Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
|
|
- Ludwika Osińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y. Funkcja f : X R przyjmuje w punkcie a D f, je»eli istnieje δ > 0 taka,»e dla ka»dego x D f : d(x, a) < δ f(x) f(a) i nazywamy je minimum lokalnym; d(x, a) < δ f(x) f(a) i nazywamy je maksimum lokalnym; d(x, a) < δ f(x) > f(a) i nazywamy je ±cisªym minimum lokalnym; d(x, a) < δ f(x) < f(a) i nazywamy je ±cisªym maksimum lokalnym. Minimum nazywamy globalnym, gdy f osi ga w a kres dolny warto±ci, a maksimum globalnym, gdy osi ga w a kres górny warto±ci. Twierdzenie 1. (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Je±li f : R n R ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne i jest w tym punkcie ró»niczkowalna to wszystkie pochodne cz stkowe tej funkcji w tym punkcie s równe zero, a co za tym idzie tak»e pochodna Df(x 0 ) jest równa zero. Taki punkt x 0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f. Punkt x 0 nazywamy punktem krytycznym, je»eli f nie jest w nim ró»niczkowalna albo jest w tym punkcie ró»niczkowalna i pochodna jest równa zero. Twierdzenie 2. Niech x i, i = 1, 2,..., k b d punktami stacjonarnymi funkcji f : R n R. Wtedy: a) je±li D 2 f(x i ) okre±la form kwadratow dodatnio okre±lon, to f ma min lokalne w x i, b) je±li D 2 f(x i ) okre±la form kwadratow ujemnie okre±lon, to f ma max lokalne w x i, c) je±li ta forma jest nieokre±lona, to f nie ma ekstremum w x i. 1
2 Zadanie 1. Korzystaj c z powy»szego twierdzenia znale¹ ekstrema podanych funkcji: a) f(x, y) = x 2 + y 2, b) f(x, y) = x 2 y 2, c) f(x, y) = x 2 + y 3, d) f(x, y) = x 2 + y 4, e) f(x, y) = x 2, f) f(x, y) = 1 x 2 + y 2. Twierdzenie 3 (Sylvestera). Niech f : R n R. Oznaczamy wyznaczniki od W 1 do W n, a 11 a a 1k a 21 a a 2k gdzie W k =....., a ij (x) = 2 f. x i x j (x), 1 k n. a k1 a k2... a kk i) macierz A(P ) = [a ij (P )] nxn jest dodatnio okre±lona, gdy W i (P ) > 0, 1 i n. ii) macierz A(P ) = [a ij (P )] nxn jest ujemnie okre±lona, gdy W i (P ) < 0, 1 i = 2k + 1 n oraz W i (P ) > 0, 1 i = 2k n. iii) w pozostaªych przypadkach macierz jest nieokre±lona. Wniosek 1. Niech f : U R klasy C 2, U R 2, P U. Je±li: 2 f (P ) 2 f x i) f(p ) = 0 oraz W 2 (P ) = 2 x y (P ) 2 f y x (P ) 2 f (P ) > 0 y 2 to f ma w punkcie P ekstremum lokalne. Je»eli a) W 1 (P ) = 2 f x 2 (P )>0 to jest to minimum lokalne, b) W 1 (P ) = 2 f x 2 (P )<0 to jest to maksimum lokalne. ii) W 2 (P ) < 0 to f nie ma ekstremum w P, iii) W 2 (P ) = 0 to kryterium nie rozstrzyga, czy f ma ekstremum w P. Zadanie 2. Znale¹ ekstrema lokalne podanych funkcji: a) f(x, y) = x 8 y 4, b) f(x, y) = xy, c) f(x, y) = (2x + y 2 )e x, d) f(x, y) = 3(x 1) 2 + 4(y + 2) 2, e) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy, f) f(x, y) = x 3 + 3xy 2 51x 24y, g) f(x, y) = e (x2 +y 2 +2x), h) f(x, y) = 2x 4 3y 7, i) f(x, y) = 2 3x 2 + 4y 2, j) f(x, y) = (x y + 1) 2 + (2x + y 4) 2. Punkty krytyczne: a) (0, 0), b) (0, 0), c) ( 1, 0), d) (1, 2), e) (0, 0), (1, 1), f) ( 4, 1), ( 1, 4), (1, 4), (4, 1), g) ( 1, 0), h) (0, 0), j)(1, 2). Zadanie 3. Znale¹ ekstrema lokalne podanych funkcji: a) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy 3x + 2z, b) f(x, y, z) = y 3 + z 3 x 2 + 3y 2 6z 2, c) f(x, y, z) = 2x 2 + y 2 + z 2 + 3yz + z, 2
