Fizyka dla Informatyki Stosowanej

Transkrypt

1 ka dla Infoatk Stosowanej Jacek Golak Seest ow 8/9 Wkład n 4

2 Na popedn wkłade oważlś wąk ęd pędkoścą pspesene w dwóch układach odnesena

3 Wó na tansfoację pędkośc! v v' v ' t ana pędkośc na skutek uchu obotowego układu U wględe U pędkość w układe necjaln U pędkość w układe nenecjaln U ana pędkośc na skutek uchu tanslacjnego układu U wględe U

4 Wó na tansfoację pspesena jego składnk! pspesene w układe nenecjaln U pspesene Coolsa pspesene na skutek an pędkośc kątowej ω a a ' a t v ' d ' ' pspesene w układe necjaln U pspesene na skutek uchu tanslacjnego układu U wględe U pspesene dośodkowe

5 Rsunek e ston Dlacego cało upuscone dużej wsokośc ne spada ponowo na Zeę? W układe nenecjaln wąan obacającą sę Zeą, dała sła bewładnośc Coolsa!

6 Rsunek e ston Ta saa stuacja punktu wdena obsewatoa najdującego sę poa Zeą, w układe necjaln Pędkość lnowa jest t węksa, cało najduje sę dalej od os obotu. To tłuac węks asęg utu dla obektu na weż.

7 Na obecn wkłade astanow sę nad własnośca klku ważnch welkośc pęd p v const d p d v a a jedną welu asad achowana: p const Stała oże bć tlko jedna e składowch (nekonecne katejańskch wektoa pędu: p const Pkład: ut w jednoodn polu gawtacjn, wahadło ateatcne (składowa adalna jest stale ówna eo

8 oent pędu L d L p v d p v v d p O oent sł p Defncje oentu pędu oentu sł ależą od wbou pocątku układu współędnch! Następna asada achowana: L const Tak jak dla pędu, ównane a chaakte wektoow achowana oże bć tlko jedna e składowch oentu pędu.

9 paca Na pocątek najposts ppadek: stała sła dała na punkt atealn, któ ena swe położene, pesuwając sę po ln postej: W O Paca jest locne skalan sł wektoa peescena Paca jest skalae! Paca oże bć ówna eo, chocaż dała sła! W ogóln ppadku to cała ne us bć postolnow, a sła oże enać sę od punktu do punktu. Co wted? Wted a całkę: W ( d

10 Jednostką pac w układe SI jest dżul (J J N kg s oc Cęsto nteesuje nas sbkość wkonwana pac. Jest to bado ważna welkość okeślająca sbkość dostacana eneg, nekonecne tlko echancnej. dw dw d d d v oc jest skalae. Jednostką oc w układe SI jest wat (W W J s N s kg s 3

11 Co powoduje paca? Zanę eneg knetcnej! W E kn v t t ( d d v O d ( v d v( t v( t E ( t E ( t v t t d p d kn kn (

12 Ked paca ne ależ od dog? O Wted usałob achodć: W ( d ( d ( d ( d ( d kontu aknet ( d Ide w dugą stonę!

13 Jeśl paca nka dla dowolnego kontuu aknętego, to słę nawa achowawcą. Dla takch sł paca ne ależ od dog. O Pkład (sła spężsta: ( k ( d k k k d ( W k k ( d paca wkonana pe spężnę!

14 Jak ożna schaakteować słę achowawcą? Wkosta w t celu jedną wesj twedena Stokesa kontu aknet d ot kontue opeta powechn na a ds ot otacja Rotacja sł achowawcej wnos eo! Jak lcć otację? ot opeato nabla ˆ ˆ ˆ aps otacj we współędnch katejańskch

15 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ot Po opsanu na składowe Pkład (oże neco bt post: ot,, k k k k

16 W anale ateatcnej nkane otacj (p pewnch dodatkowch ałożenach, któe tu lcąco cn onaca stnene funkcj skalanej V o następującej własnośc: ot ( V ( : ( V ( gadv ( Ten aps cta tak: sła jest ówna nus gadent V. W ppadku sł achowawcch V nawa enegą potencjalną cęsto onaca też sbole E pot. Znak nus to kwesta uow. We współędnch katejańskch ( V ( V, V, V.

