Podstawy matematyki nansowej
|
|
- Filip Milewski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie lokowaia iei dzy w baku i sªaty kredytu. Ograiczymy si do ajrostszych sytuacji, gdy orocetowaie lokaty lub kredytu jest staªe. Procet rosty i skªaday Na ocz tek rzedstawimy kilka deicji: rocet rosty odsetki aliczae od kaitaªu co ewie ustaloy okres czasu ie s do tego kaitaªu doisywae, zatem za ka»dym razem otrzymujemy tyle samo odsetek i sta aszych oszcz do±ci tworzy ost arytmetyczy. rocet skªaday do kaitaªu s doisywae odsetki aliczoe od kaitaªu, a zatem w ast ym razem odsetki liczoe s od owego, wi kszego kaitaªu. Sta aszych oszcz do±ci tworzy ost geometryczy. kaitalizacja odsetek doisaie odsetek do kaitaªu; stoa omiala stoa orocetowaia wzgl dem jedostki czasu ajcz ±ciej 1 roku) liczoa tak jakby±my liczyli zgodie ze wzorem a rocet rosty czyli bez uwzgl dieia kaitalizacji odsetek). Je±li w ci gu roku odsetki s aliczae razy, za ka»dym razem w wysoko±ci q%, to stoa omiala wyosi = q. Gdy co miesi c aliczae s odsetki w wysoko±ci 0,3%, to stoa omiala wyosi 12 0,3% = 3,6%. Odwrotie, je±li stoa omiala wyosi 4,8% a odsetki s aliczae co dwa miesi ce, to za ka»dym razem bak alicza odsetki w wysoko±ci 4,8% = 0,8%. 6 stoa efektywa rzeczywisty, rocetowy rzyrost kaitaªu czyli z uwzgl dieiem kaitalizacji odsetek). Przykªad 6.1. Je±li mówimy,»e orocetowaie w skali roku rocza stoa omiala) wyosi 12%, a kaitalizacja odsetek ast uje miesi czie, ozacza to,»e co miesi c do kaitaªu jest doisywae 12% 12 = 1% odsetek, za± stoa efektywa wyosi 1 + 0,01)12 12,68%. Kilka wzorów Niech stoa omiala; e stoa efektywa, liczba kaitalizacji w ci gu jedostki czasu roku), t liczba lat, K t - kaitaª o t latach. Wtedy K 1 = razy { }} { ) ) ) K t = K e = 1 + ) t ) 1] = 1 + ) Ciekawostka. Zauwa»my, co si b dzie dziaªo, gdy kaitalizacje b d ast owaªy coraz cz ±ciej czyli zwi ksza si ). Rozwa»a si tak»e kaitalizacj ci gª odsetki s obliczae i doisywae a bie» co). Poiewa» ) 1 + x e x, to wtedy mamy K 1 = K 0 e K t = K 0 e t e = ] e 1 1
2 Oczywi±cie, we wszystkich rzykªadach i zadaiach orówuj cych oferty dwóch baków zakªadamy,»e wszelkie ie szczegóªy oferty oza orocetowaiem i kaitalizacj odsetek, s idetycze. Jest to zaªo»eie sesowe gdy orówujemy lokaty czemu, tak a rawd sªu» te rozwa»aia), cho i w tym wyadku baki si ró»i stoiem swobody w dysoowaiu iei dzmi i karami za zerwaie lokaty wcze±iejsze wyªaceie cz ±ci lub wszystkich iei dzy). Porówaie kot osobistych jest du»o bardziej skomlikowae ze wzgl du a ich fukcj raczej zarz dzaia iei dzmi i» oszcz dzaia iei dzy. W rzyadku kot osobistych orocetowaie zwykle ma drugorz de zaczeie, w stosuku do kosztu rowadzeia takiego kota, kosztu kart ªaticzych, dost u do bakomatów, oªat za rzelewy i wielu iych usªug oferowaych w ramach kota osobistego. Przykªad 6.2. Lokujemy zª a dwa lata w baku, który oferuje lokat z miesi cz kaitalizacj odsetek o roczej stoie omialej 6%. Jaki b dzie asz zysk? Rozwi zaie: Kaitaª K 0 = , stoa omiala = 6, kaitalizacja jest miesi cza, czyli mamy = 12 kaitalizacji w ci gu roku. Zatem zgodie z owy»szym wzorem