Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów

Transkrypt

1 Różniczkowalna zależność 1 Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów Rozważmy zagadnienie początkowe x =f(t,x,p) (1) x()=ξ. Funkcjafjestokreślonanazbiorze(a,b) R S,gdzieRjestwnętrzem prostopadłościanuwr n,zaśsjestotwartympodzbiorem R m,iprzyjmuje wartościzr n. Oznaczmyf=col(f 1,...,f n ),x=col(x 1,...,x n ),ξ=col(ξ 1,...,ξ n ), p=col(p 1,...,p m ). O funkcji f zakładamy, że jest ciągła wraz z pochodnymi cząstkowymi f i / x j i f i / p k na(a,b) R S. Oznaczmy przez t ϕ(t;, ξ, p) rozwiązanie zagadnienia początkowego (1). Interesować nas będzie w bieżącym rozdziale różniczkowalna zależność odwzorowaniaϕ=col(ϕ 1,...,ϕ n )odargumentów.rzeczjasna,pochodna ϕpotjestrównawartościfwodpowiednimpunkcie. Oznaczmy przez Φ pochodną ϕ po zespole zmiennych ξ. Jest to funkcja owartościachbędącychmacierzamin n,φ ij = ϕ i / ξ j. Szukamy macierzowego równania różniczkowego, które powinno być spełniane przez Φ. Zauważmy, że zachodzą następujące tożsamości ϕ (t;,ξ,p)=f(t,ϕ(t;,ξ,p),p) (2) ϕ(;,ξ,p)=ξ, gdzie oznaczapochodnąpot.zróżniczkujmypierwsząztożsamości(2)po ξ, zmieńmy po lewej stronie kolejność różniczkowania i zastosujmy po prawej stronie twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Otrzymamy wtedy gdzie Φ (t;,ξ,p)=j(t,ϕ(t;,ξ,p),p)φ(t;,ξ,p), J ij = f i x j. Dalej, różniczkując drugą z tożsamości(2) po ξ otrzymujemy Φ(t 0 ;,ξ,p)=i,

2 2 Skompilował Janusz Mierczyński gdzie I oznacza macierz jednostkową. Funkcjat Φ( ;,ξ,p)powinnawięcbyćrozwiązaniemliniowegojednorodnego macierzowego równania różniczkowego X =J(t,ϕ(t;,ξ,p),p)X (zwanego równaniem w wariacjach), spełniającym warunek początkowy X()=I. Oznaczmy przez Ψ pochodną ϕ po zespole zmiennych p. Jest to funkcja owartościachbędącychmacierzamin m,ψ ik = ϕ i / p k. Zróżniczkujmy pierwszą z tożsamości(2) po p, zmieńmy po lewej stronie kolejność różniczkowania i zastosujmy po prawej stronie twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Otrzymamy wtedy gdzie Ψ (t;,ξ,p)=j(t,ϕ(t;,ξ,p),p)ψ(t;,ξ,p)+g(t,ϕ(t;,ξ,p),p), G ik = f i p k. Dalej, różniczkując drugą z tożsamości(2) po p otrzymujemy Ψ(;,ξ,p)=0. Funkcja t Ψ( ;, ξ, p) powinna zatem być rozwiązaniem liniowego niejednorodnego macierzowego równania różniczkowego Y =J(t,ϕ(t;,ξ,p),p)Y+G(t,ϕ(t;,ξ,ξ),p) z zerowym warunkiem początkowym. Wreszcie,oznaczmyprzezηpochodnąϕpozmiennej.Jestton-wymiarowy wektor kolumnowy. Zróżniczkujmy pierwszą z tożsamości(2) po, zmieńmy po lewej stronie kolejność różniczkowania i zastosujmy po prawej stronie twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. Otrzymamy wtedy η (t;,ξ,p)=j(t,ϕ(t;,ξ,p),p)η(t;,ξ,p). Dalej, różniczkując drugą z tożsamości(2) po otrzymujemy f(,ξ,p)+η(;,ξ,p)=0.

3 Różniczkowalna zależność 3 Funkcja η( ;, ξ, p) powinna więc być rozwiązaniem liniowego jednorodnego wektorowego równania różniczkowego spełniającym warunek początkowy y =J(t,ϕ(t;,ξ,p),p)y y()= f(,ξ,p). W szczególności, zauważmy następujący związek między pochodną po ξ ipochodnąpo: η(t;,ξ,p)= Ψ(t;,ξ,p)f(,ξ,p). Powyższe rozważania były czysto formalne: różniczkowaliśmy odwzorowanie ϕ po różnych zmiennych, stosowaliśmy twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej, zmienialiśmy kolejność różniczkowania, nie troszcząc się, czy jest to uprawnione. Okazuje się, że można wykonywać takie operacje przy naturalnych założeniach, co jest treścią następującego twierdzenia: Twierdzenie 1.Załóżmy,żefunkcjawektorowaf = f(t,x,p):(a,b) R S R n,gdzier=(c 1,d 1 ) (c n,d n ), a<b, c i <d i isjestotwartympodzbiorem R m,jestciągławraz zpochodnymicząstkowymi f/ x =: J i f/ p =: G.Oznaczmyprzez ϕ( ;, ξ, p) nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego x =f(t,x,p) (3) x()=ξ. Wówczas (i)dziedzinaodwzorowania(t,,ξ,p) ϕ(t;,ξ,p)jestotwartympodzbiorem(a,b) (a,b) R Szawierającymzbiór{(,): (a,b)} R S. (ii) Odwzorowanie ϕ jest różniczkowalne w sposób ciągły względem wszystkichzmiennycht,,ξ,p(oznaczmyφ:= ϕ/ ξ,ψ:= ϕ/ pi η:= ϕ/ ). (iii) Pochodne mieszane drugiego rzędu są ciągłe. 2 ϕ t ξ, 2 ϕ t p i 2 ϕ t