17 Zwąek geoetcn ęd V gad V ( V ( dv V ( d ( d Jeśl wbee d tak, b leżało na powechn V=const, to dv V d V powechna ( V const Dlatego gad V jest wektoe postopadł do powechn V=const wskauje keunek osnącego V. Z kole sła (- gad V wskauje keunek alejącego V.

18 Zwąek ęd pacą sł achowawcej a enegą potencjalną W ( d V ( d V ( V ( dv Wdać jasno neależność od dog. Enega potencjalna ne jest jednonacne okeślona. oże jednak każdeu punktow pesten ppsać lcbę gde V ( V ( V ( jest dowolną stałą. ( d,

19 ( ( ( 3 V G V G Pkład: Sła wnkająca newtonowskego pawa powsechnego cążena. Neuchoa asa, najdująca sę w pocątku układu współędnch dała na asę Sła wnkająca jednoodnego eskego pola gawtacjnego p powechn Ze. ( ( ˆ ( V g V g Sła, jaką dała na asę neważka spężna o anedbwalnej długośc, któej dug konec acepono w pocątku układu współędnch ( ( ( V k V k

20 Zbe to, co we o pac W W E E kn tot E ( E kn kn ( E E pot( ( E kn ( E ( pot kn E pot ( E const ( pot E pot( ( Jest to kolejna asada achowana (bado ważna: asada achowana eneg! Paętaj, że dotc sł achowawcch! Zasada achowana eneg ne daje nfoacj o case, w któ cało peesca sę ęd punkte a punkte.

21 Pkład: Na jaką wsokość dolec kaeń wucon powechn Ze ponowo w góę pędkoścą pocątkową v, jeśl anedbuje opo uchu? E E E E kn pot kn pot ( ( ( ( v h h v gh gh h v g v v h

22 Ne wsstke sł są achowawce tace poślgowe jest najleps pkłade. Paca (ta w potocn tego słowa nacenu w sense fcn ależ od dog. Pesuwa sknę po pooej jednoodnej podłode. ( d ( d

23 Jeśl dała sła neachowawca, to ana eneg całkowtej układu jest ówna pac tej sł. Pkład: suwane sę klocka ówn w obecnośc taca. Zakłada, że sła taca jest stała w case całego uchu klocka po ówn. s ( h ( E E E kn kn tot E (, (, ( E tot kn E ( W E pot pot taca ( gh ( ( E E pot tot ( E ( T s kn ( E pot ( W Taca

24 Do tej po ajowalś sę w asade pojednc punkte atealn ( wjątke III asad dnak Newtona. Wpowad tea klka pojęć dla N oddałującch punktów atealnch. Weź punkt nue. oże na nego dałać sła ewnętna, któa a źódło poa układe N cąstek, ale także sła pochodąca od nnch cąstek układu, cl sła wewnętna. Zakłada, że punkt atealn sa na sebe ne dała. d p j d p wew j j ew wew j II asada dnak dla cąstk n ew Tea suuje po obe ston popednego ównana

25 j wew j j wew wew, j j gde wkostalś III asadę dnak Newtona. Defnując całkowt pęd układu P ew Pochodna całkowtego pędu układu po case jest ówna całkowtej sle ewnętnej dałającej na układ. W scególnośc d P p ew Uwaga: pęd poscególnch punktów atealnch ogą sę enać! P const

26 Dodatkowe defncje: asa całkowta układu: Śodek as układu: R c pousa sę tak, jak pojednc punkt atealn o ase pod wpłwe całkowtej sł ewnętnej. Sł wewnętne ne ają wpłwu na uch śodka as. d R d d R P V d v d p ew ew tot

27 Pkład astosowana asad achowana pędu uch aket deena elastcne neelastcne opad jąde atoowch cąstek eleentanch Zasada achowana pędu jest spełnona także w śwece cąstek eleentanch. Rae asadą achowana eneg stanow podstawowe naęde do opsu kneatk eakcj jądowch eakcj udałe cąstek eleentanch. Defncja pędu w STW waga odfkacj: p v p v v c (c to watość pędkośc śwatła w póżn Dodatkowo okauje sę, że cąstk beasowe też ają pęd.

