ELEMENTY SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH

Transkrypt

1 .Kowalsi Wybrae zagadieia z rocesów sochasyczych EEMENTY SYSTEMÓW KOEJKOWYCH WYBRANE ZAGADNIENIA uca Kowalsi Warszawa 8

2 .Kowalsi Sysemy Obsługi ieraura:.kowalsi, maeriały dydaycze z rocesów sochasyczych. B.Filiowicz, Modele sochasycze w badaiach oeracyych, D.Bobrowsi, Probabilisya w zasosowaiach echiczych, A.Plucińsa, E.Plucińsi, Probabilisya,.Kowalsi, Saysya. Ω,, S P rzesrzeń robabilisycza maemayczy model zawisa losowego, Ω zbiór wszysich zdarzeń elemearych, S zbiór zdarzeń, odzbiory zbioru Ω, P rawdoodobieńswo fuca rzyorządowuąca zdarzeiom szasę ich zaścia. P : S R Asomay rawdoodobieńswa: PI P A A S PII P Ω PIII P A A... P A P A... A i S; arami wyluczaące się. Własości rawdoodobieńswa a P b P A P A gdzie A Ω A es zdarzeiem rzeciwym c Jeśli zdarzeia A,...A wyluczaą się, o A... A P A... P A P d P A A P A P A P A A A, A ; S e P A P A dla A A A, A ; S f Jeśli A A o P A A P A P,, A Jeśli zdarzeń elemearych es sończeie wiele i są oe edaowo rawdoodobe o możemy sorzysać z zw. lasycze defiici rawdoodobieńswa.

3 .Kowalsi Sysemy Obsługi A liczba zdarzeń elemear ych srzyaąc ych P A A S Ω liczba wszysich zdarzeń elemear ych Zmieą losową azywamy fucę rayczie ażdą rzyorządowuącą zdarzeiom elemearym liczby rzeczywise. : Ω R Dysrybuaą zmiee losowe azywamy fucę F: R R oreśloą wzorem: F x P < x P, x Własości dysrybuay: a F es fucą iemaleącą, b F es fucą lewosroie ciągłą, c F ; F, d dysrybuaa zmiee losowe wyzacza edozaczie e rozład, e P a < b F b F a; a < b f P a F a F a; gdzie F a ozacza graicę rawosroą, eśli a es uem ciągłości dysrybuay o P a. Zmiea losowa es soowa dysrea eśli zbiór wszysich e warości es sończoy lub rzeliczaly. Rozład zmiee losowe soowe częso oreślamy za omocą fuci rawdoodobieńswa: P x własość: ; > iczby azywamy soami, a warości x uami soowymi. Zmiea losowa o dysrybuacie F es ciągła eśli e dysrybuaa da się rzedsawić w osaci x F x f d x R 3

4 .Kowalsi Sysemy Obsługi gdzie f es fucą sełiaącą warui: f x ; x R; f d i azywamy ą gęsością rawdoodobieńswa zmiee losowe. Własości zmiee losowe ciągłe: a, a P < a f x dx F a b P a P a < b P a < < b c P > b f x dx F b, b b a 4 b P a f x dx F b F a < b d P a, dla dowolego a R ; bra uów soowych, e F es fucą ciągłą i rawie wszędzie różiczowalą F x f x rówość zachodzi dla uów ciągłości gęsości. Wyzaczaąc gęsość rzez różiczowaie dysrybuay, w uach w órych F ie es różiczowala moża rzyąć, że gęsość es rówa zero. Własości rozładu zmiee losowe częso charaeryzuemy e aramerami. Jedym z odsawowych aramerów es warość oczeiwaa. Warość oczeiwaa. Ozaczeie E lub m. Dla zmiee losowe soowe E x i i i eśli eweualy szereg es zbieży bezwzględie, aie szeregi są "odore". a zmiaę oleości wyrazów. Dla zmiee losowe ciągłe E xf x dx eśli eweuala cała iewłaściwa es zbieża bezwzględie.

5 .Kowalsi Sysemy Obsługi Przyład Dla zmiee losowe o fuci rawdoodobieńswa x - 3,,6, E,,6 3,,6. Przyład Dla zmiee losowe o gęsości Własości warości oczeiwae a Ec c; c sała, b Ea ae, c E Y E EY, x x <, > f x x <, > 3 x E x xdx x dx 3 d Jeśli a b, o a E b, eśli Y, o E EY, e E E, E E f, Y iezależe, o EY E EY. Miarą rozrzuu warości zmiee losowe es wariaca. Wariaca. Ozaczeie D lub σ lub V. D E E Dla zmiee losowe soowe D xi E i Dla zmiee losowe ciągłe D x E f x dx Własości wariaci a D c ; c sała, b D a a D, c D b D, b sała, d, Y iezależe, o D ± Y D D Y e D E E. 5 3

6 .Kowalsi Sysemy Obsługi Uzasadieie e D E E E E E E EE E E E. Jeśli rozrzu warości zmiee losowe chcemy. z owodu ierreaci w zasosowaiach mierzyć w ych samych edosach co o sosuemy odchyleie sadardowe. Odchyleie sadardowe. Ozaczeie D lub σ. Podsawowe rozłady. D D Rozład dwuuowy zeroedyowy Niech, będzie usaloą liczbą. Oreślamy: P q, P ; gdzie q. Rozład e es wyorzysyway w saysycze oroli aości. Moża. rzyąć, że gdy wyrób dobry, gdy wyrób es wadliwy, wedy P rauemy ao wadliwość wyrobu. Rozład dwumiaowy Dla daych,, N oreślamy fucę rawdoodobieńswa P q gdzie q,,,...,. Zauważmy, że gdy o rozład dwumiaowy es rozładem zeroedyowym. Jeśli rzymiemy, że ozacza liczbę iezależych doświadczeń z órych ażde ończy się edym z dwóch wyiów: sucesem" z rawdoodobieńswem w ażdym doświadczeiu lub orażą i zmiea losowa ozacza liczbę sucesów o owyższy wzór wyzacza rawdoodobieńswo uzysaia doładie sucesów w doświadczeiach róbach. Przyład Prawdoodobieńswo uszodzeia serooiari rzed uływem gwaraci wyosi,. Firma zauiła 6 serooiare. Obliczyć rawdoodobieńswo, że rzed uływem gwaraci serooiari ulegą uszodzeiu. Jaa es abardzie rawdoodoba liczba uszodzoych serooiare rzed uływem gwaraci. liczba uszodzoych serooiare rzed uływem gwaraci, 6

7 .Kowalsi Sysemy Obsługi P,,,,, Uwaga Fucę rawdoodobieńswa zmiee losowe moża rzedsawić w abelce: x ,6,393,458,89,54,5, Zauważmy, że abardzie rawdoodobą liczba uszodzoych serooiare es. Przyład Rzucamy 4 razy osą sześcieą. Jaie es rawdoodobieńswo, że w co amie 3 rzuach liczba ocze będzie odziela rzez 3?. Szuae rawdoodobieńswo o P 3 P 3 P 4, gdzie sucesem es uzysaie 3 lub 6 ocze, więc /3. Zaem 4 P P P 3 P 3 P Przyład Obliczymy warość oczeiwaą rozładu dwumiaowego.! E q q!!! q q!! Rozład Poissoa Dla > oreślamy fucę rawdoodobieńswa 7

8 .Kowalsi Sysemy Obsługi P e,,,...! warości ych rawdoodobieńsw zawiera ablica rozładu Poissoa Rozład Poissoa możliwość odczyu w ablicy może dla dużych rayczie 3 i małych rayczie, rzybliżać rozład dwumiaowy rzybliżeie Poissoa q e! gdzie Przyład W udełu es 4 żarówe. Jaie es rawdoodobieńswo, że wśród ich es 5 żarówe wadliwych, eśli wadliwość roduci aich żarówe wyosi,5%? Jaa es abardzie rawdoodoba liczba uszodzoych żarówe w ym udełu? Zasosuemy rzybliżeie Poissoa, 4, 5. W ablicy rozładu Poissoa ablica I odczyamy, że: P 5,36 Rówież w ablicy rozładu Poissoa odczyamy, że abardzie rawdoodoba liczba uszodzoych żarówe w ym udełu o lub dla obu ych liczb rawdoodobieńswo es rówe,77. Rozłady ciągłe Rozład edosay Rozład órego gęsość es sała w ewym rzedziale azywamy edosaym. Gęsość rozładu edosaego w a, b f x b a x a ; b x a; b Poieważ gęsość a ma oś symerii w ucie x a b/ o E ab/ Poażemy, że Przyład Naierw obliczymy E D b a / 8