4 4 Skompilował Janusz Mierczyński (iv)ustalmy(,ξ,p) (a,b) R S,ioznaczmyprzez(α,β)dziedzinę nieprzedłużalnego rozwiązania ϕ( ;, ξ, p). Wówczas: (a)odwzorowanie(α,β) t Φ(t,,ξ,p) R n n spełniamacierzowe równanie różniczkowe liniowe jednorodne X =J(t,ϕ(t;,ξ,p),p)X (tzw. równanie w wariacjach), z warunkiem początkowym X()=I. (b)odwzorowanie(α,β) t Ψ(t,,ξ,p) R n m spełniamacierzowe równanie różniczkowe liniowe niejednorodne Y =J(t,ϕ(t;,ξ,p),p)Y+G(t,ϕ(t;,ξ,p),p) z warunkiem początkowym Y()=0. (c)odwzorowanie(α,β) t η(t,,ξ,p) R n spełniawektorowe równanie różniczkowe liniowe jednorodne z warunkiem początkowym y =J(t,ϕ(t;,ξ,p),p)y y()= f(,ξ,p). Naszkicujemy teraz dowód szczególnej postaci powyższego twierdzenia. Po pierwsze, zakładamy, że n = 1, po drugie, rozpatrujemy tylko zależność od wartości początkowej. Rozpatrujemy zatem równanie różniczkowe x =f(t,x) z warunkiem początkowym x()=ξ. Niech ϕ:(α, β) R oznacza nieprzedłużalne rozwiązanie powyższego zagadnieniapoczątkowego.ustalmyθ>0takie,że[ θ,+θ] (α,β). Ustalmydalej c< dtakie,że

5 Różniczkowalna zależność 5 prostokątk:=[ θ,+θ] [ c, d]jestzawartywdziedziniefunkcji f,oraz ϕ(t) ( c, d)dlakażdegot [ θ,+θ]. Połóżmy L:= { } f x (t,x) :(t,x) K, iustalmyd>0takie,żezbiór{(t,x):t [ θ,+θ], x ϕ(t) D} jestzawartywzbiorze[ θ,+θ] ( c, d). Odtądażdokońcadowoduprzyjmujemy,żeh Rspełnia h De Lθ. 1.Niechϕ h oznaczanieprzedłużalnerozwiązanierównaniaróżniczkowego x =f(t,x)zwarunkiempoczątkowymx()=ξ+h.twierdzimy,że przedział[ θ,+θ]należydodziedzinyrozwiązaniaϕ h ( ). Istotnie, załóżmy nie wprost, że tak nie jest. Oznacza to, że dla pewnego histniejetakies (,+θ),żeϕ h (t) / [c,d]dlawszystkicht (s,+θ]zdziedzinyrozwiązaniaϕ h,lubistniejetakies ( θ,), żeϕ h (t)/ [c,d]dlawszystkicht [ θ,s)zdziedzinyrozwiązaniaϕ h (patrz Twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań). Załóżmy, dla ustalenia uwagi,żespełnionyjestpierwszywarunek.oznaczmyprzezt 1 kres dolnytycht (,+θ],dlaktórychϕ h (t)/ [c,d].zatemϕ h (t) [ c, d] dlawszystkicht [,θ],orazϕ h (t 1 )= clubϕ h (t 1 )= d.zauważmy,że oraz ϕ(t)=ξ+ ϕ h (t)=ξ+h+ f(s,ϕ(s))ds f(s,ϕ h (s))ds, dlatnależącychdoprzekrojudziedzinϕ( )iϕ h ( ).Oznaczającu(t):= ϕ h (t) ϕ(t),otrzymujemy u(t) h +L u(s)ds dlawszystkicht [,t 1 ]. ZnierównościGronwallawynika,że ϕ h (t 1 ) ϕ(t 1 ) De Lθ e L(t 1 ) < D,coprzeczytemu,żeϕ h (t 1 )= clubϕ h (t 1 )= d.

