Blok 2: Zależność funkcyjna wielkości fizycznych

Transkrypt

1 Blok : Zależność funkcjna wielkości fizcznch I. Odcztwanie informacji z wkreu co tak naprawdę na nim ię znajduje. Chcąc odcztać informacje z wkreu funkcji, muim dokładnie wiedzieć, jaka wielkość fizczna zotała na nim przedtawiona. W przpadku wkreów wielkości kalarnch nie ma żadnch wątpliwości (np. wkre zbkości od czau, wkre temperatur w zależności od głębokości itp.). Sprawa komplikuje ię jednak w przpadku wkreów związanch z wielkościami wektorowmi, ponieważ czaami informacja podana w zadaniu jet niejednoznaczna. Nie można narować wkreu funkcji wektora (np. od czau, odległości itd.). Można jednie narować wkre zależności wartości wektora (np. od czau, odległości itd.) lub wkre zależności pozczególnch wpółrzędnch wektora (np. od czau, odległości itd.) Częto zarówno w zadaniach, jak i na wkładach - toowan jet jednak krót mślow mówi ię na przkład na runku przedtawiono wkre prędkości od czau, co literalnie nie może bć prawdą. Należ wówcza zadać obie ptanie, co tak naprawdę zotało przedtawione na wkreie. Przkład.: Wkre prędkości ciała w ruchu protoliniowm przedtawion zotał na runku: Analiza: Skoro rozważan ruch jet protoliniow, to znacz, że odbwa ię po linii protej, z którą możem związać jedną oś układu wpółrzędnch, np. oś OX. Ponieważ część wkreu znajduje ię poniżej oi czau, oznacza to, że 0 (w przedziale czau, : ( ; 3,5 )). Nie może zatem bć to wkre wartości prędkości ciała (wartość wektora jet zawze wielkością nieujemną). Zatem wkre przedtawia zależność wpółrzędnej prędkości ciała od czau. Przkład.: Wkre prędkości ciała w ruchu protoliniowm przedtawion zotał na runku: Analiza: Skoro rozważan ruch jet protoliniow, to znacz, że odbwa ię po linii protej, z którą możem związać jedną oś układu wpółrzędnch, np. oś OX. Wkre v (t) w całości leż powżej oi czau (co oznacza, że 0 przez cał cza trwania ruchu), dlatego z całą pewnością można twierdzić, że jet to wkre wartości prędkości tego ciała. Bez dodatkowch informacji o zwrocie prędkości nie można jednak twierdzić jednoznacznie, cz jet to także wkre wpółrzędnej prędkości tego ciała, cz też nie. Itnieją bowiem prznajmniej dwie możliwości odpowiadające im wkre wpółrzędnch prędkości przedtawiono poniżej: 0

2 gd ciało poruza ię przez cał cza zgodnie ze zwrotem wbranej oi OX gd ciało poruza ię przez cał cza w tronę przeciwną do zwrotu wbranej oi OX Przkład.3: Wkre prędkości ciała przedtawion zotał na runku: Analiza: Ponieważ nie poiadam informacji, cz ruch jet protoliniow, muim zakładać, że jet on krzwoliniow. Ponieważ część wkreu znajduje ię poniżej oi czau, oznacza to, że 0 (w przedziale czau, : ( ; 3,5 )). Nie może zatem bć to wkre wartości prędkości ciała (wartość wektora jet zawze wielkością nieujemną). Zatem wkre przedtawia zależność jednej ze wpółrzędnch prędkości ciała od czau. Przkład.4: Wkre prędkości ciała przedtawion zotał na runku: Analiza: Ponieważ nie poiadam informacji, cz ruch jet protoliniow, muim zakładać, że jet on krzwoliniow. Wkre w całości leż powżej oi czau (co oznacza, że 0 przez cał cza trwania ruchu), dlatego z całą pewnością można twierdzić, że jet to wkre wartości prędkości tego ciała. Bć może wkre przedtawia także zależność jednej ze wpółrzędnch prędkości ciała od czau, ale ab to twierdzić, potrzebne ą dodatkowe informacje (kierunek i zwrot prędkości). Można dowiedzieć ię, jaka jet zależność całego wektora (od zmiennej niezależnej, np. od czau), ale tlko wted, gd poznam wkre zależności wztkich jego wpółrzędnch (od tej amej zmiennej niezależnej, np. od czau).