9 .Kowalsi Sysemy Obsługi E Zaem b b b a x 3 x dx b a b a 3 E a 3 3 b a a b a 3 3 ab b a b 3 b a a D E ab 3 Rozład wyładiczy Rozład e wysęue częso w zagadieiach rozładu czasu między zgłoszeiami awariami lub czasu oczeiwaia a obsługę w sysemach oleowych. Gęsość rozładu wyładiczego o aramerze a > ma osać ae f x dysrybuaą ego rozładu es fuca uzasadieie: F'x fx e F x ax ax x > x x > x Przyład Obliczymy E E xae ax ax ax dx xe e a a Własość. Jeśli liczba zgłoszeń w sysemie oleowym w rzedziale czasu, T ma rozład Poissoa o aramerze T, oraz liczby zgłoszeń rzychodzące w rozłączych rzedziałach czasu są iezależe o czas między oleymi zgłoszeiami ma rozład wyładiczy o aramerze a /. Dla dowolych, T > mamy P T P T własość brau amięci Uzasadieie. P T P T P T P P e e T a a e Ta P T 9

10 .Kowalsi Sysemy Obsługi Jes o edyy rozład ciągły o e własości. Dysreym odowiediiem rozładu wyładiczego es rozład geomeryczy. Rozład ormaly Dla m R, σ, Oreślamy gęsość rozładu xm f x e σ σ π x R W ablicy II dla x [; 5 odao warości dysrybuay Φ rozładu N, Warości dysrybuay dla argumeów uemych wyzaczamy a odsawie zależości Φ x Φx Uwaga Jeśli ma rozład Nm, σ o zmiea losowa Y m/σ ma rozład N, aie rzeszałceie azywamy sadaryzacą. Przyład Dochód miesięczy zł w ewe oulaci osób ma rozład ormaly N6; 3. Jai roce osób w e oulaci ma dochód miesięczy oiże zł? wysoość miesięczego dochodu 6 6 P < P < P Y 3 3 Φ Φ,977,8,8% <

11 .Kowalsi Sysemy Obsługi Ierreaca graficza wyiu. Przyład Czas wyoaia ewego dealu mi. es zmieą losową o rozładzie ormalym Nm; σ. Wiadomo, że 8% roboiów wyoue e deal dłuże iż miu a 6% roboiów dłuże iż miu. a wyzacz aramery rozładu czasu wyoaia dealu m i σ, b ai odsee roboiów wyoue e deal w czasie rószym iż 6 miu? czas wyoaia dealu. m P >,8 sąd, 84 σ m P >,6 sąd, 5 σ Rozwiązuąc owyższy uład rówań orzymamy m,85; σ 3,39.,85 6,85 < 6 <, 3,39 3,39 P P P Y < Φ, Φ,,7,7% Prawo rzech sigm Jeśli ma rozład Nm, σ o P m σ < < m σ,683,

12 .Kowalsi Sysemy Obsługi P m σ < < m σ,955, P m 3σ < < m 3σ,997 Osaia rówość świadczy o ym, że chociaż rozład ormaly ma gęsość różą od zera a całe rose o rayczie iemal wszysie realizace suiaą się w rzedziale m 3σ, m 3σ własość ą azywamy rawem rzech sigm. m m 3σ m 3σ Ierreaca graficza aramerów rozładu Nm, σ

13 .Kowalsi Sysemy Obsługi 3

14 .Kowalsi Sysemy Obsługi Rozłady soowe. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA - ZESTAWIENIE NAZWA ROZKłADU Rozład edosay dysrey c, - całowie; > Rozład zeroedyowy, Rozład dwumiaowy,, N FUNKCJA ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA WŁASNOŚCI P c, c, c,..., c - gdy o rozład edouowy ic e ϕ i e i e P q P ; q - ϕ q i e P q q -,,,..., - liczba sucesów w róbach B. arz rzybliżeie Poissoa ϕ i q e WART. OCZEKIWANA WARIANCJA INNE PARAMETRY E c - /; D - / a,8 -,4/ - E ; D q q a 3 q q E ; D q q a q 6 q 3 q 4

15 .Kowalsi Sysemy Obsługi Rozład geomeryczy, Rozład Poissoa > P q q -,,,... - liczba rób B. orzedzaących ierwszy suces P ϕ i qe e ablica I!,,,... dla > 9 rozład Poissoa moża rzybliżać rozładem N,, zachodzi wedy,5, 5 P Φ Φ gdzie Φ - dysrybuaa rozładu N, ϕ e i e Przybliżeie Poissoa - duże, - małe q e! E q/; D q/ q a q m q E ; D a m, , 4 3 5

16 .Kowalsi Sysemy Obsługi Rozłady ciągłe. NAZWA ROZKŁADU Rozład edosay a, b R a < b Rozład ormaly m R, σ, GĘSTOŚĆ WŁASNOŚCI f x b a x a ; b x a; b ib ia e e ϕ i b a x m σ f x e x R σ π fuca gęsości ma uy rzegięcia x m ±σ W ablicy II dla x [; 5 odao warości dysrybuay Φ rozładu N, Φ-x - Φx - Nm, σ Y - m/σ - N, sadaryzaca ϕ im e σ WART. OCZEKIWANA WARIANCJA INNE PARAMETRY E ab/ D b-a / a,8 x,5 ab/ d - ie isiee E m; D σ a 3 x,5 m d m m σ m m m σ gdy iearzyse!! gdy arzyse 6

17 .Kowalsi Sysemy Obsługi Rozład wyładiczy a, Rozład gamma,, ax ae x > f x x szczególy rzyade rozładu gamma a ϕ a i x x e f x x > Γ x dla es o rozład wyładiczy o aramerze a / ϕ i E /a; D /a a 9 x,5 l/a,693/a d! m a! a! E ; D a 6 3 d -, m... 7

18 .Kowalsi Sysemy Obsługi Rozład Pareo, x, Rozład Erlaga a, m N /x x f x x x fx x x > x x x m a m ax x e x > f x m! x szczególy rzyade rozładu gamma Dla m es o rozład wyładiczy. Uwaga. Suma m iezależych zmieych losowych o rozładzie wyładiczym z aramerem a ma rozład Erlaga. a ϕ a i m E x D dla > dla > x a 3 dla > dla > 4 / d, x x x,5 m x dla > E m/a; D m/a 6 a 3 m m d m - /a m m... m m a 8

19 .Kowalsi Sysemy Obsługi y y e Rozład chi wadra y > f y N Y... Γ y,..., - iezależe, o rozładzie N, Rozład Sudea N W ablicy III dla,,..., 3; P Y dla > 3 ~ N ; T Y ϕ i Γ f R ` Γ Γ Y, Y - iezależe o rozładzie N, ; Y o rozładzie chi wadra z soiami swobody Uwaga. T W ablicy IV P T N, E ; D a 8 3 x,5 -,67 d -, m E ; dla > D /- dla > a dla > 3 6 3, dla > 4 4 x,5 dla > d, dla > m dla iearzysych m dla arzysych / 9

20 .Kowalsi Sysemy Obsługi Rozład F Sedecora N ; > Γ Γ Γ x x x x x f, Y Y F ; ; Y Y - iezal. o rozł. chi wadra W ablicy V: F ; P Uwaga., ~ ; N F dla 3 ; > Y F rozład ma, E dla > D 4 dla > 4 Uwaga. Γ - fuca Eulera, Γ dx e x x. Γ -!; Π Γ / ; Π Γ!!.

21 .Kowalsi Sysemy Obsługi Zadaia. Zadaie Czas bezawarye racy urządzeia es zmieą losową o gęsości a wyzaczyć dysrybuaę, e f x x dla x dla x < rozład wyładiczy b obliczyć P,5 < <, i zierreować a wyresie gęsości i dysrybuay, Zadaie Czas bezawarye racy urządzeia es zmieą losową o gęsości e f x x dla x dla x < obliczyć E, D. rozład wyładiczy Zadaie 3 Próbuemy iezależie 5 razy ołączyć się z serwerem oczy eleroicze. Prawdoodobieńswo ołączeia w ede róbie wyosi,8. liczba ołączeń. Wyzaczyć rawdoodobieńswo, że z serwerem ołączymy się: a 4 razy, b awyże 3 razy, c co amie 3 razy, d co amie razy i ie więce iż 4 razy, od. a,496; b,67; c,94;,6656. Zadaie 4 Srawdzić, że dla rozładu dwumiaowego zachodzi asęuący wzór reurecyy: P P q Zadaie 5 Zmiea losowa ma rozład Poissoa o warości oczeiwae rówe,5. Obliczyć:

22 a P b P > 3.Kowalsi Sysemy Obsługi od. a,3; b,7 Zadaie 6 Prawdoodobieńswo wygraia agrody a loerii wyosi,3. Korzysaąc z rzybliżeia Poissoa wyzaczyć rawdoodobieńswo, że wśród 5 osób graących a e loerii: a żada ie wygra, b wygraą osoby, c wygra awyże 5 osób, d wygraą co amie 3 osoby, e wygra,6% graących, f wygra,%,4% graących, od. a,3; b,5; c,9955; d,9; e,55 f,5857 Zadaie 7 Zmiea losowa ma rozład wyładiczy o aramerze. Poazać, że zmiea losowa c ma rozład wyładiczy o aramerze /c. Zadaie 8 Czas w miuach między oleymi wyadami drogowymi w Polsce ma rozład wyładiczy o aramerze. Ile wyosi średi czas między oleymi wyadami? Jaie es rawdoodobieńswo, że awyże w ciągu rzech miu asąi oley wyade. od. E,5, P < 3 - e -6 Zadaie 9 Zmiea losowa ma rozład N;. Obliczyć: a P >,5, b P,5 < < c P <,, d P >, Orzymae wyii zierreować a wyresie gęsości.