Zatem zysk wyosi 1 271,61 zª. ) 6 24 K 2 = = ,60 12 Przykªad 6.3. Jaki byªby asz zysk, gdyby kaitalizacja ast owaªa raz w roku Rozwi zaie: W stosuku do orzediego zadaia zmiaie ulega jedyie liczba kaitalizacji tutaj = 1 jeda kaitalizacja roczie). St d Zatem zysk wyosi 1 236,00 zª. K 2 = ) 2 = Przykªad 6.4. Bak Zbbieraj SA oferuje lokat o stoie omialej 24% i miesi czej kaitalizacji odsetek. Bak Leiej SA oferuje lokat o stoie omialej 25% i óªroczej kaitalizacji odsetek. Lokata którego z baków jest lesza zakªadamy oczywi±cie,»e ozostaªe waruki obu lokat a rzykªad oªaty za rowadzeie s takie same)? Rozwi zaie: Policzymy stoy efektywe: dla baku Zbbieraj SA: e = ) 12 1) = 26,82 12 Dla baku Leiej SA: e = ) 2 1) = 26,56 2 Wiosek: Leszym bakiem jest Zbbieraj SA. Sªata kredytu. Chcemy zaci g kredyt w wysoko±ci K zª. Trzeba b dzie go sªaci w ratach. Mo»emy zada sobie dwa ytaia: a) jaka b dzie wysoko± rat, które b dziemy ªaci, gdy wiemy jak szybko chcemy sªaci kredyt; b) jak dªugo b dziemy sªaca kredyt wiedz c,»e mo»emy lub chcemy ªaci raty w wysoko±ci ie wi kszej i» b? Zakªadamy,»e kredyt jest orocetoway % w skali roku, odsetki s doliczae co miesi c 1200 w wysoko±ci q = taka jest zwykle rocedura rzy ormalych o»yczkach bakowych lub kredytach atomiast iektóre istytucje asowe oferuj o»yczki sªacae co tydzie«, wtedy oczywi±cie q = /5200 i odsetki s doliczae co tydzie«, a rozumowaie rzedstawioe oi»ej 2
3 ozostaje rawie bez zmia, z wyj tkiem, tego»e raty sªacamy co tydzie«a ie co miesi c). W rozwa»aiach rzyjmujemy staªe orocetowaie kredytu. W rzeczywisto±ci orocetowaie kredytów dªugookresowych. mieszkaiowych) jest zwykle zmiee i zale»y od stó rocetowych. Poiewa» ie jeste±my w staie rzewidzie w dªu»szej ersektywie) o ile wzros /sad stoy rocetowe, a w zwi zku z tym jak si zmiei orocetowaie, awet baki dokouj wyliczeia rat, zakªadaj c staªe orocetowaie. W rzyadku jego zmiay, ale»y oowie dokoa oblicze«. Raty rówe. Niech K i ozacza wysoko± zadªu»eia czyli ozostaªego do sªaty kredytu) o i-tym miesi cu od zaci gi cia kredytu. Na ocz tku miesi ca i-tgo do zadªu»eia, które mamy doliczae s odsetki w wysoko±ci q, czyli qk i 1 i odejmowaa jest sªacoa rzez as rata w wysoko±ci b. Pozostaje am do sªaty K i = K i 1 + qk i 1 b. St d mamy: K 0 = K K 1 = K1 + q) b K 2 = K1 + q) b ) 1 + q) b = K1 + q) 2 b1 + q) + 1) ) K1 ) + q) b 1 + q) b K 3 = 1 + q) b = K1 + q) 2 b1 + q) q) + 1). ] K = K1 + q) b 1 + q) q) q) q) + 1 Zatem otrzymujemy, korzystaj c ze wzoru a sum wyrazów ci gu geometryczego: K = K1 + q) b 1 + q) 1 q = 1 q b b Kq) 1 + q) ] 6.1) Zauwa»my od razu,»e aby sªaci kredyt b > Kq, czyli sªacaa rata musi by wi ksza od aliczaych odsetek. Mo»emy teraz odowiedzie a ostawioe wy»ej ytaia. a) Zamy liczb rat i chcemy wyzaczy wysoko± rat b. Oczywi±cie, gdy sªacimy kredyt, to K = 0. Šatwiej b dzie am skorzysta z ierwszego z wyra»e«6.1) a K, gdy» b wyst uje tam tylko w jedym miejscu. Proste rzeksztaªceie daje am odowied¹: q1 + q) b = K 1 + q) 1 6.2) Z drugiej stroy, je±li zamy wysoko± raty, jak chcemy sªaca oczywi±cie, jak zauwa»yli±my wy»ej b > Kq), to chcemy wyzaczy. Tym razem u»yjemy drugiego z wyra»e«6.1) a K, rzyrówuj c je do zera bo kredyt ma by sªacoy). Mo» c stroami rzez q ozbywamy si 1/q stoj cego rzed awiasem kwadratowym, zatem wystarczy rzyrówa do zera wyra»eie stoj ce w awiasie kwadratowym. Przeksztaªcaj c je: 1 + q) b = b Kq ) l 1 + q) b ] = l b Kq l1 + q) = l b lb Kq) = l b lb Kq) l1 + q) 3
