Przez n-wymiarowy wektor kolumnowy (rzeczywisty), będziemy rozumieć układ n liczb rzeczywistych x 1, x 2,..., x n ustawionych w kolumnę:

Transkrypt

1 1.1 Wektory, przestrzeń wektorowa. Przez n-wymarowy wektor kolumnowy (rzeczywsty), będzemy rozumeć układ n lczb rzeczywstych x 1, x 2,..., x n ustawonych w kolumnę: x1 x2 x = M x n Lczby x nazywamy składowym wektora x. Zbór wszystkch takch wektorów oznaczamy R n. Dwa wektory x,y R n są równe x = y, gdy ch wszystke składowe są równe: x = y dla =1,..,.n. Wektor o wszystkch składowych równych 0, nazywamy wektorem zerowym 0. Sumą dwu wektorów jest wektor, którego składowe są sumam odpowednch składowych dodawanych wektorów: z = x + y, gdy z = x + y dla = 1,..., n. Podobne loczynem wektora x przez lczbę α jest wektor, którego wszystke składowe zostały przemnoŝone przez tę lczbę: y = αx = xα, gdy y = αx dla = 1,..., n. Dzałana te spełnają następujące zaleŝnośc: x + y = y + x (x+y)+z =x+(y+z) x(αβ) = (xα)β x(α+β) = xα + xβ (x+y)α = xα + yα Iloczyn skalarny wektorów x y jest lczbą określoną następująco: n x y = x y = 1 Jak wdać, x y = y x. Jeśl x y=0, to mówmy, Ŝe wektory x y są ortogonalne (prostopadłe). Układ m wektorów jest ortogonalny, gdy wektory te są param ortogonalne. Jeśl dodatkowo dla kaŝdego wektora x x=1, to układ nazywamy ortonormalnym. Normą eukldesową wektora x nazywamy neujemną lczbę: x = n 2 x = 1 W dalszych rozwaŝanach nejednokrotne pomocne będze pojęce przestrzen lnowej (przestrzen wektorowej). Przestrzeń lnową V defnujemy jako zbór obektów (zwanych wektoram), dla których są zdefnowane operacje dodawana mnoŝena przez lczbę (skalar) o następujących własnoścach: 1. Sumą dwu wektorów z przestrzen V jest wektor, który takŝe naleŝy do tej przestrzen (zamknętość) 2. Dodawane jest przemenne x + y = y + x 3. Dodawane jest łączne (x + y) + z = x + (y + z) = x + y + z

2 4. W przestrzen stneje dokładne jeden wektor zerowy 0 tak, Ŝe x + 0 = 0 + x dla kaŝdego x. 5. Dla kaŝdego x naleŝącego do V stneje element odwrotny x tak, Ŝe x + ( x) = Iloczyn wektora z V przez skalar naleŝy do V. 7. MnoŜene przez skalar jest łączne: α(βx) = (αβ)x 8. MnoŜene przez skalar jest rozdzelne względem dodawana: α(x+y) = αx + αy (α +β)x = αx + βx 9. Dla kaŝdego x naleŝącego do V mamy 1x = x. Jeśl dodatkowo w przestrzen V stneje reguła przyporządkowująca dowolnym dwu wektorom lczbę rzeczywstą x y (loczyn skalarny) spełnającą następujące warunk: 1. (αx + βy) z = αx z + βy z (lnowość loczynu skalarnego) 2. x y = y x (przemenność loczynu skalarnego) 3. x x 0; x x = 0 wtedy tylko wtedy, gdy x = 0 (dodatna określoność), to jest to przestrzeń lnowa z loczynem skalarnym (rzeczywstym). Jeśl jakś podzbór przestrzen V tworzy przestrzeń zamknętą ze względu na zdefnowane dla V dzałana, to mówmy, Ŝe jest on podprzestrzeną przestrzen V. Mówmy teŝ, Ŝe zbór/podzbór wektorów rozpna przestrzeń/podprzestrzeń. Łatwo zauwaŝyć, Ŝe wektory loczyn skalarny określone przez nas na początku tego wykładu tworzą przestrzeń lnową z loczynem skalarnym. Późnej zobaczymy przykłady nnych obektów tworzących taką przestrzeń (np. welomany). Wracamy teraz do naszych rozwaŝań o wektorach. Weźmy m wektorów x 1,..., x m R n lczb α 1,..., α m. Wektor y = m = 1 α x nazywamy kombnacją lnową wektorów x 1,..., x m ze współczynnkam α 1,..., α m. Wektory x 1,..., x m R n nazywamy lnowo nezaleŝnym, jeŝel ch kombnacja lnowa jest wektorem zerowym tylko wtedy, gdy wszystke współczynnk są równe zeru. Jeśl wektory ne są lnowo nezaleŝne, to mówmy, Ŝe są lnowo zaleŝne. Np. wektory 1 0 oraz 0 są lnowo nezaleŝne, bo ch kombnacja moŝe być równa zeru tylko przy 1 zerowych współczynnkach przy obu wektorach Natomast, 0 1 są lnowo zaleŝne, bo = 1 0 Zbór lnowo nezaleŝnych wektorów, które rozpnają podprzestrzeń X nazywamy bazą podprzestrzen X. KaŜda podprzestrzeń (oprócz składającej sę jedyne z wektora zerowego) ma neskończene wele róŝnych baz, ale wszystke te same bazy lczą tyle samo wektorów. Lczbę tę nazywamy wymarem podprzestrzen oznaczamy dm(x).

