Wykład Mikro- i makrostany oraz prawdopodobie

Transkrypt

1 Wykład Mkro- makrostany oraz prawdopodobeństwo termodynamczne cd. 5.6 Modele fzyczne 5.7 Aproksymacja Strlna 5.8 Statystyka Boseo-Enstena 5.10 Statystyka Fermeo-Draca 5.10 Statystyka Maxwell a-boltzmann a 5.11 Przyblżene klasyczne modelu Maxwell a- Bolzmann a 5.12 Rozkład prawdopodobeństwa dla stanu równowa Reonhard Kulessa 1

2 5.5 Mkro- makrostany oraz prawdopodobeństwo termodynamczne cd. Dla II przypadku dotycząceo cząstek nerozróżnalnych przytoczymy tylko wyrażene na prawdopodobeństwo termodynamczne. Dla określonej dużej komórk prawdopodobeństwo termodynamczne ma postać: ( + 1) ( 1)!!! Ω (5.12) Całkowte prawdopodobeństwo termodynamczne otrzymuje sę przez wzęce loczynu prawdopodobeństw dla pojedynczych komórek Reonhard Kulessa 2

3 ( ) ( + ) 1!! 1! Ω Ω (5.13) Wykorzystując wzór (5.1) na całkowte prawdopodobeństwo zdarzeń nezależnych w przypadku dy deeneracja >> 1, mamy ( ) +! Ω (5.14)!! III przypadek zawera oranczene mówące, że w małej komórce możemy umeścć tylko jedną cząstkę. Możemy to zapsać jako. Jeśl zaczęlbyśmy rozmeszczać równocześne cząstek w małych komórkach, to 1-sza cząstka małaby możlwośc, 2- a -1, 3-ca 2, tak, że możlwa lczba ustaweń jeśl wszystke cząstk byłyby rozróżnalne, byłaby równa Reonhard Kulessa 3

4 ( 1)( 2) [ ( 1)] (! )! Poneważ cząstk są nerozróżnalne, aby otrzymać możlwą lczbę ustaweń, wyrażene to musmy podzelć przez!, czyl! Ω (5.15)!( )! Możlwa lczba ustaweń we wszystkch komórkach jest węc równa! Ω Ω (5.16)!( )! Reonhard Kulessa 4

5 5.6 Modele fzyczne Sformułujemy teraz klka model dla opsu mkroskopoweo zachowana sę mater. Rozważać będzemy tylko cząstk materalne, a ne np.. kwanty promenowana elektromanetyczneo, oraz przyjmjmy, że rozważane układy są zolowane. Dla wszystkch model robmy następujące podstawowe założena; 1. Całkowta enera układu pozostaje stała, 2. Całkowta lczba cząstek układu pozostaje stała, 3. W rozważanach uwzlędnamy dużą lczbę cząstek, taką, że ch zachowane może być opsane przez analzę statystyczną, 4. Wszystke mkrostany są równe prawdopodobne, tzn., że cząstka może z równym prawdopodobeństwem zajmować różne elementy przestrzen fazowej Reonhard Kulessa 5

6 Będzemy rozważal trzy modele. 1. Model Maxwella-Bolzmanna (MB) Cząstk są rozróżnalne moą obsadzać różne kwantowe stany eneretyczne, które oznaczymy wskaźnkem. a -tym pozome eneretycznym znajduje sę wec cząstek mających eneręє.wartośc ener Є są skwantowane stneje wele sposobów uzyskwana tej ener przez cząstk (patrz tabela w rozdzale (5.4)). p.. Cząstk mające jedyne knetyczną enerę zwązaną z translacją moą ją meć złożoną na różne sposoby ze składowych ener translacyjnej. Poneważ tą samą enerę różne cząstk moą realzować na różne sposoby, musmy dla oólnośc założyć, że każda rupa cząstek (na -tym pozome eneretycznym) może zajmować stanów kwantowych, z których każdy ma eneręє Reonhard Kulessa 6

