Algorytmy szukania równowag w grach dwumacierzowych
|
|
- Dagmara Kania
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzał 2 Algorytmy szukana równowag w grach dwumacerzowych 2. Algorytm Lemke-Howsona Dzseszy wykład pośwęcony będze temu, ak szukać równowag w grach dwumacerzowych. Poneważ temu były uż w wększośc pośwęcone wczorasze ćwczena, węc w tym momence znamy uż pewen algorytm szukana równowag. Z grubsza można go opsać następuąco:. Wykreślamy ze zborów strateg te stratege, które są zdomnowane. 2. Wśród strateg, które nam zostały, rozważamy wszystke możlwe podzbory, dla tych podzborów: (a) rozwązuąc pewne układy równań, określamy, ake stratege skoncentrowane na wybranych przez nas zborach mogą być w równowadze; (b) sprawdzamy, czy rzeczywśce są równowagą. Ne trzeba być genuszem, żeby zauważyć, że tak algorytm, chocaż wygodny do oblczeń na paperze (tablcy), będze dla ger o wększych zborach strateg czystych bardzo wolny. Jeśl bowem w dane grze ne ma strateg zdomnowanych (a tak będze bardzo często), to w drugm kroku algorytmu będzemy musel rozważyć ako nośnk strateg w równowadze wszystke podzbory zboru strateg czystych, czyl dla gry z n strateg. gracza m drugego wykonać drug krok algorytmu 2 n+m razy, co oznacza, że ten algorytm będze mał wykładnczą złożoność, to ne tylko w akchś nagorszych, zdegenerowanych przypadkach, ale dla wększośc ger. Stąd powstała potrzeba znalezena akegoś nnego, bardze efektywnego algorytmu. Zanm dodzemy do samego algorytmu szukana równowag, spróbumy przedstawć problem szukana równowag w alternatywne postac, dostosowane do stosowana algorytmów geometrycznych (tego typu, co algorytm sympleks dla programowana lnowego), czyl przy pomocy pewnego układu nerównośc. Nech tradycyne A m n oznacza macerz wypłat perwszego gracza, a B m n macerz wypłat drugego. Nech µ = [µ,..., µ m ] będze strategą meszaną w równowadze., a σ = [σ,..., σ n ] 2. gracza. Dodatkowo, przez v oznaczymy wypłatę w te równowadze perwszego z graczy, a przez v 2 drugego.
2 Zgodne z tym, co pokazalśmy na ćwczenach, dla strateg w równowadze muszą być spełnone następuące warunk: { a σ = v dla z nośnka µ a σ v dla spoza nośnka, (To perwsze, to dokładne układ równośc z ćwczeń; nerównośc w drugm werszu zagwarantuą nam, że µ będze nalepszą odpowedzą na σ). Podobne dla drugego gracza: { b µ = v 2 dla z nośnka σ b µ v 2 dla spoza nośnka, Ponadto, poneważ v v 2 są wypłatam w równowadze (µ, σ), węc dodatkowo mus być spełnone a µ σ = v oraz b µ σ = v 2. Przymmy teraz sobe = µ v 2 oraz y = σ v. Dla takch y, warunk podane wcześne będą mplkować: { a także: a y = dla z nośnka a y dla spoza nośnka + y = v v v 2 + v 2 v v 2 = v 2 + v = { b = dla z nośnka y b dla spoza nośnka y, (2.) a y + b y. (2.2) Okazue sę, że ten układ warunków (plus założene o neuemnośc y), uż wystarczy do polczena strateg w równowadze. Dokładne, prawdzwe będze take twerdzene: [ ] 0 A Twerdzene 2. Nech z = [, y] T, q = [,..., ] T m+n oraz C = B T dodatkowo załóżmy, że C > 0. Dowolne nezerowe rozwązane z następuącego problemu: 0 znadź z take, że: z 0, (2.3) ma taką własność, że µ = o macerzach wypłat A B. q Cz 0, (2.4) z T (q Cz) = 0, (2.5) oraz σ = y y est równowagą w grze dwumacerzowe Uwaga 2. Założene, że C > 0 ne ograncza nas zbytno, bo stratege w równowadze w grze dwumacerzowe z macerzam wypłat A, B pozostaą w równowadze w grze z macerzam A + c, B + c, gdze c est pewną stałą. Żeby węc znaleźć równowagę w grze z macerzam, w których są elementy uemne, wystarczy do tych macerzy dodać pewną stałą dodatną, otrzymuąc w ten sposób grę spełnaącą założena naszego twerdzena, a ednocześne posadaącą równowag take same ak w grze wyścowe. Dowód: =: Jeśl rozpszemy warunek (2.5), dostanemy 0 = = ( a y ) + y ( + y a y 9 b ) (2.6) b y,
3 czyl równość (2.2). Warunek (2.4) zapsany w postac układu nerównośc będze wyglądał tak: { a y 0 (2.7) b 0, czyl są to lekko osłabone warunk (2.), które zapsałem wcześne. Dla odmany, warunek (2.3) oznacza, że µ v 2 0 oraz σ v 0, co mus być spełnone, eśl µ σ będą rozkładam prawdopodobeństwa, a macerz C (czyl w konsekwenc wypłaty obu graczy) będze neuemna. Wnosek z tego tak, że równowaga Nasha na pewno będze rozwązanem problemu sformułowanego w twerdzenu. = : Druga część dowodu mus być taka, że mamy pokazać, że ne ma rozwązań tego problemu, które ne dawałyby równowag Nasha. No to załóżmy ne wprost, że µ =, σ = y y, [, y]t est nezerowym rozwązanem naszego problemu, ale µ σ ne tworzą równowag Nasha. Jak uż wcześne napsalśmy, warunek (2.5) można zapsać ako (2.6). Borąc pod uwagę to, że