Wstęp matematyczny. Pochodna funkcji

Transkrypt

1 Wstęp mtemtcn Pochodn funkcj Ze wględu n ognconą dokłdność pądów pomowch, posługujem sę skońconm postm welkośc, np. Δ, Δt, ΔV, td. Cęsto d sę, że jedn welkość fcn wż sę pe stosunek postów dwóch nnch welkośc, jk np. pędkość pśpesene. Genelne jednk ps Δ Δ jest neodpowedn, gdż wstępujące w nm post są nejednoncne okeślone; wtość tego stosunku leż n ogół od wtośc gncnej p Δ dążącm do e, o le tlko Δ jest dosttecne młe. Wtość gncn to pochodn funkcj () wględem ' d d lm Δ 0 Wżene d 'd nw sę óżncką funkcj (), ś d óżncką gumentu. Olcne pochodnej nwm óżnckownem. Δ Δ

2 Intepetcj geometcn pochodnej A( o, o) Δ B( 1, 1) d d Δd α O β o 1 Intepetcj geometcn pochodnej funkcj () Gd punkt B lż sę do punktu A (tn. gd Δ 0 w gncnm ppdku pokw sę punktem A), post AB pechod w stcną do kwej w punkce A, kąt β jest ówn kątow α jk two t stcn osą. Ztem lm Δ Δ d d Δ 0 Pochodn funkcj w dnm punkce jest ówn tngensow kąt nchlen stcnej do wkesu funkcj w tm punkce do os tgα

3 Możem węc powedeć, że sunku pokno ówneż post gumentu Δ post funkcj Δ. Ne m stotnej óżnc męd ntepetcją geometcną postu gumentu Δ, jego óżncką d, jest ntomst sdnc óżnc męd postem funkcj Δ jej óżncką d 'd. Pochodn sum dwóch funkcj Jeżel u v, p cm u v są funkcjm tego smego gumentu, wówcs d d(u v ) du dv. d d d d Jeżel uv, wówcs d d d(uv ) du dv v u. d d d Pochodn lou dwóch funkcj Jeżel u/v, mm d d du dv v u d d. v

4 Pochodn funkcj łożonej Nech ęde funkcją mennej, ś funkcją mennej ; np. cos, 3, cl cos3. Wówcs d d d. d d d Jeżel funkcj f leż od klku mennch neleżnch, np. f(,,,t), wówcs pochodne po kżdej nch nw sę pochodnm cąstkowm onc neco nnm smolem, np. f, f, td. Pochodne te olc sę dentcne, jk wkłe pochodne, tktując menne po któch ne wkonuje sę óżnckown, jko stłe.

5 Rchunek cłkow Opecją odwotną do óżnckown jest cłkowne (neoncone). Cłką neonconą lu funkcją pewotną funkcj f() nwm tką funkcję F(), któej pochodn jest ówn dnej funkcj f(), cl df()/d f(). Cłkę neonconą psujem smolcne F ( ) f ( )d df( ). Cłką funkcj f() jest kżd funkcj ędąc sumą funkcj F() dowolnej stłej C, ponewż wse d[f() ± C]/d df()/d f(). Cłk neoncon funkcj f() F ( ) f ( )d C. Cłkowne pe mnę mennej (metod podstwen) Jeżel w funkcj f() menną podstwm funkcję (t), to [ (t )] ' (t ) dt f ( )d f.

6 Cłkowne pe cęśc Jeżel u o v są funkcjm tej smej mennej, to v d uv u u vd. Cłk oncon funkcj f() w gncch od do jest defnown jko f ( )d F( ) F() F(). Z cłką onconą mm do cnen p optwnu welkośc glolnch, leżnch od wtośc nnej welkośc w pewnm skońconm pedle gumentu. Klscnm pkłdem jest pc wdłuż pewnej dog. Jest on ówn sume pc n dosttecne młch odcnkch dog, n jke del sę ją w ppdku sł leżnej od położen. P dosttecne donm podle możn pjąć, że sł n kżdm odcnków jest stł. Sum f ( ) Δ ówn jest polu fgu ognconej kwą schodkową. Wtość tej sum ne jest jednoncne okeślon, gdż leż od sposou podłu dog (,). W nle mtemtcnej dowod sę, że sum t newele sę óżn od swej wtośc gncnej p wsstkch Δ dążącch do e. T gnc to włśne cłk oncon. Możem węc psć f ( ) d lm f ( ) n n 1 Δ.

