M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wykład 7-2

Transkrypt

1

2 Ważiejsze rozłady -wa Rozłady zmieej losowej dysreej: rozład łasi (jedosajy) rozład dwuuowy (Beroulliego) rozład dwu- i wielomiaowy rozład ujemy dwumiaowy (Pascala) rozład geomeryczy rozład hiergeomeryczy rozład Poissoa Rozłady zmieej losowej ciągłej: rozład łasi (jedosajy) rozład wyładiczy i Erlaga rozład ormaly (Gaussa) rozład Sudea rozład χ rozład F Sedecora-Fishera M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-

3 Rozład łasi zmiea dysrea W rozładzie łasim (jedosajym, sałym, jedorodym) ażdy sośród możliwych wyiów losowaia jes rówie rawdoodoby: P dla,,, Warość oczeiwaa: E[ ] ( + ) ( + ) Wariacja: V[ ] E[ ] ( E[ ] ) ( E[ ] ) ( + )( + ) ( + ) 6 4 Przyład: Rozład cyfr w liczbie π jes zgody z modelem rozładu łasiego.,,5, Przyład: Pomiar za omocą mieria cyfrowego. Jao błąd zaorągleia waro rzyjąć dysersję rozładu łasiego, a ie błąd wyiający z lasy rzyrządu.,995,99,985, M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-3

4 Rozład łasi zmiea ciągła W rozładzie łasim (jedosajym, sałym, jedorodym) ażda warość z rzedziału [a,b] może być wylosowaa z jedaowym rawdoodobieńswem: f ( x) dla a x b b a b x Warość oczeiwaa: [ x] b a E d x x ( a + b) a b a b a b a a Wariacja: b b [ ] [ ] x b a ( [ ]) ( [ ] ) 3 V x E x E x d x E x x a + b b a b a 3 4 a Przyład: Niech zmiea losowa x ma rozład jedosajy a rzedziale [,]. Wówczas zmiea losowa oreśloa rówaiem x ex( - ) d ex( - ) czyli l( x) τ l( x) albo τ l( x) E ; ex ma rozład wyładiczy M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-4 b a

5 Rozład dwuuowy (Beroulliego) Eseryme Beroulliego ma dwa możliwe wyii suces i oraża, óre się wzajemie wyluczają i wysęują losowo. Próbą Beroulliego azywamy usaloą sewecję owórzeń eserymeu Beroulliego. W ażdej róbie -wo sucesu i orażi q - są ideycze, oleje róby są iezależe: wyii doychczasowych rób ie mają wływu a wyii olejych rób. Rozład dwuuowy (Beroulliego) ma osać: Warość oczeiwaa: P gdzie, E P [ ] + Wariacja: V[ ] ( ) P P ( ) + ( ) Przyład: Ura zawiera ul czerwoych i ul czarych. - Losujemy olejo ul, zwracając wylosowaą ulę do ury rzed olejym losowaiem. Te schema odowiada defiicji róby Beroulliego gdzie q.5 - Losujemy olejo ul, ie zwracając wylosowaych ul do ury. To ie są róby Beroulliego, oieważ -wo sucesu zmieia się odczas ażdej róby. - M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-5

6 Rozład dwumiaowy Rozład dwumiaowy o rozład -wa sucesów w róbach Beroulliego, czyli rozład -wa sumy zmieych losowych ażda z rozładu dwuuowego. Rozład -wa day jes rzez: B gdzie (, ) ( ),,..., - Warość oczeiwaa i wariacja: E [ ] V[ ] ( ) Przyład: Pewa liia loicza swierdziwszy, że 4% asażerów órzy wyuią biley, ie ojawia się a loisu, rzyjęła oliyę srzedaży su bileów a samolo, óry ma ylo 98 miejsc. Jaa jes szasa a o, że wszyscy órzy rzyjdą a loiso zajdą 96. się w samolocie? 99 P( 98) B (, ) B 99(, ) + ( ) M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-6

