 Funkcja wykładnicza - przypomnienie ze szkoły Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą zmiennej x nazywamy dowolną funkcję postaci f (x) = a x, gdzie a R + \ {1}. Dziedziną funkcji wykładniczej jest zawsze R, jej zbiorem wartości R +. Funkcja taka zawsze jest monotoniczna: malejąca dla 0 < a < 1, rosnąca dla a > 1 (z tego korzystamy przy rozwiązywaniu równości i nierówności). Należy sobie przypomnieć twierdzenia o działaniach na funkcjach wykładniczych (na wykładnikach potęg). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 27 / 51
90 Podstawowe działania na funkcjach Na funkcjach, jak na liczbach można wykonywać działania arytmetyczne. Działania na funkcjach Niech f : X R i g : X R, α R, zaś oznacza jedno z działań +,,. Wtedy definiujemy funkcje: a)α f : X R, (α f )(x) = α f (x). b)f g : X R, (f g)(x) = f (x) g(x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 28 / 51
91 Podstawowe działania na funkcjach Na funkcjach, jak na liczbach można wykonywać działania arytmetyczne. Działania na funkcjach Niech f : X R i g : X R, α R, zaś oznacza jedno z działań +,,. Wtedy definiujemy funkcje: a)α f : X R, (α f )(x) = α f (x). b)f g : X R, (f g)(x) = f (x) g(x). Dodatkowo, jeśli g(x) = 0 x A, to definiujemy: c) f : X \ A R, f f (x) (x) =. g g g(x) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 28 / 51
92 Złożenie funkcji Dodatkowo, na funkcjach możemy przeprowadzić jeszcze jedno działanie: składanie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 29 / 51
93 Złożenie funkcji Dodatkowo, na funkcjach możemy przeprowadzić jeszcze jedno działanie: składanie. Złożenie funkcji Niech f : X Y i g : Y Z. Wtedy funkcja h : X Z dana wzorem h(x) = g(f (x)) nazywa się złożeniem funkcji f i g. Oznaczamy h = g f. f jest nazywana funkcją wewnętrzną, a g funkcją zewnętrzną takiego złożenia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 29 / 51
94 Złożenie funkcji - ilustracja Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 30 / 51
95 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
96 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
97 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
98 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
99 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
100 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
101 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
102 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
103 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = 1 x 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
104 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = 1 x 2. Zatem f g(x) = 1 x 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
105 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = 1 x 2. Zatem f g(x) = 1 x 2. Jak widać na powyższym przykładzie, składanie funkcji NIE JEST przemienne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
106 Składanie funkcji - przykład Załóżmy, że mamy dane dwie funkcje: f (x) = 1 x i g(x) = x 2. Wtedy g(f (x)) = g(1 x) = (1 x) 2. Zatem g f (x) = (1 x) 2. Możemy też wykonać złożenie w przeciwną stronę: f (g(x)) = f (x 2 ) = 1 x 2. Zatem f g(x) = 1 x 2. Jak widać na powyższym przykładzie, składanie funkcji NIE JEST przemienne. W szczególności, g f ( 1) = 2 2 = 4, a f g( 1) = 1 1 = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 31 / 51
107 Złożenie funkcji - wyjaśnienie Mechanizm składania funkcji wykorzystujemy, by modelować bardziej skomplikowane procesy niż te, które są opisane prostymi funkcjami elementarnymi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 32 / 51
108 Złożenie funkcji - wyjaśnienie Mechanizm składania funkcji wykorzystujemy, by modelować bardziej skomplikowane procesy niż te, które są opisane prostymi funkcjami elementarnymi. Właściwie nawet częściej wykorzystujemy rozkładanie funkcji złożonych na proste, by je lepiej zrozumieć. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 32 / 51
109 Złożenie funkcji - wyjaśnienie Mechanizm składania funkcji wykorzystujemy, by modelować bardziej skomplikowane procesy niż te, które są opisane prostymi funkcjami elementarnymi. Właściwie nawet częściej wykorzystujemy rozkładanie funkcji złożonych na proste, by je lepiej zrozumieć. Na przykład funkcja: ϕ(x) = sin 3 2x+1 jest niewątpliwie funkcją złożoną i nie wiadomo jak się zabrać do jej analizy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 32 / 51
110 Złożenie funkcji - wyjaśnienie Mechanizm składania funkcji wykorzystujemy, by modelować bardziej skomplikowane procesy niż te, które są opisane prostymi funkcjami elementarnymi. Właściwie nawet częściej wykorzystujemy rozkładanie funkcji złożonych na proste, by je lepiej zrozumieć. Na przykład funkcja: ϕ(x) = sin 3 2x+1 jest niewątpliwie funkcją złożoną i nie wiadomo jak się zabrać do jej analizy. Tymczasem możemy potraktować ją jako złożenie funkcji prostych i (być może) łatwiej będzie zbadać każdą z tych funkcji osobno. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 32 / 51