23 Zadaie Zmiea losowa ma rozład N ; 3. Obliczyć: a P >, b P < 5, c P 5 < < Orzymae wyii zierreować a wyresie gęsości..kowalsi Sysemy Obsługi od. a,668; b,538; c,76986; d,455 Zadaie Zmiea losowa ma rozład N,5; 3. Obliczyć: a P <,5, b P >,5, c P,5 < < d P - <, e P >,5, Orzymae wyii zierreować a wyresie gęsości. od. a,693; b,75; c,476, d,, e,88 Zadaie Wzros ludzi w ewe oulaci ma rozład N7,. Wyzaczyć roce osób w e oulaci: a maących wzros oiże 65 cm, b maących wzros owyże 7 cm, c maących wzros owyże 8 cm, d maących wzros owyże 9 cm, e maących wzros owyże cm, f maących wzros omiędzy 65 a 7 cm, Orzymae wyii zierreować a wyresie gęsości. od. a 3%; b 5%; c 6%; d %; e,%; f 9% 3

24 .Kowalsi Sysemy Obsługi Zadaie 3 Dochód ewe gruy racowiów ma rozład ormaly o warości oczeiwae zł i odchyleiu sadardowym zł. Obliczyć rawdoodobieńswo, że wśród wylosowaych racowiów z e gruy ie będzie ai edego o dochodzie owyże zł. od. ooło,7 Zadaie 4 Według roducea masymaly rzebieg silia bez remou es zmieą losową o rozładzie N3, 4. Jaie es rawdoodobieńswo, że sili zaewi rzebieg owyże 35 m? od. ooło,56 Zadaie 5 Relama cuierów TIK-TAK zaewia, że maą oe ylo alorie. Ja duże owio być odchyleie sadardowe rozładu aloryczości ych cuierów aby szasa rafieia a cuiere zawieraący co amie 3 alorie była miesza iż, rzymuemy rozład ormaly N, σ? od. σ <,49, S, P Proces sochasyczy Ω - usaloa rzesrzeń robabilisycza. T R, rzedział sończoy lub iesończoy, lub odzbiór dysrey. Def. Fucę : T Ω R azywamy rocesem sochasyczym eśli { ω :, ω < x} S T x R czyli dla ażdego usaloego fuca rozważaa ao fuca argumeu ω es zmieą losową. Naczęście w zasosowaiach ierreuemy ao czas. 4

25 ω ω Sosuemy zais,.kowalsi Sysemy Obsługi Przyład. Amliuda aięcia geerowaego rzez rądicę rądu zmieego zależy od czyiów losowych i może być zaisaa ao roces ω - sała oreślaąca częsoliwość, A - zmiea losowa o rozładzie. N3, 5, - czas, R. Asi ω Realizace rocesu N. dla warości arameru orzymuemy zmieą losową o rozładzie edouowym o warości zerowe, dla warości π 3π arameru orzymuemy zmieą losową π A o rozładzie N3, 5, dla warości arameru orzymuemy zmieą ω ω losową A. 3π ω ω Dla usaloego ω Ω i dowolego T rzymuemy x, ω 5

26 .Kowalsi Sysemy Obsługi Fuca x oreśloa a T ie ma charaeru losowego, azywamy ą realizacą rocesu sochasyczego wyraża ewolucę w czasie wybraego zdarzeia losowego. Warości rocesu azywamy saami. Zbiór wszysich saów azywamy rzesrzeią saów. Przyładowe rodzae rocesów Say Czas Przyład azwa rocesu C C a wyże, lub roces Gaussa, CC C D - wymiarowy rozład ormaly, CD D C roces Poissoa, DC D D łańcuchy Marowa. DD Przyład. czas uzysaia ołączeia z oreśloą sroą iereową, eśli oleceie ołączeia zosało wydae a rzeglądarce w chwili. Jes o roces yu CC. Przyład. {,,,..., 7} czas efeywe racy modemu daego omuera w oszczególe di oreego ygodia. Jes o roces yu CD. Przyład. liczba uczesiów forum dysusyego a oreśloe sroie iereowe, zalogowaych w chwili. Jes o roces yu DC. Przyład. {,,,..., } liczba zalogowań omuerów do daego serwera w oszczególe di oreego rou. Jes o roces yu DD. Paramery rocesu sochasyczego. 6

27 Warość oczeiwaa rocesu..kowalsi Sysemy Obsługi m E Wariaca rocesu. V D σ E Odchyleie sadardowe rocesu o ierwiase z wariaci rocesu. Auoowariaca m m m K, E Auoowariaca uormowaa wsółczyi auoorelaci rocesu Auoorelaca K, ρ, V V K D R,, D E Własości: V D σ K, K, R, m m 3 K, V V D D 4 V D σ E E 7

28 .Kowalsi Sysemy Obsługi Uwaga.. Z owyższych własości wyia, że rayczie wysarczy wyliczyć m i R, a ozosałe aramery uzysamy a ich odsawie.. Przy obliczaiu m i R, rzydae bywaą asęuące zależości zae z rachuu rawdoodobieńswa D E, bo D E E E EY Cov, Y EEY bo Cov, Y EY EEY Cov, Y Cov, Y ρddy bo ρ DDY Przyład. Obliczymy aramery rocesu A, R. A - zmiea losowa soowa o fuci rawdoodobieńswa -,5,5 Rozwiązaie. Zauważmy, ze rozaryway roces ma ylo dwie realizace: arabolę y i arabolę Warość oczeiwaa wyosi m E,5,5 y. Auoorelaca wyosi Auoowariaca wyosi R, E E A A D A EA, R, E A m K m Wariaca wyosi 8

29 .Kowalsi Sysemy Obsługi 4 V Zauważmy, że dla warości arameru orzymuemy zmieą losową o rozładzie edouowym i wedy wariaca rocesu es zerowa. Wraz z bezwzględym wzrosem wariaca gwałowie rośie. Wsółczyi auoorelaci rocesu wyosi K, ρ, 4 4 V V Ozacza o, że zmiee losowe worzące roces są w ełi sorelowae, z. zmiea losowa es fuca liiową od. Mamy, gdzie. Przyład. Obliczymy aramery rocesu A B, R A, B - zmiee losowe o aramerach EA ; EB, i D A, D B ; cova, B -. Rozwiązaie. Warość oczeiwaa wyosi E E A B EA EB Auoorelaca wyosi Auoowariaca wyosi R E m, E E A B A B A AB B E A E AB E B D A EA cov A, B EAEB D B EB 3 9

30 .Kowalsi Sysemy Obsługi m K, R, m Wariaca wyosi V Zauważmy, że wariaca ego rocesu es ie miesza iż dla dowolego. Wsółczyi auoorelaci rocesu wyosi ρ, K V, V Proces sochasyczy azywamy rocesem o rzyrosach iezależych, eśli dla dowolego auralego, dowolych < <... < zmiee losowe są iezależe. Przyład: roces Poissoa.,,..., Proces sochasyczy o rzyrosach iezależych azywamy edorodym, eśli dla dowolego ieuemego,, ω i dla dowolych < rozład różicy zmieych losowych zależy ylo od różicy - ie zależy od. Przyład: roces Poissoa. Zadaie. Zadaia 3

31 Wyzaczyć aramery rocesu D B 3. Zadaie. Wyzaczyć aramery rocesu,4 K.,4,5.Kowalsi Sysemy Obsługi A Be, gdzie A, B o iesorelowae zmiee losowe o aramerach: EA ; EB -3, D A, A B, gdzie A, B o zmiee losowe o aramerach: EA ; EB, i macierzy owariaci Zadaie 3. Wyzaczyć aramery rocesu A, gdzie A es zmieą losową o rozładzie edosaym w rzedziale,. Ja wyglądaą realizace ego rocesu? Kóre z oiższych fuci są realizacami ego rocesu? x,3 ; x,3 ; x. 3 Zadaie 4. Wyzaczyć aramery rocesu A 3, gdzie A es zmieą losową o rozładzie N3,. Ja wyglądaą realizace ego rocesu? Zadaie 5. Proces ma ylo 3 realizace: x ; x ; x 3. Realizace e są rzymowae odowiedio z rawdoodobieńswami: /, /3; /6. Wyzaczyć aramery ego rocesu. Zadaie 6. Proces ma ylo 4 realizace: x ; x ; x 3 ; x 4. Realizaca osaia es rzymowaa z rawdoodobieńswem,, a ozosałe realizace są rzymowae z aim samym rawdoodobieńswem. Wyzaczyć aramery ego rocesu. Zadaie 7. Wyzaczyć aramery rocesu cova, B -. Zadaie 8. Wyzaczyć aramery rocesu,5. Ae Be, gdzie A, B o zmiee losowe o aramerach: EA ; EB, i D A, D B ; A B, gdzie A, B o zmiee losowe o aramerach: EA -; EB, i D A, D B 4; ρ AB - 3