7 Rozład wielomiaowy Eseryme wielomiaowy (uogólieie eserymeu dwumiaowego) olega a:. wyoaiu ideyczych rób, rzy czym w ażdej róbie mamy do czyieia z j wzajemie rozłączymi i jedyie możliwymi zdarzeiami A, A,, A j. -wo zajścia zdarzeia A i wyosi i i ie zmieia się w olejych róbach, rzy czym i i. 3. oleje róby są iezależe, z. rezulay doychczasowych rób ie mają wływu a wyii rzyszłych rób. Niech zmiee losowe,,, j ozaczają liczby zajść oszczególych zdarzeń w róbach, rzy czym j. Fucja -wa rozładu wielomiaowego daa jes rzez: W Warości oczeiwae i wariacje:...,,...,... j j j!!... j! Przyład: Ura zawiera ul: czery R, rzy G, rzy B. Losujemy 5 ul ze zwracaiem. Jaa jes szasa wylosowaia ul R, ul G i 3 uli B? 5! P !!! 96 M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-7! E V i i i i i j

8 Rozład geomeryczy Rozład geomeryczy oisuje -wo ierwszego sucesu w -ej róbie Beroulliego: dla G,,,... Warość oczeiwaa: - [ ] d d E G ( ) ( - ) ( - q) ( q ) ( - q) q dq dq Wariacja: d m d q ( - q) q q ( - q ) dq m dq - q - q m G + q m m + q m m m m m m m q + mq + ( ) q m q + q mq + q m m m m m q q q [ ] V - Przyład: Korola jaości. Niech -wo wadliwego wyrobu będzie rówe -6. Jaa jes szasa, że a ierwszy wadliwy wyrób aiemy się wśród ierwszych sorolowaych wyrobów? 9999 m ( ) P ( ) ( ) ( ). m M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-8

9 Rozład ujemy dwumiaowy Rozład ujemy dwumiaowy (Pascala) oisuje -wo, że do uzysaia sucesów musimy wyoać rób według schemau Beroulliego, rzy czym osaia róba zaończoa jes sucesem: U (, ) ( ),,,..., +, +,... Rozład ujemy dwumiaowy oisuje rozład sumy iezależych zmieych losowych, ażda z rozładu geomeryczego : P ( ) ( ) ( ) ( )...,,..., Aby uzysać rozład sumy musimy zsumować łączy rozład -wa o aich warościach (,,, ) dla órych suma jes sała i rówa : U... (, ) ( ) ( ) Warość oczeiwaa i wariacja rozładu ujemego dwumiaowego jao sumy iezależych zmieych ażda z rozładu geomeryczego z ym samym aramerem dae są rzez: [ ] [ ] ( ) E V M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-9

10 Rozład hiergeomeryczy Eseryme hiergeomeryczy olega a wylosowaiu bez zwracaia obieów z oulacji złożoej z N obieów wśród órych jes K obieów osiadających ewą cechę i N - K ie osiadających ej cechy. Fucja -wa rozładu hiergeomeryczego daa jes rzez: K N K N,,,...,,,..., N ( N, K, ) H N K,,,..., N mi (, K) Warość oczeiwaa i wariacja: [ ] [ ] N K E V q gdzie, q N N K Gdy N, K ale a, że, wedy: N < < H N, K, B, Przyład: Z arii 4 szu beziecziów srawdza się 4 losowo wybrae. Jeśli choć jede jes wadliwy, o całą arię się odrzuca. Jaie ( 4)( 36) jes -wo rzyjęcia arii zawierającej 4 P acc H ( N 4, K 4, 4) % wadliwych beziecziów? ( 4) 4 M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-

