Kalkulacja rezerw z optymalnym ważeniem informacji o szkodach wypłaconych oraz szkodach zgłoszonych i niewypłaconych

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kalkulacja rezerw z optymalnym ważeniem informacji o szkodach wypłaconych oraz szkodach zgłoszonych i niewypłaconych"

Marcin Matysiak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Kallacja rezerw z oymalym ważeiem iformacji o szodac wyłacoyc oraz szodac złoszoyc i iewyłacoyc ior Krzemińsi Credi Aricole Ubezieczeia a Życie Wojciec Oo Uiwersye Warszawsi Refera rzyooway a Oóloolsą Koferecję Naową Zaadieia aariale eoria i raya Warszawa 5-7 czerwca

2 Wrowadzeie rezeacja doyczy meody allacji rezerw oarej a rówoczesym wyorzysai dwóc rojąów dayc : rójąa szód wyłacoyc i rójąa szód jawioyc oraz doojącej oymaleo wyważeia oareo a eorii zafaia dwóc źródeł iformacji: o daej oorcie szód Cai Ladder i iyc oorac Boreer-Ferso. Tema był rezeoway a orzedic oferecjac rzez iora Krzemińsieo oraz Karolię Naierałę wsółaor W. Oo. Tym razem wyii są dojrzalsze o yle że formłjemy exlicie arę lczowyc założeń óre ozwalają w oerey sosób: owiązać rówaie redycji całej rezerwy z rówaiami redycji ro o ro zarojeować rayczą meodę esymacji aramerów rówań redycyjyc rzy oazji dało się aże wyjaśić rolę jaą w zaadiei ełą błędy oełiae rzez liwidaorów szacjącyc warość szód złoszoyc i iewyłacoyc w szczeólości zaś osewecje obciążeia i wariacji owyc oszacowań.

3 Fa: dwa obserwowae rozłady wiąże rzeci ryy Trójąy dayc zawierają iformacje o rozładac czas oczeiwaia: dae o szodac jawioyc zawierają iformację o rozładzie czas jai ływa od zajścia szody do jej złoszeia zaś dae o wyłaac zawierają iformację o rozładzie czas jai ływa od zajścia szody do jej liwidacji. Aracyje wyii orzymaliśmy rzyjmjąc ewe raszczające założeie o rzecim rozładzie: czas ływająceo omiędzy złoszeiem szody a jej liwidacją. rzyjęliśmy miaowicie iż dla daej oory szód: rozład dalszeo czas oczeiwaia a liwidację szód óre ależą do zbior szód złoszoyc i iezliwidowayc ie zależy od eo ja dawo em były złoszoe Założeie o zajdje się dzieś ośrod omiędzy dwiema srajymi aleraywami: zasadą Firs Firs O oraz: zasadą Las i Firs O. 3

4 odsawowe ozaczeia X - warość szód zaszłyc w ro wyłacoyc w ro CX X... X - smlowaa war. szód z ro wyłacoyc o laac rozwoj CR - rezerwa wyzaczoa meodą idywidalą a szody złoszoe a oiec E - słada zarobioa w ro Wielości obserwowae: CX X CR dla aic że: 3... oraz E dla Wielości waże ale z założeia iezae: aid j CR - część CR doycząca szód wyłacoyc w ro j dla j > re X - część X doycząca szód złoszoyc rzed ońcem ro dla j > j j aid j Uwaa: obie wielości doyczą yc samyc szód ale CR oiera się a oceac liwidaorów re zaś X a woac rzeczywiście wyłacoyc. j 4

5 Założeia model saysyczeo lasycze i ielasycze A Laom zajścia szód rzyisay jes cią i.i.d. aramerów ryzya Θ : ULR Σ W ULR ULR Ε X Θ E ULR Ε var ULR U Σ Σ Θ...Θ aic że: Ε W W A oraz Ε. Ε CR Θ E ULR dzie: & A3 cov X X s j Θ Θs E Σ { s j } aid j re A4 Ε CR Θ B Ε X Θ dzie: B j A5 aid j j j Ε CR Θ j> E ULR j j A6 cov CR X s j Θ Θs { s j> } E Σ max{ j} A7 cov CR CRs j Θ Θs mi{ j} s E B Σ W mi { j} 5

