Wektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).

Transkrypt

1 Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

2 Wektor Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D). Cechy wektora: 1 warto± (dªugo± ) 2 kierunek (wyznaczony przez prost, na której le»y) 3 zwrot 4 punkt przyªo»enia Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

3 Prostok tny ukªad wspóªrz dnych Kartezjusza Wspóªrz dne kartezja«skie s odlegªo±ciami punktu od trzech wzajemnie prostopadªych pªaszczyzn prowadzonych przez ciaªo odniesienia. Kraw dzie ich przeci cia tworz osie wspóªrz dnych, a punkt wspólny stanowi pocz tek ukªadu. Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

4 r = x î + y ĵ + zˆk = [x, y, z] wersory: î = [1, 0, 0], ĵ = [0, 1, 0], ˆk = [0, 0, 1] - wektory jednostkowe (o dªugo±ci równej 1), skierowane zgodnie ze zwrotem osi wspóªrz dnych, x, y, z - wspóªrz dne wektora r, x î, y ĵ, zˆk - skªadowe wektora r Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

5 r = x î + y ĵ + zˆk = [x, y, z] wersory: î = [1, 0, 0], ĵ = [0, 1, 0], ˆk = [0, 0, 1] - wektory jednostkowe (o dªugo±ci równej 1), skierowane zgodnie ze zwrotem osi wspóªrz dnych, x, y, z - wspóªrz dne wektora r, x î, y ĵ, zˆk - skªadowe wektora r Dodawanie wektorów a + b = [a x, a y, a z ] + [b x, b y, b z ] = [a x + b x, a y + b y, a z + b z ] Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

6 r = x î + y ĵ + zˆk = [x, y, z] wersory: î = [1, 0, 0], ĵ = [0, 1, 0], ˆk = [0, 0, 1] - wektory jednostkowe (o dªugo±ci równej 1), skierowane zgodnie ze zwrotem osi wspóªrz dnych, x, y, z - wspóªrz dne wektora r, x î, y ĵ, zˆk - skªadowe wektora r Dodawanie wektorów a + b = [a x, a y, a z ] + [b x, b y, b z ] = [a x + b x, a y + b y, a z + b z ] Mno»enie wektora przez liczb k a = k [a x, a y, a z ] = [ka x, ka y, ka z ] Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

7 Dªugo± wektora r o wspóªrz dnych [x, y, z]: r r = x 2 + y 2 + z 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

8 Dªugo± wektora r o wspóªrz dnych [x, y, z]: r r = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 = c 2 r 2 = c 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

9 Iloczyn skalarny wektorów a = [a x, a y, a z ] i b = [b x, b y, b z ]: a b = a x b x + a y b y + a z b z r = r r oraz dla k ta α pomi dzy tymi wektorami: a b = ab cos α Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

10 Iloczyn wektorowy wektorów c = a b = î ĵ ˆk a x a y a z b x b y b z = [a y b z a z b y, a z b x a x b z, a x b y a y b x ] a i b, zale»ny od k ta α pomi dzy tymi wektorami: c = a b = ab sin α Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

11 Iloczyn wektorowy wektorów c = a b = î ĵ ˆk a x a y a z b x b y b z = [a y b z a z b y, a z b x a x b z, a x b y a y b x ] a i b, zale»ny od k ta α pomi dzy tymi wektorami: c = a b = ab sin α a b = b a î ĵ = ˆk ĵ ˆk = î ˆk î = ĵ Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

12 To»samo±ci wektorowe ( a b ) a ( b c ) = ( a c) ( ) b a b c ( ( c ) ( d = ( a c) b d ) a d) ( b c ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

13 To»samo±ci wektorowe ( a b ) a ( b c ) = ( a c) ( ) b a b c ( ( c ) ( d = ( a c) b d ) a d) ( b c ) Iloczyn mieszany - obj to± równolegªo±cianu rozpi tego na wektorach ( ) V = a b c = ( b ( c a) = c a ) a x a y a z b = b x b y b z c x c y c z Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

14 Pochodna funkcji f f (x + h) f (x) f (x + dx) f (x) (x) = lim = = dy h 0 h dx dx = tg α Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

15 Pochodna funkcji f f (x + h) f (x) f (x + dx) f (x) (x) = lim = = dy h 0 h dx dx = tg α [f (x) + g (x)] = f (x) + g (x) Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

16 Pochodna funkcji f f (x + h) f (x) f (x + dx) f (x) (x) = lim = = dy h 0 h dx dx = tg α [f (x) + g (x)] = f (x) + g (x) [af (x)] = af (x) Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

17 Pochodna funkcji f f (x + h) f (x) f (x + dx) f (x) (x) = lim = = dy h 0 h dx dx = tg α [f (x) + g (x)] = f (x) + g (x) [af (x)] = af (x) [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