28 Zana defncj ( sensu eneg w STW : E kn v neelatwstcna enega knetcna E c v c elatwstcna enega całkowta: sua elatwstcnej eneg knetcnej spocnkowej c p c Słnn aps ów o ównoważnośc as eneg: E c v c c

29 Pkład: opad swobodnego neutonu w spocnku n p e e neuton poton elekton antneutno elektonowe Ped opade: E p n c enega spocnkowa neutonu całkowt pęd układu wnos eo

30 e p p p e p Po opade: e e e p c c c p c c p c c p c c p c c p E e e p p e e p p Enega spocnkowa neutonu aena sę w enegę całkowtą wlatującch cąstek: potonu, elektonu antneutna elektonowego Całkowt pęd jest suą wektoową pędów wlatującch cąstek

31 Waca do welkośc neelatwstcnch Całkowt oent pędu układu: p ożna apsać w postac su oentu pędu śodka as wewnętnego oentu pędu lconego wględe śodka as L R ' O v R ' V v ', v d, V d R, v ' d '

32 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ' ' ( v P R d R v P R v R v V R v R V R v V v V p L

33 L R P oent pędu śodka as ' v oent pędu układu N punktów atealnch wględe śodka as ' W analogcn sposób ożna obć na dwa składnk enegę knetcną układu punktów atealnch. Zachod: E kn v V v ' enega knetcna śodka as enega knetcna uchu wględe śodka as

34 Tea polc pochodną po case całkowtego oentu pędu d L ew ew d j wew ew j j, j p j wew j ew wew j j ew j ew wew j d p j wew j wew j Uwaga: ostatna ówność achod tlko wted, gd sł wewnętne spełnają asadę akcja-eakcja dałają wdłuż wektoa wajenego położena cąstek oa j

35 d L ew Dostaje węc ównane wpowadone p ałożenu, że wsstke welkośc bł eone wględe necjalnego. Oba wekto są lcone wględe punktu O spocwającego w jakś układe necjaln! d L( c ew ( c Okauje sę jednak, że podobne wglądające ównane obowąuje, jeśl oba wekto są lcone wględe śodka as nawet wted, gd pousa sę on pspesene wględe układu necjalnego!

36 Dostaje kolejną asadę achowana dla układu N punktów atealnch ew L const W wesj dla układu necjalnego: Jeśl całkowt oent sł dałającch na układ wnos eo, to całkowt oent pędu układu jest stał w case. ew ( c L( c const W wesj, gd wekto całkowtego oentu pędu całkowtego oentu sł ewnętnch eone są wględe śodka as.

37 ówąc o układe N punktów atealnch wpowadlś poste defncje as całkowtej układu: oa śodka as układu: c Cęsto jednak wgodne jest astąpć odel bou punktowch as pe cągł okład as. Wted powżse defncje należ apsać w postac całek: ( V dv ( ds S ( dl objętoścow okład as powechnow okład as lnow okład as

38 Śodek as lc też p pooc odpowednch całek (objętoścowej, powechnowej lnowej: V c V c V c V c dv dv dv dv ( ( ( ( S c S c S c S c ds ds ds ds ( ( ( ( dl dl dl dl c c c c ( ( ( ( objętoścow okład as powechnow okład as lnow okład as

39 Poleca notebook, w któch lcone są śodk as dla pkładowch cągłch okładów as

40 Pkład: śodek as wcnka kul o poenu R kące owaca Θ. Podstawą oblceń jest wbó osądnej paaetacj współędne sfecne V {( sn cos, sn sn, cos R [, R], [, ], [, ]} 3 : V O R Θ

41 ( c c c V dv V V V const R ( dv ( dv ( dv d d sn d dv R R R R 3 ( cos sn cos d d sn d sn sn d d sn d cos d d sn d 3 dv wó na objętość wcnka kul dv dv 3 R 8 ( cos półkula Θ = π/ Cała kula Θ = π