Joanna JASZUŃSKA, Warszawa. Centrum Studiów Zaawansowanych, Politechnika Warszawska

Transkrypt

1 Artykuł związay jest z odczytem Nie)zależie od liczby wymiarów, wygłoszoym podczas L Szkoły Matematyki Poglądowej Nie)zależość w stycziu 2013 r w Nadarzyie Podziały Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Cetrum Studiów Zaawasowaych, Politechika Warszawska Niiejszy artykuł składa się z trzech iezależych części W każdej z ich przestawioe jest ie kombiatorycze zagadieie dotyczące podziałów oraz liczby otrzymywaych w ich wyiku części lub liczby sposobów ich zrealizowaia 1 Koło i jego cięciwy Na okręgu arysowao puktów i wszystkie odciki pomiędzy imi Na ile co ajwyżej obszarów mogą oe dzielić koło? Celem aszym jest wyzaczeie maksymalej możliwej do uzyskaia liczby obszarów, załóżmy więc, że pukty a okręgu ułożoe są tak, by żade trzy spośród łączących je odcików ie przeciały się w jedym pukcie Zbadajmy a początek sytuację dla małych wartości rys 1) Dla 1 całe, iepodzieloe koło staowi jede obszar Dla 2 mamy jedą cięciwę, która dzieli koło a dwa obszary Dla 3 uzyskujemy cztery obszary, dla 4 obszarów jest osiem, a dla 5 szesaście Rys 1 Podziały koła dla 1, 2, 3, 4, 5 puktów Wszystko wskazuje a to, że szukaa liczba obszarów rówa jest 2 1 Czy rzeczywiście? Okazuje się, że ie! Wystarczy cierpliwie przeaalizować przedstawioą a rysuku 2 sytuację dla 6 i policzyć obszary, aby przekoać się, że jest ich 31, a ie , jak moża by się spodziewać Rys 2 Podział koła dla 6 puktów W celu wyzaczeia wzoru ogólego przyjrzyjmy się, jak powstają koleje obszary Dopóki ie połączymy puktów odcikami, jest jede obszar wętrze daego koła) Zastaówmy się, ile owych obszarów przybywa wraz z dorysowaiem kolejego odcika Każda taka owa cięciwa okręgu przecia tyle obszarów, ile wcześiej arysowaych cięciw przetie, plus jeszcze jede Zatem jeśli dorysowaie jej zwiększa liczbę wszystkich puktów przecięcia cięciw o k, to liczba obszarów rośie o k 1 Ozacza to, że po arysowaiu wszystkich odcików, liczba obszarów rówa jest 1 o p, gdzie o ozacza liczbę odcików, atomiast p łączą liczbę ich puktów przecięcia Odcików jest tyle, a ile sposobów moża wybrać ich końce, czyli dwa pukty spośród Stąd o Każdemu puktowi przecięcia cięciw jedozaczie odpowiada czwórka z daych puktów końce tych cięciw Zauważmy, że rówież a odwrót, wybór czterech z daych puktów jedozaczie wyzacza pewie pukt przecięcia cięciw wystarczy połączyć odcikami przeciwległe z tych czterech puktów Stąd puktów przecięcia odcików jest tyle, ile czwórek puktów, czyli p 4) 13

2 Na każdym wielokącie wypukłym moża opisać ściśle wypukłą krzywą zamkiętą Bibliografia do części 2: Marti Erickso Aha! Solutios, The Mathematical Associatio of America, 2008 Rozważamy układy prostych w położeiu ogólym: żade dwie proste ie są rówoległe ai żade trzy ie przeciają się w jedym pukcie Nietrudo sprawdzić, że proste iespełiające tych założeń dzielą płaszczyzę a miej części Rys 3 Pomocicza kolorowa pozioma prosta k pod puktami przecięcia, przypadek 4 prostych k Ostateczie więc szukaa maksymala liczba obszarów, a