3 1.2 Macerze. Dzałana na macerzach. Macerzą m n (rzeczywstą) nazywamy prostokątną tablcę lczb rzeczywstych o m werszach n kolumnach: a11 a12 L a1 n = a21 a22 L a2n A M M M M am1 am2 L amn Lczby a j nazywamy elementam macerzy A. Perwszy ndeks numeruje wersze, drug kolumny. Zbór wszystkch macerzy m n oznaczmy R m,n. Jak wdać, wektory kolumnowe z punktu 1.1 moŝemy utoŝsamać z macerzam o wymarach n 1 (a macerze 1 n to wektory werszowe). Kolumny macerzy są zatem wektoram kolumnowym a wersze wektoram werszowym. Jeśl m = n, to macerz A nazywamy macerzą kwadratową stopna n. Elementy, dla których ndeksy wersza kolumny są równe, to elementy dagonalne (leŝą na głównej przekątnej). Suma elementów dagonalnych nazywana jest śladem macerzy oznaczana Tr(A): Tr( A ) = n a = 1 Macerz A nazywamy macerzą dagonalną (przekątnową), jeśl wszystke pozadagonalne elementy są zeram (a j = 0 dla j). Macerz dagonalną moŝemy zapsać jako: A = dag(a 1,..., a n ). Macerz dagonalna stopna n taka, Ŝe wszystke elementy dagonalne są równe 1, to macerz jednostkowa stopna n oznaczana I (albo I n jeśl chcemy jawne zaznaczyć stopeń). Jeśl róŝne od zera elementy znajdują sę tylko na głównej przekątnej oraz na kodagonalach, to macerz nazywamy trójdagonalną (trójprzekątnową). Macerz, w której nezerowe elementy znajdują sę tylko na głównej przekątnej pod ną (nad ną), to macerz trójkątna dolna (górna). Macerz kwadratowa, dla której a j = a j nazywamy macerzą symetryczną. Sumą dwu macerzy m n jest macerz tego samego rozmaru, której elementy są sumam odpowadających m elementów macerzy sumowanych: C = A + B, gdy c j = a j + b j dla = 1,..., m j = 1,..., n. Iloczynem macerzy lczby jest macerz, której kaŝdy z elementów jest odpowadającym mu elementem macerzy wyjścowej pomnoŝonym przez tę lczbę: B = αa, gdy b j = αa j dla = 1,..., m j = 1,..., n. Dodawane macerzy oraz mnoŝene macerzy przez lczbę mają te same własnośc, co odpowadające m dzałana na wektorach. (Wnosek: R m,n jest przestrzeną lnową). Macerz transponowana (oznaczamy ją A T ) do macerzy A o wymarze m n jest macerzą o wymarze n m. Jej elementy spełnają zaleŝność:

4 (A T ) j = (A) j Innym słowy macerz transponowana do danej, to macerz, w której zamenono wersze z kolumnam. ZauwaŜmy, Ŝe przez transpozycję wektora kolumnowego x dostajemy wektor werszowy x T. Transpozycja spełna zaleŝnośc: (A T ) T = A, (A + B) T = A T + B T, (αa) T = αa T Dla macerzy symetrycznej A T = A. Iloczyn macerzy A o wymarze m l przez macerz B wymaru l n jest macerzą o wymarze m n o elementach zdefnowanych następująco: C = AB c j = l k = 1 a k b kj dla = 1,..., m; j = 1,..., n Jak wdać, aby macerze moŝna było pomnoŝyć, lczba kolumn perwszej macerzy mus być równa lczbe werszy macerzy drugej. Oznacza to, Ŝe oba loczyny (tzn. AB oraz BA) stneją równocześne tylko wtedy, jeśl A R m,n oraz B R n,m. MnoŜene macerzy spełna zaleŝnośc: A(αB) = (αa)b = α(ab) (A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC (AB) T = B T A T Tr(AB) = Tr(BA) MnoŜene macerzy ne jest przemenne, tzn. na ogół AB BA. Jeśl AB = BA, to mówmy, Ŝe macerze A B są przemenne (komutują). Dla dowolnej macerzy stneją loczyny A T A oraz AA T są macerzam symetrycznym. Iloczyn dwu dolnych (górnych) macerzy trójkątnych jest równeŝ macerzą trójkątną dolną (górną). Iloczyn macerzy dagonalnych jest macerzą dagonalną. Iloczyn dwu macerzy symetrycznych nekoneczne jest macerzą symetryczną. MnoŜene macerzy jest łączne: (AB)C = A(BC) = ABC ZauwaŜmy wreszce, Ŝe zapsując wektor werszowy jako transpozycję wektora kolumnowego moŝemy zapsać loczyn skalarny wektorów jako mnoŝene macerzowe: x y = x T y Macerz Q nazywamy ortogonalną, jeśl jej kolumny (to samo zachodz dla werszy) są nezerowe tworzą układ ortonormalny. Dla macerzy ortogonalnej Q T Q = QQ T = I.

5 1.3 Przekształcena lnowe. Rząd macerzy. Macerz odwrotna. RozwaŜmy loczyn macerzy A (m n) wektora x (o n składowych) y = Ax Wektor y ma zatem m składowych. ZaleŜność tę moŝemy znterpretować następująco: kaŝdemu wektorow x R n jest jednoznaczne przyporządkowany wektor y R m. Mówmy, Ŝe macerz A defnuje przekształcene przestrzen R n w przestrzeń R m (w skróce przekształcene A) Wektor y nazywamy obrazem wektora x. Przekształcene A nazywamy lnowym, gdyŝ spełna zaleŝnośc: A(x + y) = Ax + Ay, A(xα) = (Ax)α Zbór wszystkch moŝlwych obrazów wektorów nazywamy przestrzeną wartośc przekształcena. Rzędem macerzy A (oznaczamy rank(a)) nazywamy maksymalną lczbę lnowo nezaleŝnych kolumn macerzy A (albo maksymalną lczbę lnowo nezaleŝnych werszy, bo obe są równe). Macerz kwadratową stopna n nazywamy neosoblwą, jeśl rank(a) = n (czyl rząd jest równy stopnow). Jeśl rank(a) < n, to macerz jest osoblwa. JeŜel macerz jest neosoblwa, to moŝemy określć przekształcene odwrotne do A, take, Ŝe kaŝdemu wektorow y z przestrzen przekształcena A przyporządkowuje dokładne jeden wektor x tak, Ŝe y = Ax. Przekształcene odwrotne jest przekształcenem lnowym, oznaczamy je A -1, określone jest macerzą A -1 zwaną macerzą odwrotną do A (odwrotnoścą macerzy A). Macerz ta jest jednoznaczne określona przez kaŝdy z warunków: AA -1 = I, A -1 A = I gdze I jest macerzą jednostkową odpowednego stopna. Odwrotnośc macerzy spełnają zaleŝnośc: (A -1 ) -1 = A, (αa) -1 = α -1 A -1, (A T ) -1 = (A -1 ) T dla wszystkch neosoblwych macerzy A nezerowych α. Iloczyn macerzy kwadratowych jest macerzą neosoblwą, gdy kaŝdy z czynnków jest macerzą neosoblwą wtedy (AB) -1 = B -1 A -1 KaŜda macerz ortogonalna Q jest neosoblwa zachodz Q -1 = Q T. Nech A będze macerzą kwadratową. Funkcję, która kaŝdemu wektorow x przyporządkowuje lczbę rzeczywstą x T Ax nazywamy formą kwadratową macerzy A. Analogczne formą dwulnową nazywamy funkcję, przyporządkowującą lczbę x T Ay parze wektorów x, y. Jeśl x T Ax > 0 dla dowolnego x 0, to macerz A nazywamy dodatno określoną. A jest ujemne określona, gdy A jest dodatno określona.

