Modelowanie przepływów przez ośrodki porowate. Wykład I

Transkrypt

1 Mdelwanie przepłwów przez śrdki prwate Wkład I Równania hdrdnamiki wód pdziemnch zstał kreślne prz przjęciu następującch załżeń: śrdek prwat twrz strukturę ciała stałeg traktwaneg jak śrdek ciągł, wewnątrz której istnieje sieć kanalików filtracjnch wzajemnie płącznch. nie wstępują pr zamknięte zawierające ciecz lub gaz sieć kanalików jest na tle regularna, że mżna kreślić elementarną bjętść reprezentatwną VER, która reprezentwać będzie wdrębnin prstpadłścian nieskńczenie małch wmiarach (rs. 4.7.). pr śrdka wpełnine są cieczą. prces przepłwu ciecz dbwa się w stałej temperaturze (prces iztermiczn). na prces filtracji nie ma wpłwu ple elektrczne i magnetczne ziemi nie uwzględniam wpłwu ptencjału chemiczneg. ruch ciecz rzpatrujem bserwując g względem nieruchmeg układu dniesienia i, a więc w układzie Lagrange a. Rs Objętść reprezentatwna VER. Prces zachwwania się ciecz pisują równania: knsttutwne równania stanu równania ciągłści przepłwu równania ruchu ciecz przez śrdek prwat. Jak wkażem, pwższ układ równań pzwala kreślić mdel matematczn przepłwu ciecz przez śrdek prwat. Uzskane równania muszą bć uzupełnine przez warunki brzegwe i pczątkwe. 1. Knsttutwne równania stanu.

2 Przez pr śrdka prwateg mże przepłwać płn dużej ściśliwści bjętściwej (np. gaz, mieszanin ciecz i gazu) lub ciecz wkazująca się bardz małą ściśliwścią. Mówim wted liniw sprężstm reżimie filtracji. W niniejszm rzdziale graniczm się d dwóch przpadków równania stanu: gd mam d cznienia z cieczą i ciałem stałm mał ściśliwm lub nieściśliwm. Dla takieg przpadku panujące w ciecz ciśnienie lub jeg przrst pwduje dkształcenia bjętściwe zarówn ciecz jak i skał. Uwzględniając zmian bjętściwe ciecz i szkieletu, mówim reżimie sprężstm przepłwu filtracjneg. Gd pmijam efekt sprężstści bjętściwej, mówim tzw. sztwnm reżimie filtracji. Zakładam, że faza stała śrdka nie ulega dkształcenim pstaciwm i dpuszczam w tej fazie rzważań jednie zmian bjętściwe, wrażające się zmianą prwatści prwatej matrc ciała stałeg. Sprężstść bjętściwą ciecz pisuje praw Hke a, według któreg względna zmiana gęstści ciecz ρ jest prprcjnalna d zmian ciśnienia w nim panująceg: ρ d = w β. (1.1) ρ gdzie: β w - znacza współcznnik bjętściwej ściśliwści ciecz, definiwan jak względna zmiana bjętści ciecz prz zmianie ciśnienia 1 atm. [100 kpa]. Na przkład: dla słdkich wód pdziemnch mżna przjąć: 1 1 β = = 5 10, w 5 at 10 Pa a dla wód zmineralizwanch: M ( 5 8 i 1 1 w ) g at ( β = = ) Pa, ρ gdzie M i t mineralizacja wd w g/l. Dla wd słdkiej rzwiązanie równania (1.1) ma pstać: ρ e p = 0, ,0005, (1.2) prz niewielkich wielkściach ciśnienia (d 100 at) mżna przjąć, że zmian gęstści są nieznaczne i wówczas

3 cns ρ =. (1.3) Sprężstść prwatej matrc ciała stałeg, w tm czwiście dla gruntów i skał bjawia się w przpadku pmijania dkształceń pstaciwch zmianą prwatści matrc. Mżna przjąć, że prwatść bjętściwa f zmienia się prprcjnalnie d zmian ciśnienia dp przenszneg przez skał: s df β dp s s =. (1.4) Wiedząc, że ciśnienie przenszne przez ciał prwate jest równe ciśnieniu przensznemu przez ciecz, chć przeciwnie skierwanemu, t: dp d s=, (1.5) stąd df β dp s =, (1.6) gdzie β s jest współcznnikiem bjętściwej ściśliwści skał. Wartść gruntu zawiera się w granicach: β s zależ d rdzaju materiału budująceg ciał prwate. W przpadku skał lub s β = Pa Dla przpadku niewielkich ciśnień mżna więc przjąć, że skała, pdbnie jak ciecz jest nieściśliwa. W taki przpadku zakładam, że: f cns =. (1.7) W dalszej części mngrafii zajmwać się będziem związkami knsttutwnmi bardziej złżnmi, uwzględniającmi dkształcenia pstaciwe szkieletu ciała prwateg raz cech lepkie szkieletu.