6 soa założeń o błędac oce dooywayc rzez liwidaorów Założeia A4 A7 oisją m.i. mecaizm związay z rzewidywaiem warości szód złoszoyc rzez liwidaorów. Doszczają oe: sysemaycze obciążeie ic oce o ile B oraz wariację o ile W >. Wariacja całowiej rzeczywisej warości szód z ro od wariem Θ wyosi E Σ. Jeśli jeda warość szód salimy a odsawie ocząowyc oce liwidaorów wariacja warowa wyiesie E B W Σ. W aszyc obserwacjac wi jeda ylo część ej wariacji jao że a żadym eaie rozwoj ie zdarza się aby wszysie szody były jż złoszoe a żada z ic ie była jeszcze wyłacoa. Należy zaważyć że obciążeie jes jż wzlędioe w wysoości aramer i o dlaeo aramer obciążeia B ie ojawia się w założei A6 zaś w założei A7 ojawia się ylo w ierwszej oędze. soym roszczeiem jes założeie że ocey szód złoszoyc dooywae rzez liwidaorów a oiec ro złoszeia ie są rewidowae aż do mome liwidacji. Oczywiście błędy oce liwidaorów dla szód złaszayc i liwidowayc w cią eo sameo ro ie mają wływ a obserwowae rzez as zmiee. 6

7 soa założeń o czasie ływającym od złoszeia do liwidacji szód Założeia A4 A7 oisją aże roces rasformacji aływającyc złoszeń w szody wyłacoe. c ses olea a rzyjęci że: rozład dalszeo czas oczeiwaia a liwidację dla wszysic szód złoszoyc rzed ońcem ro jes ai sam bez wzlęd a o ja dawo daa szoda zosała złoszoa i day jes wsółczyiami:... Jes o w isocie założeie o losowym orząd w jaim szody są liwidowae. Mieści się oo dzieś omiędzy dwiema srajościami: rełą Firs Firs O oraz: rełą Las Firs O. W rzyad ewyc r bezieczeń rawdziwsze byłoby ewie jaieś założeie mieszczące się omiędzy rełą losoweo orząd i rełą FFO. Rzecz w ym że ylo rzy założei o losowym orząd dało się am orzymać eleacie wyii. 7

8 soa meody Meoda olea a zasosowai owiązayc ze sobą modeli liiowyc. redycji osaeczej warości szód a więc i rezerwy słży model ierwszy: CX CR CX a E ULR b c Zaś esymacji aramerów a odsawie rójąów dayc słży model dri dwrówaiowy: CX CR CX α E URL β γ CX CR CX CR α E URL β γ rzy rzyjęyc założeiac oymale warości wsółczyiów a b c α β γ oraz α β γ oazją się być fcjami yc samyc aramerów: ULR... dzie rzyjęo sróowe ozaczeia: : B w w : W / Σ : U / Σ 8

9 Wyii dla rówaia redycji Oymale wsółczyii: * a * b * c. Wariacja błędów redycji: { } * * * var MSE E c b a Σ 9 dzie dodaowe ozaczeie o: :.

10 Oymale wsółczyii rówań esymacyjyc { } * α { } * β * γ * α [ ] { } * β [ ] { } * γ dzie dodaowe ozaczeie o:. /

11 Kowariacje błędów rówań esymacyjyc [ ] var E Σ [ ] { Σ var E [ ] [ ]} cov [ ] [ ] E Σ dzie dodaowe ozaczeie o: :.

12 rocedra esymacji Miimalizacja ze wzlęd a rzy zadaym fcji: [ ] Ω ] [ var SS f e e e e e dzie: { } f mi jes macierzą owariacji błędów redycji wyzaczoą w cie Ω var cov cov var : oraz ozaczają błędy redycji jao fcje aramerów: e e ULR... rocedra RNLS eraively Re-weied Noliear Leas Sares zwraca wyii olejyc ieracji: ar miss : co oyje się do mome sełieia ryerim zbieżości.

Podobne dokumenty

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam