Problem synchronizacji interwałowej w miejskiej komunikacji publicznej

Transkrypt

1 na prawach rękopsu Instytut Organzacj Zarządzana Poltechnka Wrocławska Raport ser PRE nr 7 Problem synchronzacj nterwałowej w mejskej komunkacj publcznej (rozprawa doktorska) Rafał Sroka Promotor: prof. dr hab. nż. Jacek Merck słowa kluczowe: komunkacja mejska synchronzacja nterwałowa optymalzacja Wrocław 005

2 SPIS TREŚCI WSTĘP PRZEDSTAWIENIE PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ (PSI) RÓWNOMIERNOŚĆ KURSOWANIA CZYLI WYRÓWNYWANIE INTERWAŁÓW CZASOWYCH WSPÓLNE FRAGMENTY TRAS. WIĄZKI LINII. GRUPY PASAŻERÓW PRZYPADEK SZCZEGÓLNY RÓWNE TAKTY KURSOWANIA SFORMUŁOWANIE PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ PROBLEM DOSTOSOWANIA CZĘSTOTLIWOŚCI KURSOWANIA DO ZAPOTRZEBOWANIA NA PRZEWOZY. PORY DNIA ROZMIARY PROBLEMÓW WYSTĘPUJĄCYCH W PRAKTYCE MIARA RÓWNOMIERNOŚCI KURSOWANIA DEFINICJE POJĘĆ WYSTĘPUJĄCYCH W PRACY WYZNACZENIE MIARY NIERÓWNOMIERNOŚCI KURSOWANIA POJAZDÓW WPROWADZENIE ILOŚCIOWA OCENA NIERÓWNOMIERNOŚCI KURSOWANIA POSTULATY, JAKIE POWINNA SPEŁNIAĆ MIARA RÓWNOMIERNOŚCI PRZEGLĄD INNYCH PRAC DOTYCZĄCYCH PROBLEMU SYNCHRONIZACJI PRÓBA UOGÓLNIENIA PRZEDSTAWIONYCH MIAR RÓWNOMIERNOŚCI NATURALNE CHARAKTERYSTYKI UKŁADU KOMUNIKACYJNEGO SUMARYCZNY CZAS OCZEKIWANIA NA POJAZD JAKO MIARA RÓWNOMIERNOŚCI OBLICZENIE SUMARYCZNEGO CZASU OCZEKIWANIA PASAŻERÓW NA POJAZD WPROWADZENIE SUMARYCZNY CZAS OCZEKIWANIA PASAŻERÓW NA PRZYSTANKU CZEKAJĄCYCH NA JEDEN POJAZD Model determnstycznego cągłego napływu pasażerów Model losowego dyskretnego procesu napływu pasażerów Wnosk z twerdzeń 3., 3., OBLICZENIE SUMARYCZNEGO CZASU OCZEKIWANIA PASAŻERÓW DLA CIĄGU POJAZDÓW OBLICZENIE SUMARYCZNEGO CZASU OCZEKIWANIA PASAŻERÓW NA WSZYSTKICH PRZYSTANKACH TEJ SAMEJ LINII. ZAGREGOWANA INTENSYWNOŚĆ NAPŁYWU PASAŻERÓW OBLICZENIE SUMARYCZNEGO CZASU OCZEKIWANIA PASAŻERÓW NA WSZYSTKICH PRZYSTANKACH TEJ SAMEJ WIĄZKI OBLICZENIE SUMARYCZNEGO CZASU OCZEKIWANIA PASAŻERÓW NA WSZYSTKICH PRZYSTANKACH CAŁEGO UKŁADU KOMUNIKACYJNEGO ZWIĄZEK MIĘDZY SUMARYCZNYM CZASEM OCZEKIWANIA A RÓWNOMIERNOŚCIĄ KURSOWANIA ZWIĄZEK MIĘDZY INTENSYWNOŚCIĄ NAPŁYWU PASAŻERÓW A CZĘSTOTLIWOŚCIĄ KURSOWANIA Formuła przyblżona rozwązana mnmalzującego sumaryczny czas oczekwana WNIOSKI Z ROZDZIAŁU

3 4. MODELE PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ SYSTEMATYKA MODELI PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ MODEL JEDNEJ LINII MODEL OGÓLNY MODEL ZE STAŁYM I JEDNAKOWYM DLA WSZYSTKICH LINII TAKTEM KURSOWANIA Cząstkowa funkcja strat Dobór parametru stotność wązk Defncja funkcj strat Ogranczene dolne funkcj strat Przykłady zastosowana modelu ze stałym jednakowym taktem ALGORYTM POSZUKIWANIA MINIMUM FUNKCJI CELU (FC) ZASTOSOWANY ALGORYTM ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA WYMAGANIA SPRZĘTOWE I CZAS OBLICZEŃ ZAKOŃCZENIE ANEKS MODUŁ SYNCH3...BŁĄD! NIE ZDEFINIOWANO ZAKŁADKI. MODUŁ SYNCH5...BŁĄD! NIE ZDEFINIOWANO ZAKŁADKI. BIBLIOGRAFIA

4 Wstęp Współczesne masta przeżywają trudnośc komunkacyjne. Wzrost lczby meszkańców, zamożnośc społeczeństw dostępnośc samochodów spowodował lawnowy wzrost lczby ndywdualnych środków transportu. Aglomeracje mejske są paralżowane przez kork. Z kole możlwośc rozbudowy nfrastruktury ulc (szczególne w starych mastach) są ogranczone, a ponadto rozbudowa ta jest bardzo kosztowna. Wyjścem z sytuacj jest częścowa rezygnacja z ndywdualnych środków transportu wzrost rol komunkacj zborowej [Worońko 999]. Aby jednak komunkacja zborowa mogła konkurować z ndywdualnym środkam transportu należy zadbać o odpowedn pozom komfortu podróży. Zagadnene to ma wele aspektów. Szczegółowy przegląd kryterów oceny funkcjonowana komunkacj zborowej oraz nedogodnośc zwązanych z korzystanem z komunkacj zborowej zawera praca [Rudnck 999]. Usuwane tych nedogodnośc oczywśce zwększa skłonność podróżnych do korzystana z komunkacj zborowej. Jednak koszty usuwana wymenanych przez pasażerów nedogodnośc są rożne [Dźwgoń W. 00]. Rozwązana take jak rozbudowa ulc czy sec torowsk, zwększane częstotlwośc kursowana pojazdów są oczywśce skuteczne, lecz wymagają znacznych nakładów fnansowych. Zdecydowane mnej kosztowne jest usuwane tych nedogodnośc poprzez poprawę organzacj ruchu komunkacj zborowej. Można tak projektować obsługę ruchu, aby przy nezmenonej welkośc taboru mnmalzować czas oczekwana pasażerów na przystankach. Dług czas oczekwana na przystankach jest bowem jedną z najczęścej wymenanych przez pasażerów nedogodnośc [Rudnck 999]. Jednym z stotnych aspektów poprawy organzacj komunkacj zborowej jest synchronzacja kursowana pojazdów. Wyróżnamy dwa rodzaje synchronzacj: synchronzację przesadkową [Ceder 99, Worońko 997] nterwałową [Daduna 993, Hołubec 996, Rekuć 995, Reymond 987, Sroka ]. Synchronzacja przesadkowa polega na takm ustalenu momentów startów pojazdów z ch przystanków początkowych aby zmnmalzować czas oczekwana pasażerów w punktach przesadkowych. Z kole synchronzacja nterwałowa ma na celu wyrównane odstępów 4