6 6 Skompilował Janusz Mierczyński 2. Stosując nierówność Gronwalla do funkcji u( ) na całym przedziale[ θ,+θ]otrzymujemy,że (4) ϕ h (t) ϕ(t) h e Lθ dlawszystkicht [ θ,+θ]. Zauważmy, że z(4) wynika ciągła(a nawet lipschitzowska) zależność rozwiązaniana[ θ,+θ]odwarunkupoczątkowego. Zachodzi ϕ h (t) ϕ(t) h =1+ 1 h (f(s,ϕ h (s)) f(s,ϕ(s))ds, t [ θ,+θ]. Zapiszmy powyższą równość w postaci gdzie g h (t):= ψ h (t)= g h (s)ψ h (s)ds, t [ θ,+θ], ψ h (t):= ϕ h(t) ϕ(t), t [ θ,+θ], h f x (t,ϕ(t)+ϑ (ϕ h(t) ϕ(t))dϑ, t [ θ,+θ]. Wnioskiem z nierówności(4) jest, że ψ h (t) e Lθ dlawszystkich h De Lθ,jednostajniepot [ θ,+θ]. 3. Oznaczmy g(t):= f (t,ϕ(t)), t [ θ,+θ]. x Zdefinicjifunkcjig h ig,ztego,że f/ xjestciągłaorazzfaktu,że ϕ h ϕ,wynika,iżfunkcjeg h teżdążąjednostajniena[ θ,+θ]do funkcji g. 4. Wykażemy teraz, że istnieje jednostajna granica, przy h 0, rodziny funkcjiψ h.abytozrobić,wykażemynajpierw,żejeśliciągh k 0przy k,tociągfunkcji(ψ hk ) k=1jestciągiemcauchy ego(wprzestrzenimetrycznejc([ θ,+θ],r)),zatemjestzbieżny.dowódtego,że

7 Różniczkowalna zależność 7 rozpatrując różne ciągi otrzymamy zawsze tę samą granicę, jest standardowy. Ustalmyh k,h l,izapiszmyψ 1 :=ψ hk,ψ 2 :=ψ hl,g 1 :=g hk,g 2 :=g hl. Zachodzi oczywista równość ψ 2 (t) ψ 1 (t)= (g 2 (s) g 1 (s))ψ 2 (s)ds+ g 1 (s)(ψ 2 (s) ψ 1 (s))ds. Oznaczmyv(t):= ψ 2 (t) ψ 1 (t).wykorzystując(4)istandardowe nierówności otrzymujemy v(t) g 2 (s) g 1 (s) ψ 2 (s) ds + g 1 (s) v(s)ds θe Lθ sup{ g 2 (t) g 1 (t) :t [ θ,+θ]}+l v(s)ds. Nierówność Gronwalla daje nam, że v(t) θe 2Lθ sup{ g 2 (t) g 1 (t) :t [ θ,+θ]}. 5. Oznaczmy otrzymaną w poprzednim punkcie jednostajną granicę funkcjiψ h przezψ.jednostajnazbieżnośćoznacza,żedlakażdegoε>0 istniejeδ>0otejwłasności,żejeśli h <δto ψ h (t) ψ(t) <εdla każdegot [ θ,+θ].zatemdlakażdegoustalonegot [ θ,+θ] zachodzi ϕ h h (t) =ψ(t). h=0 6. Pozostaje nam tylko wykazać, że ψ( ) spełnia odpowiednie równanie w wariacjach. Istotnie, zapiszmy ψ h (t)=1+ g(s)ψ(s) ds+ (g h (s) g(s))ψ(s)ds+ g h (s)(ψ h (s) ψ(s))ds. Jakoże ψ(t) e Lθ i g h (t) Ldlawszystkicht [ θ,+θ]i wszystkich h De Lθ,drugaitrzeciacałkapoprawejstroniedążą dozeraprzyh 0,zatemzachodzi ψ(t)=1+ g(s)ψ(s)ds, t [ θ,+θ].

8 8 Skompilował Janusz Mierczyński Inny dowód powyższego twierdzenia można znaleźć w książce: W. Walter, Ordinary differential equations, Springer-Verlag, New York, 1998, str : korzysta się tam z pewnej modyfikacji metody kolejnych przybliżeń. Twierdzenie 1 ma odpowiednik dla różniczkowalności wyższych rzędów: Twierdzenie2.Załóżmy,żefunkcjawektorowaf=f(t,x,p):(a,b) R S R n,gdzier=(c 1,d 1 ) (c n,d n ), a<b, c i <d i isjestotwartympodzbiorem R m,jestciągławrazzpochodnymi cząstkowymi względem zmiennych x i p do rzędu l włącznie. Oznaczmy przez ϕ( ;, ξ, p) nieprzedłużalne rozwiązanie zagadnienia początkowego (5) Wówczas x =f(t,x,p) x()=ξ. (i) Odwzorowanie ϕ jest l-krotnie różniczkowalne w sposób ciągły względem wszystkichzmiennycht,,ξ,p;cowięcej (ii) Pochodne mieszane(l + 1)-go rzędu l+1 ϕ t l 1 ξ l 2, p l 3 gdziel 1 +l 2 +l 3 =l,sąciągłe,orazspełniająodpowiedniezagadnienia początkowe dla(macierzowych) równań różniczkowych liniowych powstałe przez formalne różniczkowanie zagadnienia(5).