4 Poiewa» musimy sªaci caªkowit liczb rat, ale»y jako t liczb rzyj ajmiejsz liczb caªkowit wi ksz lub rów od wyzaczoej, czyli kredyt zostaie sªacoy gdy: l b lb Kq) =, 6.3) l1 + q) gdzie x ozacza ajmiejsz liczb caªkowit wi ksz lub rów x. Zauwa»my,»e sªacaj c kredyt asze zadªu»eie wobec baku maleje, a zatem malej tak»e aliczae odsetki od kredytu. Poiewa» ªacimy rówe raty, a comiesi cze odsetki s coraz miejsze, to a ocz tku sªaty kredytu, gªów cze± raty staowi odsetki i sªacamy jedyie maª cz ± kaitaªu. Wraz z uªywem czasu, roorcja si zmieia w ka»dej kolejej racie sªacay kaitaª staowi coraz wi ksz cz ±. Przykªad 6.5. Chcemy zaci g kredyt w wysoko±ci zª a zaku owego mieszkaia. Orocetowaie kredytu wyosi 6%. a) Jak rat b dziemy musieli ªaci co miesi c je±li chcemy sªaci kredyt w 20 lat. b) Jak dªugo b dziemy sªaca te kredyt, je±li co miesi c b dziemy ªaci zª a ile zª. Rozwi zaie: Zauwa»my,»e q = 6 = 0,005, atomiast K = a) W tym rzyadku = =. Podstawiaj c dae do wzoru 6.2) otrzymujemy 0,005 1,005) b = ,005) 1 = 1 074,65 b) Mo»emy ªatwo oliczy,»e Kq = 750. Rozwa»amy dwa rzyadki: Gdy b = 1 000, to odstawiaj c dae do wzoru 6.3) otrzymujemy: l l ) = = 277,95 = 278. l 1,005 Zatem kredyt sªacimy o 23 latach i dwóch miesi cach. Gdy b = 1 150, to odstawiaj c dae do wzoru 6.3) otrzymujemy: l l ) = = 211,74 = 212. l 1,005 Kredyt sªacimy o 17 latach i 8 miesi cach. Raty malej ce Baki oferuj tak»e mo»liwo± sªaty kredytu w ratach malej cych. Polegaj oe a tym,»e co miesi c sªacamy tak sam cz ± aszego zadªu»eia lus wszystkie aliczoe odsetki. Poiewa» kaitaª systematyczie maleje, odsetki aliczae od iego s coraz miejsze i raty tak»e malej. Korzystaj c z wrowadzoych ozacze«, w miesi cu i do zadªu»eia doliczae s odsetki w wysoko±ci qk i 1 i sªacamy rat w wysoko±ci b i teraz rata zmieia si w zale»o±ci od miesi ca i skªada si z aliczoych odsetek qk i 1, które sªacamy i cz ±ci kaitaªu K, czyli b i = qk i 1 + K. Zatem K i = K i 1 + qk i 1 b i = K i 1 + qk i 1 qk i 1 K = K i 1 K. Šatwo zauwa»y,»e K i 1 = K K i = K 1 i ) b i = qk i 1 + K q = K 1 i 1 ) + 1 ] 4 6.4)
5 Oczywiste jest,»e sªata kredytu ast i o ratach. Aby ustali wysoko± rat, musimy ajierw wyliczy jak cz ± kaitaªu b dziemy sªaca za ka»dym razem. Gdy wiemy ile rat b dziemy ªaci, jest to roste i liczy si dziel c kaitaª rzez liczb rat. Gdy chcemy ªaci raty ie wi ksze i» b, to musimy ustali wysoko± ajwi kszej raty ierwszej. Teraz mo»emy wyliczy liczb rat b = b 1 = K q + 1 ) = K 6.5) b qk któr rzyjdzie am zaªaci, a ast ie wysoko± dowolej raty. Przykªad 6.6. Rozwa»my te sam kredyt co w rzykªadzie 5. a) Policzmy, jaka b dzie wysoko± 1 i ostatiej raty, gdy b dziemy te kredyt sªaca rzez 20 lat? Jak b dzie rata zaªacoa o 10 latach, czyli o umerze i = 121? Która