które rozważae odciki dzielą koło, rówa jest ) i jest oa osiągaa, gdy żade trzy odciki ie przeciają się w jedym pukcie Kolejo dla 1, 2,, 10 uzyskujemy wartości: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256 Na ile co ajwyżej obszarów przekąte mogą podzielić -kąt wypukły? Odpowiedź wyika atychmiast z uzyskaego powyżej wyiku Zauważmy bowiem, że rozumowaie, które do iego doprowadziło, ie zmieia się, jeśli zamiast okręgu rozważymy dowolą ią ściśle wypukłą krzywą zamkiętą, a przykład opisaą a daym wielokącie Wykazaliśmy powyżej, że boki i przekąte -kąta dzielą obszar ograiczoy przez opisaą a im krzywą a 1 4) części Spośród ich, to obszary a zewątrz wielokąta, ograiczoe przez jego bok oraz łuk krzywej opisaej, pozostałe zaś to obszary wewątrz Zatem szukaa maksymala liczba obszarów, a które przekąte mogą podzielić -kąt wypukły, rówa jest ) i jest oa osiągaa, gdy żade trzy przekąte ie przeciają się w jedym pukcie Kolejo dla 3, 4,, 10 uzyskujemy wartości: 1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, Pukty a prostej, proste a płaszczyźie, płaszczyzy w przestrzei Na ile co ajwyżej części puktów może podzielić prostą? Pytaie to ie jest zbyt ambite, oczywiście puktów zawsze dzieli prostą a dokładie 1 części Zapiszmy tę odpowiedź w formie ieco ekstrawagackiej: 1 0 i spróbujmy odpowiedzieć a trudiejszy, dwuwymiarowy odpowiedik aszego pytaia Na ile co ajwyżej części prostych może podzielić płaszczyzę? Jeda prosta dzieli płaszczyzę a dwie części, dwie proste a ajwyżej cztery części Czy prostymi da się podzielić płaszczyzę a 2 części? Trzeba by rysować każdą koleją prostą tak, by przeciała wszystkie wcześiej uzyskae obszary Proszę spróbować trzema prostymi podzielić płaszczyzę a osiem części i pozostańmy a razie przy stwierdzeiu, że prostych dzieli płaszczyzę a ie więcej iż 2 części Rozważmy prostych w położeiu ogólym defiicja a margiesie) Ustawmy rysuek tak, by żada z ich ie była pozioma i arysujmy pomociczą poziomą prostą k poiżej wszystkich puktów przecięcia aszych prostych rys 3) Powyższe postulaty moża zrealizować, poieważ daych prostych, ich kieruków oraz ich puktów przecięcia jest skończeie wiele Obszary, a które aszych prostych dzieli płaszczyzę, są częściami wspólymi półpłaszczyz, zatem są wypukłe i wielokąte być może ieograiczoe) Wobec tego, dzięki odpowiediemu ustawieiu rysuku i wyborowi prostej k, każdy z tych obszarów albo a) ma dokładie jede ajiższy pukt w sesie wysokości ad k), pukt te jest wtedy wyzaczoy przez przecięcie pewych dwóch z daych prostych, albo b) jest przeciay przez prostą k 14

3 Rozważamy płaszczyzy w położeiu ogólym: żade dwie ie są rówoległe, żade trzy ie mają wspólej prostej, żade cztery ie mają wspólego puktu Jedocześie rówież każdy pukt przecięcia daych prostych jest ajiższym puktem dokładie jedego z obszarów ieprzeciaych przez k Wyika to z obserwacji, że spośród czterech obszarów, których wierzchołkiem jest taki pukt, dla dokładie jedego jest o właśie puktem ajiższym Wobec tego obszarów typu a) jest tyle, ile puktów przecięcia daych prostych czyli tyle, a ile sposobów