wszystke 0, y 0 oraz dodatkowo spełnone są warunk (2.7), żeby suma w (2.6) była równa 0, każdy z e elementów mus być równy 0. To z kole oznacza, że { a y tylko wtedy, gdy = 0 b tylko wtedy, gdy y = 0. A zatem (2.7) możemy zapsać w mocnesze postac: { a y = eśl > 0 a y < eśl = 0, oraz { b = eśl y > 0 b < eśl y = 0, co est równoważne warunkom: a σ = =: v y dla z nośnka µ a σ < v dla spoza nośnka, { b µ = =: v 2 dla z nośnka σ b µ < v 2 dla spoza nośnka, czyl warunkom, które mus spełnać równowaga Nasha, co oznacza sprzeczność, bo zakładalśmy, że µ σ ne tworzą równowag. Teraz, co wynka z udowodnonego twerdzena? Otóż problem, który poawł sę w powyższym twerdzenu należy do pewne znane klasy problemów, dla które stneą algorytmy podobne do algorytmu sympleks, służące do ego rozwązywana. Dla dowolne macerzy kwadratowe C problem opsany nerównoścam ( ) nazywa sę problemem komplementarnośc lnowe (LCP), formułue sę go następuąco: Nech C będze macerzą l l (kwadratową), a q wektorem l złożonym z samych edynek. Znadź z l, spełnaący: z 0, q Cz 0, z T (q Cz) = 0. Dwa perwsze warunk nazywamy ogranczenam lnowym, trzec warunkem komplementarnośc lnowe. 0
4 Algorytm rozwązywana takch problemów wymyśll Lemke Howson. Na początek spróbuę wytłumaczyć, aka est ogólna dea tego algorytmu. Zbór wektorów w odpowedne przestrzen l-wymarowe spełnaących zestaw lnowych ogranczeń (dwa perwsze warunk zadaące LCP), est wypukłym weloścanem. Równość w każdym z tych lnowych warunków oznacza, że w danym momence esteśmy na odpowedne ścane tego weloścanu; eśl spełnone est naraz l z nch, esteśmy ednocześne na l ścanach, czyl w werzchołku. Teraz zauważmy, że warunek (2.6) oznacza właśne tyle, że eśl znaleźlśmy rozwązane naszego problemu, to w co namne l z tych warunków est równość, węc esteśmy w werzchołku. A zatem nasz algorytm ma znaleźć eden z werzchołków naszego weloścanu. Istotne est ednak to, że ne każdy werzchołek będze rozwązanem. Rozwązanam będą tylko te werzchołk, dla których spełnony będze warunek (2.6), który mów, że rozwązane mus być częścą wspólną l ścan o l różnych ndeksach (stneą dwe ścany o każdym z ndeksów od do l edną ścaną o ndekse est ścana spełnaąca warunek z = 0, drugą spełnaąca c z = ). Stąd kolene krok algorytmu będą polegały na przechodzenu (wzdłuż krawędz) od werzchołka do werzchołka do momentu, w którym będze spełnony warunek komplementarnośc. Zacznemy przy tym od edynego znanego nam rozwązana naszego problemu (ale rozwązana, które zgodne z twerdzenem nas ne nteresue), czyl samych zer. Formalne algorytm Lemke-Howsona będzemy wykonywać przy pomocy następuące tablcy: z z 2... z l c c 2... c l r c 2 c c 2l r r 3 c l c l2... c ll r 4 Elementy te tablcy będzemy oznaczać przez d. Tablca ta reprezentue układ równań q Cz = r, gdze r est zmenną równą -te współrzędne q Cz, c z. Zmenne u góry tablcy są równe zero, wartośc pozostałych są równe temu, co sto w l +. kolumne tablcy. Startuemy z punktu z = 0, który est rozwązanem LCP, ale ne generue równowag Nasha, w kolenych krokach algorytmu wykonuemy następuące operace:. Wyberamy (dowolną, np. perwszą) kolumnę macerzy 0. Zapamętuemy, która to była kolumna (czyl zmenna z akm ndeksem w ne stała). 2. Wyberamy tak wersz 0, że d 0 0 < 0 oraz d 0,l+ d 0 0 nazywamy testem namneszego lorazu). est namnesze (tę regułę 3. Wymenamy zmenną bazową (z prawe w werszu 0 ) ze zmenną nebazową (u góry w werszu 0 ), stosuąc te same reguły zmany tablcy przy wymane zmennych co w algorytme sympleks w zeszłym tygodnu (ak wtedy, d 0 0 z tyldą oznaczaą wartośc d 0 0 po wymane zmennych): d 0 0 = d 0 0 d 0 = d 0 d 0 0 0
5 d 0 = d 0 d d = d d 0 d 0 d 0 0 poza tym. Jeśl numer zmenne opuszczaące bazę r był nny nż zmenne z perwszego punktu, zmenną z tym numerem wyberamy w następnym kroku ako tę, która wedze do bazy. Wyberamy kolumnę, w które sto zmenna o tym numerze wracamy do punktu 2. Jeśl numer zmenne opuszczaące bazę był tak sam ak numer perwsze wybrane przez nas, to algorytm sę kończy, a my możemy odczytać z tablcy rozwązane LCP. Robmy to w następuący sposób: te ze zmennych z, które pozostały u góry tablcy maą wartość 0, pozostałe maą wartośc równe tym w l +. kolumne tablcy. Sens takego łańcuszka, oraz warunku kończącego algorytm, est tak: naszym celem est znalezene takego punktu, w którym dla każdego ndeksu albo zmenna z, albo -ta współrzędna q Cz, r będze równa zero. W zwązku z tym, eśl na którymś kroku wyzerowalśmy zmenną o ndekse, z lub r, to sprawdzamy, czy druga z tych zmennych też est wyzerowana eśl tak, staramy sę wymenć tę drugą na zmenną o takm ndekse, że