rata, jako ierwsza b dzie i»sza od 1 074,65, czyli od kiedy b dziemy ªaci raty miejsze i» rzy ratach rówych? b) Jak dªugo b dziemy sªaca kredyt gdy chcemy by ajwy»sza rata ie rzekraczaªa zª, a jak dªugo gdy ajwy»sza rata ma ie rzekracza zª. Jaka b dzie wysoko± ostatiej raty w ka»dym z tych dwóch rzyadków? Rozwi zaie: a) Zauwa»my,»e =, w zwi zku z tym K/ = 625. Korzystaj c ze wzoru 6.4) dla i = 1,, 121 otrzymujemy odowiedio: b 1 = , ) = ,005 b = ) = 628,13 b 121 = , ) + 1 ) = Pierwsza rata wyosi zª, ostatia 628,13 za± o 10 latach czyli 121 rata) zª. Policzmy teraz kiedy raty sta si miejsze i» b = 1 075,65. Poiewa» raty s malej ce wystarczy zale¹ ierwsz rat ie wi ksz i» b. Przeksztaªcamy wzór 6.4) i = 1 1 q b K 1 )] + 1 = ,65 0, ) ] + 1 = 87,112 St d wyika,»e ju» 98 rata b dzie i»sza i» wszystkie raty rzy sªacie kredytu ratami rówymi. Rzeczywi±cie, licz c wysoko± rat 97 i 98 otrzymujemy odowiedio zª i 1 071,88 zª. b) Tym razem skorzystamy ze wzoru 6.5). Zauwa»my,»e rzy ajwy»szej racie w wysoko±ci zª mamy b Kq = 250, atomiast gdy zdecydujemy si a ierwsz, ajwy»sz rat w wysoko±ci zª, to b Kq = 400. Šatwo teraz wyliczy liczb rat, otrzebych do sªaty kredytu dziel c wysoko± kredytu rzez obliczo wcze±iej liczb czyli rzez wielko± ojedyczej sªaty kaitaªu. Otrzymujemy, w rzyadku zª = 600, co ozacza,»e kredyt b dziemy sªaca 50 lat!! W rzyadku ierwszej raty w wysoko±ci zª dostajemy = 375, czyli kredyt b dziemy sªaca 31 lat i 3 miesi ce. Wielko± ostatiej raty b dzie, odowiedio 251,25 zª i 402 zª. Proouj orówa uzyskae tu wyiki z wyikami z rzykªadu 5. Zauwa»my,»e sªacaj c kredyt ratami malej cymi, w efekcie, zaªacimy bakowi miej odsetek. Z drugiej stroy, warto± iei dza sada iacja). W efekcie koszt kredytu rzy obu sosobach sªaty jest odoby. Czy zatem warto wybra raty malej ce? Czasem tak, czasem ie. Wszystko zale»y od iych czyików, a rzykªad mo»liwo±ci adªacaia/wcze±iejszej sªaty kredytu, obecej i rzewidywaej sytuacji asowej. 5
Czas trwania obligacji (duration)
Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoZatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi
Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E
Bardziej szczegółowoMaksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA FINANSOWA - PROCENT SKŁADANY 2. PROCENT SKŁADANY
2. PROCENT SŁADANY Zasada procetu składaego polega a tym, iż liczymy odsetki za day okres i doliczamy do kapitału podstawowego. Odsetki za astępy okres liczymy od powiększoej w te sposób podstawy. Czyli
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowonewss.pl Expander: Bilans kredytów we frankach
Listopadowi kredytobiorcy mogą już cieszyć się spadkiem raty, najwięcej tracą osoby, które zadłużyły się w sierpniu 2008 r. Rata kredytu we frankach na kwotę 300 tys. zł zaciągniętego w sierpniu 2008 r.
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowo5% na lokacie dla mikroprzedsiębiorców
5% na lokacie dla mikroprzedsiębiorców Autor: Agata Szymborska-Sutton, Anna Olesiejuk - Tax Care 14.08.2014. Portal finansowy IPO.pl Mimo niskich stóp procentowych przedsiębiorcy mogą znaleźć na rynku