4 IV Równanie ciągłści przepłwu. Równanie ciągłści przepłwu wnika z zasad zachwania mas ciecz przepłwającej przez prstpadłścienn element VER reprezentwan przez prstpadłścian krawędziach d, d, dz. Rs Przepłw ciecz przez bszar elementarn VER. Dla jasnści wkładu wprwadzenie równania ciągłści przepłwu przedstawim dwma spsbami: klascznm przedstawiającm bilans mas przepłwającch przez ścian elementarneg prstpadłścianu VER i metdą niec bardziej zaawanswaną na pdstawie analiz bilansu mas przepłwającch przez bszar Ω graniczn dwlną pwierzchnią S. Metda klasczna. Masę płnu wpłwającą d prstpadłścianu w czasie dt w kierunku si (rs. 4.8) bliczam wzrem: m F dt ddzd = ρ = ρ, (1.8) gdzie: m masa ciecz wpłwającej d VER z kierunku, jest składwą wektra prędkści filtracji w kierunku si, ρ gęstść przepłwającej ciecz, F pwierzchnia prstpadłścianu prstpadła d si,

5 dt przrst czasu, w którm masa m pwierzchnię F. Masę płnu wpłwającą z prstpadłścianu VER w kierunku bliczam ze wzru: m dm ddzdt ( ρ ) dddzd + = ρ +. (1.9) Przrst mas w czasie dt kreślan jak różnica mas wpłwającch i wpłwającch w kierunku si wnsi: dm = ( ρ ) dddzd. (1.10) Pstępując analgicznie mżem kreślić przrst mas ciecz w kierunku si i z: dm = ( ρ ) dddzd, (1.11) dm z= ( ρ ) z z dddzd. (1.12) Suma przrstów mas z pszczególnch kierunków (1.10), (1.11), (1.12) daje całkwit przrst mas przepłwającej ciecz w bszarze VER w czasie dt i wraża się wzrem: dm ( ρ ) ( ρ ) ( ρ z) = + + dddzd. (1.13) Jeżeli w dwlnm czasie t masa ciecz znajdującej się w prstpadłścianie d, d, dz wraża się wzrem: m t f ddd ( ) ( ρ) =, (1.14)

6 gdzie: f kreśla prwatść bjętściwą, t w czasie następując: t + dt masę całkwitą bliczam w spsób m t dt f f d f ddd ( + ) = ρ + ( ρ ). (1.15) Przrst mas w przedziale czasu dt bliczam, więc wzrem: f dddz dm ( ρ ) d = t. (1.16) Ostatecznie przrst mas w kresie dt wnsi: dm = ( ) f ρ t dddzd. (1.17) Prównując wartść przrstu mas wnikającą z bilansu przepłwu ciecz przez ścian prstpadłścianu VER (1.13) d wartści dm wnikającej ze wzru (1.17), dstajem statecznie: f ( ρ ) ( ρ ) ( ρ z) ( ρ ) + + = t. (1.18) Równanie różniczkwe (1.18) est równaniem ciągłści przepłwu ciecz ściśliwej przez ściśliw szkielet śrdka prwateg. Pwższ wnik uzskan pprzez bardz elementarne rzumwanie przedstawine głównie dla celów ddaktcznch. Zazwczaj stsuje się niec dmienn spsób dchdzenia d równanie ciągłści przepłwu filtracjneg. Metda całkwania. Niech Ω kreśla bszar elementarn wpełnin śrdkiem dwufazwm. Oznaczm S pwierzchnię graniczającą, przez którą dbwa się przepłw filtracjn ciecz. Niech n r znacza wersr nrmaln d S i skierwan na zewnątrz bszaru Ω. Przepłw ciecz przez pwierzchnię S graniczającą bszar Ω rs. 4.9 kreśla równanie:

