SMO. Procesy stochastyczne WYKŁAD 6
|
|
- Dariusz Leszczyński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Procesy stochastycze WYKŁAD 6 SMO Systemy masowe obsługi (zastosowaie procesu urodzeń i śmierci) - przyłady: - cetrala telefoicza, - staca bezyowa, - asa biletowa, - system omputerowy.
2 Założeia: - liczba staowis (aałów) obsługi, m - liczba miesc w poczeali. - strumień zgłoszeń est procesem Poissoa z parametrem >, - czas obsługi ma rozład wyładiczy z parametrem > (itesywość obsługi), - staowisa działaą iezależie, - zgłoszeia tóre astąpią gdy wszystie staowisa obsługi są zaęte przechodzą do poczeali (eśli est), - eśli wszystie staowisa obsługi są zaęte i wszystie miesca w poczeali są zaęte to zgłoszeie opuszcza SMO. 2
3 X(t) - proces stochastyczy ozaczaący liczbę lietów w SMO w chwili t, (t) P(X(t) ), Naczęście iteresuą as prawdopodobieństwa graicze π, π,..., π,... 3
4 SMO ze stratami (bez poczeali), bez współpracy. < <, m i itesywość zgłoszeń, itesywość obsługi - tego staowisa, [ ] [ ] 2 [ 2] 3... ( ) [ ] [ ] 4
5 5 Prawdopodobieństwa graicze (wzory Erlaga): gdzie `, 2,..., Prawdopodobieństwo odmowy obsługi to P odm.
6 Ager Krarup Erlag ( ), duńsi matematy, pioier zastosowań procesów stochastyczych w teleomuiaci. 6
7 SMO ze stratami (bez poczeali), z pełą współpracą. < <, m itesywość obsługi - tego staowisa, [ ] [ ] [ 2]... [ ] [ ] 7
8 8 Prawdopodobieństwa graicze:... 2 gdy gdy gdzie `, 2,..., Prawdopodobieństwo odmowy obsługi to P odm.
9 SMO z ograiczoymi stratami, bez współpracy. m > staowisa obsługi poczealia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m ] [ m] 9
10 Prawdopodobieństwa graicze: ( ) m gdzie, zatem ( ) gdy m gdy m `, 2,..., `, 2,..., m Prawdopodobieństwo odmowy obsługi P odm m.
11 SMO z ograiczoymi stratami, z pełą współpracą. m > staowisa obsługi poczealia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m ] [ m] Prawdopodobieństwa graicze: 2... m m m gdy gdy gdzie `, 2,..., m Prawdopodobieństwo odmowy obsługi P odm m.
12 SMO bez strat (iesończeie wiele staowis), bez współpracy., i itesywość zgłoszeń, itesywość obsługi - tego staowisa, [ ] [ ]... [ ] [ 2 ( ) ]... 2
13 3 Prawdopodobieństwa graicze: e gdzie, 2,..., Uwaga. Te typ SMO ie może być rozpatryway z pełą współpracą obsługi.
14 SMO bez strat (iesończeie długa olea), bez współpracy. m staowisa obsługi poczealia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ ]... 4
15 5 Prawdopodobieństwa graicze: załadamy, że < (warue istieia prawdopodobieństw graiczych) zatem `, 2,..., `, 2,...
16 SMO bez strat (zgłoszeia iecierpliwe), bez współpracy. m T czas oczeiwaia w olece, νt e gdy t > P( T < t) gdy t ν - itesywość iecierpliwości, staowisa obsługi poczealia [ ] [ ]... [ ] ν [... ] mν [ m]... 6
17 7 Prawdopodobieństwa graicze: ( )( ) ( ) ( ) ν ν ν ν ν m m załadamy, że powyższy szereg est zbieży. Zatem `, 2,..., ( ) ( ) ν ν... `, 2,...