111 Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51
112 Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51
113 Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51
114 Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. Teraz mamy ϕ(x) = sin g(f (x)). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51
115 Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. Teraz mamy ϕ(x) = sin g(f (x)).co robimy z g(f (x))? Pierwiastkujemy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51
116 Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. Teraz mamy ϕ(x) = sin g(f (x)).co robimy z g(f (x))? Pierwiastkujemy. Zapiszmy h(x) = x i ϕ(x) = sin h(g(f (x))). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51
117 Rozkładanie funkcji złożonej - przykład ϕ(x) = sin 3 2x+1 Dla konkretnej liczby x zastanawiamy się, jakie konkretne operacje trzeba wykonać, by dojść do ϕ(x). Najpierw musimy obliczyć 2x zatem oznaczamy np. f (x) = 2x + 1 i mamy: ϕ(x) = sin 3 f (x). Teraz odpowiadamy na pytanie: co robimy z f (x)? Jak widać, teraz f (x) ląduje nam w wykładniku, przy podstawie 3 - kolejna operacja do wykonania to potęgowanie i oznaczamy to g(x) = 3 x. Teraz mamy ϕ(x) = sin g(f (x)).co robimy z g(f (x))? Pierwiastkujemy. Zapiszmy h(x) = x i ϕ(x) = sin h(g(f (x))). Zostało teraz jeszcze tylko zsinusowanie całości, więc oznaczamy k(x) = sin x i ostatecznie ϕ(x) = k(h(g(f (x)))). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 33 / 51
II. Wstęp: Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne
II. Wstęp: Modelowanie matematyczne i funkcje elementarne Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny II. Wstęp: w Krakowie) Modelowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoZbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty
Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji elementarnych I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii Matematyka pozwala nam opisywać
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
Bardziej szczegółowoII. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoFunkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowoO funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy
MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES PODSTAWOWY)
1 ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE I (ZAKRES PODSTAWOWY) Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 100 Kursywą zaznaczone zostały treści,
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. LICZBY RZECZYWISTE DLA KLASY PIERWSZEJ 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Bardziej szczegółowoFUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoTemat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi
Roczny plan dydaktyczny z matematyki dla pierwszej klasy szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy
Bardziej szczegółowoOsiągnięcia ponadprzedmiotowe
W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji
Bardziej szczegółowo1. LICZBY RZECZYWISTE. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli:
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE POZIOM PODSTAWOWY KLASA 1 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoUczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów
Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Liceum Ogólnokształcące im. Bolesława Prusa w Skierniewicach Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie pierwszej po szkole podstawowej zakres rozszerzony Rok szkolny: 2019/2020 Klasy: 1b,1c,1e Nauczyciele:
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II Ti ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY
. ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA stosuje ogólny zapis liczb naturalnych parzystych, nieparzystych, podzielnych przez 3 itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstawienia liczby naturalnej w postaci a k
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowozna wykresy i własności niektórych funkcji, np. y = x, y =
Wymagania edukacyjne dla uczniów klasy II z podstawowym programem nauczania matematyki, niezbędne do uzyskania śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki Nauczyciel: mgr Karolina Bębenek
Bardziej szczegółowo1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin
. Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowoWymagania podstawowe (ocena dostateczna)
Plan wynikowy z matematyki dla szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy programowej Klasa 1
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Liczby rzeczywiste: Uczeń otrzymuje ocenę ( jeśli rozumie i stosuje podpowiedź nauczyciela)oraz
Bardziej szczegółowoOsiągnięcia ponadprzedmiotowe
W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Liceum Ogólnokształcące im. Bolesława Prusa w Skierniewicach Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie pierwszej po szkole podstawowej zakres podstawowy Rok szkolny: 2019/2020 Klasy: 1a,1d,1e Wymagania
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
Bardziej szczegółowo