Poradnik maturzysty matematyka

Transkrypt

1 Barbara Kaim-Gwier, Zdzisława Hojacka Poradik maturzysty matematyka stara matura

2 Umiejętości wymagae a pisemym egzamiie dojrzałości z matematyki dla wszystkich profili poza matematyczo-fizyczym (zestawy MII i MIII) TREŚCI (Podstawa Programowa Matematyki) USYSTEMATYZOWANIE WIADOMOŚCI O LICZBACH WYMIERNYCH Liczby, rówaia i fukcje 0 UMIEJĘTNOŚCI posługiwaie się symboliką logiki wyzaczaie sumy, iloczyu, różicy zbiorów graficze iterpretowaie działań a zbiorach wykoywaie działań a liczbach wymierych rozpozawaie podzbiorów zbioru liczb wymierych obliczaie wartości bezwzględej liczb stosowaie defiicji i własości wartości bezwzględej zazaczaie liczb wymierych a osi liczbowej PRZYKŁADY LICZB NIEWYMIERNYCH rozpozawaie liczb iewymierych postaci a + b c, a, π i wykoywaie działań a tych liczbach przeprowadzaie dyskusji a temat wymierości lub iewymierości sumy, różicy, iloczyu, ilorazu liczb iewymierych usuwaie iewymierości z miaowika zazaczaie przedziałów a osi liczbowej, wykoywaie działań a przedziałach PRZYBLIŻENIA DZIESIĘTNE LICZB RZECZYWISTYCH 3 wyzaczaie przybliżeń dziesiętych liczb OBLICZENIA PROCENTOWE 4 wykoywaie obliczeń procetowych POTĘGOWANIE LICZB RZECZYWISTYCH (POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM, I POTĘGA O WYKŁADNIKU WYMIERNYM) 5 POJĘCIE FUNKCJI 6 PRZYKŁADY WYKRESÓW FUNKCJI LICZBOWYCH PRZEKSZTAŁCANIE WYKRESÓW obliczaie wartości wyrażeń zawierających potęgi o wykładiku aturalym, całkowitym i wymierym przedstawiaie przyporządkowań różymi sposobami rozpozawaie fukcji spośród podaych przyporządkowań wyzaczaie dziedziy fukcji sprawdzaie, czy daa liczba ależy do zbioru wartości daej fukcji 7 sporządzaie wykresów fukcji (rówież dla skończoej dziedziy) 8 przekształcaie wykresów fukcji z wykorzystaiem traslacji, symetrii osiowych i symetrii środkowej wyzaczaie wzorów fukcji, których wykresy otrzymao w wyiku traslacji, symetrii osiowych S OX, S OY i symetrii środkowej względem puktu (0, 0) odczytywaie z wykresów fukcji rodzaju przekształceia: traslacja o wektor, symetria osiowa, symetria środkowa rysowaie wykresów fukcji z wartością bezwzględą y = f (x), y = f( x )

3 TREŚCI (Podstawa Programowa Matematyki) UMIEJĘTNOŚCI ODCZYTYWANIE WŁASNOŚCI FUNKCJI Z WYKRESU 9 odczytywaie własości fukcji a podstawie podaego wykresu, zapisywaie tych własości: dziedzia, zbiór wartości, miejsca zerowe, wartość fukcji w pukcie, argumet dla daej wartości fukcji, wartości dodatie (ujeme) fukcji, mootoiczość fukcji, różowartościowość fukcji, parzystość, ieparzystość fukcji, okresowość fukcji, ekstrema fukcji, ajmiejsza i ajwiększa wartość fukcji (bez pochodej) badaie parzystości i ieparzystości fukcji (z defiicji) badaie różowartościowości i mootoiczości fukcji (z defiicji) badaie różowartościowości fukcji z zastosowaiem do wyzaczaia wzoru i rysowaia wykresu fukcji odwrotej (gdy daa fukcja jest liiowa) szkicowaie wykresu fukcji o podaych własościach FUNKCJA LINIOWA 0 sporządzaie wykresu fukcji liiowej (rówież z wartością bezwzględą) badaie własości fukcji liiowej rysowaie prostej a podstawi podaego rówaia w postaci kierukowej i ogólej wyzaczaie rówaia prostej a podstawie różych daych FUNKCJA KWADRATOWA sprowadzaie fukcji kwadratowej do postaci kaoiczej i iloczyowej rysowaie wykresu fukcji kwadratowej i odczytywaie z wykresu podstawowych własości fukcji rysowaie wykresu fukcji kwadratowej z wartością bezwzględą wyzaczaie pierwiastków trójmiau kwadratowego stosowaie wzorów Viete a (w tym określaie zaków pierwiastków) stosowaie własości fukcji kwadratowej do rozwiązywaia problemów praktyczych RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ sprawdzeie, czy daa liczba jest rozwiązaiem rówaia liiowego, czy spełia ierówość liiową rozwiązywaie rówaia liiowego i ierówości liiowej z jedą iewiadomą rozwiązywaie rówaia liiowego oraz ierówości liiowej z wartością bezwzględą umiejętość ułożeia i rozwiązaia rówaia liiowego lub ierówości liiowej do zadaia tekstowego zazaczaie a osi liczbowej zbioru rozwiązań ierówości liiowej zapisywaie przedziałów za pomocą ierówości liiowej, w tym ierówości liiowej z wartością bezwzględą przeprowadzeie dyskusji liczby rozwiązań rówaia liiowego z parametrem określaie rodzaju rówaia liiowego w zależości od liczby rozwiązań 3