moża wybrać dwie z ich, a więc Poieważ k ie jest rówoległa do żadej z daych prostych, to każdą z ich przecia, więc dzielą ją oe, jak już wiemy, a 1 części Stąd obszarów typu b) jest 1, bo każda taka część prostej k rozcia jede obszar płaszczyzy Zatem szukaa maksymala liczba części, a które prostych dzieli płaszczyzę, rówa jest ) ) ) ) i jest oa osiągaa dla prostych w położeiu ogólym Na ile co ajwyżej części płaszczyz może podzielić przestrzeń trójwymiarową? Podobie jak w wyżej opisaej dwuwymiarowej wersji tego pytaia, płaszczyz dzieli przestrzeń trójwymiarową a ie więcej iż 2 części Nietrudo wskazać trzy płaszczyzy, które dzielą przestrzeń a osiem części, ale już czterema płaszczyzami ie da się podzielić jej a szesaście części Rozważmy płaszczyz w położeiu ogólym Aalogiczie jak w wersji płaskiej, poprowadźmy pomociczą poziomą płaszczyzę k, ierówoległą do żadej z daych płaszczyz ai do żadej z prostych ależących do dwóch spośród ich oraz położoą poiżej wszystkich puktów przecięcia trójek z daych płaszczyz Podobie jak powyżej, da się tak ustawić rysuek, aby powyższe postulaty były zrealizowae, gdyż rozważaych płaszczyz, prostych i puktów jest skończeie wiele Obszarów, a które dae płaszczyzy dzielą przestrzeń jest wówczas a b, gdzie a to liczba obszarów, które mają dokładie jede ajiższy pukt w sesie wysokości ad k), pukt te jest wtedy wyzaczoy przez przecięcie pewych trzech z daych płaszczyz, atomiast b to liczba obszarów przeciaych przez płaszczyzę k Puktów przecięcia płaszczyz jest tyle, a ile sposobów moża wybrać trzy z ich, zatem a 3) Płaszczyza k ie jest rówoległa do żadej z daych płaszczyz, więc każdą z ich przecia i tych płaszczyz wyzacza a iej prostych Okazuje się, że otrzymae w te sposób proste są w położeiu ogólym Istotie, gdyby pewe trzy z ich przeciały się w jedym pukcie, pukt te ależałby jedocześie do wyzaczających je płaszczyz i do płaszczyzy k, sprzeczie z jej defiicją zajduje się oa poiżej wszystkich wspólych puktów trójek z daych płaszczyz Gdyby z kolei pewe dwie z otrzymaych prostych były rówoległe, to poieważ wyzaczające je płaszczyzy z założeia ie są rówoległe istiałaby wspóla prosta tych dwóch płaszczyz i rówież byłaby rówoległa do tych dwóch prostych Wtedy jedak byłaby oa także rówoległa do płaszczyzy k, sprzeczie z jej defiicją Ozacza to, że faktyczie prostych uzyskaych a płaszczyźie k jest w położeiu ogólym Jak już wiemy, dzielą oe wobec tego płaszczyzę k a 1) 0) części i tyle właśie rówe jest b, bo każdy taki płaski obszar a k rozcia jedą część przestrzei Zatem szukaa maksymala liczba części, a które płaszczyz dzieli przestrzeń, rówa jest ) ) ) ) i jest oa osiągaa dla płaszczyz w położeiu ogólym 15