18 haraterystyi SMO. m l - średia liczba lietów w SMO (st. obsł. lub poczealia), m - średia długość olei, m zs - średia liczba zaętych staowis, 8
19 SMO z ograiczoymi stratami, bez współpracy. Y - liczba zaętych staowis obsługi, Y... - p m m zs ) P EY (- m obsł 9
20 Z - liczba zaętych miesc w poczeali, Z... m p i... i m m EZ m( m 2 ) ( m ) m ( ) m 2 m dla dla X - liczba zgłoszeń w SMO, X Y Z, Zatem m l EX EY EZ m zs m 2
21 Wiose. Jeśli m (bra poczeali) to EZ, EX EY ( - ) 2
22 Wiose. Jeśli m to m (gdy m ) oraz EZ EY ( ) 2 22
23 t syst - średi czas przebywaia w SMO, t syst m l / t ol - średi czas przebywaia w olece, t ol m / 23
24 Niech m (wtedy < ) Z - czas oczeiwaia zgłoszeia w olece. P(Z > z) z( e ) dla dla z < z 24
25 Priorytety obsługi: Klasyfiaca olee. FIFO (first i first of), SIRO (selectio i radom order), LIFO (last i first out). Rozpatryway przez as priorytet to FIFO. 25
26 Klasyfiaca Kedalla: X /X 2 / : (N, m), X - rozład czasu między oleymi zgłoszeiami, X 2 - rozład czasu obsługi edego zgłoszeia, - liczba staowis obsługi, N - liczebość obsługiwae populaci, m - liczba miesc w poczeali. Dla rozładów X, X 2 przyęto m i. ozaczeia: D - rozład determiistyczy (rówe odstępy czasu), M - rozład wyładiczy, G - dowoly rozład, Rozpatryway przez as marowsie SMO ma ozaczeie M/M/ : (, m)
27 Dodate Tablica rozładu Poissoa i tablica sumulowaego rozładu Poissoa. Poisso-f.prawdopodobieństwa iesumulowaa alfa ,,99,99,,,,,,,,,,,,,,,5,952,476,2,,,,,,,,,,,,,,,948,95,45,2,,,,,,,,,,,,,2,887,637,64,,,,,,,,,,,,,,3,748,2222,333,33,3,,,,,,,,,,,,4,673,268,536,72,7,,,,,,,,,,,,5,665,333,758,26,6,2,,,,,,,,,,,6,5488,3293,988,98,3,4,,,,,,,,,,,7,4966,3476,27,284,5,7,,,,,,,,,,,8,4493,3595,438,383,77,2,2,,,,,,,,,,9,466,3659,647,494,,2,3,,,,,,,,,,3679,3679,839,63,53,3,5,,,,,,,,,,,3329,3662,24,738,23,45,8,,,,,,,,,,2,32,364,269,867,26,62,2,2,,,,,,,,,3,2725,3543,233,998,324,84,8,3,,,,,,,,,4,2466,3452,247,28,395,,26,5,,,,,,,,,5,223,3347,25,255,47,4,35,8,,,,,,,,,6,29,323,2584,378,55,76,47,,2,,,,,,,,7,827,36,264,496,636,26,6,5,3,,,,,,,,8,653,2975,2678,67,723,26,78,2,5,,,,,,,,9,496,2842,27,7,82,39,98,27,6,,,,,,, 2,353,277,277,84,92,36,2,34,9,2,,,,,, 2,2,8,2438,268,966,82,476,74,55,5,4,,,,,, 2,4,97,277,263,29,254,62,24,83,25,7,2,,,,, 2,5,82,252,2565,238,336,668,278,99,3,9,2,,,,, 2,6,743,93,25,276,44,735,39,8,38,,3,,,,, 2,8,68,73,2384,2225,557,872,47,63,57,8,5,,,,, 3,498,494,224,224,68,8,54,26,8,27,8,2,,,, 3,5,32,57,85,258,888,322,77,385,69,66,23,7,2,,, 4,83,733,465,954,954,563,42,595,298,32,53,9,6,2,, 5,67,337,842,44,755,755,462,44,653,363,8,82,34,3,5,2 8,3,27,7,286,573,96,22,396,396,24,993,722,48,296,69,9,,5,23,76,89,378,63,9,26,25,25,37,948,729,52,347 27