4 TREŚCI (Podstawa Programowa Matematyki) RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE Z DWIEMA NIEWIADOMYMI UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH I ICH INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ I ICH INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA PRZYKŁADY PROSTYCH RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI TRZECIEGO STOPNIA PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA I ODWROTNA WYKRES PROPORCJONALNOŚCI ODWROTNEJ UMIEJĘTNOŚCI sprawdzaie, czy para liczb ależy do zbioru rozwiązań rówaia liiowego (ierówości liiowej) z dwiema iewiadomymi wyzaczaie zbioru rozwiązań rówaia (ierówości) pierwszego stopia z dwiema iewiadomymi rozwiązywaie układów rówań stopia pierwszego z dwiema iewiadomymi metodami: podstawiaia, przeciwych współczyików, graficzą rozróżiaie a podstawie rozwiązaia algebraiczego lub graficzego rodzaju układu rówań stopia pierwszego z dwiema iewiadomymi (rówaia iezależe, zależe, sprzecze) przeprowadzaie dyskusji liczby rozwiązań układu rówań stopia pierwszego z dwiema iewiadomymi z parametrem wyzaczaie rozwiązań alteratywy lub koiukcji dwóch rówań (ierówości) stopia pierwszego z dwiema iewiadomymi wraz z iterpretacją geometryczą układaie (i rozwiązywaie) układów rówań liiowych z dwiema iewiadomymi z parametrem do zadań tekstowych rozwiązywaie układów trzech rówań liiowych z trzema iewiadomymi stosowaie waruku rówoległości prostych i waruku prostopadłości prostych daych rówaiem kierukowym, ogólym; określaie wzajemego położeia prostych przekształcaie wyrażeń algebraiczych z zastosowaiem wzorów skrócoego możeia rozwiązywaie rówań i ierówości kwadratowych (rówież z wartością bezwzględą) rozwiązywaie układów rówań (ierówości) z jedą iewiadomą, z których co ajmiej jedo jest stopia drugiego rozwiązywaie zadań tekstowych prowadzących do rówań (ierówości) kwadratowych przeprowadzaie dyskusji liczby rozwiązań rówaia kwadratowego z parametrem w zależości od tego parametru, w tym zagadieia związae z zastosowaiem wzorów Viete a graficze rozwiązywaie rówań kwadratowych z parametrem określaie okręgu (koła) o daym środku i promieiu za pomocą rówaia kwadratowego (ierówości kwadratowej) wyzaczaie rówaia styczej do okręgu graficze rozwiązywaie układów rówań, z których jedo jest stopia drugiego graficze rozwiązywaie układów dwóch ierówości z dwiema iewiadomymi, z których jedo jest stopia drugiego zapisywaie waruków, jakie spełiają współrzęde puktów figur arysowaych a płaszczyźie z układem współrzędych rozwiązywaie rówań i ierówości stopia trzeciego metodą wyłączaia wspólego czyika i grupowaia wyrazów (z wykorzystaiem wzorów skrócoego możeia) rozróżiaie proporcjoalości prostej i odwrotej w sytuacjach praktyczych sporządzaie wykresów i odczytywaie z wykresów własości fukcji a postaci y = + q x p 4

5 NIERÓWNOŚCI TYPU x > 3 7 a rozwiązywaie rówań i ierówości typu + = a q 0 i + q > 0 x p x p Ciągi liczbowe TREŚCI (Podstawa Programowa Matematyki) UMIEJĘTNOŚCI PRZYKŁADY CIĄGÓW LICZBOWYCH (W TYM CIĄGÓW REKURENCYJNYCH) 8 określaie ciągu za pomocą wzoru ogólego, rekurecyjego wypisywaie wyrazów ciągu mając day wzór ogóly, rekurecyjy WŁASNOŚCI CIĄGU 9 badaie mootoiczości ciągu (z defiicji) wskazywaie przykładów ciągów iemootoiczych CIĄG ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY SUMA WYRAZÓW CIĄGU ARYTMETYCZNEGO SUMA WYRAZÓW CIĄGU GEOMETRYCZNEGO PROCENT SKŁADANY 0 badaie czy ciąg jest arytmetyczy czy geometryczy z wykorzystaiem defiicji stosowaie wzorów a -ty wyraz ciągu arytmetyczego i geometryczego stosowaie wzorów a sumę częściową ciągu arytmetyczego i geometryczego rozwiązywaie zadań łączących wiadomości o ciągach arytmetyczych i geometryczych obliczaie procetu składaego SZEREG GEOMETRYCZNY wyzaczeie sumy wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego przy rozwiązywaiu zadań geometryczych, rówań, ierówości, zamiaie ułamka okresowego a zwykły Geometria TREŚCI (Podstawa Programowa Matematyki) UMIEJĘTNOŚCI USYSTEMATYZOWANIE WIADOMOŚCI O FIGURACH PŁASKICH 3 badaie, jaką figurą geometryczą a płaszczyźie jest zbiór puktów, których współrzęde spełiają koiukcję lub alteratywę rówań, ierówości (dotyczy figur ujętych w zakresie materiału) wyzaczaie ilości przekątych w wielokącie wypukłym i sumy miar kątów wewętrzych tego wielokąta klasyfikowaie trójkątów i czworokątów zastosowaie twierdzeń dotyczących własości przekątych czworokąta w zadaiach tekstowych przeprowadzaie dowodów twierdzeń: o odciku łączącym środki dwóch boków trójkąta o odciku łączącym środki dwóch ramio trapezu rozpozawaie figur osiowosymetryczych rozpozawaie figur środkowosymetryczych 5