7 f() O Δ 1 Δ Δ 3 Δ 4 Intepetcj geometcn cłk onconej W fce mm cęsto do cnen cłkm po kwch, powechnch (stumene), ądź też osch tójwmowch. Wsstke tke cłk oumem w podonm sense, jk to opswlśm powżej. Os cłkown delm mślowo n młe fgment; n kżdm nch funkcję cłkowną uwżm stłą, nstępne twom sumę locnów tch wtośc m odpowdjącch m fgmentów.

8 W ppdku cłkown po kwej, olę Δ odgw długość Δs -tego łuku kwej; p cłkownu po powechn Δ nleż stąpć pe pole ΔS -tego wcnk powechn; ś w cłkch ojętoścowch użwm elementów ojętośc ΔV. Gncne wtośc tk utwoonch sum nwją sę odpowedno cłkm: kwolnowm, powechnowm ojętoścowm. Możem tem psć cłk kwolnow cłk powechnow cłk ojętoścow C S V f f f (,,) ds lm f (,, ) Δ s n n 1 (,,) ds lm f (,, ) Δ S n n 1 (,,) dv lm f (,, ) ΔV n n 1,,. Jeżel kw C lu powechn S, n któe ocąg sę cłkowne, jest mknęt, to n smolu cłk wkło sę dopswć kółko: lu. C S

9 Lcą espoloną nwm lcę Lc espolone, gde są dowolnm lcm ecwstm, ś jednostką uojoną spełnjącą wąek 1. Lcę nwm cęścą ecwstą lc espolonej, lcę cęścą uojoną lc, co psujem Re, Im. Zps powżs nwm postcą lgecną lc espolonej. Dwe lc espolone o są ówne, gd ówne są ch cęśc ecwste uojone, tn. 1, 1. Ne stneje ntomst pojęce węksej lu mnejsej lc espolonej. 0 Intepetcj geometcn lc espolonej Lcę espoloną możn pedstwć jko punkt n płscźne espolonej. N osch ukłdu współędnch płscn espolonej odkłdm współędne punktu ędącego oem geometcnm lc ; n os ecwstej lcę, ś n os uojonej lcę. Kostjąc powżsej ntepetcj geometcnej, lcę espoloną możn pedstwć w postc tgonometcnej ( cos sn) e cos sn Kąt nw sę gumentem lc espolonej.

10 Długość wekto wodącego nwm modułem lu wtoścą ewględną lc espolonej. Lcę espoloną ( ) e sn cos, nwm lcą espoloną spężoną lcą. Zuwżm, że moduł lc espolonch spężonch są ówne, o, że. Łtwo spwdć, że ( ) ( ) ( ) [ ] sn cos e e e, 1 1, ( ) ( ) ( ) [ ] sn cos e e e,

11 1 1. e e, e n n n n n ( e ) e cos( n) sn( n) [ ].

12 Dłn n wektoch Węksość podstwowch welkośc fcnch m chkte keunkow, w wąku cm epeentowne są pe wekto. Pocątek wekto możn umescć w dowolnm mejscu, chocż w nektóch ppdkch jest on nucon gó (np. p wektoe położen lu sł). Kżd wekto m okeśloną wtość ówną długośc odcnk łącącego pocątek konec wekto. Długość wekto oncm wkle smolem lu po postu. Mnożene wekto pe lcę ecwstą λ to now wekto λ, o tm smm (λ > 0) lu pecwnm (λ < 0) woce co wekto. Długość wekto λ wnos λ λ.

13 Dodwne wektoów Dw wekto tego smego odju dodje sę metodą ównoległooku. Dw sposo dodwn wektoów: pe spowdene ch do wspólnego pocątku, pe umescene pocątku dugego wekto w końcu pewsego W pewsm sposoe wpdkow wektoów jest pekątną ównoległooku udownego c c n wektoch ; w dugm wekto wpdkow to odcnek o pocątku α pokwjącm sę pocątkem pewsej skłdowej końcu pokwjącm sę Dodwne dwóch wektoów końcem dugej skłdowej. Wekto wpdkow c, jego długość możn wncć tweden cosnusów gde α jest kątem męd wektom. c cosα,