32 .Kowalsi Sysemy Obsługi Zadaie 9. Wyzaczyć aramery rocesu A B, gdzie A, B o zmiee losowe iesorelowae. A ma rozład wyładiczy z aramerem,5, B es zmieą losową soową o fuci rawdoodobieńswa: PB -,5; PB,5; Łańcuchy Marowa Przyład. Symerycze błądzeie rzyadowe. Jao zbiór saów rozaruemy zbiór liczb całowiych. Kolee eay błądzeia będziemy umerować ao chwile czasu,,,.... Załóżmy, że w chwili roces es w saie. Nasęie w oleych eaach z rawdoodobieńswem ½ rzechodzimy do sau o umerze wyższym lub z rawdoodobieńswem q ½ rzechodzimy do sau o umerze iższym możemy sobie wyobrazić, że rzucamy moeą symeryczą i orzeł owodue rzesuięcie w rawo, a resza w lewo. Na wyresie możliwe do osiągięcia say w oszczególych eaach możemy rzedsawić asęuąco zauważmy, że w arzysych umerach eaów moża być ylo w saach o umerach arzysych. 5 Nr eau 4 3 say

33 .Kowalsi Sysemy Obsługi 33 Jeśli Z i o iezależe zmiee losowe o rozładzie dwuuowym i i Z P Z P o rozaryway roces sochasyczy możemy zaisać asęuąco > Z, Zauważmy, że eśli o ewe liczbie eaów chcemy oreślić rawdoodobieńswo zalezieia się w saie, w eaie asęym, o rawdoodobieńswo o zależy ylo od ego gdzie eseśmy o eaach a ie zależy od ego w aich saach byliśmy wcześie, z.,...,, i P i i P Uzasadieie Poieważ Z więc ciąg ma rzyrosy iezależe, oraz Z es iezależy od m, m <. Mamy,...,,,...,,,...,, i Z P i i i Z P i i Z P i i P Rówież i Z P i Z P i P i P Przyładowe realizace ego rocesu moża rzedsawić asęuąco r eau 3 say

34 .Kowalsi Sysemy Obsługi say r eau Moża eż rozarywać bardzie ogóle błądzeie rzyadowe gdy zmiee Z i o iezależe zmiee losowe o dowolym rozładzie dwuuowym P Z >, P Z q > i Powyższy roces moża eż rzedsawić w osaci grafu... q i [ ] q [ ] q [ ] q [ ] q [ ] q amięaąc o saie z órego rozoczyamy błądzeie. Łańcuchy Marowa o rocesy dysree w czasie i o dysreym zbiorze saów, "bez amięci". Zwyle będziemy załadać, że zbiór saów o odzbiór zbioru liczb całowiych Z lub zbioru {,,,...} { S,,...} S., S Łańcuchem Marowa azywamy roces będący ciągiem zmieych losowych,,... Oreśloych a wsóle rzesrzei robabilisycze, rzymuących warości całowie i sełiaące warue P i, i,..., i P i i,..., i, {,,,... } ao uroszczeie zaisu Zaem dla łańcucha Marowa rozład rawdoodobieńswa waruowego ołożeia w -ym rou zależy ylo od rawdoodobieńswa waruowego ołożeia w rou orzedim a ie od wcześieszych uów raeorii hisoria.

35 Niech P i i.kowalsi Sysemy Obsługi ozacza rawdoodobieńswo waruowe rześcia w -ym rou ze sau i do sau. Jeśli i ie zależą od o łańcuch azywamy edorodym edorodym w czasie i sosuemy zais i. Załadaąc, że umery saów są całowie, ieueme moża rawdoodobieńswa rześć zaisać w macierzy P W ierwszym wierszu mamy oleo rawdoodobieńswo ozosaia w saie w -ym rou i rawdoodobieńswa rześcia w -ym rou ze sau o umerze do saów o umerach,, id. Aalogiczie oreśloe są ozosałe wiersze. Dla łańcuchów edorodych owyższą macierz ozaczamy P i ma oa osać P Własości macierzy rawdoodobieńsw rześć: a b suma ażdego wiersza es rówa. Zauważmy eż, że w macierzy e ie może isieć oluma złożoa z samych zer. Każdą macierz sełiaącą warui a, b azywamy macierzą sochasyczą. Uwaga. i Macierz sochasycza i rozład zmiee losowe oreślaą ewie łańcuch Marowa. Własości macierzy sochasyczych są zaem ściśle związae z własościami łańcuchów Marowa. Łańcuchy Marowa edorode. 35

36 .Kowalsi Sysemy Obsługi Będziemy dale rzymować aczęście, że rozarywae łańcuchy Marowa maą sończoa liczbę saów. i - rawdoodobieńswo zalezieia się w saie i o roach rozład zmiee losowe. Prawdoodobieńswa e saowią sładowe weora. i - rawdoodobieńswo zalezieia się w saie i w chwili ocząowe rozład zmiee losowe - rozład ocząowy. Prawdoodobieńswa e saowią sładowe weora. Przyład. Błądzeie rzyadowe z odbiciem. N. gdy say i 4 są odbiaące Przyład. [ ] q [ ] q [ ] q [ 3] [ 4] q P q q Narysu graf łańcucha Marowa odowiadaący macierzy rawdoodobieńsw rześć / P / / Przyład. / 3 / / / 6 Zaisz macierz P dla łańcuch a Marowa rzedsawioego grafem 4 [ ] [ ] 3/ [ ] [ 3] / / 4 / 4/ 5 [ 4] /5 36

37 Ozaczeia..Kowalsi Sysemy Obsługi i - rawdoodobieńswo rześcia od sau i do sau w edym dowolym rou, i - rawdoodobieńswo rześcia od sau i do sau w roach, P [ i ]- macierz rawdoodobieńsw rześć w edym rou, es o macierz sochasycza. P P [ i ] - macierz rawdoodobieńsw rześć od sau i do sau w roach, Rówaie Chamaa, - Kołmogorowa: l l i m i m m Własość: Zaąc rozład ocząowy i macierz P możemy wyzaczyć rozład zmiee losowe czyli rawdoodobieńswo zalezieia się w oszczególych saach o roach:,,...,,...p. czyli op Mamy eż własość: m mp Przyład.,5,5 Rozarzmy łańcuch Marowa o macierzy P,5,75 i rozładzie ocząowym,,.,5,5 Po ierwszym rou rawdoodobieńswa zalezieia się w oszczególych saach są rówe 37

38 .Kowalsi Sysemy Obsługi,5,5 P [,,],5,75 [,5;;,5],5,5 Po drugim rou rawdoodobieńswa zalezieia się w oszczególych saach są rówe P,5 [,,],375,5,5,438,5 Po rzecim rou rawdoodobieńswa zalezieia się w oszczególych saach są rówe 3 P 3,375 [,,],8,438,88,3,344,5,88 [,5;,5;,5],65,438,56 [,375;,88;,438],9 Obliczaąc olee oęgi macierzy P możemy wyliczoe warości zesawić dla,..., w asęuące abeli i rzedsawić a wyresie. ro Sa Sa Sa,5,5,5,5,5 3,375,88,438 4,46,66,38 5,367,3,4 6,385,59,356 7,37,43,386 8,379,54,367 9,373,47,38,376,5,37,374,49,377,376,5,374 38

39 .Kowalsi Sysemy Obsługi rawdoodobieńswo sa sa sa,6,5,4,3,, roi Zauważmy, że rozarywae rawdoodobieńswa sabilizuą się a oreśloym oziomie i dążą do ewych graic, co związae es z regularości rozarywae macierzy sochasycze. Ja oażemy wróce, isieą sosoby wyzaczaia ych graiczych rawdoodobieńsw bez obliczaia oęg macierzy P. Zobaczmy eraz a zmieia się rawdoodobieńswo zalezieia się w usaloym saie w oszczególych roach, gdy zmieia się rozład ocząowy. Rozarzmy sa i rozłady ocząowe,,,,,,,,. 39

40 .Kowalsi Sysemy Obsługi, 6, 5 rawdoodobieńswo, 4, 3,, r o i Obliczoe rawdoodobieńswa w odoby sosób a wyże zesawioo w abeli i rzedsawioo a wyresie dla,...,. \ ro ,,,5,5,375,46,367,385,37,379,373,376,374,376,,,375,8,398,346,388,364,38,37,378,373,376,,,5,5,438,38,4,356,386,367,38,37,377,374 Zauważmy, że rozarywae rawdoodobieńswo dla dużych ie zależy od rozładu ocząowego. Graicę Π lim o ile isiee azywamy rozładem graiczym łańcuch Marowa. Π Π,,... Π., Π Łańcuch Marowa dla órego isiee rozład graiczy iezależy od rozładu ocząowego azywamy łańcuchem ergodyczym. Uwaga. 4