6 OKRĘGI I KOŁA 4 badaie wzajemego położeia prostej i okręgu badaie wzajemego położeia dwóch okręgów 6

7 TREŚCI (Podstawa Programowa Matematyki) KĄTY I WIELOKĄTY OBWODY I POLA WIELOKĄTÓW I KÓŁ 5 6 UMIEJĘTNOŚCI stosowaie twierdzeia "o kątach wpisaym i środkowym opartych a tym samym łuku" do wyzaczaia miar kątów dowodzeie twierdzeia "o kątach wpisaym i środkowym opartych a tym samym łuku" stosowaie twierdzeń o dwusieczych kątów w trójkącie, o środkowych, o wysokości poprowadzoej z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątym zastosowaie w zadaiach twierdzeń dotyczących okręgu wpisaego i opisaego a trójkącie, czworokącie obliczaie obwodów i pól wielokątów i kół obliczaie pól figur będących częścią wspólą, sumą, różicą wielokątów i kół ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE 7 obliczaie odległości między dwoma puktami a płaszczyźie z prostokątym układem współrzędych sprawdzaie współliiowości, iewspółliiowości puktów a płaszczyźie wyprowadzeie wzoru a odległość dwóch puktów a płaszczyźie obliczaie odległości puktu od prostej obliczaie odległości dwóch prostych rówoległych PRZYKŁADY IZOMETRII PŁASZCZYZNY (PRZESUNIECIE, SYMETRIA OSIOWA, SYMETRIA ŚRODKOWA) PRZYSTAWANIE FIGUR 8 9 sprawdzaie czy dae przekształceie jest izometrią geometrycze wyzaczaie obrazu daej figury w traslacji o wektor, w symetrii względem daej prostej i w symetrii względem daego puktu rozpozawaie figur przystających stosowaie cech przystawaia trójkątów WEKTORY I ICH ZASTOSOWANIA 30 wyzaczaie współrzędych wektora; obliczaie długości wektora wyzaczaie wektora będącego sumą, różicą wektorów, iloczyu wektora przez liczbę w ujęciu sytetyczym i aalityczym wyzaczaie współrzędych środka odcika, gdy dae są współrzęde jego końców sprawdzaie rówości wektorów wykorzystaie własości sumy wektorów i iloczyu wektora przez liczbę badaie rówoległości i prostopadłości wektorów wyzaczaie współrzędych wektora rówoległego i prostopadłego do prostej zastosowaie defiicji i własości iloczyu skalarego wektorów do obliczaia długości wektorów, iloczyu skalarego, cosiusów kątów między wektorami stosowaie twierdzeia Pitagorasa TWIERDZENIE stosowaie twierdzeia odwrotego do twierdzeia Pitagorasa 3 PITAGORASA dzieleie odcika w daym stosuku TWIERDZENIE TALESA zastosowaie twierdzeia Talesa i twierdzeia odwrotego do twierdzeia Talesa JEDNOKŁADNOŚĆ 3 wyzaczeie obrazu figury w daej jedokładości PODOBIEŃSTWO FIGUR 33 rozpozawaie figur podobych zastosowaie cech podobieństwa trójkątów obliczaie obwodów i pól figur podobych 7

8 TREŚCI (Podstawa Programowa Matematyki) KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE UMIEJĘTNOŚCI kostruowaie symetralej odcika, dwusieczej kąta kostruowaie prostych prostopadłych i rówoległych kostruowaie prostej styczej do okręgu wyzaczaie środka i promieia okręgu wpisaego i opisaego a trójkącie kostruowaie kątów przystających, trójkątów przystających kostruowaie odcików proporcjoalych wyzaczaie osi symetrii figury wyzaczaie środka symetrii figury wyzaczaie wartości fukcji trygoometryczych dla kątów: 0 o, 30 o, 45 o, 60 o, 90 o, 0 o, 35 o, 50 o, 80 o wyzaczaie miar kątów, gdy daa jest wartość jedej z fukcji trygoometryczych zastosowaie podstawowych związków między fukcjami trygoometryczymi tego samego kąta dowodzeie prostych tożsamości trygoometryczych NAJPROSTSZE ZASTOSOWANIA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH, TWIERDZENIE SINUSÓW, TWIERDZENIE COSINUSÓW 37 wyzaczaie wartości pozostałych fukcji trygoometryczych daego kąta, gdy daa jest wartość jedej z ich zastosowaie wzorów redukcyjych dla kątów I i II ćwiartki zastosowaie trygoometrii do rozwiązywaia zadań z geometrii sprawdzaie czy trójkąt jest ostrokąty, prostokąty, rozwartokąty rozwiązywaie trójkątów PROSTOPADŁOŚĆ I RÓWNOLEGŁOŚĆ W PRZESTRZENI 38 określaie wzajemego położeia prostych i płaszczyz w przestrzei KĄT NACHYLENIA PROSTEJ DO PŁASZCZYZNY KĄT DWUŚCIENNY USYSTEMATYZOWANIE WIADOMOŚCI O WIELOŚCIANACH I BRYŁACH OBROTOWYCH PRZEKROJE PŁASKIE WIELOŚCIANÓW I BRYŁ OBROTOWYCH wyzaczaie kąta achyleia prostej do płaszczyzy wyzaczaie kąta dwuścieego i jego miary klasyfikowaie figur przestrzeych rysowaie graiastosłupa, ostrosłupa, stożka, kuli, walca a płaszczyźie 4 wyzaczaie przekrojów brył i obliczaie pól tych przekrojów POLA POWIERZCHNI I OBJĘTOŚCI WIELOŚCIANÓW I BRYŁ OBROTOWYCH 43 obliczaie pól powierzchi i objętości: graiastosłupów, ostrosłupów, stożka, kuli, walca (rówież z zastosowaiem trygoometrii i twierdzeń geometrii płaskiej) 8