14 Sumę węksej lc wektoów njlepej jest twoć sposoem dugm, jk pokno n sunku. Wnk dodwn ne leż od kolejnośc poscególnch skłdnków. Łącąc pocątek wekto pewsego końcem wekto osttnego otmujem wekto wpdkow s c d. d c d c s Dodwne geometcne dowolnej lc wektoów Ilocn skln dwóch wektoów Cęsto w fce dwe welkośc wektoowe wstępują łącne djąc w eultce welkość sklną. Zwcj jest to locn długośc jednego wekto pe ut dugego n pews. Ilocn tk nwm locnem sklnm dwóch wektoów, oncm smolem cosα,

15 gde α jest kątem męd wektom (s. 1.6). Ilocn skln dwóch wektoów jest węc sklem. Z defncj locnu sklnego wdć, że jego wtość ne leż od kolejnośc cnnków, tn.. Intepetcj geometcn locnu sklnego wektoów () () α cosα cosα α Ilocn skln dwóch wektoów postopdłch jest ówn eu, gdż cos90 0. Klscn pkłd locnu sklnego to pc sł F n odcnku Δ s ówn locnow sklnemu tch wektoów F Δ s.

16 Ilocn wektoow dwóch wektoów Spoo welkośc fcnch o chktee wektoowm wż sę pope nne welkośc wektoowe p pomoc tw. locnu wektoowego. Ilocn wektoow jest wektoem c o keunku postopdłm do ou wektoów woce godnm keunkem uchu śu pwoskętnej wkęcnej tk, pews wekto nłożć n dug po mnejsm kące. Wtość locnu wektoowego ówn jest - n moc defncj - polu ównoległooku utwoonego pe wekto, cl c snα. c α Konstukcj geometcn locnu wektoowego

17 Jest to węc locn długośc jednego tch wektoów (oojętne któego) pe skłdową dugego wekto postopdłą do nego. P pomoc pojęc locnu wektoowego defnuje sę óżne welkośc fcne, jk np. moment pędu, moment sł, pondto psuje sę seeg pw mechnk elektodnmk. Różnckowne wektoów Jeżel welkość wektoow jest funkcją pewnej mennej (np. csu t), wówcs cęsto chod pote olcen jej pochodnej po t. Pochodn wekto jest ówneż wektoem, któ otmuje sę pe pejśce do gnc postm skońconm: d Δ lm ; Δ ( t Δt ) ( t ). dt Δt 0 Δt Pochodn wekto m n ogół nn keunek nż wekto óżnckown, co pokn n nstępnm sunku. Zgodność keunków m mejsce tlko wted, gd wsstke wekto () t mją ten sm keunek. Jeżel ntomst wsstke wekto ( t ) mją tę smą długość, to d / dt jest postopdł do. Pochodn t jest óżn od e, gdż men sę keunek wekto.

18 (t Δt) Δ d dt O (t) Współędne wekto Intepetcj óżnckown wekto po cse Wekto opsuje sę pe podne tech lc wnch współędnm wekto. W njpostsm ppdku są to t ut n t wjemne postopdłe ose, mjące wspóln pocątek umescon w pocątku wekto. Ose te nw sę njcęścej osm O, O, O. Zespół tch tech współędnch wekto cęsto utożsm sę smm wektoem psąc np. (,, ) choć popwn jest tlko tk ps, w któm wekto pedstw sę w postc sum tech jego skłdowch w keunkch os ukłdu współędnch: j k,

19 j k Skłdowe wekto w ukłde postokątnm gde wekto k j, k są wektom jednostkowm w keunkch tech os współędnch. Długość wekto wż sę pe jego współędne w nstępując sposó. Podstwowe opecje n wektoch, psne p użcu współędnch, mją postć, ( ) ( ) ( ) k j k j ( ),,, dt d, dt d, dt d dt d.

20 Okeślone powżej współędne wekto nwne są jego współędnm ktejńskm są njdej ntulnm współędnm wektoowm. Opóc nch stosuje sę ówneż nne tójk lc do schkteown wekto. Njcęścej stosownm współędnm są: współędne egunowe n płscźne, współędne wlcowe w pesten tójwmowej, o współędne sfecne (tkże pestenne). Współędnm egunowm są: długość wekto kąt jk on two dodtnm keunkem os O. Zwąek męd współędnm ktejńskm (, ) egunowm (, ) jest nstępując: cos ; sn. Współędnm tm posługujem sę cęsto p opse uchu odwjącego sę w jednej płscźne.

