Fizyka cząstek elementarnych

Transkrypt

1 Wykład V zospn symetra zospnowa zachowane zospnu ukleony Proton est bardzo podobny do neutronu - obe cząstk maą spn lczbę baronową 98 B a ch masy wynoszące MeV m p nosą m n 996 MeV są nemal dentyczne. Różną sę natomast ładunkem elektrycznym. Przymue sę węc że z punktu wdzena oddzaływań slnych proton neutronu est taką samą cząstką a różnce wynkaą z obecnośc sł elektromagnetycznych. Energa elektromagnetyczna E EM e r na odległośc r = fm odpowadaące rozmarom nukleonu wynos 4 MeV co blske est różncy masy neutronu protonu m n m p MeV sugerue elektromagnetyczne pochodzene owe różncy. Podobeństwo protonu neutronu potwerdzaą bardzo zblżone własnośc par ąder takch ak H He oraz B C w których lczba neutronów ednego ądra równa est lczbe protonów drugego ądra odwrotne. H to p n zaś H to p n natomast B to 5p 6n a C to 6p 5n. Pary takch ąder nazywa sę zotopowo zwercadlanym. Skoro proton neutron są dwoma stanam te same cząstk - nukleonu to można wprowadzć lczbę kwantową analogczną do spnu zwaną zospnem (początkowo mówono o spne zotopowym) oznaczaną lterą która skladowa pozwol odróżnać proton od neutronu. W przypadku nukleonu przymuemy że wartość zospnu wynos równa est dla protonu dla neutronu. a trzeca składowa zospnu a podobeństwo spnowe funkc falowe elektronu wprowadzamy zospnową dwukomponentową funkcę falową nukleonu taką że p n.

2 Dale keruąc sę analogą ze spnem wprowadzamy wektorowy operator zospnu σ w którym wektor σ Paulego σ ) zdefnowane następuąco: ( tworzą trzy hermtowske macerze. Wdzmy że funkce falowe p n operatora z wartoścam własnym oraz. Dowolny stan nukleonu zapsuemy ako przy czym współczynnk są faktyczne wektoram własnym ograncza warunek normalzac gdze + oznacza sprzężene hermtowske czyl sprzężene zespolone transpozycę. Dzałaąc untarną macerzą U możemy przekształcć funkcę falową nukleonu tzn. ~ U a warunek unormowana ne zostane naruszony czyl ~ ~ U U. w dowolną nną funkcę falową ~ Jak pamętamy macerz U est untarna gdy zachodz U U UU. W szczególnośc macerz untarna przekształca p w n odwrotne. Zbór macerzy untarnych o wymarze tworzy grupę oznaczaną ako U(). Jeśl pomnąć mnożene macerzy przez lczbę o module czyl przez czynnk fazowy e gdze est rzeczywste to wspomnane macerze tworzą grupę SU() czyl macerzy untarnych o wyznacznku.

3 Warto pamętać że wyznacznk macerzy untarne est lczbą zespoloną o module co dowodz sę następuąco U U det[ U U] det U det U (det U) det U. Zastosowano tuta twerdzene o wyznacznku loczynu macerzy. Przypomnmy że grupa G to zbór g g g z dzałanem grupowym takm że ) g g g g g g (domknętość zboru) k k ) g g gk ( g g ) gk g ( g gk ) (łączność dzałana) ) e g e g g e e (stnene elementu neutralnego) 4) g g g g e (stnene elementów odwrotnych). Jeśl dzałane grupowe est przemenne tzn. g g g g mówmy że grupa est przemenna lub abelowa. Mnożene macerzy est neprzemenne węc nteresuąca nas grupa SU() est neprzemenna lub neableowa. Fakt że pod dzałanem sł slnych proton est taką samą cząstką ak neutron oznacza że eśl est rozwązanem równana Schrödngera w którym hamltonan reprezentue tylko oddzaływane slne to rozwązanem est automatyczne funkca ~ U gdze U SU(). Co z tego wynka? Zakładamy że spełna równane H. t Skoro ~ U ma też spełnać to równane to podzałamy na ne macerzą untarną U. Poneważ macerz U est nezależna od czasu mamy U ~ UH UHU ~. t t Poneważ ~ maą spełnać to samo równane Schrödngera węc mus być spełnony warunek UHU H czyl hamltonan ma ne ulegać zmane na skutek dzałana macerzy U tzn. ma być nezmennkem transformac U należących do grupy SU().

4 Zgodne z twerdzenem oether nezmennczość dzałana (nezmennczość hamltonanu pocąga zwykle za sobą nezmennczość dzałana) dane teor przy transformacach należących do określone grupy sprawa że w teor te występue zachowywana welkość. W nteresuącym nas przypadku est to zospn. A zatem w oddzaływanach slnych zachowywany est zospn. W teor kwantowe zachowane dane welkośc est równoważne komutowanu operatora dane welkośc z hamltonanem. A zatem zachowywane zospnu oznacza że [ H ] H H. Równoważność warunku symetr zospnowe UHU H oraz warunku zachowana zospnu [ H ] łatwo zrozumeć bez odwoływana sę do twerdzena oether. Wystarczy w tym celu zapsać transformacę U ako U exp[ ω ] exp[ ( ω ω ω )] gdze ω ( ω ω ω ) est zborem trzech parametrów rzeczywstych określaących daną macerz U. Łatwo sprawdzć że macerz U est untarna a e wyznacznk wynos. Musmy tylko pamętać że macerze ( ) są hermtowske bezśladowe Tr[ ]. Rzeczywśce a także TrU exp U exp[ ω ] U U UU Tr[ln U] exp Tr[ ] Tr[ ] Tr[ ] e Teraz bez trudu uż dowodzmy że. UHU H [ H ]. ależy eszcze uwzględnć że eksponens operatora defnuemy poprzez szereg e A A A A!! 4