41 .Kowalsi Sysemy Obsługi Jeśli ewa oęga macierzy rześcia P ma co amie edą olumę złożoą wyłączie z wyrazów dodaich o rozaryway łańcuch es ergodyczy o dodaich rawdoodobieńswach graiczych. Sosoby wyzaczaia rozładu graiczego: Sosób I. Rozład graiczy Π es edyym iezerowym rozwiązaiem uładu Uwaga. Z owyższe rówości wyia, że ΠP Π. P T - I Π T, sełiaącym warue Π i i, Przyład. Wyzaczyć rozład ergodyczy łańcucha Marowa o macierzy,3,5, P,6,4,4,6 Zauważmy, że w osaie olumie macierz P ma ylo warości dodaie. Należy rozwiązać rówaie edorode,7,6,5,,4 Π,4 Π,4 Π Jes o uład ieozaczoy z edym aramerem. Przymimy. Π, wedy Π 8/4, Π 4/4. Dzieląc e rozwiązaia rzez ich sumę orzymamy rozwiązaie uormowae 4

42 Π [6/3, 7/3, /3]. Sosób II..Kowalsi Sysemy Obsługi Π gdzie A o doełieia algebraicze macierzy I - P wyzaczi macierzy orzymae rzez sreśleie -ego wiersza i -e olumy. Przyład. Wyzaczyć drugim sosobem rozład ergodyczy łańcucha z orzediego rzyładu. 4 A A Zadaia. Zadaie. Wyzaczyć aramery rocesu symeryczego błądzeia rzyadowego. Zadaie. Narysu graf łańcucha Marowa - błądzeie rzyadowe z odbiciem. Przymi liczbę saów rówą 6. Zaisz macierz rawdoodobieńsw rześć ego łańcucha. Zadaie 3. Narysować graf łańcucha: Czy odowiedi łańcuch Marowa es ergodyczy.,3 P,6 Zadaie 4. Narysować graf łańcucha: a P b P Czy odowiedi łańcuch Marowa es ergodyczy. Srawdzić, czy dla ego łańcucha isiee rozład graiczy. Zadaie 5. Wyzaczyć olee oęgi macierzy,5 P,5,5,4,,4,6 Czy odowiedi łańcuch Marowa es ergodyczy. Narysować graf ego łańcucha.

43 .Kowalsi Sysemy Obsługi Porówać wiersze macierzy P i sładowe weora rozładu graiczego. Od.. 6,67875,385 P Π [/3, /3],6565,34375 Zadaie 6. Łańcuch Marowa ma dwa say i rozład graiczy [, q]. Wyzaczyć macierz P ego łańcucha. Od. a P a a a, a - ieuemy aramer. Zadaie 7. Rozład ocząowy łańcucha Marowa oreśloego macierzą rawdoodobieńsw rześć wyraża się weorem a,,, b,5; ;,5,,3 P,6,5,4,,4,6 Wyzaczyć rawdoodobieńswa zalezieia się w oszczególych saach ego łańcucha o dwóch eaach, rzech eaach. Zadaie 8. Rozład ocząowy łańcucha Marowa oreśloego macierzą rawdoodobieńsw rześć wyraża się weorem,,. P,5,5,5,5,5,5,5,5 43

44 .Kowalsi Sysemy Obsługi 44 Wyzaczyć rawdoodobieńswa zalezieia się w oszczególych saach ego łańcucha o oleych eaach. Czy łańcuch e ma oreśloe rawdoodobieńswa graicze? Zadaie 9. Wyzaczyć rozłady graicze łańcuchów wyzaczoych rzez macierze a P b P Narysu odowiedie grafy. Wyzacz graicze warości oczeiwae i graicze wariace. Od. a [6/7, 7/7, /7, /7] b [/, 3/, 5/, /, /] Zadaie. Poda rzyład łańcucha, órego rozłady graicze zależą od rozładu ocząowego. Zadaie. Wyzaczyć rozład graiczy łańcucha wyzaczoego rzez macierz,5,5,75,5,5,5 P Narysu odowiedi graf. Łańcuch sacoary. Jedorody łańcuch Marowa es sacoary gdy isiee rozład Π ego saów, zway rozładem sacoarym, że ΠP Π z. Π es weorem własym macierzy P dla warości włase. Zaem dla dowolego, ΠP Π, ozacza o, że eśli rozład ocząowy es rówy Π, o rozład łańcucha o dowole liczbie roów es ai sam i rówy Π.

45 .Kowalsi Sysemy Obsługi Jeśli macierz P łańcucha es ierozładala o rozład sacoary es doładie ede. Jeśli macierz P łańcucha es rozładala o rozładów sacoarych es więce iż ede. W łańcuchu ergodyczym rozład sacoary graiczy ie zależy od rozładu ocząowego. Uwaga. Odwroa imliaca ie musi zachodzić. ergodyczy sacoary Wiose. Isieie rozładu sacoarego ie imliue, że łańcuch es ergodyczy. Każdy łańcuch o sończoe liczbie saów es sacoary. Przyład. Rozarzmy łańcuch o macierzy P rówe,5,5,5,5 Łańcuch e ie es ergodyczy. Zauważmy, że rozłady /, /,, ;,, /, /; /4, /4, /4, /4 są sacoare rozładów sacoarych może być więce iż ede bo rozarywaa macierz es rozładala. Przyład. Rozarzmy łańcuch o macierzy P rówe / P / / 3 / / / 3 / 3 45

46 Say i są isoe. Sa 3 es ieisoy..kowalsi Sysemy Obsługi Przyład. Rozarzmy łańcuch o macierzy P rówe, P,5,3,5,9,7,46,45,9 Zauważmy, że P,35,45,,5,5,8 Wyzacz rozład sacoary ego łańcucha. Czy es o łańcuch ergodyczy? Czy orzymay rozład sacoary es rozładem graiczym? Przyład. Rozarzmy łańcuch o macierzy P rówe Wszysie say są oresowe maą ores. Wyzacz rozład sacoary ego łańcucha. Przyład. Rozarzmy łańcuch o macierzy P rówe /8 / 4 7 / 8 3/ 4,5,5,5,5 Wyzacz graf ego łańcucha. Czy łańcuch e ma say oresowe? Czy wszysie say są oresowe?. / / 4 / 3/ 4 46

47 Srawdź, że.kowalsi Sysemy Obsługi lim P ie isiee i żada oluma P ie słada się wyłączie z elemeów dodaich. Przyład. Rzucamy symeryczą czworościeą osą a ściaach liczby,, 3, 4. Rozaruemy łańcuch Marowa oreśloy ao ciąg masymalych wyiów sośród rzuów,,3,...,. Srawdź, że łańcuch e ma macierz P rówą,5,5,5,5,5,5,5,75,5 Wyzacz graf ego łańcucha. Czy łańcuch e ma say oresowe? Przyład. Gracze A i B rozoczyaą grę z aiałem zł ażdy. W ażde arii gracz A wygrywa z rawdoodobieńswem,6, gracz B wygrywa z rawdoodobieńswem,4. Po ażde arii rzegrywaący łaci wygrywaącemu zł. a aie es rawdoodobieńswo, że gra zaończy się o ariach? b aie es rawdoodobieńswo, że o 4 ariach aiał ażdego gracza wyiesie zł? c Ile wyosi warość oczeiwaa aiału gracza A o ariach? Przymimy, że say rocesu o aiał w osiadaiu gracza A czyli {,,, 3, 4}. Macierz P ma osać,4,6,4,6,4,6 Say i są ochłaiaące osiągięcie óregoś z ych saów ozacza barucwo edego z graczy. Do aie lasy ależą ozosałe say? Narysu odowiedi graf. Rozład ocząowy [,,,, ]. Ad. a P [,6;,,48,,,36], zaem rawdoodobieńswo zaończeia gry o ariach wyosi 4,6,36,5. Ad. b 4 P 4 [,368;,,34,,,538, zaem rawdoodobieńswo, że ażdy z graczy ma o zł o 4 ariach wyosi 4,34. Ad. c a odsawie [,6;,,48,,,36], obliczamy warość oczeiwaą aiału gracza A o ariach:,48 zł,36 4zł,4zł. Zaem gdyby gracze wieloroie rozegrali o arie maąc ocząowo o zł, o rzecięa wygraa gracza A wyosiłaby 4 gr. 47

48 Przyład. Jeśli ciąg zmieych losowych es łańcuchem Marowa o macierzy P, o ciąg zmieych losowych.kowalsi Sysemy Obsługi,,, 3,...,, 4,... es łańcuchem Marowa o macierzy P. Wsazówa. Należy sorzysać z rówości Chamaa-Kołmogorowa. Zadaie. Uzasadi własość: Jeśli łańcuch ma dwa róże rozłady sacoare o ie może być łańcuchem ergodyczym. Dysree rocesy Marowa. Rozaruemy roces sochasyczy, w órym aramer es ciągły zwyle. Będziemy załadać, że zbiór saów es co awyże rzeliczaly. Proces, es rocesem Marowa, eśli dla dowolego, dla dowolych chwil czasu < <...<, oraz dowolych saów x, y, x,..., x sełioa es zależość: P { y x, x x } P{ y x},..., Proces Marowa es edorody w czasie, eżeli dla dowolych saów x, y oraz chwil czasu < mamy P y x x, y, { } co ozacza, że rawdoodobieńswo rześcia ze sau x do sau y w czasie od momeu do momeu zależy ylo od różicy -, a ie zależy od momeu wyściowego. Przymimy ozaczeie P{ i}, gdzie -, >. Niech P [ i ] macierz rawdoodobieńsw rześcia i,,,..., N dla sończoe liczby saów. i 48