5 czasowych mędzy pojazdam różnych ln na wspólnych odcnkach tras. Zwększene równomernośc kursowana ma na celu: zmnejszene newygód pasażerów (czasu oczekwana na pojazd nerównomernego zapełnena pojazdów). unkane problemów techncznych, na przykład powstających wtedy, gdy zbyt wele pojazdów w krótkm czase podjeżdża na ten sam przystanek, pętlę, lub skrzyżowane. Dalej w pracy mówąc o synchronzacj będzemy mel na myśl synchronzację nterwałową. Problem synchronzacj był podejmowany w lteraturze [Daduna 993, Hołubec 996, Rekuć 995, Reymond 987, Sroka , Voss 9, Wolf 987] jednak najczęścej wymenany jest on tylko jako jeden z aspektów optymalzacj komunkacj mejskej. Brakuje pozycj traktujących problem głębej dających wskazówk do rozwązana problemu w praktyce. Autor tej pracy ne spotkał sę z opublkowaną propozycją rozwązana problemu synchronzacj. Być może brak takch publkacj wynka z faktu, ż rozwązana problemu synchronzacj posadają wartość handlową dlatego ne są publkowane. Tematem tej pracy jest problem wyrównywana odstępów czasowych (nterwałów) mędzy kolejnym pojazdam komunkacj mejskej odjeżdżającym z przystanku. W lteraturze problem ten nos nazwę problemu synchronzacj nterwałowej (PSI) w mejskej komunkacj publcznej. Celem nnejszej pracy jest: - rozwązane problemu optymalzacyjnego synchronzacj nterwałowej w mejskej komunkacj publcznej Dla osągnęca tego celu: - stworzono marę nerównomernośc kursowana pojazdów, - stworzono matematyczny model problemu: - opsano przestrzeń decyzyjną, - skonstruowano funkcję celu (funkcję strat), - zdefnowano ogranczena założena poszczególnych model - opracowano algorytmy poszukujące dla tych model rozwązań blskch optymalnemu. 5

6 Praca składa sę ze wstępu, 5 rozdzałów zakończena. We wstępe krótko przedstawono tematykę pracy zaprezentowano zawartośc poszczególnych rozdzałów. W rozdzale perwszym przedstawono problem synchronzacj nterwałowej jako element organzacj ruchu mejskej komunkacj publcznej: Wprowadzono pojęce równomernośc kursowana taktu ln. Wprowadzono pojęce wązk ln wskazano celowość równomernego kursowana pojazdów na wspólnym fragmence tras. Sformułowano problem synchronzacj nterwałowej. Wskazano potrzebę stworzena mary równomernośc kursowana. Zdefnowano pojęca używane w pracy. W rozdzale drugm wyznaczono marę równomernośc kursowana pojazdów: Wskazano brak naturalnej mary równomernośc kursowana. Sformułowano postulaty, jake taka mara pownna spełnać. Dokonano przeglądu lteratury dotyczącej synchronzacj. Dokonano próby uogólnena opsywanych w lteraturze mar równomernośc. Dokonano przeglądu naturalnych charakterystyk układu komunkacyjnego. Wskazano sumaryczny czas oczekwana pasażerów na przystankach jako marę równomernośc kursowana pojazdów (uzasadnene tego wyboru pozostawono w rozdzale 3). W rozdzale trzecm oblczono sumaryczny czas oczekwana pasażerów na cąg pojazdów komunkacj mejskej: Sformułowano założena, przy których będze lczony sumaryczny czas oczekwana pasażerów. Wprowadzono pojęce ntensywnośc napływu pasażerów. Wyznaczono funkcję ocenającą sumaryczny czas oczekwana pasażerów na jeden pojazd na jednym przystanku. 6

7 Wyznaczono sumaryczny czas oczekwana pasażerów na cąg pojazdów na jednym przystanku. Wyznaczono sumaryczny czas oczekwana pasażerów na cąg pojazdów jednej ln na wszystkch przystankach tej ln. Wprowadzono pojęce zagregowanej ntensywnośc napływu pasażerów. Wyznaczono sumaryczny czas oczekwana dla wszystkch pasażerów wązk. Wyznaczono sumaryczny czas oczekwana dla wszystkch pasażerów w całym układze komunkacyjnym. Wskazano zwązek mędzy sumarycznym czasem oczekwana a równomernoścą kursowana Uzasadnono, że sumaryczny czas oczekwana pasażerów może być kryterum oceny nerównomernośc kursowana. Wyznaczono funkcję oblczającą wartość sumarycznego czasu oczekwana w całym układze komunkacyjnym w zależnośc od momentów startów pojazdów. Funkcja ta będze użyta jako funkcja strat w modelach problemu synchronzacj. Przedstawono model jednej ln. Jest to model pomocnczy, na przykładze którego zaprezentowano własnośc przyjętej mary nerównomernośc kursowana. Wyznaczono przyblżoną zależność mędzy częstotlwoścą kursowana pojazdów w rozwązanu optymalnym a ntensywnoścą napływu pasażerów Wykazano, że rozkłady optymalne względem tej mary mają własność równomernego kursowana, oraz dostosowują częstotlwość kursowana do ntensywnośc napływu pasażerów. W rozdzale czwartym sformułowano modele problemu synchronzacj: Wskazano zmenne decyzyjne funkcję celu modelu. Dokonano klasyfkacj model problemu synchronzacj nterwałowej ze względu na przyjęte ogranczena:. Model ogólny, w którym jest pełna dowolność momentów odjazdów.. Modele ze stałym taktem kursowana. 3. Modele z podzałem doby na pory dna. Wskazano na zwązek mędzy danym dotyczącym układu komunkacj zborowej a parametram modelu. 7

8 Sformułowano poszczególne modele dla nektórych z nch przeprowadzono symulację poszukwana rozwązana optymalnego. W rozdzale pątym przedstawono opracowany algorytm poszukwana rozwązań optymalnych w modelach zaprezentowanych w rozdzale czwartym. W zakończenu podsumowano wynk osągnęte w pracy: sformułowane problemu synchronzacj nterwałowej, sformułowane postulatów, jake pownna spełnać mara równomernośc kursowana, oblczene probablstycznych charakterystyk sumarycznego czasu oczekwana pasażerów na przystankach przy założenu modelu stochastycznego procesu Possona dla procesu napływu pasażerów na przystank, skonstruowane modelu problemu synchronzacj, opracowane algorytmów poszukujących rozwązań blskch optymalnemu w dwu przedstawonych modelach. Aneks pracy zawera algorytm poszukwana mnmów zaproponowanej funkcj strat: Przedstawono zastosowany algorytm poszukwana mnmów oszacowano jego złożoność oblczenową. Załączono wydruk programu komputerowego napsanego w środowsku DELPHI, użytego do przeprowadzena symulacj 8

9 . Przedstawene problemu synchronzacj nterwałowej (PSI).. Równomerność kursowana czyl wyrównywane nterwałów czasowych Pożądaną cechą rozkładu jazdy pojazdów komunkacj publcznej jest równomerność kursowana. O równomernym kursowanu pojazdów z pewnego zboru mówmy wtedy, gdy nterwały czasowe mędzy momentam odjazdów tych pojazdów są równe. Oczywśce łatwo jest zapewnć równomerne kursowane pojazdów jednej ln. W tym celu wystarczy ustalć w równych odstępach momenty odjazdów z pętl startowej. Poneważ zakładamy, że dla wszystkch pojazdów czasy przejazdu danego odcnka trasy są take same, węc na każdym przystanku nterwały czasowe mędzy momentam odjazdów pojazdów jednej ln będą take same jak na pętl startowej tej ln. Stały nterwał czasowy mędzy momentam odjazdów pojazdów danej ln nazywamy taktem tej ln. Przykładem takego równomernego kursowana jest lna tramwajowa nr 9 we Wrocławu. Ponżej mamy fragment jej rozkładu jazdy (mędzy godzną 8 a 7): Z Wdzmy tu, że w godznach od 8 do pojazdy kursują z taktem 5 mnut, a w godznach od do 7 z taktem mnut. 9