w dane chwl an z an r ne est wyzerowana. W ten sposób otrzymalbyśmy sytuacę, w które zarówno edna ze zmennych z, r, ak edna ze zmennych z, r est wyzerowana. Jeśl na danym kroku to nam sę ne udae, to wymenamy edną ze zmennych o ndekse (które w takm wypadku są obe u góry tablcy, czyl ch wartość est ustawona na zero) na akąś nną zmenną (dzęk czemu ednocześne na żadnym kroku algorytmu ne ma węce nż ednego ndeksu takego, że zarówno zmenna r o takm ndekse, ak zmenna z o takm ndekse, est wyzerowana). Powtarzamy to tak długo, aż u góry (wśród zmennych wyzerowanych) będze sę znadowało po edne zmenne o każdym ndekse, czyl będze spełnony warunek komplementarnośc. Przykład 2 Mamy znależć równowagę w grze dwumacerzowe z macerzam wypłat: A = [ W takm przypadku macerz C =. Zapszmy teraz wszystko w po- stac tabelk. 2 Tego ne było na wykładze. ], B = [ z z 2 z 3 z 4 z r r r r r 5 ]. 2
6 Nech k =, co oznacza, że ako zmenną wchodzącą do bazy wyberamy z. Używaąc testu namneszego lorazu wyberamy r 4 ako zmenną, którą usunemy z bazy. Po perwsze wymane zmennych dostaemy: r 4 z 2 z 3 z 4 z r r r z r Koleną zmenną wchodzącą do bazy będze z 4, a usuwaną r 2. Po druge zamane zmennych dostaemy: r 4 z 2 z 3 r 2 z r z r z r Następne wymenamy z 2 z r 5, co dae nam nową tablcę: r 4 r 5 z 3 r 2 z Dale wymenamy z 5 z r, co dae: 3 r 3 z r z z r 4 r 5 z 3 r 2 r z z r z z I to uż konec, bo zmenna k-ta (czyl o numerze równym numerow perwsze zmenne, która weszła do bazy r ) została usunęta z bazy. Stąd rozwązanem LCP est z = ( 5, 3, 0, 7, 3 ). Po normalzac otrzymuemy równowagę Nasha w wyścowe grze µ = ( 5, 6 7 ), ν = (0,, 3 ). 0 0 Uwaga 2.2 Algorytm Lemke-Howsona ma wykładnczą złożoność oblczenową. W przypadku zastosowana tego algorytmu do rozwązywana dowolnych problemów komplementarnośc lnowe było to udowodnone uż w latach sedemdzesątych. To, że złożoność szukana równowag Nasha przy użycu tego algorytmu też est w nagorszym przypadku wykładncza udowodnl dopero Savan von Stengel cztery lata temu 3, co sugerue, że w wększośc przypadków algorytm est ednak w marę szybk. To o tyle 3 Czyl ne w 999 roku, ak m sę wydawało na wykładze. 3
7 dobrze, że nestety w przypadku problemu komplementarnośc lnowe ne ma znanych algorytmów, które byłyby szybsze (nawet w teor). Istneą natomast pewne algorytmy szukana równowag w pewnych klasach ger dwumacerzowych, które dzałaą w welomanowym czase. O pewnych z nch opowem za tydzeń. Uwaga 2.3 Inną wadą algorytmu Lemke-Howsona est to, że ne znadue on wszystkch równowag Nasha. Jeśl rozpoczne sę go w uż znalezone równowadze, można znaleźć nną, ale ne ma gwaranc, że tą drogą znadze sę wszystke równowag (któreś mogą zostać pomnęte). Problem w tym, że ne są znane algorytmy, które efektywne (nawet eśl za kryterum efektywnośc przyąć średn czas znalezena równowag dla gry o zadanym rozmarze) znadywałyby wszystke równowag w zadane grze. Te, które są znane, są w mneszym lub wększym stopnu zblżone do algorytmu z początku wykładu, polegaącego na przeszukwanu po kole wszystkch możlwych nośnków strateg graczy, po odrzucenu strateg slne zdomnowanych (lub w bardze wyrafnowane forme na przeszukwanu wszystkch werzchołków weloścanu określonego przez warunk (2.3) (2.4), których est mne nż możlwych par nośnków strateg w równowadze, ale mmo wszystko ch lczba rośne wykładnczo wraz ze wzrostem lczby strateg czystych graczy). 2.2 Gry macerzowe Jak wemy z ostatnego wykładu, naszybszy znany algorytm lczena równowag w grach dwumacerzowych ma wykładnczą złożoność. Stąd naturalnym pytanem est to, czy przynamne dla akchś klas ger dwumacerzowych da sę to oblczać szybce. Odpowedź est twerdząca o pewne duże klase ger, dla których da sę to zrobć, opowem w perwsze częśc dzseszego wykładu. Zacznemy od ogólne defnc takch ger, późne spróbuemy dość do tego, w ak sposób przyspeszyć lczene równowag w takch grach. Defnca 2. Grą dwuosobową o sume zerowe nazwemy dowolną grę dwuosobową (X, Y, u, u 2 ), w które u 2 u. Taką grę można opsać przy pomocy trók (X, Y, u), gdze: X zbór strateg gracza., Y zbór strateg gracza 2., u : X Y R ogranczona funkca wypłaty. Gra rozgrywana est w następuący sposób: gracze nezależne od sebe wyberaą X oraz y Y, następne gracz 2. płac graczow. kwotę u(, y). Defnca 2.2 Grą macerzową nazywamy grę dwuosobową o sume zerowe, eśl zbory strateg graczy są skończone. W takm wypadku wypłaty w te grze da sę opsać przy pomocy edne macerzy A, w które będą wypłaty gracza. (wypłaty 2. gracza będą równe A). Szczególność ger o sume zerowe ne polega na tym, że funkce wypłat spełnaą pewną elegancką matematyczne własność, ale na tym, w ak sposób można tę własność znterpretować. Manowce: nteresy graczy są dokładne przecwstawne, a stąd możemy sę spodzewać, że drug gracz będze grał przecwko nam (będze sę starał zmnmalzować naszą wypłatę, bo to będze ednocześne oznaczało zmaksymalzowane ego). Tego ne moglśmy sę spodzewać w przypadku nnych ger, gdze każdy stara sę poprawć swoą wypłatę, a ne szkodzć nnym (chyba że gracze bylby Polakam). Spróbumy zobaczyć na przykładze, ak w takm raze pownn zachowywać sę gracze w grze o sume zerowe. 4