49 Jes o macierz sochasycza. Zależość azywamy rówaiem Chamaa - Kołmogorowa. Wyia z ie, że.kowalsi Sysemy Obsługi P N N 49 N N NN s s i P s P s P P P s Załadamy, że fuce i są ciągłe w ucie. dla i lim i dla i Wedy są ciągłe w dowolym iym ucie. ii ' Isiee eż chociaż może być iesończoa graica lim ii i ' oraz sończoa graica lim i Dla wygody rzymiemy ozaczeia dla i ' ii i i dla i Wielości e azywamy iesywościami rześcia ze sau i do sau gdy i, oraz iesywościami wyścia ze sau i do ozosałych saów gdy i. i ' Poieważ lim i i, o i dla i są gęsościami rawdoodobieńswa rześcia ze sau i do sau, oraz dla małych mamy, i co ozacza, że dla małych rawdoodobieńswo rześcia ze sau i do sau es roorcoale do, wsółczyiiem roorcoalości es iesywość i. i i

50 .Kowalsi Sysemy Obsługi Jeśli oreślimy macierz Λ o elemeach rówym iesywościom i,,,..., N dla sończoe liczby saów ii i dla i dla i Λ N N N N NN macierz iesywości, o możemy owyższe ułady rówań zaisać w osaci macierzowe: d * P' P Λ czyli P P Λ d oraz d ** P' Λ P czyli P ΛP d W zasosowaiach częście sosue się rówaie roseywe. Ozaczaąc i P{ i} mamy roseywego i o zróżiczowaiu względem czasu orzymamy iy zais rówaia i i i d ***,,... d 5

51 .Kowalsi Sysemy Obsługi 5 Przymuąc [,,...] weor rozładu rocesu w momecie i macierz Λ o elemeach rówym iesywościom i dla i dla i ii macierz iesywości możemy owyższy uład rówań zaisać w osaci weorowe: ' Λ czyli Λ d d Rozwiązaie ego rówaia ma osać e Λ Przyład. Narysować graf i wyzaczyć rówaia roseywe Kołmogorowa rocesu Marowa o macierzy iesywości: Λ [ ] [ ] [ ] d d d d d d 3

52 .Kowalsi Sysemy Obsługi Macierzą iesywości azywamy ażdą macierz Λ aą, że: a elemey ozadiagoale są ieueme, b elemey diagoale są iedodaie, c suma elemeów w ażdym wierszu wyosi. Uwaga. Niech - rawdoodobieńswo, że w chwili roces zadzie się w saie. Wedy N i i i Niech,,..., N Wedy P Rozład graiczy, ergodyczość dla rocesów Marowa. Π lim Twierdzeie. Jeśli sończoa macierz iesywości Λ ma oza rzeąą ylo dodaie elemey o roces e es ergodyczy i ma dodaie rawdoodobieńswa graicze. Dwa sosoby wyzaczaia rozładu graiczego oreślaą asęuące wierdzeia: Twierdzeie. Rozład graiczy Π es iezerowym rozwiązaiem uładu ΠΛ sełiaącym warue uormowaia suma sładowych zero. 5

53 Rówaie ΠΛ wyia z rówaia różiczowego ego ochoda o es rówa zero. d d.kowalsi Sysemy Obsługi Λ, bowiem eśli isiee rozład graiczy o ie zależy o od zaem Twierdzeie. Rozład graiczy Π moża wyzaczyć za omocą doełień algebraiczych M elemeów z rzeąe macierzy -Λ: Przyład. Narysować graf i wyzaczyć rozład graiczy rocesu Marowa o macierzy iesywości: Π M M 5 Λ [ ] [ ] [ ] 3 4 od. [4/49; 4/49; /49] Przyład. Narysować graf i wyzaczyć rozład graiczy rocesu Marowa o macierzy iesywości: 53

54 .Kowalsi Sysemy Obsługi 6 4 Λ Przymuąc, że roces ma say,, ; obliczyć graiczą warość oczeiwaą. Czy es o roces ergodyczy? Przyład. Przymuąc, że roces ma say,,, 3; arysować graf i wyzaczyć rozład graiczy rocesu Marowa o macierzy iesywości: Λ Wyisać rówaia Kołmogorowa ego rocesu. Obliczyć graiczą warość oczeiwaą. Od. [5/37; 7/37; 8/37; /37],. Przyład. Proces Marowa es oreśloy grafem [ ] [ ] [ ] Wyzaczyć ego macierz iesywości i rówaia Kołmogorowa. Wyzaczyć rozład graiczy. 4 Przyład. Proces Marowa es oreśloy grafem [ ] [ ] [ ] [ 3] 4 3 Wyzaczyć ego macierz iesywości i rówaia Kołmogorowa. Wyzaczyć rozład graiczy ego rocesu. Obliczyć graiczą warość oczeiwaą. Od. [,4;,4;,7;,3], o.,75. 54

55 Przyład. Srawdź, że eśli roces Marowa ma macierz iesywości:.kowalsi Sysemy Obsługi gdzie a, b, a b > o ego macierz rawdoodobieńsw rześć es rówa a Λ b a b P ab ab b ae a ae ab a b a b b be a be Wyzaczyć weor dla rozładu ocząowego,. Wyzaczyć rozład graiczy. Proces Poissoa. Proces {N, } azywamy rocesem zliczaącym eśli N ozacza całowią liczbę badaych zdarzeń zaobserwowaych do chwili. Proces zliczaący musi sełiać warui: N, N rzymue ylo całowie własości, 3 Jeśli s < o Ns N, 4 Dla s < N - Ns es rówe liczbie zdarzeń zaobserwowaych w rzedziale s, ], Proces zliczaący es rocesem o rzyrosach iezależych eśli rozłady liczby zdarzeń obserwowaych w rozłączych rzedziałach czasu są iezależe,. N ie zależy od N s - N. Uwaga. Każdy roces o rzyrosach iezależych es rocesem Marowa. Proces zliczaący es rocesem edorodym w czasie gdy rozład liczby zaobserwowaych zdarzeń w rzedziale czasu zależy ylo od długości ego rzedziału,. N s - N s ma ai sam rozład a N - N. 55

56 .Kowalsi Sysemy Obsługi 56 Proces Poissoa es edorodym rocesem Marowa o rzyrosach iezależych o rozładzie. P e P P τ τ!,,... - iesywość rocesu, > aramery rocesu Poissoa: m, mi,, K, <, dla dla ρ Uzasadieie. Poieważ e P! o!! e e P E m e e e e e e e P E!!!!!!! Zaem E E D Z edorodości rocesu dla < mamy, zaem sąd i z iezależości orzymamy

57 .Kowalsi Sysemy Obsługi 57 [ ], E E E E E E E R, R ogólie <, R dla dla Sąd dla dla dla dla mi,, m m R, K < < oraz < < D D, K, dla dla dla dla ρ Zauważmy, że, są zawsze dodaio sorelowae i siła zależości między imi zaczie sada gdy eda z chwil es wieloroie więsza od drugie. Przyłady zawis modelowaych rocesem Poissoa. - liczba wyemiowaych cząse rzez ciało romieiowórcze w ewym rzedziale czasu, - liczba awarii sysemu omuiacyego romieiowórcze w ewym rzedziale czasu, - liczba zgłoszeń do oralu iereowego w ewym rzedziale czasu, Uwaga.

58 .Kowalsi Sysemy Obsługi 58 Fuca f ma własość oh eśli lim h h f h. Ia rówoważa defiica rocesu Poissoa. Proces zliczaący es rocesem Poissoa o iesywości > gdy: a, b es sacoary i ma rzyrosy iezależe, c } { o P, d } { o P Graf rocesu Poissoa es asęuący [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Macierz iesywości rocesu Poissoa ma osać Λ Przymuąc,,... weor rozładu rocesu w momecie, o rówaie Kołmogorowa ' Λ zaisuemy o wsółrzędych w osaci Przymuemy rozład ocząowy,,,... Rozwiązaiem ego uładu es e! czyli

59 .Kowalsi Sysemy Obsługi e, e, e,..., e,...!!! zauważmy, że suma elemeów ego weora wyosi ede. Zaem edowymiarowy rozład ego rocesu z. rozład w dowole usaloe chwili es wyzaczoy rzez rozład Poissoa. Problem. T - czas ierwszego zgłoszeia, T - czas między - a -ym zgłoszeiem, Wyzaczyć rozład ych zmieych losowych. Rozwiązaie. {T > } ozacza zdarzeie, że ie było zgłoszeia w [, ], P T > P e zaem P T < e F dysrybuaa rozładu wyładiczego. Nasęie zauważmy, że z iezależości wyia P T > T s P bra zgł oszeń w s, s ] T s P bra zg oszeń w s, s ] { } { } e ł Zaem T eż ma rozład wyładiczy i es iezależy od T. Id. Wiose. Odsęy czasu między oleymi zmiaami saów w edorodym rocesie Poissoa są iezależymi zmieymi losowymi o ym samym rozładzie wyładiczym: Paramery ego rozładu o ET, D T. P T e < Twierdzeie. Suma sończoe liczby iezależych rocesów Poissoa es rocesem Poissoa, órego aramer es sumą aramerów oszczególych rocesów. Przyładowa realizaca rocesu Poissoa dla 4. czas sa 59 dla dla >,,,,8 -,4,9,33,8,48,4 3,36,93