6 1.4 Wyznacznk. KaŜdej macerzy kwadratowej stopna n przypsujemy lczbę rzeczywstą det(a), nazywaną wyznacznkem macerzy, zdefnowaną następująco: det(a) = ε j j j a n j a j... a njn gdze ndeksy j k są róŝne przyjmują wartośc od 1 do n a sumowane begne po ch wszystkch permutacjach. Czynnk ε przyjmują wartość -1 lub 1 w zaleŝnośc od tego, czy do uporządkowana ndeksów j w kolejnośc rosnącej potrzeba neparzystej czy parzystej lczby wyman dwu elementów. Częścej korzysta sę z równowaŝnej, rekurencyjnej defncj wyznacznka: dla n =1 det(a) = a 11 dla n > 1 dowolnego wskaźnka kolumny j n + j det(a) = ( 1) aj det( A = 1 (, j) ) gdze det(a (,j) ) (tzw. mnor(,j) macerzy A) to wyznacznk macerzy A (,j) powstałej przez wykreślene -tego wersza j-tej kolumny z macerzy wyjścowej. (Iloczyn ( 1) +j det(a (,j) ) nazywamy dopełnenem algebracznym elementu a j ) Wzór ten nazywamy rozwnęcem wyznacznka względem j-tej kolumny. Analogczne moŝna zdefnować rozwnęce wyznacznka względem wersza. Wyznacznk ne zaleŝy od wersza lub kolumny uŝytej do rozwnęca. Netrudno zatem zauwaŝyć, Ŝe warto wyberać wersz lub kolumnę zawerające jak najwęcej zer. Zobaczmy, Ŝe dla wyznacznka macerzy stopna 2 obe defncje prowadzą do tego samego wynku. Defncja permutacyjna: det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 Przed perwszym członem sto 1 a przed drugm -1, ponewaŝ w perwszym przypadku do uporządkowana ndeksów kolumn musmy wykonać 0 (lczba parzysta) a w drugm 1 (neparzysta) zamanę. Defncja rekurencyjna, rozwnęce wg. perwszego wersza: det(a) = (-1) 1+1 a 11 det(a (1,1) ) + (-1) 1+2 a 12 det(a (1,2) ) = a 11 a 22 a 12 a 21 (bo po wykreślenu 1 wersza 1 kolumny zostaje nam element a 22 a po wykreślenu 1 wersza 2 kolmny element a 21.) Analogczne moŝna sprawdzć, Ŝe obe defncje dadzą nam znany schemat oblczana wyznacznka stopna trzecego. Perwsza defncja pozwala nam łatwo oszacować koszt oblczana wyznacznka stopna n. ZauwaŜmy, Ŝe w sume mamy n! składnków (bo tyle jest permutacj n ndeksów) a kaŝdy składnk wymaga wykonana (n-1) mnoŝeń. Łączne potrzeba zatem (n-1)n! mnoŝeń ( n! 1 dodawań, ale ch koszt w porównanu z mnoŝenam moŝna pomnąć). Koszt oblczena wyznacznka w ten sposób rośne gwałtowne wraz z n, co powoduje, Ŝe z wyjątkem małych n obe powyŝsze defncje są bezuŝyteczne w praktycznych oblczenach.

7 W zastosowanach często korzysta sę z następujących własnośc wyznacznka: 1. Przestawene dwu werszy (kolumn) zmena znak wyznacznka. 2. Jeśl dwa wersze (kolumny) macerzy są jednakowe, to wyznacznk jest równy Jeśl wersz (kolumna) macerzy zawera same zera, to wyznacznk jest równy Dodane krotnośc wersza (kolumny) do nnego wersza (kolumny) ne zmena wyznacznka. 5. PomnoŜene wersza (kolumny) macerzy przez α zwększa wyznacznk α razy. W szczególnośc det(αa) = α n det(a) 6. det(a T ) = det(a) 7. det(ab) = det(a)det(b) 8. det(a) 0 wtedy tylko wtedy gdy A jest neosoblwa. 9. det(a -1 ) = 1/det(A) ZauwaŜmy, Ŝe szczególne łatwo polczyć wyznacznk dla macerzy trójkątnej (w tym oczywśce dagonalnej): jest on wtedy loczynem elementów na przekątnej. Dla macerzy ortogonalnej det(q) = 1. Powedzmy jeszcze na konec, Ŝe macerz odwrotną moŝna oblczyć jako transponowaną macerz dopełneń algebracznych podzeloną przez det(a). Do praktycznych oblczeń zaleŝność ta jest równe bezuŝyteczna, jak przedstawone wyŝej defncje wyznacznka. Na następnym wykładze przedstawmy praktyczny sposób oblczana wyznacznka odwracana macerzy. 1.5 Wektory macerze zespolone. Zbór lczb zespolonych będzemy oznaczać C. Przypomnjmy, Ŝe kaŝdą lczbę zespoloną moŝna jednoznaczne przedstawć w postac α+β, gdze α β to lczby rzeczywste, natomast oznacza jednostkę urojoną ( 2 = 1). Lczby α β to odpowedno część rzeczywsta urojona lczby zespolonej. W C zerem jest lczba 0+0. Jeśl λ=α+β µ=γ+δ to: λ±µ = (α±γ) + (β±δ) λµ = (αγ-βδ) + (αδ+βγ) Lczba sprzęŝona do λ=α+β to λ * =α β Moduł lczby λ to neujemna lczba rzeczywsta określona następująco: 2 λ = λλ * = α + β 2 Analogczne do wektorów macerzy rzeczywstych mamy wektory zespolone w C m macerze zespolone w C m,n. Ich składowym elementam są lczby zespolone. W szczególnośc wektory macerze rzeczywste moŝna traktować jako szczególny przypadek wektorów macerzy zespolonych. Macerzą sprzęŝoną do macerzy A nazywamy macerz A określoną następująco: A = (A * ) T SprzęŜene macerzy zespolonych jest odpowednkem transpozycj macerzy rzeczywstych. Zachodz (A ) = A