7 e ma oranczeń na lczbę cząstek, które moą okupować pozom Є, oraz na lczbę stanów kwantowych należących do każdeo pozomu ener. 2. Model Bose o - Enstena Założena fzyczne są take same jak w modelu 1., tyle, że cząstk są nerozróżnalne. e ma równeż oranczena na lczbę cząstek stanów kwantowych składających sę na pozom o ener Є. 3. Model Fermeo - Draca Model ten ma dentyczne założena jak model 2., tyle tylko, że każdy stan kwantowy może być obsadzany przez ne węcej nż jedną cząstkę, co sprowadza sę do warunku. Te trzy modele pozwalają analzować dużą lczbę zjawsk mkroskopowych Reonhard Kulessa 7

8 Wszystke trzy modele przyjmują, że określony kwantowy stan eneretyczny może zostać obsadzony na różne sposoby. Statystyka MB BE FD Rodzaj cząstek Rozróżnalne erozróżnalne erozróżnalne Enera skwantowana Tak Tak tak Lczba cząstek Dowolna Dowolna Jedna Zadanem naszej analzy statystycznej jest otrzymane rozkładu ener dla warunków równowa w każdym z model przy zachowanu stałej ener całkowtej lczby cząstek. Innym słowy będzemy chcel określć lczbę cząstek obsadzających dany pozom, co da nam lczbę cząstek na każdym pozome dla najbardzej prawdopodobnych warunków. ajbardzej prawdopodobny rozkład będze to rozkład dla stanu równowa Reonhard Kulessa 8

9 ajbardzej prawdopodobnym stanem, będze stan dostępny dla najwększej lczby permutacj. Chcemy węc określć najbardzej prawdopodobny makrostan układu. 5.7 Aproksymacja Strlna Poneważ będzemy sę zajmowal slnam dużych lczb, musmy znaleźć pewne uproszczone wyrażena. Chcąc np.. polczyć lnx! dla x >>1, możemy napsać: ln x! ln 2 + ln 3 + ln x n 1 ln x (5.17) Suma ta jest przyblżona przez powerzchnę pod krzywą: Reonhard Kulessa 9

10 y ylnx x Dla dużych x możemy napsać; ln x! ln x dx 1 ln x! xln x x x 1 dla x >> 1 Dla dużych x możemy zanedbać 1 mamy wtedy, Reonhard Kulessa 10

11 Jest to przyblżene Strlna. ln x! x ln x x (5.18) 5.8 Statystyka Boseo-Enstena Chcemy otrzymać rozkład równowaowy dla fzyczneo modelu Boseo-Enstena. Z wzoru (5.13) mamy: Ω ( + 1)!( 1)! Chcemy znaleźć maksymalną wartość prawdopodobeństwa termodynamczneo Ω przy warunku: const (5.19) Reonhard Kulessa 11

12 oraz U ε const (5.20) ε oznacza enerę każdej cząstk obsadzającej -ty pozom eneretyczny. Jeśl żądamy, aby prawdopodobeństwo termodynamczne Ω mało wartość maksymalną, to taką wartość mus też meć ln Ω. ln Ω [ ln( + 1)! ln! ln( 1)! ] Jeśl zarówno są >>1, to możemy wzlędem tych welkośc zanedbać 1 użyć wzoru Strlna., ln Ω ( + ) ln ln( Wyrażene to można jeszcze uproścć Reonhard Kulessa 12 + ) ln ( + + ) (5.21)

13 lnω [ ( + + ] ) ln( ) ln ln (5.21) Maksmum wartośc prawdopodobeństwa otrzymamy dla warunku: (ln Ω ) 0 (5.22) Warunek ten oznacza, że waracja z lnω jest zerowa dla małych odstępstw od rozkładu równowa, lub. δ (ln Ω) 0 (ln Ω) δ Dla równana (5.21) warunek ten przyjmuje postać: Reonhard Kulessa 13