10 .. Wspólne fragmenty tras. Wązk ln. Grupy pasażerów W mejskej komunkacj publcznej często zdarza sę, że co najmnej dwe lne mają wspólny odcnek tras (w tej pracy mówmy, że take lne tworzą wązkę, patrz defncja wązk - p..8). Rozważmy przykład dwóch ln A B, które mają wspólny fragment tras (rys...). lna A lna B Rys.... Schemat dwu ln ze wspólnym fragmentem tras (opracowne własne) Pasażerów możemy wówczas podzelć na 3 grupy: mogących dojechać do celu tylko lną A, mogących dojechać do celu tylko lną B, podróżujących na wspólnym odcnku, węc mogących dojechać do celu lną A lub B. Nazwjmy te grupy pasażerów odpowedno: grupa A, grupa B grupa AB. Pasażerom z trzecej grupy AB ne rob różncy, czy podróżują pojazdem ln A czy B. Dla ch wygody pojazdy ln A lub B pownny kursować równomerne. Dlatego zachodz potrzeba takego ustalena momentów startów pojazdów ln A B z odpowednch pętl, aby zapewnć równomerne kursowane pojazdów dla wszystkch trzech grup pasażerów. Ne zawsze jest to możlwe, co lustruje ponższy przykład. Przykład.. Dla ustalena uwag rozważmy perwszy wspólny przystanek na wspólnej częśc tras ln A B (w tej pracy tak przystanek nazywamy węzłem wązk, patrz p..8). Załóżmy, że momenty odjazdów pojazdów ln A B lczymy w mnutach względem pewnej umownej chwl 0. Załóżmy, że pojazdy ln A kursują z taktem 5 mnut, a pojazdy ln B z taktem 0 0

11 mnut. Załóżmy, że perwszy pojazd ln A odjeżdża w chwl 0 a perwszy pojazd ln B w chwl. Momenty odjazdów kolejnych pojazdów układają sę w cąg: dla pasażerów z grupy A (perwszy pojazd w chwl 0 dalej co 5 mn.): 0, 5, 30, 45, 60, td. dla pasażerów z grupy B (perwszy pojazd w chwl dalej co 0 mn.):,,, 3, 4, 5, 6, td. dla pasażerów z grupy AB (uporządkowane momenty odjazdów ln A lub B): 0,,, 5,, 30, 3, 4, 45, 5, 60, 6, td. Wdzmy tu, że dla pasażerów dwu perwszych grup pojazdy kursują równomerne. Interwały mędzy kolejnym odjazdam układają sę w cąg: 5, 5, 5, 5,... dla perwszej grupy 0, 0, 0, 0, 0,... dla drugej grupy. Ale dla grupy AB momenty odjazdów pojazdów ne są rozłożone równomerne. Interwały mędzy kolejnym odjazdam układają sę w cąg:, 0, 3, 7, 8,, 0, 3, 7, 8,, td. Ne są węc nawet w przyblżenu równe pojazdy kursują bardzo nerównomerne. Można osągnąć równomerne kursowane dla pasażerów grupy AB zmenając momenty odjazdów pojazdów ln A B. Przyjmjmy następujące momenty odjazdów: dla ln A: dla ln B: 0, 8, 30, 48, 60, td. 6,, 4, 36, 4, 54, 66, td. Dla pasażerów grupy AB momenty odjazdów ułożą sę w cąg: 0, 6,, 8, 4, 30, 36, 4, 48, 54, 60, td. Będą zatem rozłożone dealne co 6 mnut. Ale w tej sytuacj ne mamy równomernośc kursowana pojazdów dla ln A B. Wdzmy węc, że możlwe jest osągnęce dealnej równomernośc dla każdej z grup pasażerów z osobna, ale ne jest możlwe osągnęce dealnej równomernośc dla wszystkch trzech grup pasażerów równocześne. Jak wdać na powyższym przykładze, w nektórych układach ne jest możlwe osągnęce dealnej równomernośc kursowana dla wszystkch grup pasażerów. Wtedy koneczne jest poszukwane rozwązana, w którym osągnęty byłby jakś komproms mędzy sprzecznym nteresam różnych grup pasażerów.

12 Można zauważyć, że w powyższym przykładze trudność synchronzacj wynkała z faktu, że lne A B wykonywały różną lczbę kursów na godznę. Lna A wykonywała 4 kursy, a lna B 6 kursów. Gdyby obe lne mały jednakową, stałą w czase częstotlwość kursowana, to można by na wspólnym odcnku przeplatać na przeman kursy ln A B. W ten sposób osągnęto by dealną równomerność kursowana dla wszystkch grup pasażerów..3. Przypadek szczególny równe takty kursowana Ważnym przypadkem szczególnym problemu synchronzacj nterwałowej jest sytuacja, gdy wszystke lne kursują z jednakową częstotlwoścą (na przykład we Wrocławu, w szczyce wszystke tramwaje kursują co mnut). W takm przypadku ne musmy dbać o równomerność kursowana dla pojazdów danej ln, gdyż jest ona zapewnona z założena. Pozostaje zapewnć równomerne kursowane dla grup pasażerów korzystających z klku ln na wspólnym odcnku (czyl dla wązek ln). Jako przykład można podać wrocławske lne tramwajowe 8, 5. Lne te mają wspólną pętlę startową na odcnku przystanków wspólną trasę, a węc tworzą wązkę. Rys..3.. Fragment planu komunkacj tramwajowej Wrocława (źródło: ZDK Wrocław) Momenty odjazdu z pętl to: dla ln 8: 0 ( dalej co mn.:, 34, 46, 58, td.) dla ln 5: 6 ( dalej co mn.: 8, 30, 4, 54, td.) dla ln : ( dalej co mn.: 4, 6, 38, 50, td.)

13 Jak wdać co 4 mnuty z pętl odjeżdżają pojazdy kolejno ln, 5 8. Interwały mędzy momentam odjazdów układają sę w cąg ( dalej cyklczne tak samo wynka to z założena o wspólnym takce). Możemy powedzeć, że w tej wązce osągnęto pełną synchronzację. Oczywśce każdą wązkę można dealne zsynchronzować. Wystarczy ustalć momenty odjazdów z pętl poszczególnych ln tej wązk tak, aby na węźle wązk uzyskać równe nterwały mędzy momentam odjazdów. Sytuacja komplkuje sę, gdy część ln wchodz w skład welu wązek. Wtedy ustalając momenty odjazdu danej ln tak, aby zsynchronzować jakąś wązkę możemy pogorszyć synchronzację nnej wązk, w skład której wchodz ta lna. Ilustruje to ponższy przykład (rys..3.) układu, w którym pełna synchronzacja ne jest możlwa: A B C Rys..3.. Schemat trzech ln ze wspólnym fragmentam tras (opracowne własne) Przykład.3. W układze przedstawonym na rys..3. mamy trzy lne, które nazwemy A, B C. Załóżmy, że lne A B startują ze wspólnej pętl jadą pewen odcnek tą samą trasą. Natomast lna C startuje z nnej pętl jedze pewen odcnek tą samą trasą co lne A B. Tak węc w układze tym mamy dwe wązk: wązka AB, tworzona przez lne A B oraz wązka ABC tworzona przez lne A, B C. Załóżmy, że wspólny takt wynos mnut. Aby dealne zsynchronzować wązkę AB trzeba momenty startów ln A B przesunąć o pół taktu, czyl o 6 mnut. Natomast aby dealne zsynchronzować wązkę ABC trzeba momenty startów ln A, B C ustalć w odstępach 4 mn. Te dwa cele są oczywśce sprzeczne. 3