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoIII. GOSPODARSTWA DOMOWE, RODZINY I GOSPODARSTWA ZBIOROWE
III. GOSPODARSTWA DOMOWE, RODZINY I GOSPODARSTWA ZBIOROWE 1. GOSPODARSTWA DOMOWE I RODZINY W województwie łódzkim w maju 2002 r. w skład gospodarstw domowych wchodziło 2587,9 tys. osób. Stanowiły one 99,0%
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoWartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości
Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoProcent składany wiadomości podstawowe
Procet składay wiadomości podstawowe Barbara Domysławska I Liceum Ogólokształcące w Olecku Procet prosty to rodzaj oprocetowaia polegający a tym, że odsetki doliczae do złożoego wkładu ie podlegają dalszemu
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoTabela oprocentowania produktów bankowych Banku Spółdzielczego w Starachowicach
Załącznik nr 1 do Uchwały nr 21/2014 Zarządu Banku Spółdzielczego w Starachowicach z dnia 25 kwiecień 2014 r. Tabela oprocentowania produktów bankowych Banku Spółdzielczego w Starachowicach obowiązuje
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoRzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoW zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,
2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna
Bardziej szczegółowoMateriał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi
Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoŹródła finansowania i ich koszt
Źódła fiasowaia i ich koszt Kapitalizacja i dyskoto: k K K0 (1 ) ; 1 ; k 0 k log k0 log 1 efektywa stopa pocetowa; 1 1 Stałe płatości (ety): ef m m ; K o K 1 (1 ) (pzy płatościach częstszych iż ocze) 1
Bardziej szczegółowoWYKRESY FUNKCJI NA CO DZIEŃ
TEMAT NUMERU 13 Adam Wojaczek WYKRESY FUNKCJI NA CO DZIEŃ W zreformowanych szkołach ponadgimnazjalnych kładziemy szczególny nacisk na praktyczne zastosowania matematyki. I bardzo dobrze! (Szkoda tylko,
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoStrategie zabezpieczaj ce
04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoKWIECIEŃ 2008 RYNEK WTÓRNY I RYNEK NAJMU MIESZKAŃ W WYBRANYCH MIASTACH POLSKI RYNEK WTÓRNY I RYNEK NAJMU MIESZKAŃ W WYBRANYCH MIASTACH POLSKI
RYNEK WTÓRNY I RYNEK NAJMU MIESZKAŃ RYNEK WTÓRNY I RYNEK NAJMU MIESZKAŃ KWIECIEŃ 2008 ANALIZA DANYCH OFERTOWYCH Z SERWISU GAZETADOM.PL Miesięczny przegląd rynku mieszkaniowego w wybranych miastach Polski
Bardziej szczegółowoRAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)
RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoREGULAMIN PRACY ZARZĄDU GDAŃSKIEJ ORGANIZACJI TURYSTYCZNEJ (GOT)
REGULAMIN PRACY ZARZĄDU GDAŃSKIEJ ORGANIZACJI TURYSTYCZNEJ (GOT) I. Postanowienia ogólne 1 1. Niniejszy Regulamin określa zasady oraz tryb działania Zarządu Gdańskiej Organizacji Turystycznej. 2. Podstawę
Bardziej szczegółowoFinansowy Barometr ING
Finansowy Barometr ING Międzynarodowe badanie ING na temat postaw i zachowań konsumentów wobec bankowości mobilnej Wybrane wyniki badania przeprowadzonego dla Grupy ING przez IPSOS O badaniu Finansowy