3 II. Odcztwanie informacji z wkreu analiza wkreu.. Z wkreów wpółrzędnch wektorów można odcztać, w którą tronę zwrócona jet odpowiednia kładowa wektora. Przkład.5: Na wkreie zależności ikowej wpółrzędnej prędkości od czau, widać, że w przedziale czau : t (0 ; ) wpółrzędna ta jet dodatnia (tzn. t (t) v 0) kąd wniokujem, że w czaie ikowa kładowa prędkości jet zwrócona zgodnie ze zwrotem oi OX. Na tm amm wkreie, w przedziale czau : ( ; 3,5 ) ikowa wpółrzędna prędkości jet ujemna ( ), kąd wiadomo, że w czaie ikowa kładowa prędkości jet zwrócona przeciwnie do zwrotu oi OX. v (t) 0). Z wkreów zależności jednej wielkości fizcznej od zmiennej niezależnej (np. czau) można częto obliczć inne wielkości fizczne. Wkre przedtawia zależność wielkości fizcznej od zmiennej niezależnej, czli, a m pozukujem funkcji, prz czm wiem, że jet pochodną, d( ) funkcji () po (czli ( ) ' ( ) ). Wówcza zukana () jet d funkcją tangen kąta nachlenia tcznej do wkreu () do oi C, obliczaną w każdm punkcie. Werja bez pochodnch: Wkre przedtawia zależność wielkości fizcznej Z od zmiennej niezależnej J, czli Z(J), prz czm Z jet podawane w jednotkach fizcznch (z), a J w jednotkach fizcznch (j). Jeżeli pozukujem zależności wielkości fizcznej W(J), której jednotką jet, to W(J) jet równe tangenowi kąta nachlenia tcznej do wkreu Z(J) ( j z ) do oi J, obliczanej w każdm punkcie J. Przkład.6: Wkre wpółrzędnej prędkości ciała zotał przedtawion na runku. Naruj zależność wpółrzędnej przpiezenia tego ciała od czau. Wiem, że a v t ', czli ikowa wpółrzędna przpiezenia ciała jet pochodną funkcji ikowej wpółrzędnej prędkości tego ciała po czaie. Albo mówiąc inaczej: a v t t0, co potwierdza równość jednotek po obu tronach równania: m m.

4 Zatem wpółrzędna przpiezenia ciała jet równa tangenowi kąta nachlenia tcznej do wkreu. W podanm przkładzie: a 4 m m (t) (i jet akurat funkcją tałą). v (t) Wkre przedtawia zależność wielkości fizcznej od zmiennej niezależnej, czli (), a m pozukujem funkcji (), prz czm wiem, że () jet całką funkcji po d (czli ( ) ( ) d ). Wówcza zukana jet równa umie pól figur zawartch pomiędz wkreem a oią ; prz czm pola figur znajdującch ię powżej oi ą w tej umie uwzględniane ze znakiem +, a pola figur znajdującch ię poniżej oi ą w tej umie uwzględniane ze znakiem -. Werja bez całek: Wkre przedtawia zależność wielkości fizcznej Z od zmiennej niezależnej J, czli Z(J), prz czm Z jet podawane w jednotkach fizcznch (z), a J w jednotkach fizcznch (j). Jeżeli pozukujem zależności wielkości fizcznej W(J), której jednotką jet, to W(J) jet równe umie pól figur zawartch pomiędz wkreem Z(J) a oią J; prz czm pola figur znajdującch ię powżej oi J ą w tej umie uwzględniane ze znakiem +, a pola figur znajdującch ię poniżej oi ą w tej umie uwzględniane ze znakiem -. z j Przkład.7: Wkre ikowej wpółrzędnej prędkości ciała zotał przedtawion na runku. Oblicz zmianę wpółrzędnej przemiezczenia ciała po czaie t 3,5. d(t) Wiem, że v (t), czli funkcja ikowej dt wpółrzędnej prędkości ciała jet pochodną funkcji ikowej wpółrzędnej położenia tego ciała po czaie. Stąd zależność ikowej wpółrzędnej przemiezczenia od czau jet całką: (t) v (t) dt. Albo mówiąc inaczej: v (t) t t0, co potwierdza równość jednotek po obu tronach równania: (m) () Zatem wpółrzędna przemiezczenia ciała po czaie równa umie pól P i m. t 3,5, licząc od początku ruchu, jet P zawartch pomiędz wkreem funkcji (t), a oią czau. Jak widać pole P wtawiam do tej um ze znakiem + (bo ta figura leż powżej oi czau), a pole P - ze znakiem - (bo ta figura leż poniżej oi czau). W podanm przkładzie: (t) 4 m m,5,5 m v 3