9 TREŚCI (Podstawa Programowa Matematyki) ELEMENTY KOMBINATORYKI PRAWDOPODOBIEŃSTWO I JEGO ZWIĄZEK Z CZĘSTOŚCIĄ PRZYKŁADY OBLICZANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Elemety rachuku prawdopodobieństwa UMIEJĘTNOŚCI wykorzystywaie elemetów kombiatoryki permutacji, wariacji bez powtórzeń, wariacji z powtórzeiami, kombiacji do obliczaia liczby elemetów daego zbioru szacowaie częstości zdarzeń opisywaie zbioru Ω wszystkich zdarzeń elemetarych doświadczeia losowego wypisywaie (określaie) zdarzeń elemetarych sprzyjających daemu zdarzeiu obliczaie liczby zdarzeń elemetarych sprzyjających daemu zdarzeiu Wykoywaie działań a zdarzeiach obliczaie prawdopodobieństw zdarzeń stosowaie własości prawdopodobieństwa PRZYKŁADY PRAKTYCZNEGO ZASTOSOWANIA STATYSTYKI (ODCZYTYWANIE TABEL, DIAGRAMÓW I WYKRESÓW, PRZEDSTAWIANIE DANYCH EMPIRYCZNYCH W POSTACI DIAGRAMÓW I WYKRESÓW) 46 obliczaie średiej arytmetyczej, średiej ważoej, mediay i ustalaie modalej porządkowaie i przedstawieie wyików pomiaru w postaci tabel, diagramów i wykresów odczytywaie i iterpretacja daych przedstawioych w postaci tabel, diagramów i wykresów 9

10 System oceiaia prac maturalych : Każdy z was otrzyma 5 zadań: jedo za, i cztery za 0 puktów Do ocey ależy wybrać trzy zadaia Trzeba je rozwiązać w czasie 300 mi, a rozwiązaie umieścić w czystopisie Warukiem koieczym dla uzyskaia ocey pozytywej jest uzyskaie za rozwiązaie jedego z zadań co ajmiej 7 puktów przy łączej sumie puktów ie miejszej iż (za rozwiązaie trzech zadań) Egzamiator oblicza łączą sumę puktów, jaką uczeń uzyskał za rozwiązaie trzech wskazaych przez iego zadań i propouje oceę według ustaloego sposobu przeliczaia puktów a stopie: liczba puktów stopień 0 0 iedostateczy - 5 dopuszczający 6 - dostateczy - 6 dobry 7-30 bardzo dobry 3-3 celujący Egzamiator otrzymuje wykaz z maksymalą liczbą puktów, jakie moża przyzać za day etap zadaia, w przypadku poprawego rozwiązaia części daego etapu, liczbę puktów ustala się proporcjoalie do tego, jaką część pracy uczeń wykoał; egzamiator może stosować jedyie całkowite liczby puktów i ich połówki Błąd rachukowy, który ie zmieia sesu zadaia, ai ie ułatwia rozwiązaia i jest kosekwetie uwzględiay w dalszych etapach rozwiązaia, ie wpływa a oceę rozwiązaia (moża przyzać maksimum puktów) Przy błędej iterpretacji tematu zadaia, która ie uprościła zadaia w sposób istoty, moża zaliczyć poprawe rozwiązaia etapów, jedak łącza suma puktów za to zadaie, ie może przekroczyć 50 % ustaloej puktacji Jeżeli w zadaiu wystąpił błąd rzeczowy, to za etap, w którym o wystąpił, moża przyzać od zera do połowy maksymalej liczby puktów (zależie od wagi błędu) Gdy za rozwiązaie trzech zadań uczeń uzyskał sumę zawierającą połówkę puktu, a spełioy jest waruek koieczy (patrz drugi akapit), całkowitą sumę zaokrągla się w górę, a korzyść uczia Rozwiązaie zadaia powio zawierać kometarze wyjaśiające przejścia między kolejymi etapami, podsumowujące poszczególe etapy i podsumowujące całe rozwiązaie zadaia (odpowiedź traktujemy jako iezbędą część kometarza) Za peły kometarz ależy przyzać maksymalie pukty W przypadku częściowego rozwiązaia zadaia, ie moża przydzielić maksymalej liczby puktów za kometarz 0

11 Kilka dobrych rad : Na egzamiie pisemym potrzebe Ci będą: kalkulator (ale ie graficzy), liijka, cyrkiel i przybory do pisaia (różokolorowe) Zabroioe jest używaie korektorów oraz pisaie kolorem czerwoym i zieloym Telefo komórkowy musisz oddać komisji do depozytu Nie uprzedzaj się do żadego działu matematyki, przeczytaj każde zadaie, zaczij je rozwiązywać - może okazać się łatwe Postaraj się rozwiązać trzy zadaia (to trzecie przyajmiej zaczij rozwiązywać), każdy zdobyty pukt to krok do sukcesu, pamiętaj, że za jedo z ich musisz uzyskać co ajmiej 7 puktów (jeżeli za każde z trzech zadań dostaiesz po 6 puktów, to uzyskaa suma całkowita: 8 puktów ic Ci ie da ie zdasz matury)! Wszystkie obliczeia i iezbęde rysuki musisz umieścić w czystopisie pracy maturalej, powiieeś zacząć przepisywać zadaia do czystopisu ajpóźiej w czwartej godziie matury Jeśli jedak ie zdążysz w regulamiowym czasie przepisać zadaia lub jego części, pamiętaj o tym aby wskazać komisji egzamiacyjej te fragmet brudopisu, który powiie być podday oceie Poprawa odpowiedź, jeśli ie jest kosekwecją obliczeń ie zapewi ci sukcesu a maturze Po rozwiązaiu zadaia, zadaj sobie pytaie: czy Twój wyik jest realy? Większość rozwiązań moża oszacować p z geometrii aalityczej - patrząc a rysuek w układzie współrzędych Z prawdopodobieństwa ie powiieeś uzyskać wyiku większego od lub miejszego iż zero Wartości siusa i cosiusa też mają swoje graice! Jeśli zadaie jest z parametrem sprawdź, wybierając kilka dowolych z Twojego rozwiązaia, czy spełia o wymagae waruki Wielkości typu: pole, objętość też możesz oszacować: figura wpisaa w ią ie może mieć od iej większego pola itp Postaraj się wykorzystać wszystkie iformacje zawarte w treści, zwykle są oe iezbęde do rozwiązaia zadaia Czasami w treści zadaia umieszczoe są stwierdzeia, p że ciąg jest malejący, albo w jakiś wielokąt moża wpisać okrąg, lub to że ktoś wygrał dwie koleje gry (a to ie jest zawsze to samo co dwie gry), albo że coś jest siusem kąta ostrego Po rozwiązaiu każdego etapu i potem po rozwiązaiu całego zadaia przeczytaj jeszcze raz bardzo uważie treść zadaia czy a pewo odpowiedziałeś a wszystkie zadae pytaia, może coś jeszcze przeoczyłeś?