14 + ln δ 0 (5.23) Zachowane ener wewnętrznej (r. (5.20)) jest równoważne równanu: U δu 0 δ, czyl Reonhard Kulessa 14 ε δ 0. (5.24) Z kole warunek zachowana lczby cząstek (r.(5.19)) jest równoważne równanu: δ 0 δ

15 czyl δ 0. (5.25) Mamy węc trzy warunk, które muszą być spełnone aby otrzymać maksymalne prawdopodobeństwo termodynamczne. Bez warunku (5.19) (5.20) otrzymalbyśmy z r. (5.23) warunek: + ln 0. Gdy określmy całkowtą lczbę cząstek ne wszystke wartośc są nezależne. Równeż warunek zachowana ener wewnętrznej nakłada dodatkowe oranczena na nezależność. Ażeby w oparcu o równana (5.23), (5.24) (5.25) uzyskać na nezależność welkośc, możemy zastosować metodę mnożnków Larane a. Jeżel pomnożymy r.(5.24) przez stałą lczbę β będącą funkcją całkowtej ener układu, a równane (5.25) przez stałą α Reonhard Kulessa 15

16 zależną od całkowtej lczby cząstek układu dodamy otrzymane welkośc do równana (5.23), to otrzymamy ln( 1+ ) βε α δ 0 (5.26) Równane powyższe uwzlędna poprzez stałe β α oranczena dotyczące ener lczby cząstek, tak, że welkośc możemy uważać za nezależne. Maksymalną wartość prawdopodobeństwa termodynamczneo otrzymujemy węc dla warunku: ln( 1 + ) βε α Reonhard Kulessa Ae βε 1 co jest równoważne,. (5.27)

17 W poprzednm równanu stała A e α. Stałe α β odrywają podobna rolę jak stałe całkowana określa sę je z warunków brzeowych. Problemem tym zajmemy sę późnej Statystyka Fermeo-Draca Pamętamy, że w modelu Fermeo-Draca dany stan eneretyczny może zostać obsadzony tylko przez jedną cząstkę. Jest to równoznaczne warunkow. Warunk na maksymalną wartość prawdopodobeństwa termodynamczneo otrzymamy w oparcu o wyrażene (5.16), Ω Ω Reonhard Kulessa 17!!( )! Po zastosowanu wzoru Strlna na lnω, otrzymamy warunek na maksymalną wartość prawdopodobeństwa równy:

18 (ln Ω ) (ln ) δ Ω δ ln δ 0 (5.28) Pozostałe dwa warunk dotyczące ener całkowtej całkowtej lczby cząstek są następujące: δu ε δ 0 (5.29) δ δ 0 (5.30) Łącząc te trzy warunk w oparcu o metodę mnożnków Larane a, otrzymujemy: ln( 1) α βε δ 0. (5.31) Reonhard Kulessa 18

19 Po krótkch przekształcenach otrzymujemy: 1 βε Ae + 1 (5.32) 5.10 Statystyka Maxwell a-boltzmann a Posłuując sę podobną procedurą jak w poprzednch dwóch modelach fzycznych otrzymujemy następujący rozkład cząstek zajmujących stany eneretyczne o ener Є : 1 ε β (5.33) Ae Poznane przez nas równana (5.27),(5.32) (5.33) są do sebe bardzo podobne. Różną sę one tylko tym, w jak sposób w Reonhard Kulessa 19

20 manownku występuje jedynka. Załóżmy sytuację fzyczną taką, że <<. Oznacza to, że lczba cząstek jest znaczne mnejsze nż lczba dostępnych stanów kwantowych dla każdeo pozomy eneretyczneo. W tym przypadku czynnk 1 w równanu (5.27) (5.32) jest bardzo mały w porównanu do czynnka A e βє wtedy zarówno rozkład Fermeo-Draca jak Boseo-Enstena zblżają sę do modelu Maxwell a-bolzmann a. Ten ranczny przypadek jest bardzo ważny, dyż pozwala nam analzować cząstk nerozróżnalne prostym rozkładem Maxwell a-bolzmann a dla << Reonhard Kulessa 20