7 f ds ( ρ ) d i + t Ω = 0 ρ S. (1.19) Ω Rs Przepłw medium przez pwierzchnię S graniczającą bszar Ω. Krzstając z twierdzenia Gaussa Ostrgradzkieg, mżem zamienić całkę pwierzchniwą na bjętściwą. Dstajem, więc: Ω f i ( ρ ) d ( ) d ρ Ω + t Ω = 0 i. (1.20) Ω Pwższe równanie pzwala zapisać związek lkaln w pstaci: di r ( ρ ) = f ( ρ ) t (1.21) Jak bł d przewidzenia pwższ związek jest identczn z równaniem (1.18). IV.2.3. Równania ruchu ciecz. Za punkt wjścia d kreślenia równań ruchu lepkiej ciecz Newtnwskiej przez pr ciała stałeg przjmujem drugie praw Newtna.

8 Oznaczając przez r sił działające w ciecz dniesine d jednstki bjętści (gęstść działającch sił) drugie praw Newtna mżem w kartezjańskim układzie współrzędnch,,z przedstawić wzrem:. n = ρ t, n = ρ t nz z= ρ t,, (1.22) gdzie: składwe r n kreśla wektr rzeczwistej (w sensie średniej) prędkści przepłwającej ciecz i psiada, n,. n nz Prędkść n mżna prz załżeniu, że prwatść pwierzchniwa fa jest w przbliżeniu równa prwatści bjętściwej f, pwiązać z prędkścią filtracji r następującm związkiem: r 1 n= r f. (1.23) Krzstając z pwższeg związku równania (1.22) mżna zapisać inaczej: = ρ t f, ρ t = f z z= ρ t f., (1.24) Gęstść sił r jest sumą sił, którch źródł wnika z działania ciśnienia p, zwanm częst ciśnieniem prwm, energii ptencjalnej płnącej ciecz raz sił lepkści (lepkieg pru przepłwu). Oznaczając:

9 składwe sił lepkści (pru przepłwu) lep ρ r przez lep lep lepz ρ, ρ, ρ, składwe gęstści sił ciężkści (bliczne z energii ptencjalnej przepłwu) u u u ρ, ρ, ρ, z gdzie u = gz raz składwe gęstści sił pchdzącch d ciśnienia Stąd r mżna zapisać wzrem: p p p,,. z p u r = ρ ρ p u r = ρ ρ p u r z z = ρ z ρ lep, lep lepz, (1.25). Znak minus wnika z faktu, że gęstść sił r jest siłą bezwładnści, a więc siłą przeciwnie skierwaną d akcji, jakimi są sił znajdujące się p prawej strnie równań (1.25). W rezultacie drugie praw Newtna w dniesieniu d składwch sił w kierunkach,, z mżna zapisać w pstaci: p u 1 t f = + ρ p u 1 t f = + ρ p u z 1 t f z = + z ρ lep, lep lepz, (1.26).

10 Pwższe równania prz użciu zapisu wskaźnikweg Einsteina mają pstać: f p i 1 1 g f t = ( δ ), + i ρ i i i lep 3, (1.27) gdzie prównując wrażenia (1.26) i (1.27) trzmujem: lep u - znacza składwe sił tarcia lepkieg g δ = - znacza składwe sił maswej ciężkści ciecz. i i i 3 Dla ciecz Newtna pór lepki jest prprcjnaln d prędkści filtracji, lecz dwrtnie d niej skierwan i wraża się wzrem: c lep i=, (1.28) gdzie c jest współcznnikiem pru lepkieg przepłwajacej ciecz. Wprwadźm prędkść r związaną z prędkścią r związkiem: r s r rk = λ, (1.29) prz czm wektr rk w związku (1.29) wraża się wzrem: a λ = 1/. r K grad 1 p g δ i i = + 3 ρ, (1.30) Pchdna cząstkwa p czasie wektra r równa się: r s r rk t t = λ t. (1.31) Pdstawiając (1.29) d (1.27), p uwzględnieniu związku (1.28) mżem zapisać:

11 r s rk 1 K 1 s K f t λ r f t r r + = + λ λ. (1.32) Jeżeli prędkści zmian gradientu ciśnienia jest mała w prównaniu z pzstałmi wielkściami w równaniu (1.32) (zagadnienia quasi statczne) t mżem przjąć, że: rk λ f = t 0 i równanie (1.32) sprwadza się d pstaci: r s 1 f t 1 = λ r. (1.33) Rzwiązaniem teg równania jest funkcja: r s r s e λ = 0 f. (1.34) Jak widać t na rs im większe pr tarcia lepkieg w przpadku przepłwu laminarneg ciecz przez śrdek prwat, tm szbciej wartść bezwzględna wektra r siąga wartść bliską zeru.