5 III. Matematczn opi ruchu protoliniowego. W wielu zadaniach mam do cznienia albo z ruchem jednotajnm, albo z ruchem jednotajnie zmiennm. Ruch jednotajn to taki ruch, w którm wartość prędkości ciała pozotaje tała podcza całego ruchu, czli. Jeśli dodatkowo ruch ten odbwa ię po linii protej (ruch jednotajn protoliniow), opiwan jet przez parę równań: v cont 0 v t - wektor położenia tego ciała ( v cont - wektor prędkości tego ciała 0 oznacza początkowe położenie ciała) Ruch jednotajnie zmienn oznacza, że wartość przpiezenia ciała pozotaje tała podcza całego ruchu, czli. Jeśli dodatkowo ruch ten odbwa ię po linii protej (ruch protoliniow jednotajnie zmienn), opiwan jet przez parę równań: a cont v v 0 v0 t a t a 0 t - wektor położenia tego ciała ( położenie ciała, v 0 - wektor prędkości tego ciała 0 oznacza początkowe oznacza początkową prędkość ciała) Ruch protoliniow jednotajnie przpiezon to taki ruch, w którm prędkość ciała i jego przpiezenie mają ten am zwrot (czli ich wpółrzędne mają te ame znaki). Wówcza kinematczne równania ruchu we wpółrzędnch mają potać: v v 0 v0 t a t 0 a - ikowa wpółrzędna położenia tego ciała t - ikowa wpółrzędna prędkości tego ciała Ruch protoliniow jednotajnie opóźnion to taki ruch, w którm prędkość ciała i jego przpiezenie mają przeciwne zwrot (czli ich wpółrzędne mają przeciwne znaki). Wówcza kinematczne równania ruchu we wpółrzędnch mają potać: v v 0 v0 t a t 0 a - ikowa wpółrzędna położenia tego ciała t - ikowa wpółrzędna prędkości tego ciała Stwierdzenie, że w ruchu przpiezonm przpiezenie jet dodatnie, a w ruchu opóźnionm ujemne jet błędne, gdż to nie wektor, ale jego kładowe mają przpiane znaki; am wektor nie ma określonego znaku. Niepoprawne jet również twierdzenie, że wartość przpiezenia w tch ruchach jet odpowiednio: dodatnia lub ujemna, gdż wartość dowolnego wektora jet liczbą nieujemną. Nie jet także w ogólności prawdą, że w ruchu przpiezonm protoliniowm wpółrzędna przpiezenia jet dodatnia, a w ruchu protoliniowm opóźnionm ujemna, bo to zależ od wboru zwrotu oi układu wpółrzędnch. 4

6 IV. Składanie ruchów rzut. Spadek wobodn, rzut pionow, rzut poziom i ukośn ą przkładami ruchów odbwającch ię ze tałm przpiezeniem, w płazczźnie pionowej. Spadek wobodn i rzut pionow ą ruchami, które można opiać w jednm wmiarze ( w kierunku pionowm), natomiat rzut poziom i rzut ukośn to ruch, do którch opiu potrzebne ą dwa wmiar. We wztkich przpadkach poniżej układ wpółrzędnch zotał tak wbrane, ab oś pionowa bła oią OY. Wówcza przpiezenie ziemkie, g jet równoległe do tej oi. Należ jednak zwrócić uwagę na to, że zwrot oi OY jet dobieran w zależności od rozważanego przpadku.. Spadek wobodn i rzut pionow ą ruchami protoliniowmi jednotajnie zmiennmi, opiwanmi układem równań wektorowch: 0 v0 t v v g t gdzie 0 0 g t, - początkowe położenie ciała na oi pionowej, v 0 - początkowa prędkość ciała, g przpiezenie ciała. Są to równania ogólne, z którch wprowadza ię natępnie równania wpółrzędnch, uwzględniając zczegół konkretnch ruchów oraz zwrot oi OY obranego wcześniej przez na układu wpółrzędnch. I tak: - Spadek wobodn - we wpółrzędnch: g t 0 v g t - prz tak wbranm układzie wpółrzędnch: Rzut pionow - we wpółrzędnch: v t 0 0 g t v v g t 0 - prz tak wbranm układzie wpółrzędnch:. Rzut poziom i ukośn można rozpatrwać jako złożenie dwóch, odbwającch ię równocześnie ruchów: jednotajnego wzdłuż oi poziomej (oi OX) i jednotajnie zmiennego wzdłuż oi pionowej (oi OY). Ruch jednotajn wzdłuż oi OX odbwa ię ze tałą prędkością wektorowmi: 0 v0 t i v v 0. v 0 i opiwan jet równaniami 5

7 Ruch jednotajnie zmienn wzdłuż oi OY odbwa ię z prędkością początkową przpiezeniem g, i opiwan równaniami wektorowmi: v t 0 0 g t v v g t 0 v 0 i Rzut poziom - we wpółrzędnch: g t 0 v g t 0 v0 t i v v 0 - prz tak wbranm układzie wpółrzędnch: Rzut ukośn we wpółrzędnch: v t 0 0 g t v v0 g t 0 v0 t i, gdzie v0 v0 co v0 v0 in v v 0 - prz tak wbranm układzie wpółrzędnch: Jeżeli można pominąć opor ruchu, to cza wznozenia ciała na makmalną wokość równ jet czaowi opadania (w rzucie pionowm w górę, w rzucie ukośnm). 6