12 Zestaw r I M II, dla klas ogólych Zadaie (0pkt) x + y k = 0 Day jest układ rówań: 3x y k + = 0 Wyzacz rozwiązaie (x,y) układu w zależości od parametru k a) Dla jakich całkowitych wartości parametru k spełioe są jedocześie waruki: x 5 i y >0, b) Wyzacz te wartości k, dla których x jest siusem, a y cosiusem tego samego kąta ostrego Zadaie (a,b-0pkt, c-pkt) Fukcje f i g są określoe wzorami: f ( x) = ( k ) x ( k + ) x k g ( x) = k + k x 8k + 6 a) Wyzacz takie wartości parametru k, dla których spełioe są jedocześie waruki: wykresem fukcji f jest parabola ramioami skierowaa w dół i g jest fukcją rosącą, której wykres przecia oś OY w pukcie o ujemej rzędej b) Naszkicuj wykres fukcji h, która przyporządkowuje każdej wartości parametru k R liczbę miejsc zerowych fukcji f c) Wyzacz wszystkie całkowite wartości parametru k, dla których iloczy miejsc zerowych fukcji f jest liczbą całkowitą Zadaie 3 (0pkt) Wyzacz współrzęde wierzchołków trójkąta ABC wiedząc, że bok AB jest średicą okręgu x + y y 4 = 0, pukt A ależy do prostej x y + 6 = 0, a wektor BC = [ 4,8] a) Oblicz pole trójkąta ABC i promień okręgu wpisaego w te trójkąt b) Trójkąt KLM jest wpisay w okrąg o promieiu długości 5 oraz KL = 5 i cos < KLM = 5 5 Wykaż, że trójkąty ABC i KLM są przystające Zadaie 4 (0pkt) Zbadaj mootoiczość ciągu o wyrazie ogólym a = + 30 i oblicz, które wyrazy tego ciągu mają wartość miejszą od 0 a) Zbadaj, korzystając z defiicji, czy ciąg o wyrazie ogólym c = a + b jest arytmetyczy, jeśli b = 8 6 Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu ( c ) o umerach parzystych b) Prawdopodobieństwo wyrzuceia dokładie jedego orła w trzykrotym rzucie moetą jest d, którego drugi wyraz jest ilorazem pewego ieskończoego ciągu geometryczego ( ) czwartym wyrazem ciągu ( ) c Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu ( ) Zadaie 5 (0pkt) Oblicz objętość i ostrosłupa prawidłowego sześciokątego wiedząc, że krawędź bocza ma długość o 5 cm a kąt achyleia ściay boczej do płaszczyzy podstawy ma miarę 30 Oblicz sius kąta między sąsiedimi ściaami boczymi d

13 Odpowiedzi i schemat puktowaia do zestawu r I Zadaie - 0 pkt zestaw I Wyzaczeie rozwiązaia układu w zależości od parametru k a) Rozwiązaie waruków: x 5 i y >0, pkt 4 x = k 5 y = k 5 pkt k 6; ) (0;6, 5 3 a) Wyzaczeie całkowitych wartości k pkt k { 6, 5, 4, 3,,,3,4,5,6 } 4 b) Aaliza, zapisaie waruków pkt x + y = x > 0 y > 0 5 b) Rozwiązaie waruków pkt 6 b) Ustaleie wartości k spełiających waruki zadaia pkt 7 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 3 ( k = k = ) k > k = 7 Zadaie - pkt zestaw I a) Aaliza, zapisaie waruków pkt a) Rozwiązaie waruków pkt k < 0 k + 6 k > 0 8k + < 0 3 a) Wyzaczeie k spełiających zadae waruki pkt k ; 4 4 b) Aaliza ilości miejsc zerowych fukcji f w zależości od parametru k 3 pkt 5 b) Wykoaie wykresu fukcji h pkt h (x) 0 dla k ; 5 = dla k,, 5 dla k (- ; ) (; ) \ 5 {} 6 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 7 c) Zapisaie i rozwiązaie waruków pkt c > 0 C k a { 0,3,4} 3