8 Iloczyn skalarny dla wektorów zespolonych to lczba zespolona: m x * y = x y = 1 ZauwaŜmy, Ŝe x y = (y x) * Wektory x y są ortogonalne, gdy x y = 0 Macerz hermtowska, to macerz, dla której A = A Rzeczywsta macerz symetryczna jest zatem macerzą hermtowską. Zespolonym odpowednkem rzeczywstej macerzy ortogonalnej jest macerz untarna. Zachodz dla nej Q Q = QQ = I. 1.6 Wartośc własne weloman charakterystyczny macerzy. Lczbę λ nazywamy wartoścą własną macerzy A, jeśl stneje tak nezerowy wektor x, Ŝe Ax = λx (x mus być nezerowe, bo dla x = 0 równość zachodz dla dowolnego λ). KaŜdy tak wektor nazywamy wektorem własnym A przynaleŝnym do λ. Netrudno zauwaŝyć, Ŝe kaŝda krotność wektora własnego jest teŝ wektorem własnym. TakŜe kaŝda (róŝna od 0) kombnacja lnowa wektorów własnych A przynaleŝnych do λ jest wektorem własnym przynaleŝnym do λ. PowyŜszą równość moŝemy zapsać jako: (A λi)x = 0 W następnym wykładze powemy, Ŝe tak układ ma netrywalne rozwązane, gdy det(a λi) = 0 Jest to równane charakterystyczne macerzy. Po rozwnęcu wyznacznka otrzymujemy weloman n-tego stopna względem λ o współczynnkach zaleŝnych od elementów macerzy A. Weloman ten nazywamy welomanem charakterystycznym macerzy. Wartoścam własnym macerzy są zatem zera jej welomanu charakterystycznego. Dana wartość własna moŝe być welokrotna, mówmy wtedy, Ŝe jest zdegenerowana. Z podstawowego twerdzena algebry wynka zatem, Ŝe kaŝda macerz stopna n ma dokładne n wartośc własnych (lczonych z ch krotnoścam). RóŜnym wartoścom własnym odpowadają lnowo nezaleŝne wektory własne. Zbór wszystkch wartośc własnych macerzy to wdmo macerzy. Macerz rzeczywsta moŝe meć, jak wdać, zespolone wartośc własne ( zespolone wektory własne), bo weloman o współczynnkach rzeczywstych moŝe meć zespolone perwastk. Wartoścam własnym macerzy rzeczywstych są zatem lczby rzeczywste ( przynaleŝne do nch rzeczywste wektory własne) lub pary zespolonych (wzajemne sprzęŝonych) wartośc własnych (z zespolonym, wzajemne sprzęŝonym wektoram własnym).

