I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

Transkrypt

1 I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ, gdzie β k t nachylenia siecznej do osi Ox Denicja 1. pochodnej f (x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) lim x 0 x o ile granica ta jest sko«czona. Pochodn oznaczamy równie» symbolem dy dx. Interpretacja geometryczna: f (x 0 ) = tgα, gdzie α k t nachylenia stycznej do osi Ox Równanie stycznej do krzywej y = f(x) w pkt. (x 0, f(x 0 )): y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) 1

2 Przykªad: PODSTAWOWE WZORY (f ± g) = f ± g (f g) = f g + f g ( ) f g = f g f g g (c) = 0 2 (c f) = c f (x r ) = rx r 1 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tgx) = 1 cos 2 x (ctgx) = 1 sin 2 x (a x ) = a x ln a (e x ) = e x (log a x) = 1 x 1 ln a (arcsin x) = 1 1 x 2 (ln x) = 1 x (arccos x) 1 = 1 x 2 (arctgx) = 1 1+x (arcctgx) = x 2 (sinh x) = cosh x (cosh x) = sinh x Przykªady: 2

3 Pochodn funkcji zªo»onej f(g(x)) wyznaczamy ze wzoru: Przykªady: (f(g(x))) = f (g(x)) g (x) Denicja 2. Funkcja f jest ró»niczkowalna w pkt. x 0 wtw, gdy istnieje staªa A taka,»e: y = A x + θ( x) gdzie θ( x) 0 gdy x 0 Twierdzenie 3. Funkcja f jest ró»niczkowalna w pkt. x 0 wtw, gdy istnieje pochodna w tym punkcie. Wtedy A = f (x 0 ). Mamy: y = f (x 0 ) x +θ( x). }{{} df Ró»niczk zupeªn df wykorzystujemy do oblicze«przybli»onych, czyli: y df f(x) f(x 0 ) + df Przykªad: 3

4 Twierdzenie 4. warunek konieczny ró»niczkowalno±ci funkcji. Je»eli funkcja jest ró»niczkowalna w pkt. x 0, to jest w tym punkcie ci gªa. Denicja 5. pochodnych wy»szych rz dów f (x) = (f (x)), czyli. f (n+1) (x) = (f (n) (x)), czyli Analogicznie deniujemy ró»niczki wy»szych rz dów: Przykªad: d 2 f = f (x) ( x) 2. d n f = f (n) (x) ( x) n d 2 f dx 2 = d ( ) df dx dx d n+1 f dx n+1 = d dx ( d n ) f dx n 4

5 Twierdzenie 6. [Rolle'a] Je»eli f jest ci gªa na < a, b >, ma pochodn na (a, b) i f(a) = f(b), to c (a,b) f (c) = 0 Twierdzenie 7. [Lagrange'a] Je»eli f jest ci gªa na < a, b > i ma pochodn na (a, b), to c (a,b) f (c) = f(b) f(a) b a Wnioski: f (x) = 0 dla x (a, b) f(x) staªa w (a, b) f (x) > 0 dla x (a, b) f(x) rosn ca w (a, b) f (x) < 0 dla x (a, b) f(x) malej ca w (a, b) 5

6 Ekstremum funkcji Denicja 8. Funkcja f ma w pkt. x 0 maksimum (minimum) lokalne, je»eli istnieje s siedztwo S(x 0, δ), takie»e dla ka»dego x S(x 0, δ) speªniona jest nierówno± : f(x) f(x 0 ) (f(x) f(x 0 )) Twierdzenie 9. [warunek konieczny istnienia ekstremum] Je»eli funkcja f ma w pkt. x 0 ekstremum i ma w tym punkcie pochodn, to f (x 0 ) = 0. Punkt zerowanie si pochodnej nazywamy punktem stacjonarnym. Wniosek: Funkcja mo»e mie ekstremum jedynie w tych punktach, w których pochodna nie istnieje albo jest równa 0. Twierdzenie 10. warunek wystarczaj cy istnienia ekstremum Je»eli funkcja f jest ci gªa w pkt. x 0 i posiada pochodn w S(x 0, δ) oraz f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ) to ma w x 0 minimum lokalne. Je»eli zachodz nieróno±ci: to funkcja ma w x 0 maksimum wªa±ciwe. Przykªad: f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ) 6

7 Wkl sªo±, wypukªo±, punkty przegi cia wykresu funkcji Denicja 11. Mówimy,»e funkcja f jest wypukªa w przedziale (a, b), gdy sieczna przechodz ca przez punkty (a, f(a)) i (b, f(b)) le»y nad wykresem funkcji f, wkl sªa w przedziale (a, b), gdy sieczna przechodz ca przez punkty (a, f(a)) i (b, f(b)) le»y pod wykresem funkcji f. Rysunek Twierdzenie 12. [warunki wystarczaj ce dla wypukªo±ci i wkl sªo±ci] Je»eli f (x) > 0 dla ka»dego x (a, b), to funkcja f jest wypukªa w przedziale (a, b), Je»eli f (x) < 0 dla ka»dego x (a, b), to funkcja f jest wkl sªa w przedziale (a, b). Dowód. 7

8 Denicja 13. [punktu przegi cia] Niech funkcja f jest okre±lona w Q(x 0, δ). Punkt (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegi cia wykresu funkcji f, gdy funkcja ta jest wypukªa w (x 0 δ, x 0 ) oraz wkl sªa w (x 0, x 0 +δ), albo odwrotnie. Twierdzenie 14. [warunek konieczny istnienia punktu przegi cia] Je»eli funkcja f speªnia warunki: (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegi cia, istnieje f (x 0 ), to f (x 0 ) = 0. Wniosek: Funkcja mo»e mie punkty przegi cia jedynie w punktach zerowania si jej pochodnej II rz du, albo w punktach, w których pochodna ta nie istnieje. Twierdzenie 15. [ I warunek wystarczaj cy istnienia punktu przegi cia] Je»eli funkcja f speªnia warunki: f ma pochodn w x 0, f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegi cia. Mog zachodzi nierówno±ci odwrotne do powy»szych. Zadanie. Twierdzenie 16. [reguªa de l'hospitala] Je»eli: 1. dziedziny funkcji f g i f g zawieraj pewne S(x 0, δ) 2. a) lim f(x) = lim g(x) = ± albo b) lim f(x) = lim g(x) = 0 3. istnieje granica lim f (x) g (x) f(x) to istnieje równie» granica lim g(x) f(x) lim g(x) = lim f (x) g (x). (wªa±ciwa lub niewªa±ciwa), i zachodzi równo± : 8

9 Twierdzenie powy»sze jest równie» prawdziwe dla granic jednostronnych i gdy x ±. Przykªady: Badanie funkcji 1. dziedzina funkcji 2. cechy szczególne: miejsca zerowe, parzysto±, nieparzysto±, okresowo±, itd. 3. asymptoty 4. badanie y 5. tabelka 6. wykres Przykªad: 9