WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

Transkrypt

1 WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9

2 Przekształcenia zmiennej losowej X : Ω R zmienna losowa h : R R Wtedy definiując Y = h(x ) jako Y (ω) = h(x (ω)) otrzymujemy nową zmienną losową. PRZYKŁAD, X rozkład dyskretny X liczba oczek przy rzucie kostką Y = X 3 x P(X = x) y P(Y = y) 2 2 Ogólnie, jeśli X dyskretna i Y = h(x ) to P(Y = y) = P(h(X ) = y) = P(X = x) {x:h(x)=y} Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 2 / 9

3 Przekształcenia zmiennej losowej, X ciągła Twierdzenie Jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie absolutnie ciągłym o gęstości f X i dystrybuancie F X o wartościach z przedziału (a, b) i h jest funkcją różniczkowalną z ciągłą pochodną, ściśle monotoniczną (na przedziale (a, b)) i x (a, b) h (x) 0, to Y = h(x ) jest zmienną o rozkładzie absolutnie ciągłym o wartościach w zbiorze h((a, b)) i dystrybuancie F Y (y) = { FX (h (y)) gdy h F X (h (y)) gdy h i gęstości f Y (y) = f X (h (y)) (h ) (y) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 3 / 9

4 PRZYKŁAD. Rozkład jednostajny X U(0, ), Y = h(x ) = a + (b a)x, b > a. Wyznacz rozkład zmiennej Y. h rosnąca, h (y) = y a b a, (h ) (y) = b a 0 gdy x < 0 F X (x) = x gdy x [0, ] gdy x > Gęstość f X (x) = gdy x (0, ) zatem f Y (y) = f X (h (y)) (h ) (y) = = F Y (y) = 0 gdy y < a y a b a gdy y [a, b] gdy y > b { b a gdy y [a, b] 0 w przeciwnym przypadku Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 4 / 9

5 PRZYKŁADY Rozkład Cauchy ego X U( π 2, π 2 ), Y = h(x ) = tg X Wtedy h (y) = arc tg x i d(h )(y) dy = +y Zatem 2 f Y (y) = f X (h (y)) (h ) (y) = π Jest to rozkład Cauchy ego Twierdzenie + y 2 gdy y R Niech X będzie zmienną losowa o wartościach w przedziale (a, b) o ściśle rosnacej (w tym przedziale), ciągłej dystrybuancie F. Niech U = F (X ). Wtedy zmienna losowa U ma rokład jednostajny na przedziale (0, ). Dowód. Niech u (0, ), wtedy F U (u) = P(F (X ) u) = P(X F (u)) = F (F (u)) = u stąd f U (u) = gdy u (0, ) i f U (u) = 0 w pozostałych przypadkach. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 5 / 9

6 PRZYKŁAD. Rozkład normalny Standaryzacja X N(µ, σ 2 ), Z = h(x ) = X µ σ f Z (z) = ( σ 2π exp Zatem Z N(0, ) Rozkład chi-kwadrat ) (σz + µ µ)2 2σ 2 σ = exp 2π ) ( z2 2 Z N(0, ), Y = h(z) = Z 2. Wyznacz gęstość zmiennej Y. Mamy Y 0, czyli dla y 0 F Y (y) = P(Y y) = P(Z 2 y) = P( y Z y) = F Z ( y) F Z ( y) f Y (y) = f Z ( y) 2 y f Z ( y)( ) 2 y = y /2 exp ( 2 ) y 2π Zatem Y χ 2 = Gamma( 2, 2 ) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9

7 Wartość oczekiwana Jeżeli dla zmiennej losowej X są skończone { x i x i P(X = x i ) gdy X dyskretna R x f X (x)dx gdy X ciągła to wartością oczekiwaną zmiennej X nazywamy { x EX = i x i P(X = x i ) gdy X dyskretna R xf X (x)dx gdy X ciągła Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 7 / 9

8 PRZYKŁADY, rozkłady dyskretne Rozkład jednopunktowy P(X = a) = wtedy EX = a Rozkład zero-jedynkowy P(X = ) = p = P(X = 0), wtedy EX = p Rozkład równomierny P(X = x i ) = n, i =,..., n, wtedy EX = n n x i = X i= Rozkład geometryczny Ge(p), wtedy EX = + n= Rozkład Poissona Poiss(λ), wtedy EX = + n=0 nq n p = p λ λn ne n! = λ Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 8 / 9

9 PRZYKŁADY, rozkłady ciągłe Rozkład U(a, b), EX = b a x a+b b adx = 2 X Ex(λ), = EX = + 0 xλe λx dx = λ Twierdzenie Jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie absolutnie ciągłym o skończonej wartości oczekiwanej takim, że F (0) = 0, to EX = + 0 ( F (x))dx X Gamma(α, β) = EX = α β X N(0, ), EX = ) + x 2π exp ( x2 2 dx = 0 X Cauchy EX = + x dx nie istnieje π(+x 2 ) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 9 / 9

10 Własności wartości oczekiwanej E(a) = a; E(aX ) = aex ; E(X + X 2 ) = EX + EX 2 ; Wartość oczekiwana funkcji od zmiennej losowej. Niech Y = h(x ), wtedy { y EY = Eh(X ) = j y i P(Y = y j ) gdy Y dyskretna R yf Y (y)dy gdy Y ciągła { x EY = Eh(X ) = i h(x i )P(X = x i ) gdy X dyskretna R h(x)f X (x)dx gdy X ciągła gdzie f Y i f X to gęstości odpowiednio zmiennej Y i X i y i = h(x i ). Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 0 / 9

11 Rozkład dwumianowy Rozważamy n prób Bernoulliego, X liczba sukcesów, p prawdopdodbieństwo sukcesu. Niech { gdy w i-tej próbie sukces X i = 0 w przeciwnym przypadku Wtedy X = n i= X i Rozkład hipergeometryczny EX i = p + 0 q = p = EX = np Model losowania bez zwracania (Z urny w której jest N kul z czego M białych losujemy bez zwracania n kul i zliczamy X liczbę kul białych) P(X = x) = (M x )( N M n x ) Niech ( N n) { gdy w i-tym ciągnięciu biała X i = 0 w przeciwnym przypadku Wtedy P(X i = ) = M N, X = n i= X i i EX i = M N = M N, stąd EX = n M N Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9

12 Zadanie. W grupie jest 20 osób. W semestrze odbywa się 5 zajęć i na każdych zajęciach jedna, losowo wybrana osoba odpowiada. Oblicz wartość oczekiwaną liczby osób, ) które co najmniej jeden raz odpowiadały. Odp. EX = 20 ( Rozkład normalny X N(µ, σ 2 ), wtedy X = σz + µ i Z N(0, ). Zatem EZ 2 = R EX = E (σz + µ) = µ x 2 exp( x 2 + 2π 2 )dx = 2 x 2 exp( x 2 2π 2 )dx = 0 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 2 / 9

13 Wariancja zmiennej losowej Jeżeli E(X 2 ) < + to wariancję zmiennej losowej X określamy wzorem { D 2 X = VarX = E(X EX ) 2 x = i (x i EX ) 2 P(X = x i ) gdy X dyskret R (x EX )2 f X (x)dx gdy X ciągła a odchylenie standardowe wzorem DX = D 2 X. WŁASNOŚCI wariancji: D 2 X = E(X 2 ) (EX ) 2 ; D 2 (ax ) = a 2 D 2 X ; D 2 (X + b) = D 2 X ; D 2 X = 0 X = const; Jeżeli X i X 2 są niezależne to D 2 (X ± X 2 ) = D 2 X + D 2 X 2. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 3 / 9

14 PRZYKŁADY Rozkład jednopunktowy P(X = a) = wtedy D 2 X = 0 Rozkład zero-jedynkowy, wtedy D 2 X = p p 2 = p( p) Rozkład równomierny P(X = x i ) = n, i =,..., n, wtedy D 2 X = n (x i X ) 2 n i= Rozkład geometryczny Ge(p), wtedy E(X 2 ) = + n= n 2 q n p = 2 p p 2 Rozkład Poissona Poiss(λ), wtedy = D 2 X = p p 2 EX = + n=0 n 2 λ λn e n! = λ2 + λ = D 2 X = λ Rozkład dwumianowy D 2 X =D 2 (X + + X n ) = np( p) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 4 / 9

15 PRZYKŁADY, rozkłady ciągłe X U(a, b) = D 2 X = (b a)2 2 X Ex(λ) = D 2 X = λ 2 X Gamma(α, β) = D 2 X = α β 2 Z N(0, ) = D 2 Z = E(Z 2 ) (EZ) 2 = 0 =, a stąd X = σz + µ N(µ, σ 2 ) i D 2 X = D 2 (σz + µ) = σ 2 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 5 / 9

16 Momenty wyższych rzędów k ty moment zwykły E(X k ) k-ty moment centralny E(X EX ) k Funkcja tworząca momenty M X (t) = E(e tx ). Zachodzi: Jeśli zmienna losowa X ma k-ty moment i M X (t) jest k-krotnie różniczkowalna w 0 to Rozkład gamma M X (t) = + e tx 0 M X (t) = αβ α (β t) α stąd EX = α β i D2 X = α(α+) β 2 d k M X dt k (0) = E(X k ) βα Γ(α) x α e βx dx = ( β ) α β t M X (t) = α(α + )β α (β t) α 2 α2 β 2 = α β 2 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9

17 Kwantyle Definicja Niech p (0, ). Kwantylem rzędu p rozkładu zmiennej losowej X nazywamy liczbę q p taką, że P(X < q p ) p P(X q p ) W szczególnym przypadku kwantyl rzędu /2 nazywamy medianą, a kwantyle rzędu /4 i 3/4 kwartylami. Jeśli rozkład ma ciągłą ściśle rosnącą dystrybuantę na pewnym przedziale (a, b) to P(X q p ) = F (q p ) = p stąd q p = F (p). Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 7 / 9

18 Przykłady Wyznacz kwantyl rzędu /3, /4 dla zmiennej równej liczbie oczek przy rzucie kostką symetryczną. Rzuty monetą. Niech S n będzie liczbą orłów przy n rzutach moneta symetryczną. Zmienna S 00 ma medianę równą 50, ale dla zmiennej S 0 każda liczba z przedziału [50, 5] jest medianą. Wyznacz kwantyl rzędu /2 rozkładu normalnego. Rozkład Cauchy ego ma medianę równą 0 choć nie ma wartości oczekiwanej. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 8 / 9

19 Wartość oczekiwana i mediana Twierdzenie Niech X będzie zmienną losową taką, że EX 2 < +. Funkcja R(a) = E(X a) 2 osiąga wartość najmniejszą, gdy a = EX. Twierdzenie Niech X będzie zmienną losową taką, że E X < +. Funkcja R(a) = E X a osiąga wartość najmniejszą, gdy a = q /2 = mediana. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 9 / 9