14 Zadaie 3-0 pkt zestaw I Wyzaczeie środka i promieia okręgu, wykoaie rysuku pkt S = ( 0 ;), r = 5 Wyzaczeie współrzędych puktów A,B,C A = ;, B = ;0, C = 3 a) Obliczeie pola trójkąta ABC pkt P = 4 a) Obliczeie promieia okręgu pkt wpisaego w trójkąt ABC r = 5 5 b) Wykazaie, że trójkąty KLM i ABC są 3 pkt przystające 6 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 3 pkt ( ) ( ) (- ;8) Zadaie 4-0 pkt zestaw I Zbadaie mootoiczości ciągu ( a ) pkt Nie jest mootoiczy Zbadaie, które wyrazy ciągu są miejsze od 0 3 a) Zbadaie, czy ciąg ( c ) jest arytmetyczy 4 a) Wyzaczeie podciągu o umerach parzystych 5 a) Obliczeie 00 pkt Począwszy od trzydziestego pierwszego wyrazu pkt Jest arytmetyczy pkt (,,6,0, ) S pkt S00 = b) Obliczeie prawdopodobieństwa pkt b) Wyzaczeie ciągu ( d ) 8 b) Obliczeie sumy wyrazów ciągu ( d ) pkt pkt 9 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 6 d =, q 3 8 S = 5 = 3 8 Zadaie 5-0 pkt zestaw I Wykoaie rysuku z iezbędymi ozaczeiami pkt Obliczeie długości krawędzi podstawy i pkt wysokości ostrosłupa a = 5, H = 5 3 Obliczeie objętości ostrosłupa pkt V = Obliczeie cosiusa kąta między sąsiedimi ściaami boczymi 5 Obliczeie siusa kąta między sąsiedimi ściaami boczymi 3 pkt pkt 6 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt

15 Zestaw r II M II, dla klas ogólych Zadaie (0 pkt+pkt za zadaie c) x + my = Day jest układ rówań mx + y = m a) Rozwiąż układ rówań i przeprowadź dyskusję istieia i liczby rozwiązań w zależości od parametru m b) Rozwiąż ierówość x ( + m) 4m 8p < 0, gdzie x - jest odciętą puktu przecięcia się prostych daych rówaiami układu p - ozacza prawdopodobieństwo wyrzuceia sumy oczek ie większej iż 5 przy dwukrotym rzucie kostką do gry 99 c) Wykaż, że fukcja f ( x) = x + ax + bx ma co ajmiej jedo i ie więcej iż trzy miejsca zerowe Zadaie (0 pkt) 3 Rówaie x + x + 6x = 0 ma trzy pierwiastki x, x, x 3, gdzie x < x < x3 a) Wyzacz a oraz b tak, aby miejscem zerowym fukcji g ( x) = ax była liczba x, a miejscami zerowymi fukcji h ( x) = x + bx liczby x oraz x 3 h x g x b) Dla wyzaczoych liczb a i b rozwiąż graficzie i algebraiczie ierówość: ( ) ( ) Zadaie 3 (0 pkt) Trapez wpisao w okrąg o rówaiu x + y 6x 8y = 0 w te sposób, że jeda podstawa trapezu jest średicą okręgu, a druga zawiera się w prostej o rówaiu x + y = 0 a) Napisz rówaie osi symetrii trapezu i oblicz pole trapezu b) Napisz rówaie obrazu daego okręgu w jedokładości o środku w początku układu współrzędych i skali k = Zadaie 4 (0 pkt) = + Day jest ciąg o wyrazie ogólym a dla N i p R \ {} 0 p a) Uzasadij, że ( a ) jest ciągiem geometryczym i oblicz dla jakich wartości p istieje S - suma wszystkich wyrazów tego ciągu b) Zajdź te wartości p dla których S a, x, y, z a był ciągiem arytmetyczym c) Dla p=4 wyzacz takie wartości x, y, z, aby ciąg ( ), Zadaie 5 (0 pkt) Krawędzie bocze prostopadłościau o podstawie ABCD ozaczoo odpowiedio A A, B B, CC, DD Pole trójkąta DB D wyosi 3 3, długość krawędzi AB jest rówa, miara o kąta DB D wyosi 60 a) Oblicz objętość tego prostopadłościau b) Oblicz cosius kąta B C D c) Oblicz odległość puktu B od prostej D 3 5

16 Odpowiedzi i schemat puktowaia do zestawu r II Zadaie - pkt zestaw II a) Wyzaczeie rozwiązaia układu w zależości od parametru k pkt 3 m m + m + x = = m m + m m m y = = m m + dla m R \, { } a) Dyskusja istieia i liczby rozwiązań układu w zależości od parametru m pkt m R \ {, } dla układ ma dokładie jedo rozwiązaie dla m = układ ma ieskończeie wiele rozwiązań dla m = układ ie ma rozwiązań 3 Obliczeie prawdopodobieństwa pkt 4 Rozwiązaie ierówości pkt m {( ; ) ( ; ) }\ {, } 5 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 5 8 Zadaie - 0 pkt zestaw II Wyzaczeie x, x, x3 pkt x =, x = 0, x3 = 3 a) Obliczeie a i b pkt a =, b = 3 3 a) Narysowaie wykresów fukcji y = g( x) oraz y = h( x) 4 a) zazaczeie w układzie współrzędych rozwiązaia ierówości h( x) g( x) 5 b) algebraicze rozwiązaie ierówości h( x) g( x) pkt pkt 3 pkt x ( ; 6 > < + 6; + ) 6 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 7 c) Zapisaie i rozwiązaie waruków pkt 6

17 Zadaie 3-0 pkt zestaw II Wyzaczeie środka i promieia okręgu, wykoaie rysuku Wyzaczeie współrzędych puktów przecięcia okręgu z prostą 3 a) Obliczeie długości krótszej podstawy i wysokości trapezu Obliczeie pola trapezu pkt = ( 3;4) S, r = 5 pkt ( 0 ;0), ( ;4) pkt = 5, h = 5 b P = 0 ( 5 + ) 4 b) Wyzaczeie rówaia osi symetrii trapezu 5 c) Wyzaczeie środka, promieia i apisaie rówaia obrazu daego okręgu pkt pkt 6 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt y = x + 3 S = ;, r 3 x + + y = ( + ) 5 = Zadaie 4-0 pkt zestaw II a) Zbadaie z defiicji, czy ciąg ( ) a jest ciągiem geometryczym a) Wyzaczeie tych wartości parametru p, dla których istieje S 3 b) Wyzaczeie tych wartości parametru p, dla których S 4 c) Obliczeie x, y, z spełiających podae waruki pkt ciąg ( a ) jest ciągiem geometryczym pkt p ( ; ) ( ; + ) 3 pkt Nie istieje p spełiające poday waruek pkt 5 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 3 5 x =, y =, z = Zadaie 5-0 pkt zestaw II Wykoaie poglądowego rysuku z iezbędymi ozaczeiami pkt a) Obliczeie długości drugiej krawędzi 3 pkt podstawy, wysokości i objętości BC =, H = 3, V = prostopadłościau 3 b) Obliczeie cosiusa kąta B C D pkt c) Obliczeie odległości wierzchołka B od pkt 9 prostej D C 5 5 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 7

18 Zestaw r III M II, dla klas ogólych Zadaie (0 pkt+pkt) Dae są fukcje : f(x) = x + x m i g(x) = mx mx + 3 a) Dla jakich wartości parametru m, wykresy tych fukcji przeciają się w dwóch puktach o odciętych różych zaków? b) Dla jakich wartości parametru m rozwiązaiem ierówości g(x) >0 jest cały zbiór liczb rzeczywistych? c) Dla m = 0 apisz rówaie styczej do wykresu fukcji f w pukcie, którego odcięta jest dodatia a rzęda ma wartość Zadaie (0 pkt) Day jest ieskończoy ciąg arytmetyczy ( a ), w którym wyrazy, a, a3 a + a + a 8, a = a 5 Wyzacz pierwszy wyraz i różicę ciągu ( ) 3 = 3 + a spełiają waruki: a) Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych występujących w tym ciągu b) Trzy liczby, których suma jest rówa 7 tworzą ciąg geometryczy malejący, ajwiększa z ich jest iloczyem liczby 3 4 przez sumę pozostałych Wyzacz te liczby a Zadaie 3 (0 pkt) W trapezie róworamieym podstawy mają długości odpowiedio 30m i 8m, a kąt ostry trapezu ma miarę 60 0 Prosta k zawierająca przekątą trapezu dzieli te trapez a dwie trójkąte części W trójkącie, którego podstawa jest dłuższą podstawą trapezu zajdź taki pukt P, aby jego odległości od prostej k i od pozostałych boków tego trójkąta były jedakowe Oblicz długość tej odległości Zadaie 4 (0 pkt) Boki trójkąta zawierają się w prostych o rówaiach: x - = 0 ; x y = 0 ; x + y 9 = 0 Trójkąt te obraca się dookoła prostej, w której zawiera się ajdłuższy bok Oblicz objętość otrzymaej bryły Zadaie 5 (0 pkt) 4 W trójkącie ABC dae są: A = (-3, -), AB = [7; ] i środek ciężkości S = ; 3 a) Napisz rówaie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoą z wierzchołka C b) Wyzacz długość promieia okręgu opisaego a trójkącie ABC c) Oblicz pole koła wpisaego w trójkąt ABC 8

19 Odpowiedzi i schemat puktowaia do zestawu r III Zadaie - pkt zestaw III a)zapisaie rówaia g ( x) = f ( x) i doprowadzeie go odpowiediej postaci a) Zapisaie waruków zadaia pkt pkt ( ) ( ) ( 3) 0 m x + a 0 > 0 x x < 0 m 3; m + 3 a) Rozwiązaie waruków 3 pkt ( ) 4 b) Zapisaie waruków (przypadek fukcji pkt ( m > 0 < 0) m = 0 kwadratowej oraz liiowej) 5 b) Rozwiązaie waruków pkt m < 0;3) 6 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 7 c) Wyzaczeie puktu styczości i apisaie pkt rówaia styczej P = ( ;) x m + = Zadaie - 0 pkt zestaw III Obliczeie pierwszego wyrazu i różicy 3 pkt ciągu ( a ) a) Obliczeie sumy wszystkich liczb trzycyfrowych występujących w tym ciągu pkt b) Zapisaie waruków zadaia pkt b + bq + bq = 7 4 b = ( bq + bq ) 3 4 b) Rozwiązaie waruków pkt b 4 5 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt = = 3 = Zadaie 3-0 pkt zestaw III Sporządzeie rysuku pkt Obliczeie wysokości, długości ramieia i 3 pkt h = 6 3 m c = m d = 6 9 m długości przekątej trapezu 3 Obliczeie pola trójkąta pkt S = 90 3m 4 Ustaleie położeia puktu P pkt Środek okręgu wpisaego w trójkąt 5 Obliczeie pola tego samego trójkąta z wykorzystaiem długości promieia r okręgu pkt S = 3( )r wpisaego w trójkąt 6 Wyzaczeie r pkt r = 3(7-9 ) m 7 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 9

20 Zadaie 4 0 pkt zestaw III Wykoaie rysuku pkt Obliczeie współrzędych puktów A,B i C pkt A = (,), B = ( 3 5 3, 5 4 ); C = (,5) 3 Obliczeie długości promieie r pkt r = Obliczeie długości BC i AB pkt 5 Obliczeie wysokości pierwszego stożka pkt BC = 6 H = 5 8 5, AB = Obliczeie wysokości drugiego stożka pkt 7 Obliczeie objętości bryły pkt H = 5 4 V = 65π 75 8 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt Zadaie 5 0 pkt zestaw III a) Obliczeie współrzędych puktu B pkt B = ( 4; ) a) Wyzaczeie współrzędych puktu C (p poprzez własość związaą ze środkowymi) 3 a)wyzaczeie rówaie prostej zawierającej wysokość wychodzącą z wierzchołka C pkt C = ( 3; 6) pkt y = -7x b) Obliczeie R pkt R = 5 5 c) Obliczeie promieia okręgu wpisaego (p wykorzystując odpowiedi wzór a pole trójkąta) pkt 5 r = + = 5( ) 6 c) Obliczeie pola pkt P = 5 π ( ) 7 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 0