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Chemiczny LABORATORIUM PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH PROJEKTOWANIE PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Chemiczny LABORATORIUM PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH PROJEKTOWANIE PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH Ludwik Synoradzki Jerzy Wisialski EKONOMIKA Zasada opłacalności Na początku każdego
Bardziej szczegółowoOr.0012.7.2015 P R O T O K Ó Ł Nr 7/15 z posiedzenia Komisji Rewizyjnej w dniu 2 czerwca 2015 r.
Or.0012.7.2015 P R O T O K Ó Ł Nr 7/15 z posiedzenia Komisji Rewizyjnej w dniu 2 czerwca 2015 r. 2 czerwca 2015 r. o godz. 11:00 w salce posiedzeń Urzędu Gminy Damasławek odbyło się posiedzenie Komisji
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoWst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych
Bardziej szczegółowoOprocentowanie konta 0,10%
KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego
Bardziej szczegółowoRozpoczęcie działalności gospodarczej (cz. 6) - Rachunek bankowy dla firmy
Rozpoczęcie działalności gospodarczej (cz. 6) - Rachunek bankowy dla firmy Rachunek bankowy wymagany jest przez służby skarbowe do rozliczania podatku. Współczesny przedsiębiorca - niezależnie od tego,
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoStowarzyszenie działa na podstawie ustawy Prawo o stowarzyszeniach (Dz.U. 1989, Nr 20, poz. 104 z późn. zm.) oraz niniejszego statutu.
STATUT STOWARZYSZENIA Rozdział I Postanowienia ogólne 1 Stowarzyszenie o nazwie Stowarzyszenie Prawa Konkurencji", zwane dalej, Stowarzyszeniem", jest dobrowolnym, samorządnym, trwałym zrzeszeniem. 2 Stowarzyszenie
Bardziej szczegółowoZałącznik Nr 2 do Uchwały Nr 161/2012 Rady Miejskiej w Jastrowiu z dnia 20 grudnia 2012
Załącznik Nr 2 do Uchwały Nr 161/2012 Rady Miejskiej w Jastrowiu z dnia 20 grudnia 2012 Objaśnienia przyjętych wartości do Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy i Miasta Jastrowie na lata 2013-2028 1.
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoI. LOKATY ZŁOTOWE ZAŁOŻONE W GETIN BANKU - OBOWIĄZUJE OD 1.05.2015. Lokaty terminowe i internetowe lokaty terminowe o stałym oprocentowaniu
Wykaz stawek oprocentowania odnawiających się lokat wycofanych z oferty założonych w Getin Banku, Get Banku, Wschodnim Banku Cukrownictwa, Banku Przemysłowym i poprzez Bankowość Elektroniczną Getin Noble
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoKrótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42
Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Anna Salata 0 1. Zaproponowanie strategii zarządzania środkami pieniężnymi. Celem zarządzania środkami pieniężnymi jest wyznaczenie
Bardziej szczegółowoInformacja. Nr 56. Wydatki budżetu państwa w 1992 r. na cele związane z budownictwem i gospodarką mieszkaniami. Małgorzata Wiśnicka-Hińcza
KANCELARIA SEJMU BIURO STUDIÓW I EKSPERTYZ WYDZIAŁ ANALIZ EKONOMICZNYCH I SPOŁECZNYCH Wydatki budżetu państwa w 1992 r. na cele związane z budownictwem i gospodarką mieszkaniami Lipiec 1992 Małgorzata
Bardziej szczegółowoS k = R 1 q k + R 2 q k R k 1 q 2 + R k q.