21 Współędne wlcowe (clndcne) to: długość utu wekto n płscnę O, kąt mutln w płscźne O o współędn ktejńsk (s. 1.11) cos cos, sn sn, O Współędne egunowe w płscźne O. Współędne te są stosowne w gdnench wkującch smetę ootową wokół os O.

22 υ O O Współędne wlcowe Współędne sfecne Współędnm sfecnm są: długość wekto, kąt egunow ϑ jk two wekto dodtną półosą O o kąt mutln. Zwąek e współędnm ktejńskm jest nstępując: snϑ cos, snϑ sn, cosϑ. Współędne te są wgodne w owąwnu gdneń o smet sfecnej.

23 Anl wektoow Jeżel funkcj V(,,) jest okeślon w kżdm punkce pesten to mówm, że funkcj V(,,) okeśl pewne pole sklne. Funkcj V(,,), któ ppoądkowuje kżdemu punktow pol pewną welkość sklną, nw sę funkcją pol. Tpowm pkłdem tkej funkcj jest potencjł pol elektosttcnego V(,,). W podon sposó możn defnowć tempetuę jko funkcję współędnch T(,,). Jeżel w kżdm punkce pesten są okeślone t funkcje A 1 (,,), A (,,) A 3 (,,), to możn je tktowć jko współędne wekto: A,,,A,,,A,,. [ ( ) ( ) ( )] A 1 3 Możn tem uwżć, że kżdemu punktow pesten ostł ppoądkown pewen wekto A A (,,). Pesteń, gde w kżdm punkce ostł defnown wekto według okeślonego pw, nwm polem wektoowm. Tk węc kżdemu punktow pol elektosttcnego możn ppoądkowć wekto ntężen pol E, kżdemu punktow pol mgnetcnego wekto ndukcj mgnetcnej B.

24 Gdent pol sklnego Nech funkcj V(,,) okeśl pewne pole sklne. Punkt dl któch funkcj t m stłą wtość [V(,,) const] leżą n pewnej powechn. Zmenjąc wtość const otmujem odnę powechn, któe nwm powechnm ekwpotencjlnm. Olcm óżnckę dv funkcj V(,,) p pejścu od punktu (,,) okeślonego wektoem wodącm j k, do punktu (d,d,d) leżącego n lskej, sąsednej powechn ekwpotencjlnej okeślonego wektoem wodącm d d j d. Różnck t jest ówn ( ) ( ) ( )k V V V dv d d d. Różnckę dv możn pedstwć w postc locnu sklnego wekto V V V gdv j k, nwnego gdentem funkcj sklnej V(,,) wekto d d jd kd, gdż dv V V V j k ( d jd kd) gdv d.

25 O d V gd V VdV GdV jest wektoem postopdłm do powechn ekwpotencjlnej jest skeown od powechn o potencjle nżsm do powechn o potencjle wżsm (s. 1.13). Długość wekto gdv wnos: V V V gd V dv d. Gdent pol sklnego

26 Opeto nl. Dwegencj otcj pol wektoowego Opetoem nwm smol okeśljąc peps dłn mtemtcnego n jkejś welkośc. Np. smol d/d jest opetoem óżnckown po mennej. Oncon smolem opeto k j, nwn jest opetoem nl lu opetoem Hmlton. Sm opeto ne onc żdnej welkośc, lec dłjąc n jkąś welkość (skl lu wekto) ne sensu welkośc. Opeto nl m chkte wekto, dł węc n nne welkośc tk, jk gd ł wektoem. Ilocn opeto nl skl λ λ λ λ λ λ gd k j k j. Ilocn skln opeto nl wekto ( ) k j k j.

27 Sumę pochodnch cąstkowch kolejnch współędnch wekto, wględem kolejnch mennch,,, nwm dwegencją wekto oncm smolem dv. Ztem dv, o dv. Ilocn wektoow opeto nl wekto k j. Wekto wstępując po pwej stone tej ównośc nw sę otcją wekto. k j ot. Mnożąc wektoowo opeto pe wekto otmujem jego otcję ot.