12 r s t Rs Przebieg funkcji ( ) w czasie dla wartści / f λ =10;50;100. Mżna więc stwierdzić, że dla dpwiedni dużch wielkści pru lepkieg p bardz krótkim czasie (mniejszm niż 1 sekunda) dstajem związek liniw: r rk = λ, (1.35) c mżna zapisać inaczej w pstaci: g p r grad c g i i = + δ 3 ρ. (1.36) Z pprzednich rzważań (Rzdział III.1) wiem, że wskść hdrauliczna z pminięciem, ze względu na jej mała wielkść, energii kinetcznej przepłwającej ciecz wraża się wzrem:

13 p H i i = + g δ 3. (1.37) ρ Wprwadzając pnadt w miejsce g/c wielkść k znaczającą współcznnik filtracji k, dstajem praw Darc eg dla przpadku śrdka jednrdneg i iztrpweg: r = kgradh. (1.38) Przeprwadzając analgiczne rzumwanie dla przpadku śrdka aniztrpweg równanie (1.38) przjmie pstać: k H ij, i=, (1.39) gdzie k i jest tensrem przepuszczalnści 9 współcznnikach przepuszczalnści wrażn wzrem: k k k k 11 k 12 k 13 k ij =, (1.40) k k k prz czm ze względu na smetrię tensra wstepuje tlk 6 mżliwch różnch wielkści współcznników przepuszczalnści. Najczęściej w przpadku śrdków aniztrpwch mam d cznienia z tensrem przepuszczalnści, któr psiada jednie wartści różne d zera na głównej przekątnej: k ij k k k 0 0 =. (1.41) 33 Uzskaliśm tą drgą równania ruchu zgdne z prawem Darc eg. W dalszch rzważaniach będziem stswać bardziej góln spsób dchdzenia d pdstawwch związków fizcznch mdelu. Prwadzą ne d identcznch rezultatów, jednak są niec bardziej złżne pd względem aparatu matematczneg. Z teg względu zdecdwaliśm się na przedstawienie bdwu dróg dchdzenia d równań mdelu. Pwższe rzważania prwadzą również d wnisku, że pdczas przepłwu filtracjneg ciecz przez śrdek prwat wstępuje siła prów lepkich, która determinuje prędkść przepłwu filtracjneg, ale również ddziałwuje na szkielet śrdka prwateg, prz czm ma w tm przpadku zwrt przeciwn i wnsi:

14 r g R = r k. (1.42) rr Siłę wrażną związkiem (1.42) będziem nazwali siłą unszenia filtracji. Siła ta ma duż wpłw na dkształcenia pstaciwe szkieletu gruntweg, a także na stan graniczne śrdka prwateg. IV.2.4. Równania hdrdnamiki wód pdziemnch dla przpadku przepłwu ciecz nieściśliwej przez niedkształcaln śrdek prwat. Zakładając, że śrdek gruntw jest ciałem idealnie sztwnm, a ciecz przepłwająca przez siatkę kanalików filtracjnch jest nieściśliwa, układ równań pisując prces przepłwu laminarneg sprwadza się d: równania stanu: cns ρ =, (1.43) równania ciągłści przepłwu z ( ) ( ) ( ) + + z = 0, (1.44) które mżna zapisać inaczej w pstaci: di r = 0. (1.45) równań ruchu = = z= k k k z H, H H z., (1.46)

15 W lbrzmiej większści przpadków rzważam zagadnienia śrdka iztrpweg. Dla teg przpadku mam: k k k k z = = =. (1.47) Równanie ruchu ciecz mżna zapisać inaczej: r = kgradh. (1.48) Pdstawiając równania ruchu (1.48) d równania ciągłści przepłwu (1.44) dstajem równanie różniczkwe pisujące prces przepłwu ciecz nieściśliwej przez jednrdn, iztrpw, niedkształcaln śrdek prwat w pstaci: H H H + + z = 0, (1.49) c mżna zapisać inaczej: H 2 = 0. (1.50) W dalszch rzważaniach isttne wdaje się wprwadzenie nwej wielkści kreślanej mianem ptencjału prędkści przepłwu i wrażanej związkiem: kh Φ =. (1.51) Równanie (1.49) przjmuje w tm przpadku pstać: Φ Φ Φ + + z= 0 (1.52)

