Analiza stabilności powierzchni krzepnięcia stopów metali Al-C w ujęciu metody całek bilansu ciepła

Transkrypt

1 A R C H I V E S o f F O U N D R Y E N G I N E E R I N G Pubihed quartery a the organ of the Foundry Commiion of the Poih Academy of Science ISSN (897-33) Voume Specia Iue 4/ /4 Anaiza tabiności powierzchni krzepnięcia topów metai A-C w uęciu metody całek bianu ciepła B. Magiera, A, Micker* Katedra Materiałoznawtwa i Technoogii Bezwiórowych, Poitechnika Opoka u. S. Mikołaczyka 5, 45-7 Opoe * Kontakt korepondencyny. E-mai: a.micker@po.opoe.p Otrzymano 6.7.; zaakceptowano do druku 5.8. Strezczenie W pracy przedtawiono wyniki anaizy tabiności płakie powierzchni krzepnięcia topów A-Cu. Poprzez wprowadzenie pewnych funkci zaeżnych od czau badano korzytaąc z programu Mathcad tabiność frontu krzepnięcia. Obiczenia wykonano da topu auminium miedź (5% Cu). Rozpatrzono tabiność powierzchni krzepnięcia da różnych temperatur ścianki odbieraące ciepło od krzepnące półpłazczyzny. Wykorzytano, zatem warunek I rodzau. Takie podeście do zagadnienia tabiności krzepnięcia pozwoiło także na uwzgędnienie temperatury przegrzania (temperatury zaewania), grubości wartw przyściennych oraz różnych wartości tężenia domiezki. Jako wynik końcowy otrzymano wykrey przedtawiaące obzary tabiności i nietabiności krzepnięcia. Słowa kuczowe: Anaizy tabiności powierzchni krzepnięcia, Stopy A-Cu, Program Mathcad. Wprowadzenie Ceem pracy et anaiza tabiności płakie powierzchni krzepnięcia dwukładnikowych topów metai A-Cu. Zetawione zotały równania różniczkowe dotyczące poa temperatury cieczy i ciała tałego równanie przewodnictwa ciepła oraz równanie dyfuzi may (opiuące tranport domiezki w cieczy). W ceu uzykania efektywnych rozwiązań wykorzytano rozwiązanie metodą całek bianu ciepła (HBI), dotoowaną do dwuwymiarowego zadania krzepnięcia topów metai. Stabiność powierzchni krzepnięcia badano anaizuąc rozwiązanie równania przewodnictwa ciepła da ciała tałego i cieczy oraz równanie dyfuzi da ciecz przy założeniu okreśonych warunków brzegowych, granicznych i ciągłości. Równania krzepnięcia rozwiązano poprzez zatoowanie metody HBI, z wykorzytaniem twierdzeń o pochodne całki, które granice zaeżą od parametru. Zagadnienie prowadzono do rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczanych da makro-grubości krzepnące wartwy oraz ampitud zaburzeń frontu krzepnięcia. Rozwiązanie anaityczne otrzymano pomiaąc kwadraty pewnych małych wiekości. Przyęto funkce poe temperatury odpowiednio w ciee tałym i w cieczy oraz poe tężenia w cieczy w potaci zeregu Fouriera. Rozdzieono warunki początkowe, ciągłości i brzegowe na części okreowe i nieokreowe oraz przedtawiono funkce poa temperatury w potaci wieomianu topnia drugiego. Ceem pracy było poznanie mechanizmu (warunków) niezbędnych do utworzenia płakie powierzchni krzepnięcia (rozdziału ciecz ciało tałe). Warunki te (parametry krzepnięcia) to między innymi: zybkość krzepnięcia, temperatura na granicy meta forma, gradient temperatur tężenie domiezki w topie, grubość wartwy zakrzepłe. Warunki te maą itotny wpływ na makro i mikrotrukturę odewu. One natomiat ą funkcą A R C H I V E S o f F O U N D R Y E N G I N E E R I N G V o u m e, S p e c i a I u e 4 /,