28 Poisso p-stwo sumulowae (dystrybuata prawostroie ciągła) alfa ,,99,,,,,,,,,,,,,,,,5,952,9988,,,,,,,,,,,,,,,,948,9953,9998,,,,,,,,,,,,,,2,887,9825,9989,9999,,,,,,,,,,,,,3,748,963,9964,9997,,,,,,,,,,,,,4,673,9384,992,9992,9999,,,,,,,,,,,,5,665,998,9856,9982,9998,,,,,,,,,,,,6,5488,878,9769,9966,9996,,,,,,,,,,,,7,4966,8442,9659,9942,9992,9999,,,,,,,,,,,8,4493,888,9526,999,9986,9998,,,,,,,,,,,9,466,7725,937,9865,9977,9997,,,,,,,,,,,3679,7358,997,98,9963,9994,9999,,,,,,,,,,,3329,699,94,9743,9946,999,9999,,,,,,,,,,2,32,6626,8795,9662,9923,9985,9997,,,,,,,,,,3,2725,6268,857,9569,9893,9978,9996,9999,,,,,,,,,4,2466,598,8335,9463,9857,9968,9994,9999,,,,,,,,,5,223,5578,888,9344,984,9955,999,9998,,,,,,,,,6,29,5249,7834,922,9763,994,9987,9997,,,,,,,,,7,827,4932,7572,968,974,992,998,9996,9999,,,,,,,,8,653,4628,736,893,9636,9896,9974,9994,9999,,,,,,,,9,496,4337,737,8747,9559,9868,9966,9992,9998,,,,,,, 2,353,46,6767,857,9473,9834,9955,9989,9998,,,,,,, 2,2,8,3546,6227,894,9275,975,9925,998,9995,9999,,,,,, 2,4,97,384,5697,7787,94,9643,9884,9967,999,9998,,,,,, 2,5,82,2873,5438,7576,892,958,9858,9958,9989,9997,9999,,,,, 2,6,743,2674,584,736,8774,95,9828,9947,9985,9996,9999,,,,, 2,8,68,23,4695,699,8477,9349,9756,999,9976,9993,9998,,,,, 3,498,99,4232,6472,853,96,9665,988,9962,9989,9997,9999,,,, 3,5,32,359,328,5366,7254,8576,9347,9733,99,9967,999,9997,9999,,, 4,83,96,238,4335,6288,785,8893,9489,9786,999,9972,999,9997,9999,, 5,67,44,247,265,445,66,7622,8666,939,9682,9863,9945,998,9993,9998,9999 8,3,3,38,424,996,92,334,453,5925,766,859,888,9362,9658,9827,998,,5,28,3,293,67,3,222,3328,4579,583,6968,796,8645,965,953 28
L.Kowalski Systemy obsługi SMO
SMO Systy asow obsługi zastosowai procsu urodzń i śirci - przyłady: - ctrala tlfoicza, - staca bzyowa, - asa biltowa, - syst iforatyczy. Założia: - liczba staowis obsługi, - liczba isc w poczali. - struiń
Bardziej szczegółowoSystemy Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 3
Systemy Mobile i Bezprzewodowe laboratorium 3 Pla laboratorium Modele masowej obsługi (SMO), Charakterystyki modeli masowej obsługi, Systemy kolejkowe: z pojedyczym kaałem obsługi: M/M/1, M/G/1, M/D/1,
Bardziej szczegółowoSieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 3
Sieci Mobile i Bezprzewodowe laboratorium 3 Pla laboratorium Modele masowej obsługi (SMO), Charakterystyki modeli masowej obsługi, Systemy kolejkowe: z pojedyczym kaałem obsługi: M/M/1, M/G/1, M/D/1, z
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoModele procesów masowej obsługi
Modele procesów masowej obsługi Musiał Kamil Motek Jakub Osowski Michał Inżynieria Bezpieczeństwa Rok II Wstęp Teoria masowej obsługi to samodzielna dyscyplina, której celem jest dostarczenie możliwie
Bardziej szczegółowoELEMENTY SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH
.Kowalsi Wybrae zagadieia z rocesów sochasyczych EEMENTY SYSTEMÓW KOEJKOWYCH WYBRANE ZAGADNIENIA uca Kowalsi Warszawa 8 .Kowalsi Sysemy Obsługi ieraura:.kowalsi, maeriały dydaycze z rocesów sochasyczych.