16 lub 2 Φ = 0. (1.53) natmiast równania ruchu sprwadzają się d: Φ =, Φ =, (1.54) Φ z=, z lub r r grad = Φ. (1.55) Wprwadzne równania (1.53) i (1.55) pzwalają na rzwiązanie zagadnień przepłwu ustalneg ciecz nieściśliwej przez niedkształcaln śrdek prwat prz załżeniu jednrdnści i iztrpwści śrdka. IV.2.5. Równanie hdrdnamiki wód pdziemnch dla przpadku przepłwu ciecz ściśliwej z uwzględnieniem ściśliwści szkieletu gruntweg. Pwróćm d równania ciągłści przepłwu uwzględniająceg efekt ściśliwści ciecz i faz stałej śrdka prwateg (1.18): f ( ρ ) ( ρ ) ( ρ z) ( ρ ) + + = t Pchdną cząstkwą p czasie mżem zapisać inaczej: ( ) f f ρ. (1.56) f t t ρ = ρ +. (1.57) Zgdnie z równaniami stanu (1.1) i (1.4) raz uwzględniając, że p = t ρ g H t, (1.58)

17 trzmam: p H ρ g t w t 2 s = ρβ = ρ β t (1.59) raz f p H g t s t s = β = ρ β t. (1.60) Związek (1.58) mżna przedstawić, zatem: f H H ( ρ ) g f g t 2 s t 2 w = ρ β + ρ β t, (1.61) czli gdzie f H ( ρ ) t spr = ρη t, (1.62) g f spr η = ρ s β + w β. (1.63) ( ) Współcznnik η spr kreślan jest nazwan współcznnikiem pjemnści sprężstej warstw wdnśnej. Wielkść η spr jest wielkścią małą i jeg wartść waha się w przedziale Równanie ciągłści przepłwu mżna zapisać w frmie: m H ( ρ ) ( ρ ) ( ρ z) spr + + = ρη t. (1.64) Uwzględniając, że zmian gęstści ciecz w zależnści d zmiennch przestrzennch,, z są małe, mżna przjąć, że nie zależą d tch zmiennch niezależnch. Równanie (4.151) uprści się wówczas d pstaci: H z z spr + + = η. t Uwzględniając równania ruchu dla przpadku śrdka iztrpweg w pstaci: H k (1.65) =, H k =, (1.66) H k z=. z

18 Równanie (1.65) mżna przedstawić w następującej frmie: H H H H η z k t spr + + =. (1.67) Ostatecznie równanie pisujące prces przepłwu ciecz ściśliwej przez ściśliw śrdek prwat mżna zapisać: H H H H z = a t, (1.68) gdzie k k a = = g f η ρ β β ( + ) spr s w. (1.69) Współcznnik a nsi nazwę współcznnika piezprzewdnści. Równanie (1.68) jest różniczkwm równaniem filtracji nieustalnej w śrdku jednrdnm i iztrpwm prz sprężstm reżimie przepłwu filtracji i nsi nazwę równania przewdnictwa Furiera. Pstać teg równania jest analgiczna d równania przewdnści cieplnej. W przpadku przepłwu pd ciśnieniem dla warstw miąższści M równanie (1.68) przedstawiane jest w innej pstaci. Pmnóżm licznik i mianwnik człnu równania znajdująceg się p prawej strnie równania (1.68) przez M (średnią miąższść warstw wdnśnej). Mżem zapisać: T km M H M H spr am η t km = t (1.70) Oznaczając przez: = S M- przewdnść warstw spr = - bezwmiarw współcznnik pjemnści wdnej warstw wdnśnej η równanie (1.68) mżna przedstawić w pstaci: H H H S H z T t + + =. (1.71) W rzdziale VIII będzie pkazan przkład rzwiązania zagadnień przepłwu nieustalneg metdami analitcznmi. Zagadnienia przepłwu nieustalneg są rzwiązwane również metdami numercznmi prz pmc prfesjnalnch prgramów kmputerwch np. [Flac, MdFlw, Mathematica 5, Maple 8].