9 Wszystke wartośc własne macerzy hermtowskej (czyl w szczególnym przypadku rzeczywstej symetrycznej) są rzeczywste. Jej wektory własne odpowadające róŝnym wartoścom własnym są param ortogonalne. ChocaŜ teoretyczne wartośc własne kaŝdej macerzy moŝna wyznaczyć znajdując perwastk jej welomanu charakterystycznego, praktyczne moŝna to wykonać jedyne dla małych n lub pewnych specyfcznych przypadków. Wyznaczane wartośc własnych macerzy jest zagadnenem dobrze uwarunkowanym, tzn. mała zmana elementów macerzy prowadz do małej zmany wartośc własnych. Znajdowane zer welomanu jest w ogólnośc problemem źle uwarunkowanym mała zmana współczynnków welomanu moŝe prowadzć do znacznych zman mejsc zerowych. Zamenając szukane wartośc własnych macerzy na matematyczne równowaŝny problem szukana mejsc zerowych jej welomanu zamenamy problem numeryczne dobrze uwarunkowany na problem bardzo źle uwarunkowany. Ne tędy węc wedze droga do numerycznego znajdowana wartośc własnych macerzy. 1.7 Podobeństwa. Nech T będze macerzą neosoblwą. Dla macerzy A rozwaŝmy macerz B = T -1 AT. Transformację A w B = T -1 AT nazywamy przekształcenem podobeństwa (podobeństwem) a o macerzach A B mówmy, Ŝe są podobne. W oblczenach szczególne stotne są podobeństwa ortogonalne (untarne), tzn. take, Ŝe macerz T jest ortogonalna (untarna). Wartośc własne macerzy ch krotnośc są nezmenncze względem podobeństwa, tzn. macerze A B mają take same wartośc własne. Jeśl wektor x jest wektorem własnym A przynaleŝnym do wartośc własnej λ, to wektor T -1 x jest wektorem własnym B przynaleŝnym do λ. Podobeństwo zachowuje teŝ ślad macerzy. Podobeństwo ortogonalne zachowuje symetrę macerzy symetrycznej. Jeśl dla danej macerzy A stneje taka macerz P, Ŝe P -1 AP = Λ = dag(λ 1,..., λ n ), to mówmy, Ŝe macerz A jest dagonalzowalna (a powyŝsza operacja to dagonalzacja macerzy). KaŜdą macerz symetryczną (hermtowską) moŝna zdagonalzować przekształcenem ortogonalnym (untarnym) Q: Q T AQ = Λ = dag(λ 1,..., λ n ) Macerze nesymetryczne mogą ne być dagonalzowalne. ZauwaŜmy, Ŝe jeśl X to macerz n lnowo nezaleŝnych wektorów własnych A, to AX = XΛ zatem X -1 AX = Λ MoŜemy sę jeszcze zastanowć, kedy dwe macerze A B mogą być zdagonalzowane przez to samo podobeństwo. OtóŜ tylko wtedy, jeśl ch mnoŝene jest przemenne. (I wtedy mają ten sam układ wektorów własnych.)

10 1.8 Przekształcena ortogonalne. Rozkład QR. Ze względu na stotną rolę przekształceń ortogonalnych w metodach numerycznych, omówmy blŝej dwa ch typy. Nech u będze rzeczywstym wektorem o norme równej 1. Przekształcene H = I 2uu T nazywamy przekształcenem Householdera. Przekształcene to jest odbcem zwercadlanym. Macerz odbca jest symetryczna spełna równośc: H = H T = H -1. Macerz odbca moŝemy teŝ przedstawć w postac: T v T v H = I v 1 γ v, gdze γ = 2 Odbce moŝna wykorzystać m. n. do wyzerowana wszystkch składowych danej kolumny z wyjątkem perwszej. Drugą waŝną grupą przekształceń ortogonalnych są obroty. Macerz G pq obrotu płaskego (Gvensa) w płaszczyźne rozpętej na dwu wersorach e p, e q róŝn sę od macerzy jednostkowej czterema elementam (G pq ) pp = (G pq ) qq = c (G pq ) pq = (G pq ) qp = s gdze c 2 + s 2 =1 G pq 1 = c s p q s c p q 1 Przekształcene to zmena jedyne składowe p-tą q-tą. MoŜna je znterpretować jako obrót o kąt φ w płaszczyźne rozpętej przez wersory, przy czym c = cosφ, s = snφ. Obroty Gvensa moŝna wykorzystać do wprowadzana zer w wybrane mejsca w macerzy. Dla macerzy kwadratowej A moŝna znaleźć ortogonalną macerz Q trójkątną górną macerz R take, Ŝe A = QR. Jest to tzw. rozkład QR. MoŜna go wykonać wykorzystując odpowedno dobrane odbca Householdera lub obroty Gvensa. Analogczne stneje rozkład LQ: A = LQ (macerz L jest trójkątna dolna). Są to tzw. rozkłady ortogonalno-trójkątne.