Bardziej szczegółowo1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 9 Systemy kolejkowe Spis treści Wstęp Systemy masowej obsługi (SMO) Notacja Kendalla Schemat systemu masowej obsługi Przykład systemu M/M/1 Założenia modelu matematycznego
Bardziej szczegółowoż ż Ę Ę Ę Ó ś ó ę Ć ęż ś ę ę ó ś ę ó ę ę Ę ę ó ść Ę ęć Ż Ś ę ę ę ó ż ż ź ę ż ż ś ę Ó ę ę Ł ęż ś ę ę ó ś ę ż ó Ę ę ę ę ść Ę ę ę ę ęć ę ż ś ę ę ę ę ó ż ę Ł Ę ę ż Ę ęż ś ę ó ę ś ę ż ó ę ę ż ść ę ę ę ę ę ęć
Bardziej szczegółowoż ę ć ę ę ę ę ę ę ę ć Ż ę ę ę ż ę ę ę ę ę Ż ć ż ż ę ż Ę ć ę ż ę ęż ę ę ę ę ż ć ź Ł Ę ę ż Ę ć ę Ż ę ęż ę ę ę ę ż ć ź Ę Ł ę ę Ą ż Ę ż Ę ż Ę ż ę Ą Ą ę Ę ę ę Ż ź Ż Ż ż ć ź ź ę ż Ę ż Ę ę Ę Ę ć ż ę ć ż ć ź Ł
Bardziej szczegółowoć ą ą ą ż ą ż ć Ę ą ą ż ć ą ą ń ą ą ż ń ą ą ą ą ą ą ą ą ż ż ń ą ą ą ż ą ń Ś ą ą Ó ą Ęż ż ń Ś ń ń ń Ę ą ą Ó ń ą ą Ż ą ą Ó ą Ó ą Ż Ó Ó ą Ż ą ą Ó Ó ą ą Ś ą ą ń ń ą ą ą Ó ą Ż Ó ą Ę Ę Ł ą ą Ł Ą Ł Ł Ś ć ą Ś
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowo, dla n = 1, 2, 3, 4 : 2
Ćwiczeia VI Uwagi do zadań -5 : W każdym z zadań proszę : A. arysować graf przejść i macierz itesywości B. podać graiczą itesywość zgłoszeń λ gr dla której system jest już iestabily C. obliczyć prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoLiteratura TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK. Teoria masowej obsługi. Geneza. Teoria masowej obsługi
TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK Wykład 1 Dr inż. Anna Kwasiborska Literatura B. von der Veen: Wstęp do teorii badań operacyjnych. PWN, Warszawa 1970. Gniedenko B. W., Kowalenko I. N.: Wstęp do teorii
Bardziej szczegółowoź Ś ś ś Ś Ś ś ś ś ś ś ś ź ś ś Ś Ś Ś źś Ń Ś ś Ą Ź ś ś ś ś Ś ś ś Ą Ś Ą Ą ś ś Ś Ś ść ś Ś ś ś Ś ś ś ś ź ś Ś Ś Ś Ś ś Ś Ź ś ś ś ś ś Ś ś Ś ć ć Ś Ś Ą ć ć Ś Ś Ś ś Ś ś Ę Ś Ę ś Ś Ś Ś Ś ś ś ś Ś Ś Ś Ś ś ś ć Ć Ę Ś Ś
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowodr Adam Sojda Wykład Politechnika Śląska Badania Operacyjne Teoria kolejek
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Teoria kolejek Teoria kolejek zajmuje się badaniem systemów związanych z powstawaniem kolejek. Systemy kolejkowe W systemach, którymi zajmuje
Bardziej szczegółowoWstęp. zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (sample space), S zbiór zdarzeń, (events), P prawdopodobieństwo (probability distribution).
Wstęp,, S P przestrzeń probabilistycza (Probability space), zbiór wszystich zdarzeń elemetarych (sample space), S zbiór zdarzeń, (evets), P prawdopodobieństwo (probability distributio). P : S R ZMIENNA
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowo10. PODSTAWOWY MODEL POTOKU RUCHU PORÓWNANIE RÓŻNYCH MODELI (wg Ashton, 1966)
1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli 1. PODSTAWOWY MODEL POTOKU RUCHU PORÓWNANIE RÓŻNYCH MODELI (wg Ashton, 1966) 1.1. Porównanie ształtu wyresów różnych unci modeli podstawowych Jednym
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoŃ Ł Ń Ó Ł Ę Ó Ó Ę ĘŚ Ó ÓŚ Ó Ę Ć Ó Ć Ę Ł Ó Ę Ć Ś Ż Ś Ś Ó Ó Ś Ń Ś Ó Ę Ę Ż Ć Ś Ó Ę Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ś Ę Ę Ł Ć Ć Ś Ó Ę Ź Ę Ż Ź Ś Ź Ę Ę Ę Ó Ó Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ę Ę Ć Ę Ć Ł Ź Ę Ę Ś Ń Ę Ć Ź Ó Ź Ó Ó Ę Ć Ć Ć Ź Ę Ę Ć Ę Ę
Bardziej szczegółowoLiteratura TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK. Teoria masowej obsługi. Geneza. Teoria masowej obsługi
TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK Wykład 1 Dr inż. Anna Kwasiborska Literatura B. von der Veen: Wstęp do teorii badań operacyjnych. PWN, Warszawa 1970. Gniedenko B. W., Kowalenko I. N.: Wstęp do teorii
Bardziej szczegółowoModel Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...