2 właności mechanicznych uzykiwanych topów, a w konekwenci gotowych wyrobów (eementów mazyn). Uzykanie takich informaci może być itotnym eementem pomocnym w proceie panowania proceu technoogicznego odewania eementów mazyn. Dotychczaowe próby kztałtowania truktury ą prowadzone na przykład w urządzeniu do kierunkowego krzepnięcia metodą Bridgmana. Przykładowe truktury uzykane w tym urządzeniu da nikoauminiowych topów cynku wkazuą, że itniee możiwość poprzez odpowiednie warunki krzepnięcia na terowanie i panowanie zadane, okreśone truktury. Ona w konekwenci zapewni zapanowane i wymagane przez kontruktora właściwości mechaniczne topu.. Równania krzepnięcia w uęciu metody całek bianu ciepła i may. Warunek tabiności powierzchni krzepnięcia Rozważano dwuwymiarowy probem krzepnięcia półprzetrzeni x <, y. Front krzepnięcia reprezentowany et przez inię y = Y, która rozdziea fazę tałą y Y i ciekłą y > Y. Położenie poruzaące ię i krzepnące powierzchni międzyfazowe zaeży od warunków ciepnych, odbioru ciepła oraz poa temperatury w fazie ciekłe. Da krzepnięcia topów metai przyęto równania różniczkowe przewodnictwa ciepła części zakrzepłe (fazy tałe) i cieczy o ie e temperatura początkowa T et wyżza od temperatury T krzepnięcia m, a także równanie dyfuzi may (kładnika domiezki) w cieczy. Są one potaci: T T T = +, y <, Y > a t x a y y T t Y Y C D t T = x T +,, Y + C = x, Y + C +, (.) (.) (.3) Rzeczywite procey krzepnięcia przebiegaą na ogół przy dużych ruchach konwekcynych ciecz zanikaących w wartwie bezpośrednio przyegłe do tworzące ię fazy tałe. W równaniach (.) i (.3) przyęto zatem zmianę temperatury i = oraz tężenia odpowiednio w obrębie ( x, t ) ( x, t ) =. Przy tym założeniu formułowano właściwe warunki początkowe, brzegowe oraz warunki ciągłości na powierzchni krzepnięcia. Warunki te zapiano w potaci: ( x, T ( x T, =, - warunek początkowy (.4) oraz warunki brzegowe i warunki ciągłości da frontu krzepnięcia oraz granic wartw i : T Y, T Y, = (.5) T T x,, Y Y = ρl t ( (.6) Y, t ) T T + = (.7) T Y +, = (.8) Y, t ) C C + = (.9) C Y +, = (.) C m Y D x, = C ( ) m t C ( Tm T ) m ( (.) = (.) gdzie T < Tm et temperaturą formy odewnicze ścianki odbieraące ciepło od krzepnące półpłazczyzny. Założono ponadto, iż temperatura ścianki et zmienna na we długości i przymue potać: T T + Tp ( g( x), = (.3) gdzie T to część tała, a T p ( g( x) opiue zmiany te temperatury. Przyęto natępuący zapi w potaci zeregu koinuowego Fouriera: πx Tp ( g( x) = F ( co, (.4) Szukane wiekości, okreśone równaniami (.) (.3), przedtawiono w natępuące formie: πx T = T ( + T ( co (.5) πx T = T ( + T ( co (.6) 5 A R C H I V E S o f F O U N D R Y E N G I N E E R I N G V o u m e, S p e c i a I u e 4 /,

3 πx C = C( + C ( co Y = Y ( gdzie (, + x Y ( co T T (, C (, ( t ) (.7) π, (.8) Y to części tałe, T (, T (, C (, Y ( opiuą zaburzenia rzędu <<. Korzytaąc z powyżzych przedtawień, rozpiano koeno warunki od (.5) do (.). Dae, T (, T (, T (, ( y C (, C ( T, oraz przedtawiono w potaci funkci kwadratowe: T ( = a ( + b ( [ y Y ( ] + c ( [ y Y ( ] (.9) T ( = a ( b ( [ y Y ( ] c ( [ y Y ( ] + + (.) ( y = a ( + b ( [ y Y ( ] + c ( [ y Y ( )] T, t (.) T ( = a ( b ( [ y Y ( ] c ( [ y Y ( ] + + (.) C ( = e( + f ( [ y Y ( ] + g( [ y Y ( ] (.3) C ( e ( f ( [ y Y ( ] g ( [ y Y ( ] = + + (.4) Po zatoowaniu powyżzych zapiów, dokonuąc odpowiednich przekztałceń ako rozwiązanie równań (.9) (.4) wyznaczono 8 zukanych wpółczynników powyżzych równań. Maąc obiczone wzytkie wpółczynniki odpowiednich funkci kwadratowych, całkowano równanie różniczkowe przewodnictwa ciepła w przedziae < ; Y >. Jako otateczne rozwiązanie otrzymano równanie agebraiczne pozwaaące obiczyć Y ( : 3 a ad c d b c d d c d d c d Y ( n Y ( Y ( + Y ( + + n Y ( + = 3 c c a a c b b b b b b b b ad d 3 bd bd = t n c a c c n d b (.5) gdzie a, b, c, d to wpółczynniki wprowadzone aby uprościć zapi równania, oraz równanie różniczkowe, pozwaaące na obiczenie Y ( : =, (.6) Y ( + P ( Y ( R ( gdzie P ( i ( R to wpółczynniki zaeżne od czau ą okreśone w pracy. Rozwiązanie równania które pełnia warunek początkowy Y ( ) = et zapiane poprzez wyrażenie τ t P ( ) d t Y ( = R ( τ ) e dτ (.7) 3. Warunki tabiności powierzchni krzepnięcia topów metai. Przykłady obiczeń Stabiność powierzchni krzepnięcia badano porządzaąc y = Y ( + Y ( co( xω ). Jako wykre funkci utratę tabiności przyęto zmianę położenia kztałtu fai, będące wykreem powyżze funkci. Uwzgędniono także wzrot ampitudy zaburzenia. Otrzymane wyniki ą zgodne z kryterium utraty tabiności, podanego przez Muina i Sekerkę, zapianego w potaci: Y ( S ( = (3.) Y ( gdzie powierzchnia międzyfazowa ciało tałe-ciecz et nietabina eżei ampituda zaburzeń rośnie i S ( >. A R C H I V E S o f F O U N D R Y E N G I N E E R I N G V o u m e, S p e c i a I u e 4 /,

4 Proce et tabiny eżei S ( t. ampitudy zaburzeń nie wzrataą. Obiczenia utraty tabiności powierzchni krzepnięcia wykonano da topu A-Cu o zawartości 5% Cu ( C =, 5 ). W proceie krzepnięcia utrzymano tałą temperaturę ścianki półprzetrzeni wynozącą odpowiednio T = 93 K, T = 393K, T = 493K. Temperaturę ciekłego topu przyęto równą odpowiednio T = 33K, T =, T = 83K. Poniże przedtawiono wykrey porządzone da temperatury ścianki półprzetrzeni wynozące odpowiednio T = 93 K, T = 393K, T = 493K. y(x, [m].4.3. t=4 t=3 t= t= t=5 y(x, [m] x [m] t=4 t=3 t= t= t=5 t=3 t=3.5 t= t=5 t= t=. Ry. 3. Zary frontu krzepnięcia da T = 493K i T = 33K - utrata tabiności natępue po 3.5 ekundach....3 x [m] t= t=. Ry.. Zary frontu krzepnięcia da T = 93K i t=9 t=8.5 t= t=5 T = 33K - utrata tabiności po 9 ekundach.4 t= obzar tabiny T=83 T=33 T=983.3 t=3 35 obzar nietabiny y(x, [m] x [m] t= t= t=4.5 t=4 t= t=5 t= t=. Ry.. Zary frontu krzepnięcia da T = 393K i T = 33K - utrata tabiności natępue po 4.5 ekundach t= t [] Ry. 4. Wykre zbiorczy obzarów tabiności i nietabiności da =., =.5 i T =, T = 33K, T = 83K. 5 A R C H I V E S o f F O U N D R Y E N G I N E E R I N G V o u m e, S p e c i a I u e 4 /,