Matematyka nansowa - 5. Strumienie pªatno±ci: renty I. Motywacja, oznaczenia, zaªo»enia Rent cz sto nazywa si dowolny strumie«pªatno±ci. Jednak dla nas rent b dzie strumie«pªatno±ci polegaj cy na wypªacaniu
Bardziej szczegółowoEugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej
Eugeniusz Gostomski Ryzyko stopy procentowej 1 Stopa procentowa Stopa procentowa jest ceną pieniądza i wyznacznikiem wartości pieniądza w czasie. Wpływa ona z jednej strony na koszt pozyskiwania przez
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego
Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY Rok szkolny 2012/2013 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 12 stron.
Bardziej szczegółowoStanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie konsumenckim
Prezes Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów Warszawa, 16 maja 2016 r. Stanowisko Rzecznika Finansowego i Prezesa Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów w sprawie interpretacji art. 49 ustawy o kredycie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OBLICZEŃ CHEMICZNYCH DLA MECHANIKÓW
PODSTAWY OBLICZEŃ CHEMICZNYCH DLA MECHANIKÓW Opracowanie: dr inż. Krystyna Moskwa, dr Wojciech Solarski 1. Termochemia. Każda reakcja chemiczna związana jest z wydzieleniem lub pochłonięciem energii, najczęściej
Bardziej szczegółowoKALKULACJA CZYNSZU DLA BUDYNKÓW MIESZKALNO-UśYTKOWYCH W PSZCZYNIE PRZY UL. KS. BISKUPA H. BEDNORZA 10,12, 14,16, 18 I 20
ptbssp. z o.o. 43 200 Pszczyna ul. Jana Kilińskiego 5a KALKULACJA CZYNSZU DLA BUDYNKÓW MIESZKALNO-UśYTKOWYCH W PSZCZYNIE PRZY UL. KS. BISKUPA H. BEDNORZA 10,12, 14,16, 18 I 20 NA MOMENT ODDANIA BUDYNKÓW
Bardziej szczegółowoPrzykład Zbiór {0, 2} jest podgrup grupy Z 4, bo elementem odwrotnym do liczby 2 jest ta sama liczba ((2 + 2)mod4 = 0).
Uzuełieia do rozdz. I Zbiór izometrii rzekształcajcych day rostokt ABCD, który ie jest kwadratem a siebie z działaiem składaia rzekształce jest gru abelow. Zbiór rozatrywaych izometrii składa si z elemetów:
Bardziej szczegółowoJak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach.
Jak usprawnić procesy controllingowe w Firmie? Jak nadać im szerszy kontekst? Nowe zastosowania naszych rozwiązań na przykładach. 1 PROJEKTY KOSZTOWE 2 PROJEKTY PRZYCHODOWE 3 PODZIAŁ PROJEKTÓW ZE WZGLĘDU
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoUCHWAŁA NR XXII/181/12 RADY GMINY BRANICE. z dnia 13 sierpnia 2012 r.
UCHWAŁA NR XXII/181/12 RADY GMINY BRANICE w sprawie wysokości i zasad ustalania dotacji celowej dla podmiotów prowadzących żłobki lub kluby dziecięce na terenie Gminy Branice Na podstawie art. 18 ust.