Model Lesliego Macierze Lesliego i Markowa K. Leśiak Wyodrębiamy w populaci k grup wiekowych. Po każde edostce czasu astępuą arodziy i zgoy oraz starzeie (przechodzeie do astępe grupy wiekowe). Chcemy
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoLp. Nazwa zamówienia według grupy robót CPV Kod grupy robót Tory Odwodnienie Trakcja
ćś ż ę ą ą ś ż ą ą ę ą ą ę ą ą ę ą ą ę ą ą ę ą ą ę ą ą ę ą ą ę ą ą ę ś ą ą ę ± Ω Ω ą ą ą ą ś ć Ω ± ± ą ą ą ą ą ść ą ść ń ż ń ń
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoMetody podziału klasowego konspekt ćwiczeń. mgr Marcin Semczuk na podstawie materiałów mgr inż. Stanisława Szombary oraz dr inż.
Metody Badań w eografii Społeczo - Eoomicze Metody podziału lasowego ospet ćwiczeń. mgr Marci Semczu a podstawie materiałów mgr iż. Staisława Szombary oraz dr iż. Krystiaa Kozioła. W ćwiczeiu polami podstawowymi
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoŹ Ę ą ć Ź Ź Ń ą ą Ź ą ę ę Ę Ń Ć ą Ę Ę ą Ć Ń ę Ń ę ę ą Ś ę ę ę Ę ę ą Ś Ę ę ą Ś ą Ź ą ę ą ę ą Ź Ś ę ą ą ę ę ęź ęź Ś Ę Ś Ć ą Ź Ś Ś ę ę Ź ę ą ą Ź ę Ź ą ą ą ą ę ę ę Ź ę Ź Ę ę Ś ź Ś Ę Ć ę Ź Ź ą Ń Ś ąą Ś Ź Ę
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoą ą ą ą ż ż ć ó ą ć ą ą ć ń ż ć ó ó ą ó ą ą ą ę ż ń ó ą ą ą ą ń ą ą ą ń ź ęż ż ą ą ń ą ń ż Ć Ś Ź Ź ż ęż ęż ó ń ó ó ć ź ż ą ą ę ó ó ż ó ó ą ą ę ó ó Ó ż ę ó Ćó ą ż ć ą ę ż ó ą ę ć ó ć ó ć Ź ę ą ą ę ó ż ą
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoĄ ć ę ż ż Ż ć ć Ż ć ń ę ę Ż ń ż ęż ę ę Ę ż ż ĘŚ ę Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż ż ż ń ę ęż ęż Ó ęź Ą ń ę Ś Ż ć ę Ą ę ż ę ż ć ę ę Ż ę ż ż ę ń ń ę Ą ż ę Ł Ą ę ż ę Ą ę ę Ę Ą ę ę ęć ż Ę ęż ż ę Ą Ę ę ę Ą ę ę Ą Ą Ż ć ć Ń
Bardziej szczegółowoFunkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne Rozwiązania zadań
Metody robabilistyczne Rozwiązania zadań 6. Momenty zmiennych losowych 8.11.2018 Zadanie 1. Poaż, że jeśli X Bn, to EX n. Odowiedź: X rzyjmuje wartości w zbiorze {0, 1,..., n} z rawdoodobieństwami zadanymi
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoLogistyczny aspekt wykorzystania modelu masowej obsługi w procesie zarządzania miejską siecią wodociągową
PIEGDOŃ Izabela 1 Logistyczny aspet wyorzystania modelu masowej obsługi w procesie zarządzania miejsą siecią wodociągową WSTĘP System masowej obsługi (SMO) zamiennie nazywany teorią oleje (ang. QueueingTheory)
Bardziej szczegółowoErlanga. Znajdziemy rozkład czasów oczekiwania na n-te zdarzenie. Łączny czas oczekiwania. na n zdarzeń dany jest przez: = u-v i t 2.