11 1.9 Wykorzystane podobeństw do dagonalzacj macerzy. W punkce 1.7 powedzelśmy, Ŝe kaŝdą macerz symetryczną moŝna doprowadzć do postac dagonalnej przez transformację podobeństwa. Ne daje to jednak przepsu, jak taką transformację znaleźć. Zasadnczo stratege dagonalzacj macerzy A przez podobeństwo operają sę na wykorzystanu sekwencj podobeństw P 1, P 2... tak dobranych, by przetransformowane macerze dąŝyły do macerzy dagonalnej. A P 1-1 A P 1 P 2-1 P 1-1 A P 1 P 2 P 3-1 P 2-1 P 1-1 A P 1 P 2 P 3 td. Jeśl w ten sposób dojdzemy do macerzy dagonalnej, to na jej przekątnej mamy wartośc własne macerzy A a jej wektory własne są kolumnam macerzy X będącej złoŝenem zastosowanych podobeństw X = P 1 P 2 P 3... Metody te moŝemy podzelć na dwe grupy. I. W perwszej grupe metod macerze P są doberane tak, by zrealzować konkretny cel, np. wyzerować zadany element pozadagonalny albo zadany wersz bądź kolumnę. Da sę to wykonać obrotam lub odbcam. W ogólnośc skończona sekwencja takch dzałań ne doprowadz do postac dagonalnej. Mamy dwe moŝlwośc: 1. Prowadzć teracje tak długo, aŝ wartośc bezwzględne elementów pozadagonalnych staną sę mnejsze od zadanej wartośc progowej. Wtedy na dagonal będą przyblŝena wartośc własnych macerzy A z błędem, który da sę oszacować. 2. Wykorzystać skończoną lczbę transformacj, aby doprowadzć macerz do postac trójdagonalnej (da sę to zrobć w skończonej lczbe kroków) a dalej kontynuować metodą z grupy II. II Druga grupa metod wykorzystuje tzw. faktoryzacje. ZałóŜmy, Ŝe macerz A da sę przedstawć jako loczyn dwu czynnków: lewego L prawego R. A = LR wtedy L -1 A = L -1 LA = R MoŜemy wtedy pomnoŝyć czynnk w odwrotnej kolejnośc mamy: RL = L -1 AL Jak wdać, przetransformowalśmy macerz A przez podobeństwo. MoŜemy sfaktoryzować wynkową macerz kontynuować proces. TakŜe w tym przypadku ne uzyskamy macerzy dagonalnej w skończonej lczbe kroków, ale w dobrych metodach zbeŝność jest dostateczne szybka.

12 1.10 Metoda Jacobego. Metoda Jacobego jest algorytmem rozwązywana symetrycznego zagadnena własnego, tzn. wyznaczena wartośc własnej macerzy symetrycznej ewentualne wektorów własnych naleŝącym do perwszej grupy metod z pkt Jej zasadą jest przekształcane macerzy A za pomocą cągu obrotów: A 1 = A, A k+1 = G k T A k G k z tak dobranym macerzam obrotów, aby macerze A k stopnowo zblŝały sę do postac dagonalnej. Przypuśćmy, Ŝe w danym kroku chcemy wyzerować element a pq macerzy. MoŜna sprawdzć, Ŝe po obroce w płaszczyźne rozpętej przez wersory p, q element ten będze równy (po obroce element będzemy zaznaczać prmem): a pq = cs(a pp a qq ) + (c 2 s 2 )a pq Zatem mus być: c 2 + s 2 = 1 cs(a pp a qq ) + (c 2 s 2 )a pq = 0 Zakładamy, Ŝe a pq 0. Wtedy mus być c 0. MoŜemy węc wprowadzć t = s/c Z równośc wyŝej dostajemy wtedy t 2 + 2δt 1 = 0 gdze δ = (a qq a pp )/(2a pq ) Po rozwązanu dostajemy następne 2 1/ ( δ + 1+ δ ), gdy δ 0 t = 2 1/ ( δ + 1+ δ ), gdy δ < 0 Dalej oblczamy c + 2 = 1/ 1 t, s = tc, τ = s/(1+c) ostateczne otrzymujemy wzory na nowe elementy macerzy: a pp = a pp ta pq a qq = a qq + ta pq a pq = a qp = 0 oraz dla p,q a p = a p = a p s(a q + τa p ) a q = a q = a q + τ(a p + a p) Pozostaje jeszcze kwesta, który element wyberamy do usunęca w danym kroku. W klasycznej metodze Jacobego wybera sę najwększy element pozadagonalny. To jednak wymaga dodatkowego nakładu pracy na jego wyszukane. W cyklcznej metodze Jacobego w kolejnych krokach wybera sę kolejne elementy pozadagonalne (np. przechodząc po elementach kolumnam lub werszam). Po przejścu po wszystkch elementach cykl (zwany wymatanem) sę powtarza. W praktyce zerowane