11 Rozład wyładiczy Rozważmy czas oczeiwaia a rzejazd samochodu. Bra samochodu w ciągu olejych rzedziałów czasowych / day jes rozładem dwumiaowym: (, ) Q B Niech gdzie (zw. iesywość) oreśla yową liczbę zdarzeń a jedosę czasu: Q Przechodząc z do iesończoości - Q ; ex - P-wo sucesu w rzedziale (, ) : ( ) ( ) Q( ) P ; F ; ; ex( - ) Fucja gęsości -wa rozładu wyładiczego ma osać: E ( ) ( ) d F ; ; ex( - ) d gęsość [/s] gdzie r oraz >. Czas życia o τ /.,,6,,8,4 M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7- Czas oczeiwaia a rzejazd samochodu ( omiarów) y.93 ex(-.93) czas oczeiwaia [s]

12 Uwagi: Rozład wyładiczy Warość oczeiwaa i wariacja: [ ] ex( ) d [ ] ex( ) E τ V d τ Przyład: ( Bra amięci ) P-wo brau samochodu w ciągu czasu T: Q T -F T ex - T P-wo, że samochód ie rzejedzie jeszcze dodaowo w czasie jeśli ie rzejechał w orzedzającym czasie T o -wo waruowe: P( ( > + T) ( > T) ) P( > + T) Q( T+ ) Q( T) P( > + T > T) P( > T) P( > T) Q( T) ex( - ( + T) ) ex( - ) Q( ) ex( -T) A więc Q( + T) Q( ) Q( T) czyli ozosały ores życia ie zależy od rzeszłości. bra amięci jes cechą wyłączie fucji wyładiczej (oraz y i y) rosy maemayczie, ale ie iuicyjy (sarzeie się człowiea, urządzeń) sosoway do oisu czasu życia urządzeń, órych czas życia jes długi M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-

13 Rozład wyładiczy Przyład: W ewym szialu, w iedziele wieczorem omiędzy 8: i : zgłasza się a izbę rzyjęć średio 5 acjeów w ciągu godziy. Załadając, że liczba zgłoszeń odlega rozładowi Poissoa, a czas omiędzy olejymi zgłoszeiami rozładowi wyładiczemu, zajdź: średi czas omiędzy olejymi rzyjęciami: τ. h 5 -wo, że oleje rzyjęcie asąi w ciągu 5 miu od orzediego:. 5. P x. ex d ex ex τ τ 735 -wo, że czas omiędzy olejymi rzyjęciami będzie dłuższy iż miu:. P x. ex d ex ex 667 > τ τ M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład wo, że w dowolej chwili czas do asęego rzyjęcia będzie omiędzy i 5 miu: P (.. ) 5 < x < 467 ex d ex. τ τ ex 467 ex

14 Rozład Erlaga Zajdziemy rozład czasów oczeiwaia a -e zdarzeie. Łączy czas oczeiwaia a zdarzeń day jes rzez: ( ) (- ) gdzie E ; ex Podobie zajdujemy: E ( ; ) E( ; ) E ( ; ) i i i i Dla mamy + oraz (wybieramy v, a więc u-v i v oraz J ): ( ; ) ( ; ) ( ; ) ex( ) ex E E v E v dv v v dv ex( ) dv ( ) ex( ) v v dv 3 3 ex( ) ex ex v v v dv vdv ex( ) Rozład czasu oczeiwaia a zdarzeń ma osać (rozład Erlaga): E ( ) M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-4 ( ) ; ex( ) Γ Zadaie: Udowodij owyższy wzór meodą iducji maemayczej.