3 d) f(x, y, z) = x 3 + xy + y 2 2xz + 2z 2 + 3y 1, e) f(x, y, z) = x 4 y 3 + 2z 3 2x 2 + 6y 2 3z 2, f) f(x, y, z) = x 2 + y 3 xz. Punkty krytyczne: a) (2, 1, 1), b) (0, 0, 0), (0, 2, 0), (4, 0, 0), (4, 2, 0), c) (0, 0.6, 0.4), d) ( 0.5, 1.25, 0.25), (1, 2, 0.5), e) (0, 0, 0), (0, 0, ±1), (0, 4, 0), (0, 4, ±1), (1, 0, 0), (1, 0, ±1), (1, 4, 0), (1, 4, ±1), f) (0, 0, 0). Zadanie 4. Znale¹ najmniejsze i najwi ksze warto±ci podanych funkcji na wskazanych zbiorach: a) f(x, y) = xy, x + y = 0, b) f(x, y) = (x + y) 2, x + y = 1, c) f(x, y) = x 2 + y 2, x + y 2, d) f(x, y) = (x2 1)(y 2 1) x 2 +y 2 +2 R 2, e) f(x, y) = x 4 + y 4, x 2 + y 2 9, f) f(x, y) = x 2 2y 2, x 2 + y 2 36, g) f(x, y) = x 2 y 8x 4y, ((0, 0), (0, 4), (4, 0)), h) f(x, y) = xy 2 + 4xy 4x, 3 x 3, 3 y 0. Zadanie 5. Pudeªko zapaªek o obj to±ci V = 24cm 3 ma si skªada z ramki i szuadki. Jakie powinny by jego wymiary, aby zu»y jak najmniej kartonu? W obliczeniach pomin grubo± kartonu i zakªadki do sklejania. Zadanie 6. Firma produkuje 2 wyroby w cenach P 1 = 60, P 2 = 30 z wielko±ci produkcji Q 1, Q 2. Funkcja kosztów wygl da nast puj co: C(Q 1, Q 2 ) = 2Q Q 1Q 2 + 2Q 2 2. Znale¹ wielko± produkcji, przy której zysk b dzie najwi kszy. Zadanie 7. Na pªaszczy¹nie a) x + 2y = 3z + 6, b) x + 2y 2z + 3 = 0, c) Ax + By + Cz + D = 0 znale¹ punkt le» cy najbli»ej punktu A) (0, 0, 0), B) (1, 0, 0). 3
4 Twierdzenie 4. (metoda mno»ników Lagrange'a) Niech G R n b dzie zbiorem otwartym, f : G R klasy C 1, ϕ = (ϕ 1, ϕ 2,, ϕ m ) : G R m klasy C 1, 1 m < n oraz (1) f(x 0 ) 0, (2) rz[ϕ (x 0 )] = m, (3) rz[ϕ (x)] = m dla x O(x 0 ) Je±li f ma w punkcie x 0 ekstremum warunkowe (z warunkami ϕ(x) = 0) to istniej λ 1, λ 2,, λ m R (mno»niki Lagrange'a) takie,»e A) funkcja L : U R, L(x) = f(x) + m i=1 λ iϕ i (x) speªnia warunek L x i (x 0 ) = 0 dla i = 1, 2,, m. B) je±li dodatkowo f, ϕ s klasy C 2 oraz [d 2 L(x 0 )h > 0 / d 2 L(x 0 )h < 0] dla h 0 speªniaj cego warunek n ϕ i j=1 x j (x 0 )h j = 0, i = 1, 2,, m to f ma w x 0 lokalne [minimum / maksimum] warunkowe silne. Zadanie 8. Stosuj c metod mno»ników Lagrange'a znale¹ ekstrema warunkowe funkcji f (pod warunkiem g): a) f(x, y) = x + y, g(x, y) = 1 x y 2 1 a 2 = 0, a > 0, b) f(x, y) = 1 a x + 1 b y, g(x, y) = x2 + y 2 1 = 0, c) f(x, y) = xy 2, g(x, y) = x + y 1 = 0, d) f(x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = ax + by = ab, e) f(x, y) = x y, g(x, y) = tg(x) tg(y) = 0, x, y [ 0, π 2 ], f) f(x, y) = cos 2 (x) + cos 2 (y), g(x, y) = x y π 4 = 0, g) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, g(x, y, z) = x + y + z 1 = 0, h) f(x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = 1 x + 1 y + 1 z 1 = 0, i) f(x, y, z) = xyz, g(x, y, z) = x + y + z 1 = 0, j) f(x, y, z) = x + z 2, g(x, y, z) = x + y 2 z 2 = 1, k) f(x, y, z) = x + y + 2z, g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, l) f(x, y, z) = xy 3 z 3, g(x, y, z) = x + 2y + 3z a = 0, x, y, z, a > 0, m) f(x, y, z) = x + y + z, g(x, y, z) = (x 2 + y 2 1, x 2 + z 2 1) = (0, 0), n) f(x, y, z) = xyz, g(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 1, x + y + z) = (0, 0). 4