Rozład Erlaga Zajdziem rozład czasów oczeiwaia a -e zdarzeie. Łącz czas oczeiwaia a zdarzeń da jes przez: M. Przbcień Rachue prawdopodobieńswa i sasa ( (- gdzie E ; λ λ exp λ Podobie zajdujem: E ( ; E(
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki Elementy teorii masowej obsługi
Podstawy Informatyki alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla 2 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n (t) Wybrane
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau
Bardziej szczegółowoColloquium 3, Grupa A
Colloquium 3, Grupa A 1. Z zasobów obliczeniowych pewnego serwera orzysta dwóch użytowniów. Każdy z nich wysyła do serwera zawsze trzy programy naraz. Użytowni czea, aż serwer wyona obliczenia dotyczące
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoLiteratura TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK. Geneza. Teoria masowej obsługi. Cele masowej obsługi. Teoria masowej obsługi
Literatura TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK B. von der Veen: Wstęp do teorii badań operacyjnych. PWN, Warszawa 1970. Gniedenko B. W., Kowalenko I. N.: Wstęp do teorii obsługi masowej. PWN, Warszawa
Bardziej szczegółowoZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)
ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem.
Bardziej szczegółowo3 Ubezpieczenia na życie
3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe
Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Teoria masowej obsªugi,
Bardziej szczegółowoRozkład χ 2 = + 2π 2. Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej:
Rozkład χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoStatystyka Wzory I. Analiza struktury
Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej
Bardziej szczegółowo4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ
4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4.. Wrowadzeie W sysemach zależych od zdarzeń wyzwalaie określoego zachowaia się układu jes iicjowae rzez dyskree zdarzeia. Modelowaie akich syuacji ma a celu symulacyją aalizę
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowoWykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Bardziej szczegółowoUWAGI O GRANICZNYCH ROZKŁADACH EKSTREMALNYCH STATYSTYK POZYCYJNYCH
D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 5-6 (9-0) 009 Rafał Korzoe (Wrocław) UWAGI O GRANICZNYCH ROZKŁADACH EKSTREMALNYCH STATYSTYK POZYCYJNYCH Abstract. I may practical issues to deal with etreme
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoTwierdzeie Closa Problem: Jak duże musi być m, aby trzysekcye pole Closa ν(m,, r) )było ieblokowale w wąskim sesie? Twierdzeie Closa: Dwustroe trzysek
Sieci i Systemy z Itegracą Usług Trzysekcye pole Closa m r r m Własości kombiatorycze pól komutacyych Prof. dr hab. iż. Wociech Kabaciński r m Pole Closa est edozaczie defiiowae przez trókę m,, r i ozaczae
Bardziej szczegółowoć Ą ą ą Ż Ż ó ą ż Ć ą ĆŻ Ż Ó Ó Ó ą Ó ń ą ę ą ę Ź ń ą Ó ą ą ą ą ą ą Ó Ż ęż ę ą ę ą ą ż ĘĆ ż ę Żą ż ą ń Ó ą Ó ą ę ż ęż ó ó ć ż ń ęż ń ń ć ń ż ć ć ą ą Ó Ó ó ó ń ó ę ó Ó ą ż Ć ę Ó ę ż Ó ó ą ó Ó ż Ć ę ó Ó ó
Bardziej szczegółowoH brak zgodności rozkładu z zakładanym
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Test zgodości H : rozład jest zgody z załadaym 0 : H bra zgodości rozładu z załadaym statystya: p emp i p obszar rytyczy: K ;, i gdzie liczba ategorii p Przyład: Wyoujemy
Bardziej szczegółowoZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH. 1. Wstęp
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 27 Staisław HEILPERN* ZALEŻNY ROZKŁAD DWUMIANOWY I JEGO ZASTOSOWANIE W REASEKURACJI I KREDYTACH Praca est poświęcoa zależemu rozładowi dwumiaowemu.
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest pojęciem pierwotnym w teorii prawdopodobieństwa. W zastosowaniach tej teorii zdarzenia elementarne interpretuje się jao możliwe przypadi,
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoLaboratorium z przedmiotu Programowanie obiektowe - zestaw 04
Laboratorium z przedmiotu Programowanie obiektowe - zestaw 04 Cel zajęć. Celem zajęć jest zapoznanie się ze sposobem działania popularnych kolekcji. Wprowadzenie teoretyczne. Rozważana w ramach niniejszych
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoχ 2 = + 2π 2 Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej: σ
χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep d π Rozważy
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichoci Natalia Nehrebeca Wyład 10 1 1. Testowanie hipotez prostych Rozład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyi t Przedziały ufności Badamy czy hipotezy teoretyczne
Bardziej szczegółowo