14 Podsumowując, opsywany tu problem polega na ustalenu pewnej zależnośc czasowej mędzy momentam odjazdów pojazdów różnych ln, czyl na synchronzacj ln. A poneważ zagadnene dotyczy odstępów czasowych czyl nterwałów, dlatego problem ten nos nazwę problemu synchronzacj nterwałowej (PSI)..4. Sformułowane problemu synchronzacj nterwałowej Z przedstawonych wcześnej rozważań wynka, że problem synchronzacj nterwałowej polega na takm ustalenu momentów odjazdów pojazdów wszystkch ln z odpowednch pętl, aby zapewnć równomerne kursowane dla wszystkch grup pasażerów..5. Problem dostosowana częstotlwośc kursowana do zapotrzebowana na przewozy. Pory dna Oprócz opsanego powyżej problemu wyrównywana nterwałów trzeba jeszcze rozwązać problem dostosowywana częstotlwośc kursowana do zapotrzebowana na przewozy. Oczywśce wraz ze wzrostem zapotrzebowana na przewozy pownna rosnąć częstotlwość kursowana. Problem optymalnej zależnośc mędzy tym welkoścam zostane rozważony w dalszej częśc tej pracy. Zapotrzebowane na przewozy zmena sę znaczne w czase dna możemy przyjąć, że zmena sę w sposób płynny. Tak samo pownna sę zmenać w czase dna częstotlwość kursowana. Z drugej jednak strony chcelśmy osągnąć równomerność kursowana, czyl stałe nterwały mędzy kolejnym pojazdam. Te dwa cele są oczywśce sprzeczne potrzebny jest pewen komproms, który je pogodz. W praktyce dzel sę dzeń na klka klkugodznnych pór w tych klkugodznnych przedzałach czasowych wymaga sę stałej częstotlwośc kursowana. Przykład: We Wrocławu, w mejskej komunkacj publcznej przyjęto podzał dna na sześć pór: pora od 4:00 do 6:00 częstotlwość kursowana 0 mn. pora od 6:00 do 8:00 częstotlwość kursowana mn. pora 3 od 8:00 do 3:30 częstotlwość kursowana 5 mn. pora 4 od 3:30 do 7:00 częstotlwość kursowana mn. pora 5 od 7:00 do 0:00 częstotlwość kursowana 5 mn. pora 6 od 0:00 do :0 częstotlwość kursowana 0 mn. 4

15 Oprócz synchronzacj rozkładów jazdy w poszczególnych porach dna, trudnośc nastręcza także usuwane neregularnośc na stykach pór. Rozkłady jazdy zoptymalzowane dla każdej pory dna z osobna często ne pasują do sebe na stykach pór. W pracy rozważymy dwa modele, będące konsekwencją takch założeń: - w perwszym pozwalamy, aby częstotlwość kursowana zmenała sę w sposób płynny, dostosowując sę do zapotrzebowana na przewozy, - w drugm postulujemy podzał dna na pory w każdej z nch wymagamy stałej częstotlwośc kursowana..6. Rozmary problemów występujących w praktyce W praktyce mamy do czynena z układam klkudzesęcu ln, z których wele wchodz w skład węcej nż jednej wązk. W takch układach praktyczne ngdy ne jest możlwa dealna synchronzacja wszystkch wązek. Bez zastosowana wspomagana komputerowego poszukwane rozwązań zblżonych do dealnego jest procesem żmudnym, czasochłonnym, wymagającym od plansty sporego dośwadczena prowadzonym często metodą prób błędów. Wskazane jest stworzene narzędza komputerowego wspomagana układana rozkładów jazdy pod kątem synchronzacj nterwałowej..7. Mara równomernośc kursowana Jak wspomnano powyżej, w układach komunkacyjnych występujących w praktyce zwykle ne jest możlwe znalezene rozwązana dealnego. W takej sytuacj za rozwązane problemu należy uznać znalezene rozwązana najlepszego z pośród tych, które można osągnąć. Rodz to problem porównywana rozwązań nedealnych. Koneczne jest zatem stworzene mary równomernośc kursowana, dzęk której możlwa będze loścowa ocena rozwązana - układu momentów startów pod kątem równomernośc. W oparcu o taką marę możlwe będze stworzene funkcj celu w modelu problemu synchronzacj. Wyznaczene mary równomernośc kursowana jest przedmotem kolejnego rozdzału. 5

16 .8. Defncje pojęć występujących w pracy Pojęca używane do opsu sec komunkacyjnej POJAZD Pojazd pojazd mejskej komunkacj publcznej, środek transportu pasażerów. PRZYSTANEK Przystanek to mejsce, gdze pasażerowe mają możlwość wsadana/wysadana do/z pojazdów. POŁĄCZENIE Połączene defnujemy jako parę uporządkowaną przystanków. Mówmy, że stneje połączene mędzy przystankam A B jeśl pojazdy kursują od przystanku A bezpośredno do przystanku B. PRZEJAZD Przejazd jest jednym połączenem, lub cągem klku kolejnych połączeń. Najczęścej przejazd składa sę z jednego połączena, ale np. w przypadku ln pospesznych, gdy pojazd ne zatrzymuje sę na nektórych przystankach, przejazd składa sę z klku kolejnych połączeń. LINIA Przez lnę rozumemy cąg kolejnych przejazdów. Należy zaznaczyć, że w pracy słowo lna rozumemy naczej nż w języku potocznym. W języku potocznym przez lnę rozume sę trasę poruszające sę ną pojazdy w obu kerunkach. W pracy przez lnę rozumemy cąg przejazdów odpowadający trase w jedną stronę. Najczęścej jednej ln w znaczenu potocznym odpowadają dwe lne (w sense stosowanym w tej pracy) begnące w przecwnych kerunkach. Rodz to problem nazewnctwa. Aby ułatwć dentyfkację ln w pracy lnom nadaje sę nazwy składające sę z nazwy ln w znaczenu potocznym ltery oznaczającej kerunek (N północ, S połudne, W zachód, E wschód, P prawo, L lewo), np.: 0E lna 0 w kerunku wschodnm, 0P lna okrężna 0 okrążająca centrum w prawo. 6

17 PĘTLA Pętlą danej ln nazywamy przystanek na początku trasy tej ln. Innym słowy, pętla to perwszy przystanek perwszego połączena perwszego przejazdu tej ln. INTENSYWNOŚĆ NAPŁYWU PASAŻERÓW Przez ntensywność napływu pasażerów (INP) na przystanek w chwl t rozumemy średną lub oczekwaną lość pasażerów przypadającą na jednostkę czasu w małym przedzale czasowym (t, t+dt). W pracy ntensywność napływu pasażerów oznaczamy przez α(t) podajemy w pasażerach na mnutę. Gdy INP jest stała pszemy tylko α. Pojęca używane do opsu problemu synchronzacj w sec komunkacyjnej WIĄZKA O klku lnach będzemy mówl, że na pewnym odcnku tworzą wązkę, jeśl pojazdy tych ln kursują na tym odcnku wspólną trasą. Jeśl klka ln tworzy wązkę, to pasażerowe podróżujący tylko wspólną częścą tras tych ln mogą wybrać dowolną z tych ln. Dlatego zachodz potrzeba zsynchronzowana tych ln tak, aby nterwały mędzy pojazdam kolejnych ln wązk były take same. Wprowadźmy notację dla opsu odstępów czasowych mędzy pojazdam ln tworzących wązkę: dla wązk składającej sę z n ln rozkład odstępów czasowych mędzy pojazdam tych ln opsywać będzemy podając n lczb pooddzelanych myślnkam. Na przykład: zaps oznacza, że w wązce składającej sę z trzech ln pojazdy drugej ln przyjeżdżają na przystank 3 mnuty po pojazdach perwszej ln, pojazdy trzecej ln przyjeżdżają na przystank 4 mnuty po pojazdach drugej ln pojazdy perwszej ln przyjeżdżają na przystank 5 mnut po pojazdach trzecej ln (czyl takt tych ln wynos 3+4+5= mnut). W dealne zsynchronzowanej wązce wszystke odstępy czasowe mędzy pojazdam kolejnych ln są równe (np oznacza cztery lne pojazdy odjeżdżające co trzy mnuty). WĘZEŁ WIĄZKI Węzłem wązk nazywamy perwszy wspólny przystanek ln tworzących wązkę. Interwały mędzy momentam odjazdów pojazdów ln tworzących wązkę są 7