5 Twierdzenie 5. (o pochodnej funkcji zªo»onej) Niech f : G H b dzie odzworowaniem ró»niczkowalnym w punkcie x 0, a g : H R k odzworowaniem ró»niczkowalnym w punkcie y 0, y 0 = f(x 0 ), gdzie G = O(x 0 ) R m, H = O(y 0 ) R n. G x 0 f y 0 H g f g R k Wowczas odwzorowanie g f jest ró»niczkowalne w punkcie x 0 oraz zachodzi wzór: D(g f)(x 0 ) = D(g)(y 0 ) D(f)(x 0 ) = D(g)(f(x 0 )) D(f)(x 0 ). Zadanie 9. Obliczy pochodn zªo»enia w podanym punkcie: a) F : R 2 R, F (x 1, x 2 ) = x 2 1 x3 2, T : R R2, T (t) = x 0 + th, x 0 = [1, 2] T, h = [2, 3] T, t 0 = 0, b) F : R 3 R, F (x, y, z) = 1 + x + 2y z, T : R 2 R 3, T (x, y) = (2x, x + y, y 2 ), x 0 = [0, 0] T, c) F : R 4 R 3, F (x, y, z, u) = (xy, z + u, x), T : R 2 R 4, T (x, y) = (x, 2, y 2, x y), [0, 0] T. Twierdzenie 6. (o lokalnym odwracaniu odwzorowa«) Niech f : D R n, D R n klasy C 1, x 0 D i Df(x 0 ) jest odwracalna. Wtedy istniej otwarte otoczenia D U x 0 oraz V y 0 = f(x 0 ) takie,»e zaw»enie f : U V jest dyfeomorzmem klasy C 1. Wniosek 2. Je±li f : U V, U, V R n jest dyfeomorzmem to dla ka»dego x U, y = f(x) zachodzi wzór D(f 1 )(y) = [(Df)(x)] 1. Zadanie 10. Sprawdzi, czy odwzorowanie F : R n R n, n = 2, 3 jest lokalnie odwracalne w punkcie x 0 R n. Nast pnie wyznaczy pochodn odwzorowania odwrotnego F 1 w punkcie y 0 = F (x 0 ) oraz sprawdzi, czy F jest globalnie odwracalne: a) F (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2, x x2 2 ), x 0 = (1, 0), b) F (x 1, x 2 ) = (x x2 2, x 1 + x 2 ), x 0 = (1, 0), c) F (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 2, x2 1 + x 2), x 0 = (1, 1), d) F (x 1, x 2 ) = (e x 1+x 2, x 1 x 2 ), x 0 = (0, 0), e) F (x 1, x 2 ) = (x 4 1 x3 2, 2x2 1 5x2 2 ), x 0 = (1, 1), f) F (x 1, x 2 ) = (x 1 sin(x 2 ), x 1 x 2 ), x 0 = (1, π), g) F (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, x 1 cos(x 2 )), x 0 = (1, π 2 ), 5
6 h) F (x 1, x 2 ) = (3x 1 2x 2, x 1 + 4x 2 ), x 0 = (0, 0), i) F (x 1, x 2 ) = (x sin(x 1 x 2 ), x 1 cos(x 2 )), x 0 = (1, π), j) F (x 1, x 2 ) = (e x 1 cos(x 2 ), e x 1 sin(x 2 )), x 0 = (0, π), k) F (x 1, x 2 ) = (e 3x 1 x 2, x 1 2x 2 ), x 0 = (0, 0), l) F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 3x 2, e x 1 2x 2 ), x 0 = (0, 0), m) F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 + x 2 x 3, x 1 x 2, x 1 + x 2 + x 3 ), x 0 = (1, 1, 1). Denicja 2. Funkcj uwikªan okre±lon przez warunek F (x, y) = 0 nazywamy ka»d funkcj f = ϕ(x), speªniaj c równo± F (x, ϕ(x)) = 0 dla wszystkich x z pewnego przedziaªu I R. Podobnie okre±la si funkcj uwikªan x = ψ(y), gdzie y J R. Wówczas F x + F y y = 0 y = F x. F y Twierdzenie 7. (o funkcji uwikªanej) Niech U R n R m b dzie otwarty oraz f : U R m klasy C 1 taka,»e: (i) f(a, b) = 0 dla pewnego (a, b) U, [ (ii) det fi x j ]i=1,,n 0 j=n+1,n+2,,n+m Wówczas istniej zbiory otwarte V R n, W R m (a V, b W ) oraz funkcja g : V W taka,»e: a) x V f(x, g(x)) = 0, b) g C 1 (V ), c) x V punkt y = g(x) jest jedynym rozwi zaniem f(x, y) = 0 w zbiorze W. Twierdzenie 8. (o ekstremach funkcji uwikªanej) Niech f : U R, (x 0, y 0 ) U klasy C 2. Je±li: a) F (x 0, y 0 ) = 0, b) F x (x 0, y 0 ) = 0, F y (x 0, y 0 ) 0, c) A = 2 F x 2 (x 0,y 0 ) 0, F y (x 0,y 0 ) to funkcja uwikªana y = g(x) okre±lona przez równanie F (x, y) = 0 ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne wªa±ciwe, tzn: (I) minimum lokalne, gdy A > 0, 6