Bardziej szczegółowoObjaśnienia wartości, przyjętych do Projektu Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Golina na lata 2012-2015
Załącznik Nr 2 do Uchwały Nr XIX/75/2011 Rady Miejskiej w Golinie z dnia 29 grudnia 2011 r. Objaśnienia wartości, przyjętych do Projektu Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Golina na lata 2012-2015
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Bardziej szczegółowoWartość brutto Miesięczna rata leasingowa 34... Cena brutto. Podatek VAT
Szpital Specjalistyczny im. Ludwika Rydygiera w Krakowie Sp. z o.o. z siedzibą w Krakowie, os. Złotej Jesieni 1, 31-826 Kraków Dział Zamówień Publicznych i Zaopatrzenia Kraków, 3 października 2014 r. DZPiZ
Bardziej szczegółowoGRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU
GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU Warszawa 27 lutego 2007 SKONSOLIDOWANE RACHUNKI ZYSKÓW I STRAT
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoSTOWARZYSZENIE LOKALNA GRUPA DZIAŁANIA JURAJSKA KRAINA REGULAMIN ZARZĄDU. ROZDZIAŁ I Postanowienia ogólne
Załącznik do uchwały Walnego Zebrania Członków z dnia 28 grudnia 2015 roku STOWARZYSZENIE LOKALNA GRUPA DZIAŁANIA JURAJSKA KRAINA REGULAMIN ZARZĄDU ROZDZIAŁ I Postanowienia ogólne 1 1. Zarząd Stowarzyszenia
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 4 FORMULARZ INFORMACJI PRZEDSTAWIANYCH PRZY UBIEGANIU SIĘ O POMOC DE MINIMIS........................
Załącznik nr 4 FORMULARZ INFORMACJI PRZEDSTAWIANYCH PRZY UBIEGANIU SIĘ O POMOC DE MINIMIS A. Informacje dotyczące wnioskodawcy 1. Imię i nazwisko albo nazwa 2. Adres miejsca zamieszkania albo adres siedziby
Bardziej szczegółowoAkademia Rodzinnych Finansów
Akademia Rodzinnych Finansów Program edukacyjny zainicjowany przez Provident Polska w drugiej połowie 2007 roku. Ma na celu szerzenie wiedzy, rozwijanie umiejętności i kształtowanie pozytywnych nawyków
Bardziej szczegółowoSprawozdanie z walnego zgromadzenia akcjonariuszy spółki z portfela. Spółka: Ciech SA. Rodzaj walnego zgromadzenia: Nadzwyczajne
Sprawozdanie z walnego zgromadzenia akcjonariuszy spółki z portfela Spółka: Ciech SA Rodzaj walnego zgromadzenia: Nadzwyczajne Data walnego zgromadzenia: 7 lipca 2014 roku Uchwały podjęte przez W Liczba
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoSantander Consumer Bank S.A.
Santander Consumer Bank S.A. Stosowane stawki oprocentowania środków na rachunkach bankowych - depozyty; terminy kapitalizacji odsetek Aktualna oferta depozytowa Banku LOKATA DIRECT+ Oprocentowanie, wg
Bardziej szczegółowoRodziny zastępcze spokrewnione Rodziny zastępcze niezawodowe Rodziny zastępcze zawodowe Rodzinny dom dziecka Rodziny pomocowe.
Organ sporządzający sprawozdanie Powiat: UM M. Rybnik Adres: 44-2 Rybnik Żużlowa 25 Sprawozdanie rzeczowo-finansowe z wykonywania przez powiat zadań z zakresu wspierania rodziny i systemu pieczy zastępczej
Bardziej szczegółowoDANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja IV
DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja IV Stopa procentowa Wszelkie prawa zastrze one. Kopiowanie i rozpowszechnianie ca ci lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek
Bardziej szczegółowoREGULAMIN ZARZĄDU Stowarzyszenia Dolina Karpia
REGULAMIN ZARZĄDU Stowarzyszenia Dolina Karpia l. 1. Zarząd Stowarzyszenia jest organem wykonawczo zarządzającym Stowarzyszenia i działa na podstawie statutu, uchwał Walnego Zebrania Członków oraz niniejszego
Bardziej szczegółowo