21 5.11 Przyblżene klasyczne modelu Maxwell a- Bolzmann a Aby móc mówć o przyblżenu klasycznym musmy zanedbać własnośc kwantowe. Możemy to zrobć w następujący sposób. Rozważmy model Maxwella-Bolzmanna dla 1 dla wszystkch stanów eneretycznych, załóżmy, że enera ma rozkład cąły, czyl ne kwantowy. Istneje węc dla takeo cąłeo rozkładu neskończene wele możlwych stanów eneretycznych. Wobec powyższeo, lczba cząstek mających eneręє jest dana przez 1 βε (5.34) Ae Oranczenem dla teo modelu jest fakt, że stneją nerozróżnalne cząstk mkroskopowe, co unemożlwa analzę pewnych substancj modelem Maxwella-Bolzmanna Reonhard Kulessa 21

22 Wyjątek stanową przypadk, dy używamy o jako ranczny przypadek model Fermeo-Draca Boseo Enstena Rozkład prawdopodobeństwa dla stanu równowa Do tej pory określlśmy najbardzej prawdopodobne stany równowa cząstek odsadzających różne pozomy eneretyczne przy warunku stałej ener układu stałej lczby cząstek. Rozkłady te określają najbardzej prawdopodobny makrostan. Znaleźlśmy postać funkcj opsującej to prawdopodobeństwo, lecz ne wyznaczylśmy stałych α β. Znaleźlśmy stany, które mają najwększe prawdopodobeństwo obsadzena. Jeśl wynk które uzyskalśmy dotyczą rzeczywśce najbardzej prawdopodobneo stanu, to mus on być powązany z makroskopowym, normalne obserwowalnym własnoścam Reonhard Kulessa 22

23 Rozważmy jak na wylczone prawdopodobeństwo wpłynęłaby ewentualna zmana lczby cząstek w układze. Prześledźmy to na przykładze rozkładu Maxwella-Bolzmanna. Mamy z wzoru (5.11) Ω!,! lnω ln + ln + (ln ln ln ) ln + (5.35) Aby uzyskać najbardzej prawdopodobny rozkład połączmy ostatne równane z równanem (5.33) 1. Otrzymamy wtedy: Ae ε β Reonhard Kulessa 23

24 ln Ω max ln + (ln + β ) (5.36) A Chcemy zbadać, jak będze wpływ zmany cząstek na prawdopodobeństwo Ω. Chcemy porównać (Ω max + δω) z Ω max, dze δω jest odstępstwem od Ω max spowodowane zmaną δ od najbardzej prawdopodobneo rozkładu. W oparcu o równane (5.35) możemy napsać: ln( Ω + δω ) ln + ( ( )ln( Reonhard Kulessa 24 + δ + δ ε ) ln + δ ) (5.37) Odejmując od teo równana równane (5.35) otrzymujemy: Ω + δω δ ln ln δ ln(1 + ) Ω (5.38) ln( + ) δ δ

25 Jednym z warunków na maksymalną wartość prawdopodobeństwa Ω max jest δ(lnω) 0, lub (patrz r. (5.35) ), (ln ln ) δ 0 (5.39) Odejmując to równane od r.(5.38), otrzymujemy: Ωmax + δω δ δ ln + Ω max ln(1 + ) ln(1 ) Zakładając, że δ << możemy równane (5.40) doprowadzć do postac: δ. (5.40) ln Ω max + δω 1 ( δ ) 2 Ω max 2 (5.41) Reonhard Kulessa 25

26 Rozważmy przykład, w którym dwa stany mają tą samą enerę w sume 6x10 23 cząstek. Dla najbardzej prawdopodobneo rozkładu będze w każdej z nch 3x10 23 cząstek. Załóżmy, że 0.1 procenta cząstek zmena komórkę. Mamy wtedy, 1 2 3x10 23, δ 1 -δ 2 (0.01) ln Ω + δω (3 10 ) ( max Ω max ), czyl Ωmax + δω Ω max e Wdzmy węc, że prawdopodobeństwo zmena sę neznaczne Reonhard Kulessa 26