28 Ilocn skln dwóch opetoów nl k j. Otmujem w ten sposó now opeto, wn opetoem Lplce' lu lplsjnem oncm smolem Δ. Lplsjn m chkte skl, ne wekto jk opeto nl.

29 Twedene Stokes twedene Guss-Ostogdkego Podstwowe tweden nl wektoowej, twedene Stokes mów, że dl pol wektoowego (,, ) cłk kwolnow wekto po owode mknętm C jest ówn cłce wekto ot po powechn ognconej pe ten owód (s. 1.14). ds otds. C Wekto wskuje keunek cłkown po owode. Wekto S ognconej owodem m długość ówną polu elementu ds. Zwot wekto ds pesuw śu pwoskętnej ocjącej sę godne e wotem wekto ds. S ds o długośc ównej długośc elementu ds jest wektoem stcnm do owodu d jest postopdł do powechn O ot ds ds ds Ilustcj do tweden Stokes wskuje Twedene Guss-Ostogdkego mów, że dl pol wektoowego (,,) cłk wekto po powechn mknętej S jest ówn cłce dv po ojętośc V ognconej powechną S. ds dv dv. S V Wekto ds jest postopdł do powechn skeown n ewnąt powechn, element ojętośc dv ddd.

30 Pwdopodoeństw. Wtośc śedne Rchunek pwdopodoeństw opt n nm sttstk mtemtcn nleżą do podstwowch nęd współcesnej fk. Pwe wsstke pw opsujące chowne mkocąstek fomułowne są w ktegoch pwdopodoeństw, ne pewnośc - jk w fce klscnej. Rchunkem tm posługujem sę tkże w dnu włścwośc ukłdów łożonch do dużej lc cąstek. Jest on tkże podstwą chunku łędów p opcowwnu dnch pomowch. W fce wstc elementn defncj pwdopodoeństw P() jko gncn wtość stosunku lc deń (stucj) odpowdjącch dnej wtośc, do ogólnej lc deń (stucj), możlwch do stnen w okeślonch wunkch. Zmenn losow może ć dsketn lu cągł; odpowedno do tego mm dw odje funkcj P(). Dodjm, że funkcję okeśljącą okłd pwdopodoeństw nw sę wkle funkcją okłdu (pwdopodoeństw) lu kótko okłdem.

31 P() Jwn postć funkcj okłdu leż ocwśce od konketnej stucj jej okeślene jest cęsto głównm celem owąń polemów fcnch. o σ Pkłd funkcj okłdu dl mennej losowej cągłej Tpow funkcj okłdu m kstłt dwonu, wźne nconm mksmum dl pewnej wtośc 0 mennej. Bdo wżną chktestką tkej kwej jest seokość σ tego mksmum. Węksej seokośc odpowd węks out wtośc mennej. Jeżel welkość może pjmowć óżne wtośc pwdopodoeństwem P(), to nleż ją uśednć. Sposó uśednn leż od chkteu tej welkośc. P dsketnch wtoścch tej mennej, ównch 1,, 3,.t.d., wtość śedn mennej olc sę według eguł: j j ( ) P. Netudno uwżć, że jest to wkł śedn tmetcn. Dl cągłej mennej losowej mm nlogcne P( ) d, p cm cłkowne ocąg sę n cł pedł mennośc. j

32 Wto wócć uwgę n pewną sutelną óżncę męd okłdm P() wstępującm w dwóch powżsch defncjch. W ppdku dsketnej mennej losowej pwdopodoeństw P(j) są lcm ewmowm, ntomst w osttnm woe welkoścą ewmową jest locn P()d. Ilocn ten m ncene pwdopodoeństw wstąpen wtośc mennej losowej n odcnku d wokół eżącej wtośc. Smo P() m węc ncene gęstośc pwdopodoeństw, cl pwdopodoeństw odnesonego do jednostkowego pedłu wokół. Śedn wtość jest wkle lżon do o, choć n ogół óżn od nej. Scególne wżną śedną jest tw. odchlene kwdtowe defnowne jko ( ) σ o. Lc t okeśl seokość okłdu (omce centlnego mksmum); w ten sposó defnuje sę włśne wpowdoną wceśnej lcę σ. W chunku łędów σ nw sę łędem śednm kwdtowm; lc j to wnk kolejnch pomów.