18 jednakowe na wszystkch przystankach wspólnego odcnka tras (wynka to z założena o stałych w czase jednakowych dla wszystkch ln czasach przejazdu mędzy danym punktam trasy). Dla ustalena uwag nterwały te będzemy zawsze rozważać na węźle wązk SYNCHRONIZACJA WIĄZKI Przez zsynchronzowane ln tworzących wązkę rozumemy take ustalene momentów startów pojazdów tych ln z odpowednch pętl aby zapewnć możlwe najbardzej równomerne kursowane na wspólnym odcnku tras tych ln. PORA DNIA Ze względu na zapotrzebowane na przewozy dobę dzel sę na pory. Dla każdej pory ustala sę odpowedną do zapotrzebowana częstotlwość kursowana pojazdów. Przykładowy podzał doby na pory: szczyt poranny ( ) popołudnowy ( ) - częstotlwość kursowana mn.; pory mędzyszczytowe ( , ) - częstotlwość kursowana 5 mn. pora o najmnejszym zapotrzebowanu na przewozy ( ) - częstotlwość kursowana 0 mnut. TAKT Przez takt rozumemy stały w czase pory dna nterwał mędzy momentam odjazdów kolejnych pojazdów. Typowe takty to: 0,, 5, 0, mnut. (Takt jest często dzelnkem 60. Dzęk temu rozkłady jazdy zyskują powtarzalność: w każdej godzne mnuty odjazdów są take same. Tak rozkład jazdy jest dla pasażera łatwejszy do zapamętana.) 8

19 . Wyznaczene mary nerównomernośc kursowana pojazdów.. Wprowadzene W rozdzale drugm wyznaczymy marę nerównomernośc kursowana pojazdów. Sformułowane zostaną postulaty, jake taka mara pownna spełnać. Przedstawone zostane klka różnych mar wybrana zostane jedna do dalszych rozważań. Jest to kluczowy wynk tej pracy, gdyż mara ta będze podstawą do stworzena funkcj celu w modelu problemu synchronzacj nterwałowej... Iloścowa ocena nerównomernośc kursowana Ne stneje żadna naturalna mara równomernośc (czy też równoważne nerównomernośc) kursowana. Równomerność ne jest pojęcem ścsłym. Łatwo jest rozróżnć układ dealne równomerny do nerównomernego (patrz rys...) ale ne ma naturalnych kryterów, które pozwalałyby nam rozróżnać stopeń równomernośc układów nerównomernych (patrz rys...). LEPIEJ GORZEJ Rys.... Równomerne nerównomerne rozłożene punktów na odcnku (opracowne własne) ne ma obektywnego kryterum, które wskazałoby, który z tych układów jest lepszy Rys.... Dwa nerównomerne układy punktów (opracowne własne) 9

20 Aby take kryterum stworzyć, koneczna jest loścowa ocena układu momentów odjazdów pojazdów pod kątem ch nerównomernośc. Innym słowy koneczne jest wyznaczene funkcj, której argumentam będą momenty odjazdów pojazdów a wartoścą ocena nerównomernośc kursowana pojazdów..3. Postulaty, jake pownna spełnać mara równomernośc Zanm rozpocznemy poszukwana mary równomernośc kursowana pojazdów sformułujemy postulaty, jake taka mara pownna spełnać. Możemy postawć dwa naturalne postulaty, jake pownna spełnać mara równomernośc:. Mara pownna ocenać jako najlepszy układ dealne równomerny.. W przypadku dwu układów różnących sę tylko jednym punktem mara pownna ocenć jako lepszy ten, w którym ten punkt leży blżej środka odcnka złożonego z dwu sąsednch punktów. Te dwa postulaty pownna spełnać każda mara równomernośc rozłożena punktów na odcnku. Oprócz nch postawmy dwa kolejne postulaty, jake pownna spełnać mara równomernośc kursowana pojazdów komunkacj mejskej: 3. Mara pownna zawerać czynnk odpowadający stotnośc merzonego fragmentu układu. 4. W układze momentów odjazdów zoptymalzowanym pod kątem tej mary częstotlwość kursowana pojazdów pownna być dostosowana do zmennego zapotrzebowana na przewozy..4. Przegląd nnych prac dotyczących problemu synchronzacj Poszukwane mary równomernośc zacznemy od przeglądu nnych prac dotyczących problemu synchronzacj. Adamsk [993] w swojej pracy rozpatruje problem synchronzacj klku ln posadających jeden wspólny fragment trasy przy następujących założenach: - ntensywność napływu pasażerów na przystank jest wysoka, - częstotlwość kursowana pojazdów jest wysoka lub średna, - pasażerowe przybywają na przystank losowo nezależne od pojazdów komunkacj mejskej, 0

21 - pojemność pojazdów jest wystarczająca, - częstotlwość dla kursowana różnych ln może być różna, ale dla danej ln jest ustalona (przynajmnej w pewnym horyzonce czasowym, w którym rozpatrywany jest problem synchronzacj), Rozważane są dwe lne o częstotlwoścach kursowana H =n r H =n r, gdze r R jest lczbą rzeczywstą dodatną a n n są lczbam naturalnym względne perwszym, różnym od jedynk. Bez straty ogólnośc można założyć, że H > H. Przez t 0 oznaczamy odstęp czasowy mędzy odjazdem -tego pojazdu perwszej ln, a odjazdem następującego po nm pojazdu drugej ln. H H t 0 t 0 t 03 H H H Rys..4.. Różnce momentów odjazdów t 0. źródło: [Adamsk, 993] Oczywśce, wartość t 0 wyznacza kolejne wartośc t 0, t 03, t 04, td. [Adamsk, 993] podaje następującą formułę rekurencyjną: t 0 + = t 0 - H - H nt{( t 0 - H )/ H } Cąg { t 0 } przebega cyklczne wartośc zboru n elementowego: { t 0 + r : = 0,,...,( n -) }, gdze t 0 [0,r) Autor podaje funkcję celu: S ( t 0 ) = n = 0 Powyższa suma po uwzględnenu zależnośc: H =n r upraszcza sę do postac: {( t + r ) + [ H ( t + r )] } 0 t 0 n (n r + r 6r t )

22 skąd otrzymujemy, że funkcja celu mnmalzuje sę dla wartośc t 0 =r/. Autor ne podaje modelu analtycznego dla lośc ln wększej nż dwe, zaznaczając, że w takm przypadku modele analtyczne są skomplkowane sugerowane jest poszukwane rozwązań metodam numerycznym. Tak postawony problem można wykorzystać wtedy, gdy koneczne jest zsynchronzowane klku ln na jednym tylko wspólnym fragmence tras (tylko jednej wązk). W praktyce jednak występuje potrzeba synchronzacj welu ln na welu wspólnych fragmentach tras. Poneważ jedna lna może meć na poszczególnych fragmentach swojej trasy wspólne odcnk z weloma różnym lnam, dlatego ne jest możlwe nezależne rozwązywane problemu synchronzacj na wszystkch fragmentach trasy tej ln. Poprawa synchronzacj ln z pewnym lnam na jednym odcnku może prowadzć do pogorszena synchronzacj tej ln z nnym lnam na nnym odcnku trasy. Dlatego model przedstawony w tej pracy ne może być bezpośredno zastosowany w praktyce do rozwązana problemu synchronzacj wszystkch ln w układze komunkacyjnym. W pracy [Daduna, Voβ, 993] przedstawono bardzo ogólny model problemu synchronzacj. W stoce jest on tak ogólny, że wykorzystane go w praktyce w takej postac, w jakej został przedstawony byłoby trudne. Dane są zbory L={,,3,..,m} zbór numerów ln D={,,3,..,n} zbór możlwych momentów odjazdu. Rozważane są bnarne zmenne decyzyjne: jeśl ln nr L jest przyporządkowany moment startu h D x,h = { 0 w przecwnym wypadku Oczywśce zmenne te muszą spełnać ogranczena: n h = x = L h x,h {0,} W modelu tym rozważana jest następująca funkcja strat: Z ( x ) = m n m n = h = j = k = c hjk x h x jk Autorzy ne podają jednak wyraźnych wskazówek co do tego, jak należy skonstruować macerz kosztów c hjk. Wydaje sę, że współczynnk c hjk pownen być zadany wzorem, jako