15 Rozład Erlaga Przyład: Przychodzimy do urzędu gdzie są dwa oiea. Przed jedym czea jeda osoba, a rzed drugim dwie. Jaie jes -wo, że usawiając się w dłuższej olejce dorzemy do oiea szybciej? E ( ; ) ex ( ) E ( ; ) ex( ) Łączy rozład czasów oczeiwaia day jes rzez: Szuae -wo wyosi: 3 (, ; ) E( ; ) E ( ; ) ex ( + ) f 3 P < f, ; d d ex + d d < < M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład ex( ) ex( ) d d ex( ) d 4 Zadaie: Poaż, że w ogólym rzyadu dwóch oleje (m>) -wo o dae jes rzez: m < m m P( ) m +

16 Rozład Poissoa Rozważmy roces odlegający rozładowi wyładiczemu. Ze względu a bra amięci o ażdym sygale (. rzejazd samochodu) hisoria owarza się od owa, a jabyśmy oczeiwali a ierwsze zdarzeie. Jai jes rozład -wa wysąieia sygałów w usaloym czasie obserwacji? Niech zmiea losowa T ozacza mome rzybycia -ego sygału. Szuamy -wa P((T ) (T + > )), gdzie zmiea losowa T + T + +. Łączą fucję gęsości -wa iezależych zmieych losowych T i T + zajdujemy amięając, że zmiea T odlega rozładowi Erlaga: T T T ex T ex ex( T + ) ex T!!! Poieważ dla rzejścia od zmieych T, + do T, T +, Jaobia jes rówy, więc: Szuae -wo jes więc rówe: ( T) P( ( T ) ( T+ ) ) f T, T+ ; ex T+ T < T+ <! ( T) ( ) f ( T, ; ) ex ex T + dt + dt dt T + dt +! - -! > M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-6

17 Rozład Poissoa Ozaczając rzez µ orzymujemy rozład Poissoa liczby sygałów,, w oreśloym rzedziale czasu: µ P ( µ ) ex( µ )! Warość oczeiwaa i wariacja: E V [ ] P µ µ [ ] P µ µ µ Błąd liczby zliczeń jes rówy ierwiasowi z ej liczby: [ ] [ ] D D µ E[ ] µ Przyład: Wyii doyczące obserwacji liczby samochodów w seudowych rzedziałach czasu. Paramer rozładu Poissoa: [ ] [ ] µ. 93 / s s 93. M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-7 częsość,3,5,,5,,5 Mah Player liczba samochodów

18 Rozład Poissoa Związe rozładu dwumiaowego z rozładem Poissoa. Jaie jes -wo wysąieia doładie zdarzeń w rzedziale czasu [, ]?! B (, )... +!( )!! Jeśli -wo sucesu w ojedyczej róbie dae jes rzez / o dosajemy: B +! (, ) ( )( )...( ) +! Dooując rzejścia graiczego dosajemy: ( ) B, P e! Zasosowaie do rzadich zdarzeń (. liczba aasrof, błedów druarsich, rzadich rozadów jądrowych, i.) M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-8

19 Rozład Poissoa Eseryme Poissoa olega a zliczaiu zdarzeń (sucesów) w oreśloej jedosce czasu lub rzesrzei geerowaych rzez roces Poissoa o asęujących cechach: isieje eserymealie oreśloa sała, będąca średią częsością ojawiaia się sucesów w usaloej jedosce czasu lub rzesrzei, liczby sucesów wysęujące w dowolych usaloych i ie rzerywających się odjedosach są wzajemie iezależe, jeśli usaloą jedosę odzielimy a bardzo małe odjedosi h, o -wo doładie jedego sucesu w ażdej z odjedose jes małe i aie samo, i w graicy dąży do h, -wo więcej iż jedego sucesu w bardzo małej odjedosce dąży do zera. Przyład: Produce abli chce używać rozładu Poissoa do ocey liczby defeów. Badając wiele 4-merowych odciów swierdza, że średio zawierają oe 4 defey. Czy sełioe są warui rocesu Poissoa? Przyład: Pod oiec ażdego ygodia zlicza się w liice w dużym mieście liczby owych rzyadów zaaźej choroby. W ciągu osaich rzech ygodi zaoowao odowiedio, i 3 rzyadów. Czy sełioe są warui rocesu Poissoa? M. Przybycień Rachue rawdoodobieńswa i saysya Wyład 7-9