4 Hiperpłaszczyza w przestrzei d-wymiarowej to dowola jej podprzestrzeń d 1)-wymiarowa, p prosta a płaszczyźie, płaszczyza w przestrzei trójwymiarowej etc Położeie ogóle hiperpłaszczyz defiiujemy aalogiczie do powyżej zdefiiowaego położeia ogólego prostych a płaszczyźie i płaszczyz w przestrzei trójwymiarowej Aalogiczie moża udowodić ogóle twierdzeie: hiperpłaszczyz dzieli przestrzeń d-wymiarową a co ajwyżej ) ) ) ) części d i liczba ta jest osiągaa dla hiperpłaszczyz w położeiu ogólym Z uwagi a zaą tożsamość 2 1 2, 0 zgodie z wcześiejszymi obserwacjami części tych rzeczywiście jest co ajwyżej 2, przy czym rówość zachodzi dla d 3 Podziały zbioru a iepuste podzbiory Na ile sposobów moża podzielić zbiór złożoy z rozróżialych elemetów a iepuste podzbiory? Liczbę takich podziałów azywa się liczbą Bella i ozacza przez B, przyjmujemy B 0 1 Wyzaczmy ajpierw wzór rekurecyjy Rozważmy zbiór o 1 elemetach i jede z ich wyróżijmy Gdy dokoujemy podziału całego zbioru, elemet te trafia oczywiście do pewego spośród uzyskaych podzbiorów Na ile sposobów moża wybrać i podzielić a podzbiory te elemety, które ie są z im w podzbiorze? Ozaczmy liczbę takich elemetów przez i, gdzie 0 i Wówczas moża je wybrać a i) sposobów oraz z defiicji podzielić a podzbiory a B i sposobów Stąd zależość rekurecyja B 1 B i i i0 Warto przypomieć, że e x x! W celu wyzaczeia wzoru jawego a -tą liczbę Bella B czyli wzoru iezależego od iych B i ), posłużymy się teorią fukcji tworzących Kokretiej, zdefiiujmy wykładiczą fukcję tworzącą Bx) B! x ) Jest to szereg formaly; pochodą fukcji Bx) obliczyć moża, różiczkując te szereg wyraz po wyrazie: B B B B 1 x)! x 1 1)! x 1 x! 1 Korzystając z wyzaczoej powyżej zależości rekurecyjej, otrzymujemy dalej: B 1 x x )B i! i!! i! i)! B x i! B i x i! i)! i0 i0 i0 i0 Ostatie z powyższych wyrażeń jest sumą wszystkich takich składików dla których oraz i są ieujemymi liczbami całkowitymi takimi, że i To samo uzyskamy, jeśli zamieimy kolejość sumowaia w astępujący sposób: B i x i! i)! B i x i! i)! Prowadzi to do dalszych rówości: B i x i! i)! B i i0 i 16 i0 i0 i B i x i i0 i ) i)! ) x! i0 B i ) Bix i! i)!, ) x Bx)e x!

5 W efekcie otrzymujemy więc rówaie różiczkowe czyli Prowadzi to kolejo do: B x) Bx)e x, B x) Bx) ex l Bx) )) e x, l Bx) ) e x C, Bx) e ex C, gdzie C jest pewą stałą Wyzaczymy ją, obliczając B0) Z powyższego wzoru wiemy, że B0) e e0 C Jedocześie z defiicji szeregu Bx) wzór )) uzyskujemy B0) B0 0! 1 Stąd e e0 C 1, zatem e 0 C 0, czyli C 1 Ostateczie więc Bx) e ex 1 Korzystając z otrzymaego wzoru a Bx), wyzaczymy teraz szukae liczby Bella B, występujące we współczyikach szeregu ) Przyjrzyjmy się w tym celu procedurze wielokrotego różiczkowaia szeregów Zauważmy, że przy każdym kolejym różiczkowaiu każdy jedomia ax k zostaje zastąpioy przez akx k 1, w szczególości pochodą wyrazu wolego jest zero Stąd w -tej pochodej szeregu ie występuje żade z wyrazów wyjściowego szeregu o wykładiku przy x miejszym od Poadto jako wyraz woly występuje współczyik przy x w wyjściowym szeregu, pomożoy przez! bo -tą pochodą jedomiau a x jest stała a!) Zatem -ta pochoda szeregu Bx) ma jako wyraz woly B!! B Wobec tego asze zadaie sprowadza się do wyzaczeia wyrazu wolego fukcji B ) x) W celu wyzaczeia wyrazu wolego dowolego szeregu, wystarczy rozważyć wartość tego szeregu dla x 0 Otrzymujemy w te sposób poszukiway wzór jawy a -tą liczbę Bella: ) ) B e ex 1 0) Zadziwiający wydaje się fakt, że wszystkie te liczby są aturale! 17