23 funkcja parametrów, h, j, k. W przecwnym raze, aby zastosować ten model do rozwązana problemu synchronzacj należałoby wyznaczyć macerz c hjk, czyl należałoby wyznaczyć stratę dla każdego układu zmennych decyzyjnych. Ponadto model ten ne pozwala na synchronzację węcej nż dwu ln na wspólnym fragmence trasy, a w praktyce występują układy nawet sedmu ln tworzących wązkę. L. Rekuć w swojej pracy doktorskej [995] rozpatruje problem synchronzacj welu ln posadających wspólne fragmenty tras. W pracy przyjmowane są następujące założena: - dane problemu synchronzacj nterwałowej (czasy przejazdu, częstotlwośc kursowana) są ustalone znane, - częstotlwość dla kursowana różnych ln może być różna, ale dla ln takt kursowana t jest ustalony (przynajmnej w pewnym horyzonce czasowym, na którym rozpatrywany jest problem synchronzacj), - t jest welokrotnoścą t j jeśl t > t j Za zmenne decyzyjne x przyjmowane są momenty odjazdów pojazdów z ch pętl startowych. Przyjmuje sę, że czas jest merzony w mnutach. Zmenna x może przyjmować wartośc ze zboru {,..., t }. Moment pojawena sę pojazdu na węźle oblczany jest według wzoru: gdze: x Cz θ = x +Cz - moment pojawena sę pojazdu ln na węźle wązk, - czas dojazdu pojazdu ln z pętl startowej do węzła. wązk: Rozpatrywana jest następująca mara nerównomernośc kursowana pojazdów jednej gdze: Z n T θ Z n = = θ T n - nerównomerność danej wązk, - lczba ln w wązce, - długość taktu, ( T + ) + θ + θ n θ - moment pojawena sę -tego kolejnego pojazdu na węźle wązk. T n 3

24 Marą nerównomernośc jest sumą odchyleń długośc odstępu mędzy pojazdam od długośc optymalnej dla tej wązk. Mara ta osąga wartość mnmalną dla układu pojazdów kursujących dealne równomerne, tzn. wtedy, gdy odstępy czasowe mędzy kolejnym pojazdam wynoszą T/n: θ + θ = Oczywśce wartoścą mnmalną tej mary jest 0. Oznacza to, że mara ta spełna perwszy ze stawanych przez nas postulatów. Jednak, jak pokażemy nżej, ne spełna drugego postulatu. T n Przedstawona powyżej mara nerównomernośc posada następującą wadę: przyjmuje jednakowe wartośc dla układów różnących sę równomernoścą kursowana (wbrew drugemu postulatow). Przyczyną tego jest fakt, ze mara ta, jako funkcja x jest funkcją kawałkam lnową na pewnych zborach jest funkcją stałą jednej lub klku swoch zmennych. Wykażemy to na przykładze. Przykład... Rozważmy wązkę składającą sę z trzech ln startujących ze wspólnej pętl. Nazwjmy te lne, 3. Poneważ lne startują ze wspólnej pętl, zatem momenty dojazdu na węzeł są równe momentom wyruszeń z pętl. Nech takt kursowana wynos 5 mnut dla każdej ln. Oznacza to, że optymalne odstępy mędzy momentam wyruszeń kolejnych pojazdów z pętl wynoszą 5/3 = 5 mnut. wspólna pętla startowa - pojazd ln - pojazd ln - pojazd ln 3 Rys..4.. Wązka trzech ln (oprac. własne) Przyjmjmy, że pojazd ln wyrusza z pętl w chwl 0 a pojazd ln w chwl 9. Poneważ odstęp czasowy mędzy pojazdam ln wynos aż 9 mnut (wobec 4

25 wymaganych 5 mnut), węc już na tej podstawe możemy powedzeć, że wązka ta jest słabo zsynchronzowana. Nemnej jednak pozostaje jeszcze do ustalena moment startu ln 3 w zależnośc od tego wązka jako całość może być lepej lub gorzej zsynchronzowana. Załóżmy, że pojazd ln 3 wyrusza po pojeźdze ln przed kolejnym pojazdem ln, czyl mędzy chwlą 9 a 5. Optymalny moment startu pojazdu ln 3 : Nr ln 3 Z = 4++ = 8 Czas Neoptymalny moment startu pojazdu ln 3 : Nr ln 3 Z = = 8 Czas Oczywśce najlepej byłoby, gdyby moment startu pojazdu ln 3 leżał na środku odcnka [9,5] czyl w chwl. Gorzej jest, jeśl ne przyjmuje on wartośc lecz nną z odcnka [9,5]. Sprawdźmy, jak zmena sę mara nerównomernośc dla tej wązk w zależnośc od tego, czy moment startu pojazdu ln 3 ustalmy na 0, czy mnut. Przyjmjmy oznaczena: x - moment startu pojazdu ln o numerze Mamy: T = 5 n = 3 T/n = 5 x = 0 x = 9 9< x 3 <5 T T Z = x x + x 3 x + x 3 n n ( T + x ) T n Z = x x3 ( 5 + 0) 5 3 5

26 Z = 4 + x x3 3 5 Z = 4 + x x 3 jeśl spełnony jest warunek : 0 x 3 4 mamy: Z = x3 + x3 0 = 8 Tak węc przedstawona mara nerównomernośc przyjmuje tą samą wartość 8 dla wartośc x 3 =0 jak dla wartośc x 3 =. Tymczasem wartość x 3 = odpowada wązce lepej zsynchronzowanej, gdyż wtedy momenty odjazdów pojazdów ln 3 znajdują sę na środku odcnka czasowego mędzy odjazdam pojazdów ln. Natomast dla wartośc x 3 =0 pojazdy ln 3 kursują tylko jedną mnutę po pojazdach ln. Dlatego wartość mary nerównomernośc kursowana pownna być dla x 3 = mnejsza, a dla x 3 =0 - wększa. Mara Z tej własnośc ne posada. Należy podkreślć, że w wększośc przypadków mara Z dobrze rozróżna układy pod kątem synchronzacj. Przykłady, dla których mara Z ne mnmalzuje sę dla rozwązań odpowadających optymalnej synchronzacj trzeba konstruować neco sztuczne. Jednak take zbory danych mogą wystąpć w praktyce. Pamętajmy, że gdy stneją alternatywne rozwązana optymalne, algorytmy poszukujące mnmum funkcj (np. algorytm smpleks) podają najczęścej rozwązana z brzegu zboru, a ne z jego wnętrza. W przypadku problemu synchronzacj rozwązana leżące na brzegu zboru są gorsze od tych z wnętrza zboru (tak jak w powyższym przykładze)..5. Próba uogólnena przedstawonych mar równomernośc Można dokonać próby uogólnena przedstawonych powyżej mar równomernośc. Można zauważyć, że mara stosowana przez L. Rekuć jest naturalną próbą wyjśca naprzecw perwszemu z postawonych przez nas postulatów. Skoro jako najlepsze mają być ocenone układy równomerne, to można rozważać wyrażena: T θ + θ (.5.) n gdze =,,..., n; zaś θ n + = θ + T 6

27 merzące odstępstwo kolejnych nterwałów od nterwału dealnego. Dla układu dealnego te odstępstwa są równe 0. Dla układu nedealnego są dodatne lub ujemne. W oparcu o to spostrzeżene można konstruować różne mary równomernośc. Jeśl po prostu zsumujemy te odstępstwa, to otrzymamy wartość 0, gdyż odstępstwa dodatne ujemne skompensują sę wzajemne. Jeśl polczymy sumę modułów tych odstępstw: Z = n = T θ + θ (.5.) n to otrzymamy marę stosowaną przez L. Rekuć. Jeśl polczymy sumę kwadratów tych odstępstw: Z = n = T θ + θ (.5.3) n to otrzymamy marę, która, jak można wykazać, jest pewną lnową transformacją mary stosowanej przez A. Adamskego. Można dokonać uogólnena powyższych wzorów zapsać marę równomernośc w postac: Z = n = p T θ + θ (.5.4) n gdze p>0 Oczywśce wszystke take mary spełnają postulat nr, gdyż dla układu T równomernego wyrażene θ + θ a węc cała mara przyjmują wartość 0. n Badając, czy te mary spełnają postulat nr, można wykazać, że: - dla 0<p< mary postulatu nr ne spełnają. W układach, w których ne jest możlwe osągnęce dealnej równomernośc dla wszystkch wązek, optymalzacja układu pod kątem takej mary prowadzła do skupana nerównomernośc na jednej wązce. Z matematycznego punktu wdzena wynka to z faktu, że funkcja f(x)=x p jest dla 0<p< funkcją wklęsłą. - dla p= otrzymujemy marę stosowaną przez L. Rekuć. Jak już wykazano mara ta postulatu nr ne spełna. 7