21 Zestaw r IV M II, dla klas ogólych Zadaie (0 pkt+pkt za zadaie d) f x = x + bx + We wzorze fukcji kwadratowej ( ) c współczyik c jest ajmiejszą, a współczyik b ajwiększą liczbą całkowitą z przedziału ( 3 6 ; 0) Wykres fukcji liiowej g ( x) przecia wykres fukcji f ( x) w puktach o odciętych i 4 a) Napisz wzory obu fukcji i wykoaj ich wykresy g x z osią OX b) Oblicz kąt, jaki tworzy wykres fukcji ( ) c) Oblicz, dla jakich argumetów wartości fukcji f ( x) ie są większe od wartości fukcji g ( x) d) Podaj te wartości parametru m, dla których rówaie f ( x) g( x) + m trzy rozwiązaia = ma dokładie Zadaie (0 pkt) Paweł wpłacił do baku kwotę000 zł a lokatę o oprocetowaiu roczym p%, odsetki są dopisywae co rok Po upływie roku, zaraz po aliczeiu odsetek, wyjął 00 zł, a po upływie drugiego roku pozostałą sumę, która wyosiła 30 zł a) Na ile procet w stosuku roczym złożoy był kapitał w baku, jeżeli w pierwszym i drugim roku oprocetowaie kapitału było jedakowe? b) Do jakiej kwoty urośie wpłacoy kapitał 000 zł po upływie trzech lat, jeśli oprocetowaie będzie stałe i Paweł ie wypłaci żadych pieiędzy? Wykoaj aalogicze zadaie dla lat oszczędzaia Zadaie 3 (0 pkt) Okrąg K jest obrazem okręgu K : x + y x + 8y + 7 = 0 w traslacji o wektor u r = [ 6,8] a) Zajdź rówaie okręgu K b) Oblicz współrzęde puktów przecięcia okręgu K z osią OX c) Wiedząc, że pukt A jest puktem przecięcia okręgu K z osią OX i odcięta puktu A jest miejsza od 9, apisz rówaie styczej do okręgu K, przechodzącej przez pukt A d) Zajdź kąt środkowy okręgu K, wyzaczoy przez cięciwę AB, gdzie A i B są puktami przecięcia okręgu K z osią OX Zadaie 4 (0 pkt) 3 Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątego o krawędzi podstawy długości a wyosi a 4 a) Oblicz pole powierzchi całkowitej tego ostrosłupa b) Ostrosłup przecięto płaszczyzą prostopadłą do krawędzi boczej i zawierającą krawędź podstawy ostrosłupa Oblicz pole otrzymaego przekroju Zadaie 5 (0 pkt) 8 3 Dae są zbiory A = a : a N i i B = { b : b N i b 3b 36b} a a) Wyzacz zbiór A, B oraz A B b) Jakie działaie ależy wykoać a zbiorach A i B, aby otrzymać zbiór C, którego elemetami są wszystkie cyfry układu dziesiętego? c) Zajdź liczbę wszystkich sześcioelemetowych podzbiorów zbioru B

22 Odpowiedzi i schemat puktowaia do zestawu r IV Zadaie - pkt zestaw IV a) Zapisaie wzorów fukcji f(x) i g(x) pkt f ( x) = x + 6x 5 g ( x) = x a) Narysowaie wykresów fukcji f(x) i g(x) 3 pkt 3 b) Zapisaie i rozwiązaie waruku pkt x (, > < 4, + ) f ( x) g( x) 4 c) Wyzaczeie miary kąta pkt π 4 5 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 6 d) Wyzaczeie wartości parametru m pkt m = 4 Zadaie - 0 pkt zestaw IV a) Wyzaczeie kwoty po pierwszym i drugim roku 3 a) Ułożeie rówaia i doprowadzeie go do prostszej postaci 4 a) Rozwiązaie rówaia z założeiem, że p>0 5 b) Wyzaczeie kwoty po trzech i po -latach 3 pkt 0 p (00 + p)( p + 90) 0 pkt Np p + 90 p 400 = 0 pkt p=0 pkt 6 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt (,) (,) = Zadaie 3-0 pkt zestaw IV a) Wyzaczeie rówaia okręgu K pkt x + ( y 4) = 5 b) Obliczeie współrzędych puktów przecięcia okręgu K z osią OX pkt A = (3,0) i B = (9,0) 3 c) Wyzaczeie rówaia styczej pkt 3 9 y = x d) Obliczeie miary kąta środkowego pkt 0 ' Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt

23 Zadaie 4 0 pkt zestaw IV Wykoaie rysuku pkt a) Obliczeie długości wysokości ostrosłupa pkt 3 a) Obliczeie długości wysokości ściay boczej ostrosłupa pkt a 6 H = 6 a h b = 4 a) Obliczeie pola powierzchi całkowitej ostrosłupa pkt P c = a 4 ( 3 + 3) 5 b) Obliczeie wysokości przekroju pkt 6 Obliczeie pola przekroju pkt 7 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt a h = P = a 4 Zadaie 5 0 pkt zestaw IV 8 a) Rozwiązaie ierówości a,5 pkt a (0, 4 > a) Wyzaczeie zbioru A pkt A = {,,3,4 ) 3 a) Rozwiązaie ierówości b 3 3b + 36b 0 pkt b (,0 > < 4, 9 > 4 a) Wyzaczeie zbioru B pkt B = {0,4,5,6,7,8,9 } 5 a) Wyzaczeie A B 0,5 pkt { 4} 6 b) Wyzaczeie działaia pkt A B c) Wyzaczeie liczby wszystkich sześcioelemetowych podzbiorów zbioru B pkt 7 7 Kometarz i sformułowaie odpowiedzi pkt 3