8 Przykład: Rozważamy następuącą sytuacę: dwóch dowódców arm przecwnych państw A B walczy o dwa forty (masta) na terene państwa A, każdy ma przy tym do dyspozyc po dwa oddzały. Zadanem każdego z dowódców est rozmeszczene swoch oddzałów w poszczególnych fortach (przydzelene do ataku na poszczególne forty) generał arm A w ten sposób, żeby ak nawęce fortów pozostało w rękach państwa A, generał B tak, żeby przeąć ak nawęce fortów. Wedzą przy tym, że prawdopodobeństwo zdobyca fortu zależy od stosunku atakuących do bronących w następuący sposób: eśl nkt ne atakue fortu, to pozostae on w posadanu państwa A; eśl ktoś atakue fort, a nkt go ne bron, fort zostae zdobyty (z prawdopodobeństwem ); eśl atakuących est mne nż bronących, fort pozostae w posadanu państwa A (z prawdopodobeństwem ); eśl atakuących est tylu, lu bronących, to fort zostae zdobyty z prawdopodobeństwem 4 ; eśl stosunek atakuących do bronących est równy 2 :, to fort zostae zdobyty z prawdopodobeństwem 3 4. Wypłatam generała B będą wartośc oczekwane lczby zdobytych fortów (gracza A, oczywśce mnus lczba straconych). W zwązku z tym tabela ego wypłat graczy będze przedstawać sę następuąco (stratege w kolumnach to stratege generała B, w werszach generała A): Z założena, że gracz A będze starał sę maksymalne zmneszyć wypłatę gracza B możemy wywnoskować, że raconalnym postępowanem gracza B będze wybrane take strateg, że będze dawała nawyższą wypłatę przy założenu, że przecwnk będze sę starał ą zmnmalzować, czyl take że mn y u(, y) = ma Podobne, gracz A wyberze taką strategę y, że ma u(, y ) = mn y mn y u(, y). ma u(, y). W naszym przykładze to będze oznaczać, że oba gracze wyborą strategę. Zastanówmy sę teraz, co gracze wybralby, gdyby mogl używać strateg meszanych. Zgodne ze znanym nam uż twerdzenem Nasha, dowolna gra dwumacerzowa (a gra macerzowa est e szczególnym przypadkem) ma równowagę w strategach meszanych. W te grze równowagą (edyną) będze para strateg µ = ( 2 5, 5, 2 5 ) oraz σ = ( 5, 3 5, 5 ). Okazue sę, że te stratege będą optymalne w sense, który opsałem powyże, eśl będzemy rozpatrywać stratege meszane 4. Jak sę za chwlę okaże, tak będze zawsze, eśl 4 Pownenem napsać, że sprawdzene tego faktu pozostawam czytelnkom ako proste ćwczene, bo tak sę zwykle psze, eśl przelczene czegoś est żmudne męczące, a tak, ak mogl zobserwować wszyscy obecn na wykładze, est w tym przypadku 5
9 gra o sume zerowe będze mała równowagę. Naraze ednak zrekaptulumy wszystko, co zroblśmy dla naszego przykładu, wprowadzaąc odpowedne defnce. Defnca 2.3 Wartość, którą gracz. może sobe zapewnć, nazywana wartoścą dolną gry, est równa v = sup nf u(, y). X y Y Wartość namnesze straty ponesone przez gracza 2., którą może sobe zapewnć, nazywana est wartoścą górną gry est równa v = nf sup y Y X u(, y). Stratege, przy pomocy których gracze zapewnaą sobe wypłaty ne gorsze od (odpowedno) wartośc dolne (gracz.) wartośc górne (gracz 2.) nazywamy strategam bezpeczeństwa graczy. Prawdzwe będze następuące twerdzene. Twerdzene 2.2 W dowolne grze o sume zerowe prawdzwe będą następuące fakty:. v v. 2. Jeśl gra ma równowagę Nasha, to v = v (tę wspólną wartość nazywamy wartoścą gry), a stratege w równowadze są strategam bezpeczeństwa. Dowód:. nf y u(, y) u(, y 0 ) dla dowolnych X y 0 obustronne nf y0 sup, dostaemy Y. Nakładaąc nf y 0 sup nf y u(, y) nf y 0 sup u(, y 0 ), tyle że wyrażene pod nfmum z lewe strony ne zależy od y 0, węc to edno nfmum można pomnąć, dostaąc: sup nf y u(, y) nf y 0 sup u(, y 0 ), czyl nerówność, którą melśmy udowodnć. 2. Nech (, y ) będze tą równowagą. Z defnc równowag Nasha mamy u(, y) u(, y ) u(, y ). Oczywśce, skoro nerównośc są prawdzwe dla dowolnych y, na lewą stronę możemy nałożyć nfmum po y, a na prawą supremum po : nf y u(, y) u(, y ) sup u(, y ). Jeśl teraz zamenmy z lewe strony na supremum po, możemy tylko powększyć wartość po lewe, dzęk czemu nerówność pozostane prawdzwa. Podobne y z prawe możemy zamenć na nfmum po y, otrzymuąc: sup nf u(, y) y u(, y ) nf y 6 sup u(, y).