28 - dla p> mara postulat spełna. Spośród badanych wartośc najlepsze rezultaty osągano dla wartośc p=. Dla p= mara jest równeż wygodna w oblczenach numerycznych, gdyż jej pochodna jest funkcją kawałkam lnową. Oczywśce powyższe mary ne spełnają postulatów nr 3 4 gdyż ne uwzględnają w ogóle wartośc ntensywnośc napływu pasażerów na przystank..6. Naturalne charakterystyk układu komunkacyjnego Rozpatrywane powyżej mary są po prostu pewnym wyrażenam arytmetycznym zależnym od momentów startów. Autor poszukwał równeż mary równomernośc wśród naturalnych charakterystyk układu komunkacyjnego. Przebadano: średne odstępy mędzy pojazdam, maksymalne odstępy mędzy pojazdam, maksymalny czas oczekwana tp. Wreszce, przebadano sumaryczny czas oczekwana pasażerów na przystankach. Okazało sę, że przy założenu stałej w czase ntensywnośc napływu pasażerów (INP) na przystank sumaryczny czas oczekwana traktowany jako mara równomernośc kursowana spełna postulaty nr (patrz podrozdzał 3.7). Natomast przy założena zmennej w czase INP sumaryczny czas oczekwana jest mnmalny dla układów, w których częstotlwość kursowana dostosowana jest do INP, czyl sumaryczny czas oczekwana spełna postulat nr 4 (zależność ta została rozważona w podrozdzale 3.8). Sumaryczny czas oczekwana pasażerów na pojazd w naturalny sposób spełna postulat nr 3, gdyż waga przypsana danej ln/wązce jest po prostu równa lośc pasażerów, którzy korzystają z tej ln/wązk..7. Sumaryczny czas oczekwana na pojazd jako mara równomernośc Wobec przedstawonych powyżej argumentów za marę równomernośc kursowana przyjęto w tej pracy sumaryczny czas oczekwana pasażerów na pojazd. W rozdzale 3 przedstawono szczegółowo wylczene sumarycznego czasu oczekwana pasażerów. Natomast w rozdzale 4 zastosowano przyjętą marę nerównomernośc do stworzena klku model problemu synchronzacj nterwałowej. 8

29 3. Oblczene sumarycznego czasu oczekwana pasażerów na pojazd 3.. Wprowadzene W rozdzale trzecm oblczymy sumaryczny czas oczekwana pasażerów na pojazd (SCOP). Welkość tę oblczymy jako funkcję momentów odjazdów pojazdów z pętl. Za parametry przyjmemy: - układ przystanków na ln, - czasy przejazdu mędzy przystankam, - ntensywnośc napływu pasażerów na przystank, wyrażone w pasażerach na mnutę zadane jako funkcje czasu. Momenty odjazdów pojazdów z przystanków uważane są za nelosowe. Rozważone zostaną dwa modele procesu napływu pasażerów na przystanek: - uproszczony determnstyczny nedyskretny. W tym modelu zostane wyznaczony sumaryczny czas oczekwana pasażerów. - model uwzględnający losowy dyskretny charakter tego procesu. W tym modelu SCOP jest zmenną losową. Zostaną wyznaczone probablstyczne charakterystyk SCOP: wartość oczekwana, warancja współczynnk zmennośc tej zmennej losowej. Na podstawe wynków osągnętych dla tych dwu model zostane zaproponowane wyrażene ocenające sumaryczny czas oczekwana pasażerów na jeden pojazd, oraz oblczone: - sumaryczny czas oczekwana pasażerów na przystanku dla cągu pojazdów, - sumaryczny czas oczekwana pasażerów na wszystkch przystankach jednej ln, dla cągu pojazdów, - sumaryczny czas oczekwana pasażerów dla jednej wązk, - sumaryczny czas oczekwana pasażerów dla całego układu komunkacyjnego. 9

30 3.. Sumaryczny czas oczekwana pasażerów na przystanku czekających na jeden pojazd Zakładamy, że w chwl 0 z przystanku odjechał pojazd zaberając wszystkch pasażerów, a następny pojazd przyjedze w chwl T. Oblczymy sumaryczny czas oczekwana pasażerów, którzy przybędą na przystanek w przedzale czasowym (0,T). pasażerowe Przystanek Odstęp czasowy: T Rys Pasażerowe oczekujący na jeden pojazd (oprac. własne) Oznaczmy ntensywność napływu pasażerów na przystanek przez α(t). Jeśl ntensywność będze stała będzemy psać po prostu α. Intensywność wyraża średną lość pasażerów przybywających w cągu mnuty. W celu wyrażena w sposób loścowy sumarycznego czasu oczekwana pasażerów na przystanku koneczne jest przyjęce jakegoś modelu opsującego proces przybywana pasażerów na przystanek. Rozważymy tu dwa modele tego procesu:. W perwszym modelu przyjmemy, że napływ pasażerów jest procesem cągłym, nelosowym. Konsekwencją przyjęca takego założena jest znaczne uproszczene sposobu opsu rzeczywstośc. Zaletą przyjęca uproszczonego modelu jest ułatwene przeprowadzena rachunków. Otrzymany w tym modelu sumaryczny czas oczekwana pasażerów na pojazd jest welkoścą nelosową.. W drugm modelu przyjmemy, że napływ pasażerów jest procesem stochastycznym o przyrostach jednostkowych, nezależnych. Tak model jest blższy rzeczywstośc, gdyż oddaje dyskretny losowy charakter procesu. Wymaga on jednak zastosowana bardzej zaawansowanych narzędz matematycznych. W tym modelu sumaryczny czas 30

31 oczekwana pasażerów na pojazd jest zmenną losową. Oblczymy wartość oczekwaną, odchylene standardowe współczynnk zmennośc tej zmennej. W każdym z dwu powyższych model rozważymy dwa przypadk: - szczególny przypadek stałej w czase ntensywnośc napływu pasażerów, - ogólnejszy przypadek zmennej w czase ntensywnośc napływu pasażerów Model determnstycznego cągłego napływu pasażerów W tym modelu przyjmujemy, że napływ pasażerów jest procesem determnstycznym cągłym Model determnstycznego cągłego napływu pasażerów ze stałą w czase ntensywnoścą napływu pasażerów Dla analzowanego modelu prawdzwe jest przedstawone ponżej twerdzene. Twerdzene 3. Załóżmy, że pasażerowe przybywają na przystanek w sposób cągły ze stałą ntensywnoścą α pasażerów na mnutę. Ich sumaryczny czas oczekwana na pojazd wynos ½ α T. (3...) Dowód tw. 3. Aby oblczyć straty czasowe pasażerów, którzy przybędą na przystanek w przedzale czasu [0,T] podzelmy ten przedzał na przedzały o zanedbywalne małej długośc dt. Rozważmy przedzał [t, t + dt], gdze dt jest małe. W tym przedzale czasowym na przystanek przybędze α dt pasażerów. Będą on czekać na pojazd T-t mnut zatem ch straty czasowe wynoszą ( T t) α dt (3...) Straty czasowe pasażerów w przedzale czasu [0,T] otrzymamy sumując wyrażena (3...) po wszystkch przedzałach postac [t, t + dt], przechodząc z dt do zera zastępując sumę całką: 3