7 (II) maksium lokalne, gdy A < 0. Zadanie 11. Sprawdzi, w otoczeniu jakich punktów istnieje jednoznacznie okre±lona funkcja uwikªana: a) y = y(x) okre±lona przez F (x, y) = x 2 + 2xy y 2 = 0, b) x = x(y) okre±lona przez F (x, y) = x 2 + 2xy y 2 = 0, c) y = y(x) okre±lona przez F (x, y) = x cos(y) = 0, d) y = y(x) okre±lona przez F (x, y) = x 2 2 y 1 = 0, e) x = x(y) okre±lona przez F (x, y) = ln( x 2 + y 2 ) arctg ( y x) = 0, f) x = x(y) okre±lona przez F (x, y) = y x y + 1 = 0, g) z = z(x, y) okre±lona przez F (x, y, z) = xy + yz + zx = 0. Zadanie 12. Obliczy pierwsz (i drug ) pochodn funkcji uwikªanej y = y(x) okre±lonej: a) x 3 y xy 3 = a, a = const, b) xe y + ye x e xy = 0, c) x 2 y e 2y w punkcie e, gdy y(e) = 1, d) ye x + e y = 0, e) y 2 arctg(y) e y = 0, f) y sin(y) + x 2 = 0. Bibliograa: 1. J. Bana±, S. W drychowicz, Zbiór zada«z analizy matematycznej, WNT, Warszawa R. Duda, Wprowadzenie do topologii cz. I, PWN, Warszawa G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy (tom 1), PWN, Warszawa W. Krysicki, L. Wªodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. I i II, PWN, Warszawa F. Leja, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy ze wst pem do równa«ró»niczkowych, PWN, Warszawa W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa R. Rudnicki, Wykªady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowo1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych
1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 1.1 Wzór Taylora Niech O R N zbiór otwarty. Niech f : O R funkcja klasy C r (tzn. ró»niczkowalna r razy i r te pochodne s ci gªe). Niech x, x 0 O, h = x x 0,
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoSzkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoMatematyka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowych
Matematka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowch. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(, ) = ( 2 + 2 2 )e (2 + 2 ) Odp. Jedno minimum (w p. (, )),
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowo1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych
1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 1.1 Wzór Taylora Niech O R N zbiór otwarty. Niech f : O R funkcja klasy C r (tzn. ró»niczkowalna r razy i r te pochodne s ci gªe). Niech x, x 0 O, h = x x 0,
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych, ekstrema lokalne
Aktualizacja 11 grudnia 2018 1 AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do II kolokwium Ekstrema funkcji wielu zmiennych, ekstrema lokalne Standardowe typy zada«: Wyznaczanie punktów krytycznych
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowo