Przykłady ruchu drgającego

Transkrypt

1 RUCH DRGJĄCY

2 Przyłady ruchu drgająceg ruch huśawi drgania srun w insruenach uzycznych ruch wahadła zegara echaniczneg Uład wejściwy aneny radiwej M drgania szyb iennych przy hałaśliwej ulicy drgania napięcia w bwdach prądu zienneg ruch ciężara wisząceg na sprężynie

3 OSCYLOR HRMONICZNY Siła wprawiająca ciał w ruch drgający (siła quasi-sprężysa) i równanie ruchu x x( ) a d x d x x + x d x + x współczynni sprężysści; asa scylara; a przyspieszenie x Oscylar harniczny prsy Równanie ruchu scylara harniczneg prseg jes równanie różniczwy drugieg rzędu. Odgadnięe rzwiązanie równania psiada Częsść drgań nie zależy d apliudy. psać: Oznaczenia: x sin( + ϕ) Ziany sanu scylara pdlegają zasadzie superpzycji. apliuda drgań, częsść łwa drgań własnych scylara, ϕ - aza pcząwa drgań, dwlnie wybrana chwila czasu, res drgań π Rzwiązanie równania że być również uncja csinus raz binacja liniwa bydwu ych uncji. 3

4 dx Prędść scylara v cs( + ϕ) d x Przyspieszenie scylara a + ϕ) sin( Z równania ruchu, d óreg pdsawiay wzry na x i przyspieszenie żna wyznaczyć związe piędzy częsścią łwą drgań własnych scylara a jeg własnściai izycznyi (asa, współczynni sprężysści) ν π πν ν zwyła częsść drgań (liczba pwórzeń eg saeg płżenia ciała w jednsce czasu). Zależnść płżenia, prędści i przyspieszenia w ruchu harniczny d czasu. W enach, gdy wychylenie z płżenia równwagi jes asyalne, prędść jes równa zeru, naias przyspieszenie a warść asyalną, a zna przeciwny d wychylenia. 4

5 ŚRDNI NRGI KINYCZN I PONCJLN OSCYLOR HRMONICZNGO PROSGO Deinicja warści średniej wielści resw ziennej q(): nergia ineyczna Chwilwa warść ( ) v ( cs), ϕ < q > q(), q() warść chwilwa nergia pencjalna (praca siły sprężysści) x p L xdx x Średnia warść < > ( ) < p > p ( ) x 4 4 Pdsawiając z wynujey całwanie < > π π cs zdz 4 Średnia warść energii ineycznej scylara harniczneg prseg jes równa średniej warści jeg energii pencjalnej >< > < p nergia całwia scylara i praw zachwania energii < > + < p > cns 5

6 OSCYLOR HRMONICZNY ŁUMIONY (DRGNI SWOBODN ŁUMION) Oprócz siły quasi-sprężysej na scylar harniczny działa siła arcia prprcjnalna w ażdej chwili d prędści ciała i przeciwnie d niej sierwana r ~ v r ( ) v dx Równanie ruchu d x x dx d x dx + + x Równanie różniczwe drugieg rzędu ja rzwiązać? Pierwszy eap rzwiązania d x dx Na cząsę działa yl siła arcia. Psać równania ruchu: + Czas relasacji: Współczynni łuienia: β 6

7 Inny spsób zapisu równania ruchu: dx dv v + v dv v Całujey równanie busrnnie dla warunów pcząwych: vv dla v v dv v ln v ln v v v e Prędść łuina jes ze sałą czaswą. (e.7 pdsawa lgaryów nauralnych) v v v / e Ziana prędści ciała, na óre działa siła arcia, w uncji czasu. 7

8 SPDNI CIŁ W CICZY LPKIJ W Na ciał działa siła ciężści (g), siła wypru (W) i siła arcia (-v) Równanie ruchu ciała: dv g W cns v x g Rzwiązanie równania ruchu dla warunów pcząwych:, vv v + v exp v v gr v v Ciał siąga ę saą warść prędści granicznej przy dwóch różnych warściach prędści pcząwej. P siągnięciu prędści granicznej, ciał prusza się praycznie ruche jednsajny z prędścią v gr. v gr nergia ineyczna ciała łuina jes ze sałą czaswą. v v v e ( ) ( ) v e v Inaczej z działanie na ciał siły arcia związane jes rzpraszanie energii ciała. 8

9 Drugi eap rzwiązania d x dx Na scylar harniczny działa siła arcia. Równanie ruchu a psać: + + x Częsliwść drgań własnych: / Sała czaswa: β Rzwiązanie równania ruchu ( dgadnięe ): β x e sin Obliczay dx d x, pdsawiay d równania ruchu i wyznaczay > β ruch peridyczny scylara łuineg β ruch ryyczny (scylar nie wynuje drgań) < β ruch aperidyczny (niereswy) 9

10 OSCYLOR PRIODYCZNY ŁUMIONY Rzwiązanie równania ruchu: NRGI UKŁDU DRGJĄCGO ŁUMIONGO nergia całwia ( ) x e sin( + ϕ) ) ( β π < > + < p > exp( ) częsść drgań łuinych x ϕ () e / Sray energii Szybść sra energii jes równa sracie cy uładu P(): P () d() Współczynni dbrci (dbrć uładu) π/ Ziana apliudy scylara harniczneg łuineg w uncji czasu. Q π Q P P / P Lgaryiczny dereen łuienia (d prównywania własnści uładów drgających łuinych) Λ ln n n+ exp( / ) ln exp( + ) / β

11 DRGNI WYMUSZON OSCYLOR HRMONICZNGO Na uład drgający łuiny działa zewnęrzna siła harniczna: sin Równanie ruchu a psać: x.. x. + + x sin, ( ; β ) Szuay rzwiązania w psaci sin( + ϕ) x x&... & x&... Pdsawiay d równania ruchu i rzyujey uład równań na i φ. φ - przesunięcie azwe prędści względe siły wyuszającej g ϕ - apliuda ( ) + ( ) 3 Reznans ( ) Gdy, i φ pierwiase równania (*) dla r r β < β < β3 / Warune na asiu apliudy: d/d d d d ( d d [( d ( ) / ) + ( ) + ( ) ] ) (*) r β dla ( r r ) gϕ r ( ) / ( / ) (/ ) ϕ π π/ 3 /

12 Dla ałeg łuienia (>>/) Średnia c absrbwana przez uład (średnia praca siły wyuszającej w jednsce czasu) < P > υ Dbrć Q ; / β ; / / - szerść płówwa rzywej reznanswej rzywa reznanswa Lrenza < P > sin cs( +ϕ) ( / ) + ( ) <P> Dla bwdu drgająceg LC L- inducyjnść cewi C- pjenść ndensara ½ ½ <P> Krzywa reznanswa Lrenza