60 .Kowalsi Sysemy Obsługi,76 4,9 4,77,3 5,38 6,63,9 6,9 7,46,45 7 3,39 8,,6 8 3,9 8,97,64 9 4, 9,3,77 4,43 9,76,47 6,74 3,3,85 8,3 4,79 3, 3 8,59 5,54 3,7 4 8,78 5,79 3,6 5,63 8, 3,8 6,3 9, 3,88 7,59 9,47 4, 8,99 9,99 4,7 9,6,33 5,6 6, 5, 5,88 8,67 8,37 5,96 8,96 8,73 6, 3 9,6 8,97 6,39 4,5 3,6 6,94 5,5 33,3 7,8 6 3,7 34,5 7,4 7 4,8 35,7 7,45 8 4,35 35,7 7,59 9 4,85 35,87 8, 3 6,74 38,3 6

61 .Kowalsi Sysemy Obsługi say Realizaca rocesu Poissoa 4 warości rocesu średia - odch.s. sredia odch. s.,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 8, 8,5 9, czas 6

62 .Kowalsi Sysemy Obsługi Uwaga. P i τ τ i P τ i P i i e i! i dla < i, e e z. P [ i ] e Przyład. Srawdzić, że dla rocesu Poissoa zachodzi: τ i e! e e dla i, P Przyład. Srumień zgłoszeń do sysemu eleomuiacyego es rocesem Poissoa. Wiadomo, że iesywość ego rocesu wyosi 3 zgł/mi. a obliczyć rawdoodobieńswo wysąieia co awyże edego zgłoszeia w ciągu 3 seud, b obliczyć rawdoodobieńswo wysąieia rzech zgłoszeń w ciągu 3 seud, c obliczyć rawdoodobieńswo, że czas między oleymi zgłoszeiami będzie więszy iż seud, d ile seud wyosi średi czas oczeiwaia a ierwsze zgłoszeie? Rozwiązaie. Ad. a 3 seud o,5 miuy, zaem odczyuąc z ablicy rozłdu Poissoa dla,5 mamy. P P,3,335, 558 P, 5, 5, 5 P, 5 3, 6 Ad. b aalogiczie Ad. c T czas między zgłoszeiami. Jes o zmiea losowa o rozładzie wyładiczym. Poieważ seud o, miuy dla,6 mamy. -,6 P T, e,5488 odczy z ablicy dla,,6. Ad. d ET / /3 se. 6

63 .Kowalsi Sysemy Obsługi Przyład. Srumień awarii ewego sysemu es modeloway rocesem Poissoa. Wiadomo, że rzecięie eda awaria zdarza się raz a 5 godzi zaem iesywość ego rocesu wyosi, awarii/godz.. a obliczyć rawdoodobieńswo wysąieia co awyże ede awarii w ciągu godzi, b obliczyć rawdoodobieńswo wysąieia co amie dwóch awarii w ciągu godzi, c obliczyć rawdoodobieńswo bezawarye racy w ciągu godzi, d obliczyć rawdoodobieńswo, że czas między oleymi awariami będzie więszy iż godzi, e obliczyć warość oczeiwaą bezawaryego czasu racy ego sysemu. Przyład. Wyzaczyć aramery i arysować rzyładowa realizace rocesu Z gdzie es edorodym rocesem Poissoa o iesywości. Przyład. Srawdź, że macierz rawdoodobieńsw rześcia rocesu rzełączaia między saami {-, } geerowaego rocesem Poissoa, z. rocesu Z Z, gdzie es edorodym rocesem Poissoa o iesywości ma osać e e P e e Wsazówa.,,,, e e! l.iearzysa,.,, 63

64 .Kowalsi Sysemy Obsługi 64 Proces urodzeń i śmierci. i - iesywości urodzeń, i,,... - iesywości śmierci,,,... [ ] [ ] [ ]... 3 i - rawdoodobieńswo rześcia ze sau i do sau o czasie, i maą własości: i,i- i o, i,i i o, i,i - i i o, i,i o, dla i - > i sełiaą uład rówań Kołmogorowa: *,,, d d i i i i i warui ocząowe i,i, i, dla i. Dale rozaruemy roces urodzeń i śmierci ze sończoą liczbą saów,,..., N. [ ] [ ] [ ] [ ] N N N 3... Niech P [ i ] sochasycza macierz rześcia i,,,..., N. Proces urodzeń i śmierci es edorodym rocesem Marowa. Dla rocesu urodzeń i śmierci macierz iesywości ma osać: [ ] Λ N N N N N N i

65 .Kowalsi Sysemy Obsługi 65 uład rówań Kołmogorowa moża zaisać w osaci macierzowe: Λ P P d d Rozwiązaie ego rówaia ma osać e P P Λ gdzie... 3!! 3 3 Λ Λ Λ Λ I e Przymuąc,,..., N weor rozładu rocesu w momecie, o rówaie Kołmogorowa ' Λ zaisuemy o wsółrzędych w osaci 3 3 N N N N N Przymuemy rozład ocząowy,,,... Uład rówań Kołmogorowa: Λ d d ma rozwiązaie osaci e Λ gdzie... 3!! 3 3 Λ Λ Λ Λ I e

66 .Kowalsi Sysemy Obsługi 66 Uwaga. Proces urodzeń i śmierci ma dla iesywości dodaich rozład graiczy osaci: Π Π i i i ` i,,..., N gdzie Π N i i i Zauważmy, że sładowe weora rozładu graiczego maą sumę rówą. Dowód. Zasosuemy sosób ierwszy. Rozarzmy rówaie ΠΛ [ ] Π Π Π N N N N N N N czyli uład rówań Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π 3 3 N N N N Jeśli rzyąć, że z Π Π ; z Π Π ; id. o

67 .Kowalsi Sysemy Obsługi z z z z3 z z N sąd z i i rzymuąc Π ao aramer mamy z waruów uormowaia oszuiwae wzory. Uwaga. Jeśli roces urodzeń i śmierci ma rzeliczalą liczbę saów, o rozład graiczy es osaci gdzie Π załadamy, że szereg i Przyład.... i... i i i Π... i es zbieży.... Niech i, i i, i,,..., gdzie >, daa sała. Zbada isieie w ym rzyadu rawdoodobieńsw graiczych. Przyład roces urodzeń. i - iesywości urodzeń, i,,... Dla rocesu urodzeń macierz iesywości ma osać: i... i Π ` i,, i [ ] 3 [ ] [ ] [ 3]... 67

68 .Kowalsi Sysemy Obsługi 68 [ ] Λ i Przymuemy, że,,... weor rozładu rocesu w momecie, oraz ocząowy,,,... Srawdź, że rówaie Kołmogorowa ' Λ ma dla ego rocesu osać Przyład. W załadzie racuą maszyy, z órych ażda sue się iezależie od ozosałych z iesywością 3 maszyy/godz. Maszyy e są arawiae rzez roboiów. Niech ozacza liczbę zesuych maszy w chwili. Rozarzmy asęuące rzyadi: są 3 maszyy i roboi racuący z iesywością maszya/godz. są 3 maszyy i roboiów racuących bez wsółracy z iesywością maszya/godz. ażdy. 3 są 4 maszyy i roboiów racuących bez wsółracy z iesywością maszya/godz. ażdy. 4 są 3 maszyy i 3 roboiów racuących z ełą wsółracą z iesywością maszya/godz. ażdy. 5 są 3 maszyy i roboiów racuących z ełą wsółracą z iesywością maszya/godz. ażdy. 6 są 3 maszyy i roboiów racuących z ograiczoą wsółracą z iesywością maszya/godz. ażdy gdy racuą osobo i z iesywością,5maszyy/godz. gdy racuą razem. W ażdym rzyadu: a arysować graf, b wyzaczyć rawdoodobieńswa graicze, c obliczyć rawdoodobieńswo graicze, że żade roboi ie racue, d obliczyć rawdoodobieńswo graicze, że rzyamie eda maszya es srawa, e obliczyć rawdoodobieńswo graicze, że rzyamie eda maszya czea a arawę, f obliczyć średia liczbę zesuych maszy, g obliczyć średia liczbę zaęych roboiów. Ad., [,9;,64;,348;,53]; Ezm,38; Ezr,86. Ad. 4, [/6; 3/6; 6/6; 6/6]; Ezm,6; Ezr,8.