5 5 5 T=33 T=83 45 obzar tabiny T=83 T=33 T= obzar tabiny T= obzar nietabiny 35 obzar nietabiny t [] Ry. 5. Wykre zbiorczy obzarów tabiności i nietabiności da =., =.5 i T =, T = 33K, T = 83K t [] Ry.6. Wykre zbiorczy obzarów tabiności i nietabiności da =.3, =.5 i T =, T = 33K, T = 83K 5 T=33 5 T=33 45 obzar tabiny T=83 T= obzar tabiny T=83 T= obzar nietabiny 35 obzar nietabiny t [] Ry. 7. Wykre zbiorczy obzarów tabiności i nietabiności da =.4, =.5 i T =, T = 33K, T = 83K t [] Ry. 8. Wykre zbiorczy obzarów tabiności i nietabiności da =.5, =.5 i T =, T = 33K, T = 83K A R C H I V E S o f F O U N D R Y E N G I N E E R I N G V o u m e, S p e c i a I u e 4 /,

6 5 T=33 45 obzar tabiny T=83 T= obzar nietabiny t [] Ry. 9. Wykre zbiorczy obzarów tabiności i nietabiności da =.5, =.5 i T =, T = 33K, T = 83K. 4. Wnioki. Niżza temperatura początkowa topu T wydłuża cza utraty tabiności krzepnięcia.. Zwiękzenie grubości wartwy przyścienne ak i powodue późniezą utratę tabiności. 3. Intenywny odbiór ciepła (niżza temperatura ścianki formy odewnicze) wpływa w widoczny poób na zmniezenie czau utraty tabiności. 4. Mała wartość wpółczynnika dyfuzi w tounku do wpółczynnika wyrównywania temperatur poza przypadkami zczegónymi (odpowiednio terowanym proceem krzepnięcia np. proce Bridgemana) w topach rzeczywitych powodue zawze utratę tabiności. Literatura [] B. Magiera, Anaiza tabiności powierzchni krzepnięcia topów metai w uęciu metody całek bianu ciepła i ma Praca doktorka, Poitechnika Opoka, 9 [] A. Micker, Krzepnięcie i krytaizaca odewniczych topów cynku badania z wykorzytaniem CAD, WSI Opoe, 99 [3] A. Micker, Badania warunków tabiności frontu krytaizaci odewów ze topów cynku. WSI Opoe, 989 [4] W.W. Muin, R.F. Sekerka, Stabiity of a panar interface during oidification of a diute binary ao Journa of Appied Phyic, 34 (963), [5] V.J. Pauk: Zagadnienia mechaniki ciała tałego z uwzgędnieniem mikrotruktury brzegu. Zezyty Naukowe Nr 79, Poitechnika Łódzka, 997. [6] V.J.Pauk, M.Woźniak: Spatia perturbation in the oidification proce due to mod deamination, J. Theor. And App. Mech. 998, 36, 3-33 [7] Pauk, M.Woźniak: Anayi of a oidification interface tabiity by the heat integra method, Poitechnika Łódzka, 998 [8] S. A. Wood :A New ook at the heat baance integra method. Appied Mathematica Modeing, 5 (), pp Anayi of a oidification interface tabiity A - Cu by the heat baance integra method Abtract The aim of hi thei i the anayi of a panar interface oidification tabiity of aoy. The tabiity of a panar interface oidification i teted by mean of oving the heat conduction equation for oid and iquid and a ma diffuion equation for iquid, under aumed boundar initia and continuity condition. The oidification equation are oved uing the method of heat baance integra and the theorem of the derivative integra, whoe imit depend on the parameter. 54 A R C H I V E S o f F O U N D R Y E N G I N E E R I N G V o u m e, S p e c i a I u e 4 /,