32 T 0 α ( T t) dt (3...3) Po oblczenu całk otrzymujemy: co kończy dowód. T T α ( T t) dt = α [ tt t ] 0 = αt (3...4) Model determnstycznego cągłego napływu pasażerów ze zmenną w czase ntensywnoścą napływu pasażerów W tym modelu zakładamy, że ntensywność napływu pasażerów na przystanek może sę zmenać w czase. Funkcję ntensywnośc napływu pasażerów na przystanek oznaczamy przez α(t). Dla analzowanego modelu prawdzwe jest przedstawone ponżej twerdzene. Twerdzene 3. Załóżmy, że pasażerowe przybywają na przystanek w sposób cągły ze zmenną ntensywnoścą α(t) pasażerów na mnutę. Ich sumaryczny czas oczekwana na pojazd wynos: T 0 ( T t) α( t) dt. (3...5) Dowód tw. 3. Dowód przeprowadzamy analogczne jak w twerdzenu 3.. Aby oblczyć straty czasowe pasażerów, którzy przybędą na przystanek w przedzale czasu [0,T] dzelmy ten przedzał na przedzały o zanedbywalne małej długośc dt. Rozważmy przedzał [t, t + dt], gdze dt jest małe. W tym przedzale czasowym na przystanek przybędze α(t) dt pasażerów. Będą on czekać na pojazd T-t mnut zatem ch straty czasowe wynoszą α(t) dt (T-t) (3...6) Wynk otrzymamy sumując powyższe wyrażena po wszystkch przedzałach postac [t, t + dt], przechodząc z dt do zera zastępując sumę całką. W wynku tego otrzymujemy wyrażene: 3

33 T 0 α( t) ( T t) dt (3...7) co kończy dowód Model losowego dyskretnego procesu napływu pasażerów W tym modelu przyjmujemy, że napływ pasażerów jest procesem stochastycznym o przyrostach jednostkowych, nezależnych [Rudnck 999]. W takm modelu welkośc take jak: momenty przybyca poszczególnych pasażerów na przystanek, odstępy czasowe mędzy momentam przybyca pasażerów lość pasażerów przybyłych na przystanek w pewnym przedzale czasowym ne są welkoścam determnstycznym lecz zmennym losowym. W szczególnośc sumaryczny czas oczekwana pasażerów na przystanku jest zmenną losową. W celu określena sumarycznego czasu oczekwana pasażerów oblczymy wartość oczekwaną tej zmennej losowej. Dla oszacowana na le dokładne wartość przecętna oddaje wartośc samej zmennej, oblczymy także jej odchylene standardowe współczynnk zmennośc. W przypadku stałej ntensywnośc napływu pasażerów, do modelowana procesu napływu pasażerów użyjemy stochastycznego procesu Possona [Bllngsley 987, Rolsk 999]. W przypadku zmennej ntensywnośc napływu użyjemy procesu stochastycznego, który jest pewną funkcją procesu Possona. Ten ostatn nos czasem nazwę nejednorodnego procesu Possona. W obu przypadkach korzystać będzemy z następującej własnośc procesu Possona [Daryl 988, Kngman 00, Rolsk 999]: Lemat 3. Założena: Nech N(t) oznacza proces Possona o ntensywnośc α. Nech X, X,... oznaczają momenty skoków procesu N(t). Nech T będze lczbą rzeczywstą dodatną. Nech k będze lczbą całkowtą dodatną. 33

34 Teza: Wektor (X, X,..., X k ) ma pod warunkem N(T)=k rozkład statystyk porządkowej k-wymarowego wektora losowego (U, U,..., U k ), gdze U, U,..., U k są pewnym nezależnym zmennym losowym o jednakowym rozkładze jednostajnym na odcnku (0,T). W szczególnośc oznacza to, że wektor (X, X,..., X k ) jest permutacją wektora (U, U,..., U k ) oraz: X= U k = k = Wnosek perwszy z lematu 3. Warunkowa wartość oczekwana sumy zmennych X, X,..., X k pod warunkem N(T)=k wynos ½ k T. N( T) E( X N(T)=k)= E( = co było do okazana. k = U )= k = E(U )=k ½T= ½ k T (3...) Wnosek drug z lematu 3. wynos k T. Warunkowa warancja sumy zmennych X, X,..., X k pod warunkem N(T)=k D ( N( T) = X N(T)=k)= D ( U co było do okazana. k = ) = k = D (U )=k D (U )=k T (3...) 3... Model losowego dyskretnego procesu napływu pasażerów ze stałą w czase ntensywnoścą Twerdzene 3.3 Załóżmy, że pasażerowe przybywają na przystanek zgodne ze stochastycznym procesem Possona o ntensywnośc α. Ich sumaryczny czas oczekwana na pojazd jest zmenną losową której: - wartość oczekwana wynos: - odchylene standardowe wynos T α (3...3) 34

35 - współczynnk zmennośc wynos 3 T α (3...4) 3 4 3Tα (3...5) Dowód tw. 3.3 Rozważmy stochastyczny proces Possona o ntensywnośc α. Nech N(T) oznacza lczbę pasażerów przybyłych na przystanek do chwl T. Zmenna losowa N(T) ma rozkład Possona z parametrem α T. Nech X, X,..., X N(T) oznaczają momenty, w których przybywają na przystanek kolejn pasażerowe. Nech X oznacza sumaryczny czas oczekwana tych pasażerów na pojazd (czyl od chwl przybyca do chwl T). Mamy: N( T) X= (T-X) (3...6) = Tak rozumany sumaryczny czas oczekwana pasażerów na pojazd jest zmenną losową. Oblczmy jej wartość oczekwaną. Ze wzoru na wartość oczekwaną całkowtą mamy: Rozważmy wyrażene E(X N(T)=k ) E(X)= P(N(T)=k) E(X N(T)=k ) (3...7) k=0 Wektor (X, X,..., X k ) pod warunkem N(T)=k ma rozkład statystyk pozycyjnej k-wymarowego wektora nezależnych zmennych losowych o rozkładze jednostajnym na odcnku [0,T]. Oznacza to, że: =E(k T- N( T) E(X N(T)=k )=E( (T-X) N(T)=k)= (3...8) N( T) = = X N(T)=k)= k T-E( N( T) tu korzystamy z wnosku perwszego do Lematu 3. mamy dalej: k=0 Czyl = E(X N(T)=k )=k T-k ½ T=½ k T k=0 X N(T)=k) E(X)= P(N(T)=k) E(X N(T)=k )= P(N(T)=k) k ½ T=½ T P(N(T)=k) k k=0 35

36 suma w powyższym wyrażenu to wartość oczekwana zmennej N(T), która ma rozkład Possona z parametrem αt, a węc suma ta jest równa αt, zatem E(X)= ½ T E( N(T) )= ½ T α T=½ α T (3...9) co kończy dowód perwszej częśc twerdzena. Aby oblczyć warancję zmennej X (sumarycznego czasu oczekwana) zauważmy, że rozkład zmennej X jest meszanką jej rozkładów warunkowych: X N(T)=k z wagam: p k = P(N(T)=k) Skorzystamy z następującego wzoru: k = 0 ( D ( X N ( T ) = k) + ( E( X ) E( X N ( T ) = k)) ) D ( X ) = p (3...0) k Jak pokazano powyżej E(X N(T)=k )= ½ kt Oblczmy D (X N(T)=k ). D (X N(T)=k )= D ( N( T) = N( T) (T-X) N(T)=k) = D ( (-X) N(T)=k)= D ( X N(T)=k) a to na podstawe wnosku drugego do Lematu 3. wynos: = N( T) = D (X N(T)=k )= k T (3...) Podstawając do wzoru (3...0) wartośc (3...), (3...9) (3...8) mamy: p k k= 0 D (X)= ( k T + (½ α T - ½ kt ) )= T k= 0 pk k +(½T) k= 0 p (αt - k) k (3...) sumy w powyższym wyrażenu to odpowedno wartość oczekwana warancja zmennej N(T), która ma rozkład Possona z parametrem αt, a węc obe te sumy są równe αt D (X)= T αt + 4 T αt= 3 αt 3 (3...3) co kończy dowód drugej częśc twerdzena. Współczynnk zmennośc otrzymujemy dzeląc odchylene standardowe przez wartość oczekwaną: 36