69 .Kowalsi Sysemy Obsługi SMO Sysemy masowe obsługi zasosowaie rocesu urodzeń i śmierci - rzyłady: - cerala elefoicza, - saca bezyowa, - asa bileowa, - sysem iformayczy. Założeia: - liczba saowis obsługi, m - liczba miesc w oczeali. - srumień zgłoszeń es rocesem Poissoa z aramerem >, - czas obsługi ma rozład wyładiczy z aramerem > iesywość obsługi, - saowisa działaą iezależie, - zgłoszeia óre asąią gdy wszysie saowisa obsługi są zaęe rzechodzą do oczeali eśli es, - eśli wszysie saowisa obsługi są zaęe i wszysie miesca w oczeali są zaęe o zgłoszeie ouszcza SMO. - roces sochasyczy ozaczaący liczbę lieów w SMO w chwili, P, Naczęście ieresuą as rawdoodobieńswa graicze C SMO ze sraami bez oczeali, bez wsółracy. < <, m iesywość zgłoszeń, i iesywość obsługi - ego saowisa,,,,... es rozładem ego rocesu w chwili Π, C Π,..., C Π [ ] [ ] [ ] 3... [ ] [ ] Prawdoodobieńswa graicze wzory Erlaga:,... 69

70 .Kowalsi Sysemy Obsługi 7 3 3!!!... 3!! Π C gdzie!! C C C Π `,,...,. Wzory e wyiaą bezośredio ze wzorów a rozład graiczy dla rocesu urodzeń i śmierci bowiem:!... 3!! C czyiów Π Zauważmy, że C 3 3!!!... 3!!! i możąc liczi oraz miaowi rzez e widzimy, że oszczególe sładii są rówe fuci rawdoodobieńswa rozładu Poissoa z aramerem

71 .Kowalsi Sysemy Obsługi 7 P P e e e e e e e e C 3 3!!!... 3!!!,,,...,. zaem możemy wyzaczać warości C za omocą ablic rozładu Poissoa P P P es fucą rawdoodobieńswa rozładu Poissoa z aramerem. Uwaga Jeśli dysouemy sumulowaym RPS i iesumulowaym RPN rozładem Poissoa. fuca ECEA o RPS RPN C. Prawdoodobieńswo odmowy P odm C. Prawdoodobieńswo obsługi P obsł - C. Średia graicza liczba zaęych saowis obsługi.... C C... C obsł i i i i zs P C C C C C C i C C C E m...!!! lim

72 Jeśli o W ym rzyadu Przyład. C C m C C C P. zs.kowalsi Sysemy Obsługi C `. odm Uwaga Rozaruemy SMO ze sraami, bez wsółracy, 5, wyzaczymy rawdoodobieńswa graicze dla różych warości zależość rawdoodobieńswa odmowy obsługi i średie liczby zaęych saowis od. i zbadamy W oszczególych olumach wisae są rawdoodobieńswa graicze dla warości odae w agłówu olumy. Pod abelą odao średie liczby zaęych saowis. alfa,5,,5, ,953,9484,6654,368,43,376,5435,94,33,68,4756,948,337,368,3369,753,634,5469,3,677,9,45,758,845,54,753,4457,3674,749,3384 3,,5,64,635,67,8349,4457,789,7335,79 4,,,58,534,478,974,834,8487,3337,898 5,,,6,37,48,367,5,8487,447,56395 m zs,5,,4999,9969,4787,966,6698 3, ,696 4,36 Dla ięciu wybraych warości rozłady graicze zilusrowao graficzie. 7

73 .Kowalsi Sysemy Obsługi rawdoodobieńswa graicze,,8,6,4,, z ależ ość raw doodobieńsw graicz ych od alfa 5 alfa,5 alfa,5 alfa,5 alfa3 alfa say Zauważmy, że wraz ze wzrosem alfy rośie rawdoodobieńswo, że zaęa będzie więsza liczba saowis. Na drugim wyresie rzedsawioo zależość rawdoodobieńswa odmowy obsługi C 5 od alfa. Wzros iesywości zgłoszeń w sosuu do iesywości obsługi z. wzros owodue wzros rawdoodobieńswa odmowy obsługi.,6 zależość -sw a odmow y od alfa 5 rawdoodobieńswo odmowy,5,4,3,,, alfa 73

74 .Kowalsi Sysemy Obsługi Na rzecim wyresie rzedsawioo zależość średie liczby zaęych saowis m zs od alfa. Wzros owodue wzros średie liczby zaęych saowis. średia liczba zaęych saowis 5 4,5 4 3,5 3,5,5,5 zależość średie liczby zaęych saowis od alfa alfa SMO ze sraami bez oczeali, z ełą wsółracą. < <, m iesywość obsługi - ego saowisa, [ ] [ ] [ ]... [ ] [ ] Prawdoodobieńswa graicze: 74

75 C β β... β β β gdzie β Prawdoodobieńswo odmowy obsługi o P odm C. C.Kowalsi Sysemy Obsługi gdy gdy β β β SMO z ograiczoymi sraami, bez wsółracy. m > saowisa obsługi oczealia C `,,..., [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m ] [ m] Prawdoodobieńswa graicze: m β β β C......!!!! gdzie, β zaem 75

76 .Kowalsi Sysemy Obsługi 76!!!! β β β β β gdy m gdy C m! C C `,,..., C C β `,,..., m Uwaga. dla,,,...,!!! β β β β β β β β gdy m P P P gdy P P P e e e C m m zaem do obliczeń moża wyorzysać ablice rozładu Poissoa.

77 SMO z ograiczoymi sraami, z ełą wsółracą..kowalsi Sysemy Obsługi m > saowisa obsługi oczealia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m ] [ m] Prawdoodobieńswa graicze: C β β... β m m β β m gdy β gdy β gdzie β C β C `,,..., m Prawdoodobieńswo odmowy obsługi P odm C m. SMO bez sra iesończeie wiele saowis, bez wsółracy. 77

78 .Kowalsi Sysemy Obsługi, i iesywość zgłoszeń, iesywość obsługi - ego saowisa, Prawdoodobieńswa graicze: [ ] [ ]... [ ] [ ]... C e! gdzie C C C `!!,,...,,... Uwaga. C e P `!,,,...,,... zaem do obliczeń moża wyorzysać ablice rozładu Poissoa. Uwaga. Te y SMO ie może być rozaryway z ełą wsółracą obsługi. SMO bez sra iesończeie długa olea, bez wsółracy. m saowisa obsługi oczealia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m]... Prawdoodobieńswa graicze: załadamy, że β C β!! β < warue isieia rawdoodobieńsw graiczych zaem 78

79 .Kowalsi Sysemy Obsługi 79! C C `,,..., C C β `,,... Uwaga. dla,,,..., β β β β!!! P P P e e e C Uwaga. Podobie dla β < moża rozarywać rzyade SMO z iesończoą oczealią i ełą wsółracą saowis. Wedy... β β β C ; C C β `,,... SMO bez sra zgłoszeia iecierliwe, bez wsółracy. m T czas oczeiwaia w olece, > < gdy gdy e T P ν ν - iesywość iecierliwości, saowisa obsługi oczealia [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m m ν ν

80 .Kowalsi Sysemy Obsługi 8 Prawdoodobieńswa graicze: !! ν ν ν ν ν m C m załadamy, że owyższy szereg es zbieży. Zaem! C C `,,...,! C C ν ν C C... `,,...

81 .Kowalsi Sysemy Obsługi Charaerysyi SMO. m l - średia liczba lieów w SMO s. obsł. lub oczealia, m - średia długość olei, m zs - średia liczba zaęych saowis, SMO z ograiczoymi sraami, bez wsółracy. Y - liczba zaęych saowis obsługi, Y... - C C... C - C C... C m Z - liczba zaęych miesc w oczeali, Z... m C... C m C i i m zs EY - C m P obsł m EZ C C m m m β β m β mβ m dla dla β β 8

82 - liczba zgłoszeń w SMO, Y Z,.Kowalsi Sysemy Obsługi Zaem m l E EY EZ m zs m Wiose. Jeśli m bra oczeali o Wiose. Jeśli m o C m gdy m EZ, E EY - C oraz EZ C β EY β sys - średi czas rzebywaia w SMO, ol - średi czas rzebywaia w olece, Niech m wedy β < sys m l / ol m / Z - czas oczeiwaia zgłoszeia w olece. PZ z C e β > z β dla dla z < z 8

83 Prioryey obsługi: FIFO firs i firs of, SIRO selecio i radom order, IFO las i firs ou. Rozaryway rzez as riorye o FIFO. Klasyfiaca Kedalla: - rozład czasu między oleymi zgłoszeiami, - rozład czasu obsługi edego zgłoszeia, - liczba saowis obsługi, N - liczebość obsługiwae oulaci, m - liczba miesc w oczeali. Dla rozładów, rzyęo m i. ozaczeia: D - rozład deermiisyczy rówe odsęy czasu, M - rozład wyładiczy, G - dowoly rozład,.kowalsi Sysemy Obsługi Klasyfiaca olee. / / : N, m, Rozaryway rzez as marowsie SMO ma ozaczeie M/M/ :, m Przyład. Rozaruemy SMO ze sraami, bez wsółracy, zgł./h; 4 zgł./h /,5. Wyzacz miimalą liczbę saowis obsługi a aby P odm <,5. Sosób I. Rozaruemy a rzyład. C! 8 Należy zaem zwięszyć. Rozaruemy C! 3! 8 48 C C! C C! 83 3 >,5