13 elementu bardzo małego co do wartośc bezwzględnej newele przyblŝa nas do rozwązana, zatem elementy, których moduł jest mnejszy od pewnej wartośc progowej pomja sę. Zarówno w klasycznej, jak cyklcznej wersj metody zera wprowadzone w pewnym kroku są nszczone w następnych, tym nemnej moduły elementów pozadagonalnych systematyczne maleją macerz zblŝa sę do postac dagonalnej. Procedurę przerywa sę, gdy moduły elementów pozadagonalnych zmaleją ponŝej załoŝonej wartośc Algorytm QR. Algorytm QR naleŝy do drugej grupy metod z punktu 1.9. Wykorzystuje rozkład ortogonalno-trójkątny macerzy. Mamy A = QR, gdze Q jest macerzą ortogonalną a R górną trójkątną. Oczywśce Q T A = R (bo Q T = Q -1 ). Zatem RQ = Q T AQ = A Macerz A jest macerzą A przekształconą przez podobeństwo. Powtarzamy dla nej procedurę. Jak sę okazuje, cąg tych macerzy będze dąŝył do macerzy dagonalnej (z pewnym, ale rozwązywalnym komplkacjam przy zdegenerowanych wartoścach własnych). Akumulując transformacje z kolejnych kroków Q 1 Q 2 Q 3... dostajemy macerz wektorów własnych. Alternatywne moŝna wykorzystać rozkład A = QL. Ze względów praktycznych ne opłaca sę stosować od razu algorytmu QR do wyjścowej macerzy A. Efektywnej jest doprowadzć ją najperw do postac trójdagonalnej (np. odbcam Householdera) dopero dla nej wykorzystać metodę faktoryzacj Wektory macerze a operatory. Zagadnene własne w chem kwantowej. Mędzy wektoram a macerzam a rachunkem operatorów zachodz ścsły zwązek. Operator Fˆ dzałający w pewnej przestrzen to odwzorowane przyporządkowujące pewnemu wektorow v nny wektor v : v = Fˆ v Interesują nas tutaj operatory lnowe. Dzałane operatora lnowego jest wyznaczone przez podane jego dzałana na wektory bazy danej przestrzen. Obrazem wektora bazy e pod dzałanem operatora jest wektor e : e ' = Fˆ e Oblczając jego loczyn skalarny z wektorem bazy e j dostajemy element macerzowy operatora Fˆ w danej baze: ' F j = e e = e Fˆ e ) j j ( Operator w pewnej baze moŝna zatem przedstawć podając macerz jego elementów macerzowych. Zagadnene własne operatora, tzn. znalezene jego wartośc własnej F oraz funkcj własnej v Fˆ v = Fv odpowada wyznaczanu wartośc wektorów własnych odpowednej macerzy. Badanem wdm operatorów zajmuje sę teora spektralna.

14 Dla chemka prawdopodobne najbardzej nteresujące jest zastosowane operatorów (a zatem wektorów macerzy) w mechance kwantowej. W mechance kwantowej wykorzystuje sę pojęce przestrzen Hlberta: jest to neskończene wymarowa przestrzeń lnowa z określonym loczynem skalarnym generującym normę tej przestrzen. Przestrzeń ta jest zupełna kaŝdy cąg zblŝających sę do sebe elementów ma grancę naleŝącą do przestrzen. Wektoram rozpatrywanym w fzycznej przestrzen Hlberta są dające sę unormować funkcje. Powszechne znanym zagadnenem własnym w mechance kwantowej jest nezaleŝne od czasu równane Schrödngera Ĥ Ψ = EΨ gdze Ĥ jest hamltonanem, E wartoścą własną energ a Ψ funkcją własną. Rozwązane tego zagadnena oznacza zatem zdagonalzowane macerzy hamtonanu. (Dla zanteresowanych: dobre omówene tych zagadneń moŝna znaleźć w ksąŝce R. Shankar, Mechanka kwantowa, PWN 2006) W szczególnośc w metodze kombnacj lnowej przedstawamy poszukwaną funkcję własną Ψ jako kombnację lnową funkcj bazy ϕ z pewnym współczynnkam c Ψ = c ϕ W podręcznkach chem kwantowej pokazuje sę, Ŝ znalezene wartośc współczynnków c sprowadza sę do rozwązana równana (w zapse macerzowym): HC=EC gdze H to macerz elementów hamltonanu, C to macerz, której kolumny zawerają współczynnk rozwnęca kolejnej funkcj własnej na funkcje bazy a E to dagonalna macerz energ (jej elementy dagonalne to energe kolejnych stanów własnych). (Ścślej borąc jest to równane dla ortonormalnych funkcj bazy, ponewaŝ jednak bazę moŝna zawsze zortogonalzować, pozostanemy przy tym przypadku). Korzystając z macerzy odwrotnej do C mamy C -1 HC = E Problem sprowadza sę zatem do wyznaczena macerzy C dagonalzującej macerz hamltonanu H. Na przykład, wyberając jako funkcje bazy orbtale atomowe dla poszczególnych atomów tworzących cząsteczkę, oblczamy elementy macerzowe hamltonanu tworzymy odpowedną macerz. Po jej zdagonalzowanu dostajemy macerz współczynnków kombnacj lnowych odpowadających orbtalom molekularnym oraz wartośc energ orbtal molekularnych.