18 Pochodna funkcji f f (x + h) f (x) f (x + dx) f (x) (x) = lim = = dy h 0 h dx dx = tg α [f (x) + g (x)] = f (x) + g (x) [af (x)] = af (x) [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [ ] f (x) = f (x) g (x) f (x) g (x) g (x) [g (x)] 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

19 Pochodna funkcji f f (x + h) f (x) f (x + dx) f (x) (x) = lim = = dy h 0 h dx dx = tg α [f (x) + g (x)] = f (x) + g (x) [af (x)] = af (x) [f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f (x) g (x) [ ] f (x) = f (x) g (x) f (x) g (x) g (x) [g (x)] 2 [f (g (x))] = f (g (x)) g (x) Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

20 C = 0 (x n ) = nx n 1, n 0 (ln x) = 1 x Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

21 C = 0 (x n ) = nx n 1, n 0 (ln x) = 1 x (sin x) = cos x (cos x) = sin x (e x ) = e x Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

22 Operator nabla [, x y, ] [ x, y, z ] z Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

23 Operator nabla [, x y, ] [ x, y, z ] z Gradient funkcji skalarnej ϕ wskazuje kierunek i zwrot najwi kszego przyrostu warto±ci funkcji ϕ. [ grad ϕ ϕ ϕ, ϕ, ϕ ] [ x ϕ, y ϕ, z ϕ] x y z Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

24 Operator nabla [, x y, ] [ x, y, z ] z Gradient funkcji skalarnej ϕ wskazuje kierunek i zwrot najwi kszego przyrostu warto±ci funkcji ϕ. [ grad ϕ ϕ ϕ, ϕ, ϕ ] [ x ϕ, y ϕ, z ϕ] x y z Laplasjan funkcji skalarnej ϕ reprezentuje g sto± strumienia wypªywu jej gradientu. 2 ϕ ϕ = 2 ϕ + 2 ϕ + 2 ϕ x 2 y 2 z 2 2 xxϕ + yyϕ 2 + zzϕ 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

25 Dywergencja pola wektorowego A mierzy g sto± powstawania lub zaniku pola A w danym punkcie. div A A = x A x + y A y + z A z Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

26 Dywergencja pola wektorowego A mierzy g sto± powstawania lub zaniku pola A w danym punkcie. div A A = x A x + y A y + z A z Rotacja pola wektorowego A wyra»a zmian jego kierunku w porównaniu z kierunkiem pola w s siednich punktach. Jej kierunek jest osi obrotu, a zwrot zgodny z reguª ±ruby prawoskr tnej. rot A A = î ĵ ˆk x y z A x A y A z = [ y A z z A y, z A x x A z, x A y y A x ] Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

27 Wspóªrz dne biegunowe [r, ϕ] (linowe x, y, r; k towa ϕ) { x = r cos ϕ y = r sin ϕ { r = x 2 + y 2 ϕ = arc tg y x Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

28 Wspóªrz dne biegunowe [r, ϕ] (linowe x, y, r; k towa ϕ) { x = r cos ϕ y = r sin ϕ { r = x 2 + y 2 ϕ = arc tg y x Reprezentacja wektora poªo»enia r poprzez liczb zespolon z z = x + iy = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r = r (iϕ) n = re iϕ, i 2 = 1 n! n=0 ( n=0 cos (n) 0 ϕ n + i n! n=0 ) sin (n) 0 ϕ n n! Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

29 Wspóªrz dne biegunowe [r, ϕ] (linowe x, y, r; k towa ϕ) { x = r cos ϕ y = r sin ϕ { r = x 2 + y 2 ϕ = arc tg y x Reprezentacja wektora poªo»enia r poprzez liczb zespolon z z = x + iy = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r = r (iϕ) n = re iϕ, i 2 = 1 n! n=0 ( n=0 cos (n) 0 ϕ n + i n! Rozwini cie funkcji f (x) klasy C w szereg Taylora 1 f (x) = n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n=0 n=0 ) sin (n) 0 ϕ n n! Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

30 Caªka nieoznaczona F (x) = f (x) f (x) dx = F (x) + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

31 Caªka nieoznaczona F (x) = f (x) f (x) dx = F (x) + C Caªka oznaczona b f (x) dx = F (x) b a = F (b) F (a) a Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

32 Caªka nieoznaczona F (x) = f (x) f (x) dx = F (x) + C Caªka oznaczona b f (x) dx = F (x) b a = F (b) F (a) a x n dx = 1 n + 1 x n+1 + C, n 1 dx x = ln x + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13

33 Caªka nieoznaczona F (x) = f (x) f (x) dx = F (x) + C Caªka oznaczona b f (x) dx = F (x) b a = F (b) F (a) a x n dx = 1 n + 1 x n+1 + C, n 1 dx x = ln x + C sin x dx = cos x + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Wykªad z Fizyki dla I roku WIL Kraków, / 13