10 Ale to oznacza, że v v. Poneważ przecwna nerówność est zawsze prawdzwa, dostaemy v = v. Skoro mamy równość pomędzy wartoścą górną dolną, to mamy także równośc we wszystkch powyższych nerównoścach, w szczególnośc: nf y u(, y) = sup nf y u(, y) oraz sup u(, y ) = nf y sup u(, y), co oznacza, że y są strategam bezpeczeństwa. W tym momence możemy powrócć do algorytmów szukana równowag w grach (dwu-) macerzowych, zauważaąc, że zamast lczyć, czy dana para (µ, σ ) est równowagą w grze macerzowe, możemy polczyć oddzelne, czy µ est strategą bezpeczeństwa dla. gracza, czy σ est strategą bezpeczeństwa dla 2. Jak sę okaże, to uprośc nam oblczena. Zacznmy od zapsana, co oznacza, że µ est strategą bezpeczeństwa: mn σ u(µ, σ) = ma µ mn u(µ, σ). σ A węc szukamy µ, maksymalzuącego mn σ u(µ, σ). Tę ostatną welkość możemy rozpsać ako mn σ µ a = mn µ a, σ gdze ostatna równość wynka z tego, że średna ważona klku welkośc (a tak możemy rozumeć sumę z lewe strony) est ne mnesza od namnesze z tych welkośc, przy czym, eśl przymemy za σ przy namnesze z welkośc edynkę, to dostanemy równość. µ maksymalzuące tę ostatną welkość, to nacze µ, maksymalzuące v przy założenu, że µ a v (w ten sposób pozbywamy sę ostatnego mnmum). Tyle że take zadane maksymalzacyne est programem lnowym 5, a każdy program lnowy esteśmy w stane rozwązać w czase welomanowym. 5 Problem programowana lnowego to nalepe znany problem optymalzacyny (w zwązku z tym, eśl ktoś z państwa w przyszłośc zapsze sę na zaęca z optymalzac, to tam będze to bardzo dokładne omówone (boda przez pół semestru)) Ogólne można go zapsać następuąco: Znaleźć maksmum m c = przy ogranczenach m a b dla =,..., n, = Macerzowo możemy zapsać to następuąco: 0 Dla zadanych C m, A m n, b n zmaksymalzować C T przy ogranczenach A T B, 0. Istnee wele algorytmów rozwązywana problemów programowana lnowego, z których nabardze znanym naczęśce stosowanym est algorytm sympleks. Algorytm sympleks ma w nagorszym raze wykładnczą złożoność, ale stneą twerdzena, mówące o tym, że przy pewnych założenach wartość oczekwana czasu dzałana sympleksu est welomanowa. Ponadto stneą nne algorytmy, ak algorytm Karmarkara, które maą złożoność welomanową zawsze, ale ne stosue sę ch, bo w wększośc przypadków mmo te welomanowe złożonośc, są wolnesze od sympleksu. 7
11 2.3 Równowag przyblżone skorelowane Poneważ szukane równowag Nasha okazue sę być dosyć trudnym zadanem, czasem próbue sę temu zaradzć przez powększene zboru możlwych rozwązań. Pomysłów na powększene tego zboru stnee wele, ale dwa zyskały szczególne powodzene ze względu na swoą prostotę. Perwszy z tych sposobów polega na tym, że zamast szukać strateg, spełnaących układ nerównośc defnuących równowagę Nasha, będzemy szukać takch strateg, że te nerównośc będą spełnone w pewnym przyblżenu. Dokładne, dla ustalonego ε > 0, stratege µ σ maą spełnać układ nerównośc u (µ, σ ) u (µ, σ )( ε) dla dowolne strateg µ, u 2 (µ, σ ) u 2 (µ, σ)( ε) dla dowolne strateg σ. Take stratege będzemy nazywać ε-równowagam. 6 Netrudno zauważyć, że w wększośc ger zbory równowag przyblżonych będą dużo wększe nż zbory równowag Nasha (na ogół będze ch neskończene wele, podczas gdy tych drugch w typowych grach est skończona lczba), co mogłoby sugerować, że znaleźć ε-równowagę będze dużo łatwe nż równowagę. Nestety, okazue sę, że dla ogólnych ger dwumacerzowych algorytmy o złożonośc welomanowe stneą tylko dla -równowag, czyl rozwązań bardzo mało dokładnych. Jeśl chodz o mnesze wartośc 2 ε, stneą algorytmy pozwalaące na znalezene ε-równowag w czase lepszym nż wykładnczy, ale gorszym nż welomanowy. Być może ednak uda sę skonstruować szybsze algorytmy w przyszłośc. Drug sposób pochodz od Aumanna, polega na powększenu zboru rozwązań w nny sposób. Manowce: równowaga Nasha w strategach meszanych (w grze dwumacerzowe) składa sę z dwóch rozkładów prawdopodobeństwa, ednym skuponym na zborze strateg czystych ednego gracza, drugm na drugego. Pomysł Aumanna polega na tym, żeby te dwa rozkłady prawdopodobeństwa zastąpć ednym, na produkce kartezańskm zborów strateg obu graczy, ednocześne zostawaąc warunk optymalnośc w zasadze take ak w przypadku równowag Nasha. Konkretne równowagą skorelowaną będze tak rozkład prawdopodobeństwa na parach strateg obu graczy, z którego eśl wylosuemy parę strateg (, y) każdego z graczy ponformuemy o tym, aka est ego współrzędna, to żaden z nch ne zmen strateg, którą mu zaproponowano, na nną (przy założenu, że przecwnk pozostane przy wylosowane strateg). Jeśl macerzam wypłat w nasze grze będą A B, to rozkład p na X Y będze równowagą skorelowaną wtedy tylko wtedy, gdy będze spełnał nerównośc a p b p a p dla każdych, X, b p dla każdych, Y. 6 Alernatywne ε-równowag można defnować przy pomocy warunków u (µ, σ ) u (µ, σ ) ε, u 2 (µ, σ ) u 2 (µ, σ) ε (tak sę e zwykle defnue), ednak my będzemy używać formy multplkatywne, która est zgodna z nomenklaturą stosowaną zwykle przy omawanu algorytmów aproksymacynych.
12 Netrudno zauważyć, że są to nerównośc lnowe, a zatem tu też (podobne ak w przypadku równowag Nasha w grach macerzowych) do znalezena rozwązana można zastosować programowane lnowe. 2.4 Szukane równowag w grach n-osobowych W przypadku ger węce nż dwóch graczy w lczenu równowag napotykamy klka różnych trudnośc. Po perwsze, eśl graczy est welu (a w ewentualnych zastosowanach teor ger do modelowana rzeczywstośc tak zwykle będze) sam ops gry stae sę trudną sprawą lczba welkośc opsuących grę rośne bowem wykładnczo wraz ze wzrostem lczby graczy. W zwązku z tym, nawet przy zastosowanu bardzo szybkego algorytmu szukana równowag, ch lczene będze neefektywne. Tego problemu w ogólnośc ne dae sę wyelmnować. Jest natomast wele typów ger, dla których ops gry może być zrobony w nny sposób nż przy pomocy welowymarowych macerzy wypłat, to tak, aby zwększane lczby graczy ne powodowało gwałtownego wzrostu złożonośc opsu gry. Dla takch ger często stneą szybke algorytmy lczena równowag (na ogół równowag przyblżonych lub skorelowanych, rzadze równowag Nasha). Drugm problemem 7, ak poawa sę przy lczenu równowag dla ger węce nż dwóch graczy, est to, że tego problemu ne dae sę uż sprowadzć do pewnego układu warunków, z których tylko eden ne est lnowy (ak w przypadku LCP). Tuta, eśl spróbuemy podeść do szukana równowag w podany sposób, dostanemy nelnowy odpowednk problemu komplementarnośc lnowe, tzn. problem znalezena z takego, że: z 0, f(z) 0, z f (z) = 0 =,..., n, gdze f est pewną nelnową funkcą o wartoścach z R n. To ne est banalny problem, akkolwek stneą algorytmy dla ger n-osobowych oparte na tym spostrzeżenu (nektóre z nch są uogólnenam algorytmu Lemke-Howsona te powstały na początku lat sedemdzesątych), tyle że akurat te algorytmy są bardzo trudne do zamplementowana. W zwązku z tym stosue sę nne podeśce manowce, ak pokazalśmy na ednym z wcześneszych wykładów, problem szukana równowag w grze est równoważny (właścwe pokazalśmy tylko wynkane w edną stronę, ale prawdzwe est w obe) pewnemu problemow szukana punktu stałego. W zwązku z tym do szukana równowag w grach n-osobowych stosue sę algorytmy szukana punktu stałego funkc cągłe na zborze zwartym. Nabardze znanym algorytmem tego rodzau est algorytm Scarfa (oczywśce o wykładncze złożonośc). 7 Tego ne było na wykładze. 9
11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.
/22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoProblem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM).
Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Zagadnene optymalzac zwane problemem plecakowym swą nazwę wzęło z analog do sytuac praktyczne podobne do problemu pakowana plecaka. Chodz o to, by zapakować maksymalne
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH
Stansław KOWALIK e-mal: skowalk@wsb.edu.pl Wyższa Szkoła Bznesu Dąbrowa Górncza RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH Streszczene Praca dotyczy nekooperacynych sekwencynych ger dwuosobowych o sume
Bardziej szczegółowoWykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowo7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera
Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n
Bardziej szczegółowoSortowanie szybkie Quick Sort
Sortowane szybke Quck Sort Algorytm sortowana szybkego opera sę na strateg "dzel zwycęża" (ang. dvde and conquer), którą możemy krótko scharakteryzować w trzech punktach: 1. DZIEL - problem główny zostae
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoWykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoMIKROEKONOMIA Prof. nadzw. dr hab. Jacek Prokop jproko@sgh.waw.pl
MIKROEKONOMIA Prof. nadzw. dr hab. Jacek Proko roko@sgh.waw.l Statyka dynamka olgoolstyczne struktury rynku. Modele krótkookresowe konkurenc cenowe w olgoolu.. Model ogranczonych mocy rodukcynych ako wyaśnene
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy rozkroju materiałowego, zagadnienia dualne
Instrukca do ćwczeń laboratorynych z przedmotu: Badana operacyne Temat ćwczena: Problemy rozkrou materałowego, zagadnena dualne Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny Wydzał Inżyner Mechanczne Mechatronk
Bardziej szczegółowo1.1 Analiza decyzji- tablica decyzyjna, klasyfikacja
A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger1 ANALIZA DECYZJI(AD) 1.1 Analza decyz- tablca decyzyna, klasyfkaca problemów W celu formalzac klasyfkac problemów decyzynych wprowadzmy
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Bardziej szczegółowoPrzykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowou u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Bardziej szczegółowon liczba zmiennych decyzyjnych c współczynniki funkcji celu a współczynniki przy zmienych decyzyjnych w warunkach
Problem decyzyny cel różne sposoby dzałana (decyze) warunk ogranczaące (determnuą zbór decyz dopuszczalnych) kryterum wyboru: umożlwa porównane efektywnośc różnych decyz dopuszczalnych z punktu wdzena
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Badana operacyne w logstyce zarządzanu produkcą cz. I Andrze Woźnak Nowy Sącz Komtet Redakcyny doc. dr Zdzsława Zacłona przewodncząca, prof. dr hab. nż. Jarosław
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii falek (Wavelets)
Podstawy teor falek (Wavelets) Ψ(). Transformaca Haara (97).. Przykład pewne metody zapsu obrazu Transformaca Haara Przykład zapsu obrazu -D Podstawy matematyczne transformac Algorytmy rozkładana funkc
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO ROZWIĄZANIA ZBILANSOWANEGO ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO
Studa Materały. Mscellanea Oeconomcae Rok 6, Nr 2/22 Wydzał Zarządzana Admnstrac Unwersytetu Jana Kochanowskego w Kelcach Z a r z ą d z a n e f n a n s e Rafał Prońko ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Bardziej szczegółowo1 Analiza decyzji- tablica decyzyjna, klasyfikacja problemów
A. Kaspersk, M. Kule BO- Analza decyz, drzewa decyzyne, elementy teor ger1 1 Analza decyz- tablca decyzyna, klasyfkaca problemów W celu formalzac klasyfkac problemów decyzynych wprowadzmy tzw tablcę decyzyną.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Bardziej szczegółowo65120/ / / /200
. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE METODY KLASYFIKACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 5. LINIOWE MEODY KLASYFIKACJI Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dude Wydzał Eletryczny Poltechna Częstochowsa FUNKCJE FISHEROWSKA DYSKRYMINACYJNE DYSKRYMINACJA I MASZYNA LINIOWA
Bardziej szczegółowoModele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.
Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoDiagnostyka układów kombinacyjnych
Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane
Bardziej szczegółowoOligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją
Olgopol dynamczny Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencj loścowej jako gra jednokrotna z pełną doskonalej nformacją (1934) Dwa okresy: t=0, 1 tzn. frma 2 podejmując decyzję zna decyzję frmy 1 Q=q 1 +q
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 7. KLASYFIKATORY BAYESA Częstochowa 4 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TWIERDZENIE BAYESA Wedza pozyskwana przez metody probablstyczne ma
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
Bardziej szczegółowoOPTYMALNY SYSTEM REKRUTACJI KANDYDATÓW DO SZKÓŁ. 1. Wstęp
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 2005 Zbgnew ŚWITALSKI* OPTYMALNY SYSTEM REKRUTACJI KANDYDATÓW DO SZKÓŁ Przedstawono uogólnene algorytmu Gale a Shapleya, wyznaczaącego optymalny
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Bardziej szczegółowop Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Bardziej szczegółowoALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL W standardowym modelu lnowym zakładamy,
Bardziej szczegółowoAnaliza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy
Bardziej szczegółowoProgramowanie Równoległe i Rozproszone
Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoSztuczne sieci neuronowe
Sztuczne sec neuronowe Jerzy Stefanowsk Plan wykładu 1. Wprowadzene 2. Model sztucznego neuronu. 3. Topologe sec neuronowych 4. Reguły uczena sec neuronowych. 5. Klasyfkaca sec neuronowych. 6. Sec warstwowe
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
mę, nazwsko, nr ndeksu: Ekonometra egzamn 1//19 1. Egzamn trwa 9 mnut.. Rozwązywane zadań należy rozpocząć po ogłoszenu początku egzamnu a skończyć wraz z ogłoszenem końca egzamnu. Złamane tej zasady skutkuje
Bardziej szczegółowoAnaliza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)
Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz
Bardziej szczegółowoPlan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup
Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT
Bardziej szczegółowoProblemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA
Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2007/08 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x, b R N, A R N N (1) ma jednoznaczne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie. Wyszukiwanie
ZŁOŻOOŚĆ PROBLEMÓW ALGORYTMICZYCH Dolne górne oszacowana złożonośc problemu Złożoność każdego poprawnego algorytmu znajdującego rozwązane danego problemu ustanawa górne oszacowane złożonośc dla tego problemu.
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 8. CAŁKI NIEOZNACZONE. ( x) 2 cos2x
Wykład z Podsaw maemayk dla sudenów Inżyner Środowska Wykład 8. CŁKI NIEOZNCZONE Defnca (funkca perwona) Nech F es funkcą perwoną funkc f na przedzale I, eżel F '( ) f ( ) dla każdego I. Udowodnć, że funkce
Bardziej szczegółowoZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI
(Wpsue zdaąc przed rozpoczęcem prac) KOD ZDAJĄCEGO ZESTAW ZADAŃ Z INFORMATYKI CZĘŚĆ II (dla pozomu rozszerzonego) GRUDZIEŃ ROK 004 Czas prac 50 mnut Instrukca dla zdaącego. Proszę sprawdzć, cz zestaw zadań
Bardziej szczegółowoKRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA
KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany
Bardziej szczegółowo-Macierz gęstości: stany czyste i mieszane (przykłady) -równanie ruchu dla macierzy gęstości -granica klasyczna rozkładów kwantowych
WYKŁAD 4 dla zanteresowanych -Macerz gęstośc: stany czyste meszane (przykłady) -równane ruchu dla macerzy gęstośc -granca klasyczna rozkładów kwantowych Macerz gęstośc (przypomnene z poprzednch wykładów)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobeństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźne wypełna wnętrze kwadratu [0 x ; 0 y ]. Znajdź p-stwo, że dowolny punkt
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sieci Neuronowych Sieci rekurencyjne
Wprowadzene do Sec Neuronowych Sec rekurencyjne M. Czoków, J. Persa 2010-12-07 1 Powtórzene Konstrukcja autoasocjatora Hopfelda 1.1 Konstrukcja Danych jest m obrazów wzorcowych ξ 1..ξ m, gdze każdy pojedynczy
Bardziej szczegółowoArytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013
Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty
Bardziej szczegółowoProces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Bardziej szczegółowoGrupowanie. Wprowadzenie. Metody hierarchiczne. Modele mieszane (mixture models) Metody najmniejszych kwadratów. Zastosowania
Grupowane Wprowadzene Metody herarchczne Modele meszane (mxture models) Metoda Expectaton-maxmzaton (EM) Metody namneszych kwadratów Krytera akośc grupowana Algorytm k-średnch Zastosowana Statstcal Pattern
Bardziej szczegółowomax Wydział Elektroniki studia I st. Elektronika III r. EZI Technika optymalizacji Dr inż. Ewa Szlachcic
Zadane rograowana lnowego PL dla ogranczeń neszoścowch rz ogranczenach: a f c A b d =n, d c=n, d A =[ n], d b =, Postać anonczna zadana PL a c X : A b, Postać anonczna acerzowa zadana PL a Lczba zennch
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.
Komsa Egzamnacyna dla Aktuaruszy LXVIII Egzamn dla Aktuaruszy z 29 wrześna 14 r. Część I Matematyka fnansowa WERSJA TESTU A Imę nazwsko osoby egzamnowane:... Czas egzamnu: 0 mnut 1 1. W chwl T 0 frma ABC
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne
Bardziej szczegółowoZapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Bardziej szczegółowoFunkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne 2017/2018
Metody Numeryczne 7/8 Inormatya Stosowana II ro Inżynera Oblczenowa II ro Wyład 7 Równana nelnowe Problemy z analtycznym rozwązanem równań typu: cos ln 3 lub uładów równań ja na przyład: y yz. 3z y y.
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Dariusz Szymański
Natala Nehrebecka Darusz Szymańsk . Sprawy organzacyjne Zasady zalczena Ćwczena Lteratura. Czym zajmuje sę ekonometra? Model ekonometryczny 3. Model lnowy Postać modelu lnowego Zaps macerzowy modelu dl
Bardziej szczegółowoaij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II
M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE TWIERDZENI Konflktowe gr dwuosobowe opsuje macerz wpłat ( a ) [ ] mxn j,b j gdze: aj
Bardziej szczegółowoPattern Classification
attern Classfcaton All materals n these sldes were taken from attern Classfcaton nd ed by R. O. Duda,. E. Hart and D. G. Stork, John Wley & Sons, 000 wth the permsson of the authors and the publsher Chapter
Bardziej szczegółowody dx stąd w przybliżeniu: y
Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc
Bardziej szczegółowoProste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie
Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok
Bardziej szczegółowoV. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA
46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Bardziej szczegółowoBadanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Bardziej szczegółowoMetoda wyznaczania najtańszych 1-diagnozowalnych struktur opiniowania diagnostycznego
BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 7, 2002 Metoda wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur opnowana dagnostycznego Roman KULESZA Zakład Automatyk, Instytut Automatyk Robotyk WAT, ul. Kalskego
Bardziej szczegółowoZmodyfikowana technika programowania dynamicznego
Zmodyfkowana technka programowana dynamcznego Lech Madeysk 1, Zygmunt Mazur 2 Poltechnka Wrocławska, Wydzał Informatyk Zarządzana, Wydzałowy Zakład Informatyk Wybrzeże Wyspańskego 27, 50-370 Wrocław Streszczene.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy. i podstawy programowania. eci. Proste algorytmy sortowania tablic. 4. Wskaźniki i dynamiczna alokacja pami
MAREK GAGOLEWSKI INSTYTUT BADAŃ SYSTEMOWYCH PAN Algorytmy podstawy programowana 4. Wskaźnk dynamczna alokaca pam ec. Proste algorytmy sortowana tablc Matera ly dydaktyczne dla studentów matematyk na Wydzale
Bardziej szczegółowoKrzysztof Borowski Zastosowanie metody wideł cenowych w analizie technicznej
Krzysztof Borowsk Zastosowane metody wdeł cenowych w analze technczne Wprowadzene Metoda wdeł cenowych została perwszy raz ogłoszona przez Alana Andrewsa 1 w roku 1960. Trzy lne wchodzące w skład metody
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoFizyka cząstek elementarnych
Wykład V zospn symetra zospnowa zachowane zospnu ukleony Proton est bardzo podobny do neutronu - obe cząstk maą spn lczbę baronową 98 B a ch masy wynoszące MeV m p nosą m n 996 MeV są nemal dentyczne.
Bardziej szczegółowoMetody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoPrąd elektryczny U R I =
Prąd elektryczny porządkowany ruch ładunków elektrycznych (nośnków prądu). Do scharakteryzowana welkośc prądu służy natężene prądu określające welkość ładunku przepływającego przez poprzeczny przekrój
Bardziej szczegółowoDobór zmiennych objaśniających
Dobór zmennych objaśnających Metoda grafowa: Należy tak rozpąć graf na werzchołkach opsujących poszczególne zmenne, aby występowały w nm wyłączne łuk symbolzujące stotne korelacje pomędzy zmennym opsującym.
Bardziej szczegółowo