5 Deuteron Deuteron to stan zwązany protonu neutronu. Poneważ maą one zospn a trzeca składowa zospnu równa est odpowedno to zgodne z regułą sumowana spnów trzeca składowa zospnu deuteronu znka natomast pełny zospn może być równy lub. Reguła sumowana spnów S S głos że spn sumaryczny S meśc sę w zakrese S S S S S a ego wartość zmena sę o. Tak na przykład całkowty spn dwóch cząstek o spne wynos Gdyby zospn deuteronu był równy to deuteron byłby członkem trypletu tworzonego przez pary ( p ( p n) ( n n). Jednak w przyrodze ne występue an stan zwązany an stan. eobecność stanu zwązanego można by przypsać odpychanu coulombowskemu protonów lecz ten argument ne dzała w przypadku pary ( n n). Oznacza to że deuteron est sngletem o zospne. ( p ( p ( n n) estnene stanów zwązanych ( p ( n n) łatwo zrozumeć na grunce teoretycznym wedząc że spn deuteronu wynos przy znkaącym orbtalnym momence pędu (pomam tu domeszkę fal d). A węc w deuterone neutron proton występuą w tym samym stane pędowym a ch spny są zgodne. Gdy w deuterone proton zamenć na neutron wówczas spny obu neutronów musałyby być zgodne co ne est możlwe ze względu na zakaz Paulego. Antynukleony Tak ak ten sam spn maą cząstk antycząstk przymuemy że zospn antynuleonów wynos ak nukleonów zospnu równa est dla antyprotonu lub przy czym trzeca składowa dla antyneutronu. Oznacza to w przypadku pary proton antyproton zgodne z regułam sumowana spnu zospn wynos lub. W perwszym wypadku anhlaca p p może nastąpć przy zachowanu zospnu w cząstk ne oddzałuące slne np. p p e e. W drugm mamy anhlacę które produktam są cząstk oddzaływuące slne np. p p. A ak przypsać zospn hadronom nnym nż nukleony? 5. 5

6 Pony Określene zospnu hadronów bazue na występowanu pewnych grup cząstek różnących sę edyne ładunkem elektrycznym. Taką grupę tworzą trzy mezony tryplet o zerowym spne oznaczane ako. Masy naładowanych ponów będących swom antycząstkam wynoszą 96 MeV a masa neutralnego równa est 5 MeV. Zakłada sę że wdoczna różnca mas ma pochodzene elektromagnetyczne. Przymue sę że wartość zospnu ponów wynos składowa zospnu równa est neutralnego dla dodatnego ponu przy czym trzeca dla dla uemnego. Funkce falowe ponów wyberamy ako. / Ponowne odwołuąc sę do spnu tym razem równego ne zaś wprowadzamy hermtowsk operator zospnu którego trzy składowe wynoszą: Wdzmy że funkce falowe z wartoścam własnym.. są wektoram własnym operatora Untarne transformace meszaące różne składowe zotopowe ponów konstruuemy podobne ak te dla nukleonów. Podobne sę też rzecz ma z symetrą zotopową zachowanem zospnu. ależy ednak pamętać że zachodzą one ne oddzelne dla ponów dla nukleonów lecz ednocześne dla wszystkch hadronów. Łatwo zauważyć że w reakc p n zachowana est trzeca znkaąca składowa zospnu lecz newele możemy powedzeć o pełnym zospne bo para pon nukleon mogą występować zarówno w stane ak. 6

7 etrywalną konsekwencę zachowana pełnego zospnu dostarczaą reakce: ) n p d ) p p d. W obu procesach zachowana est oczywśce trzeca składowa zospnu równa teraz że zospn stanu końcowego obu reakc wynos. Para może meć zospn lub z prawdopodobeństwam równym /. atomast para zawsze występue w stane. Skoro zospn est zachowany prawdopodobeństwo zaśca druge reakc est dwa razy wększe nż perwsze. Eksperyment potwerdza że przekró czynny na reakcę ) est rzeczywśce z dobrym przyblżenem dwa razy wększy nż przekró czynny na reakcę ). w perwszym przypadku oraz ( p Rezonanse delta w drugm. Zauważmy ( n Ostatną omawaną grupą cząstek są nezwykle cekawe rezonanse - barony o spne czase życa wynoszącym zaledwe czase śwatło pokonue drogę fm). Określane rezonanse berze sę stąd że przekró czynny na oddzaływane elastyczne gwałtowne wzrasta gdy całkowta energa w układze środka masy pary równa est mase wynoszące ok. 5 MeV. Zachodz wtedy rezonansowy proces. s (w takm Rezonanse występuą w czterech stanach ładunkowych ako. Ze względu na swoe podobeństwo delty tworzą multplet zwany kwadrupletem. Jeśl cząstka występue w czterech stanach zotopowych to e zospn wynos numerue członków kwadrupletu. a trzeca składowa zospnu równa Odwołuąc sę ponowne do spnu tym razem równego można wprowadzć hermtowsk operator zospnu sformalzować kweste zotopowe symetr zachowana zospnu. Wykład kończymy konkluzą wszystkm hadronom można przypsać zospn który est zachowywany w oddzaływanach slnych. 7