1 wykªad (30 h) - nieobowi zkowy, ale... 2 wiczenia (30 h) - obowi zkowe, kartkówki, projekt (obrona) (50% oceny. egzam.),

Transkrypt

1 Wybrne Zgdnieni Fizyki Teoretycznej Elementy Teorii Ukªdów Dynmicznych dr hb. Jn Iwniszewski. Wst p Zkªd Mechniki Kwntowej Instytut Fizyki Uniwersytet Mikoªj Kopernik semestr zimowy 3/4 Informcje o wykªdzie ukªd dynmiczny ẋ f x, t lbo inczej opis wªsno±ci ukªdów wynikj cych z ich zle»no±ci od czsu tre± wykªdu Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego Ukªdy jedno-, dwu-, i wielo-wymirowe, Stny przej±ciowe i ustlone, Bifurkcje, Zburzeni losowe, Metody przybli»one, Rchunek wricyjny. Informcje o wykªdzie wrunki zliczeni wykªd 3 h - nieobowi zkowy, le... wiczeni 3 h - obowi zkowe, krtkówki, projekt obron 5% oceny egzm., 3 egzmin pisemny test dl II r., 5% oceny egzm. podr czniki J. M. T. Thompson, H. B. Stewrt, Nonliner Dynmics nd Chos, Wiley, S. H. Strogntz, Nonliner Dynmics nd Chos, Westview Press,, 3 H. D. I. Abrbnel, M. I. Rbinovich, M. M. Sushchik, Introduction to Nonliner Dynmics for Physicists 4 D. W. Jordn nd P. Smith - An introduction for Scientists nd Engineers, Oxford University Press Oscyltor hrmoniczny. Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego Njprostszym nietrywilnym ukªdem dynmicznym w zyce jest oscyltor hrmoniczny OH. Dokªdniej, OH jest modelem zycznym wielu rzeczywistych ukªdów lub pewnych przybli»e«ukªdów brdziej skomplikownych. Jego istotn cech jest to,»e brdzo wiele spektów dje si w tym modelu wyliczy nlitycznie. 5 Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 6

2 Ms n spr»ynie Jednowymirowy ruch msy m pod wpªywem siªy spr»ystej F spr kx, siªy trci F tr γv i niezle»nej od poªo»eni siªy wymuszj cej F wym F + F t np. F mg opisny jest II zsd dynmiki Newton: mẍ F osc + F t + F wym gdzie x jest wydªu»eniem skróceniem spr»yny w stosunku do jej dªugo±ci swobodnej, v ẋ to pr dko±, ẍ przyspieszenie msy. Ms n spr»ynie Po podstwieniu postci siª mmy: mẍ kx γẋ + F + F t Siª F zostnie dlej pomini t, gdy» powoduje on jedynie przesuni cie punktu równowgi, co mo»n uwzgl dni zmienij c poªo»enie pocz tku ukªdu wspóªrz dnych. Wprowdzj c prmetry ω k m, Γ γ m, orz F t F t/m otrzymujemy ẍ ω x Γẋ + F t równnie tªumionego oscyltor hrmonicznego z zle»nym od czsu wymuszeniem. Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 7 Obwód elektryczny RLC Obwód elektryczny stnowi poª czone ze sob szeregowo cewki o indukcyjno±ci L, opornik o rezystncji R i kondenstor o pojemno±ci C, orz ¹ródªo siªy elektromotorycznej E E + Ẽt. Drugie prwo Korchho prowdzi do nst puj cego równni bilnsuj cego spdki npi i sum siª elektromotorycznych w tym obwodzie: U C + U R Q C C + IR Ẽt + E Lt Ẽt L di. Ró»niczkuj c to równnie po czsie i korzystj c z tego,»e I dq/ otrzymujemy LÏ I Rİ + Ẽt. C Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 8 Obwód elektryczny RLC Wprowdzj c prmetry orz F t Ẽt/L otrzymujemy ω LC, Γ R L, Ï ω I Γİ + F t identyczne jk wy»ej równnie tªumionego oscyltor hrmonicznego z zle»nym od czsu wymuszeniem. Jedyn ró»nic jest interpretcj zyczn zmiennej x lub I opisuj cej ewolucj oscyltor. Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 9 Ewolucj w czsie oscyltor hrmonicznego Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego Oscyltor hrmoniczny nietªumiony i niewymuszony ẍ ω x Szukmy rozwi zni równni ruchu tªumionego oscyltor hrmonicznego z zle»nym od czsu wymuszeniem z zdnymi wrunkmi pocz tkowymi ẍ ω x Γẋ + F t x x, v ẋ v w ró»nych wrintch problemu odpowidj cych specycznym sytucjom zycznym. Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego xt x cosω t + v sinω t A cosω t ϕ ω vt ω x sinω t + v cosω t ω A sinω t ϕ ω A cosω t ϕ + π v ϕ rc tg, A x ω x + v xt ω + vt, ω np. ms n spr»ynie E mv + kx k x + v ω k A Dl k»dych wrunków pocz tkowych od rzu mmy stn ustlony drgni hrmoniczne sinusoidlne o cz sto±ci ω i mplitudzie A zle»nej od energii. Brk jest stnu przej±ciowego dochodzeni do stnu ustlonego. Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego

3 Oscyltor hrmoniczny nietªumiony i niewymuszony Oscyltor hrmoniczny nietªumiony i niewymuszony Mª modykcj wrunków pocz tkowych x, v przy zchownej energii cªkowitej E dje ewolucje niezncznie przesuni t w fzie. Zmist prezentow wykresy zle»no±ci od czsu poªo»eni i pr dko±ci x xt, v vt, mo»n przedstwi tzw. wykres fzowy ruchu v vx w przestrzeni fzowej x, v. Funkcj v vx przedstwi trjektori ruchu.medskip Dl oscyltor hrmonicznego bez tªumieni ruch przy innej wrto±ci energii cªkowitej E, to inn elips trjektori w tej przestrzeni. Przestrze«fzow dl tej sytucji pokryt jest koncentrycznymi elipsmi rysunek obrzuj cymi ró»ne mo»liwe trjektorie - istniej tylko trjektorie cykliczne ruch periodyczny. Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 3 Oscyltor hrmoniczny tªumiony i niewymuszony Energi cªkowit: ẍ + Γẋ + ω x F cosωt, x x, ẋ υ E ẋ + ω x rozwi znie ogólne r-ni jednorodnego: xt Ae λt + Be λt, λ, Γ ± Γ ω Γ ± ω Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 4 Oscyltor hrmoniczny tªumiony i niewymuszony Γ Γ oscyltor przetªumiony > ω ω ω < xt e Γ [x t cosh ω t + υ + Γ ] x sinh ω t ω Γ przypdek periodyczny < ω ω > xt e Γ [x t cosω t + υ + Γ ] x sinω t Je±li Γ ω, to energi cªkowit w ci gu jednego okresu jest prktycznie stª, u±rednion po wielu okresch znik wykªdniczo. Γ 3 oscyltor tªumiony krytycznie ω ω xt e Γ t [x + υ + Γ x ] t ω Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 5 Oscyltor hrmoniczny tªumiony i niewymuszony Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 6 Oscyltor hrmoniczny tªumiony wymuszny periodycznie Rozwi znie ogólne problemu to sum rozwi zni ogólnego oscyltor tªumionego bez wymuszeni, orz rozwizni szczególnego równni dl oscyltor z wymuszeniem równni niejednorodnego, które m post : przy du»ym tªumieniu tylko znik, przy sªbym tªumieniu gsn ce oscylcje xt A b sinωt + A el cosωt A b F Γω ω ω + Γ ω A el F ω ω ω ω + Γ ω Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 7 Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 8

4 Oscyltor hrmoniczny tªumiony wymuszny periodycznie stn przejsciowy - znik lub gsn ce oscylcje stn ustlony - periodyczne oscylcje o okresie zburzeni Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego 9 Oscyltor hrmoniczny tªumiony wymuszny periodycznie xt A b sinωt + A el cosωt Istnienie siªy wymuszj cej sprwi,»e w stnie ustlonym oscyltor wykonuje drgni hrmoniczne o cz sto±ci wymuszeni ω. Aby drgni nie gsªy oscyltor musi pochªni energi pochodz c od siªy wymuszj cej. moc bsorbown przez oscyltor P bs de bs F tdx F tẋ F ω A b cos ωt A el sinωt cosωt ±redni po jednym okresie moc bsorbown P bs F ω A b cos ωt A el sinωt cosωt F ωa b Moc bsorbown przez oscyltor gromdzi si w obu czªonch opisuj cych ewolucj w stnie ustlonym. Ale wkªd do ±redniej mocy bsorbownej w czsie jednego okresu oscylcji pochodzi ju» tylko od czªonu A b, czyli przesuni tego w fzie o π/ w stosunku do siªy wymuszj cej. Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego Oscyltor hrmoniczny tªumiony wymuszny periodycznie xt A b sinωt + A el cosωt Istnienie siªy tªumi cej Γẋ sprwi,»e energi oscyltor jest rozprszn do otoczeni zle»nie od ntury zycznej ukªdu. moc trcon przez oscyltor P dys de dys Γẋdx Γẋ Γω A b sinωt A el cosωt ±redni po jednym okresie moc trcon Pdys Γω A + b A el ωf A b P bs Stn ustlony okre±lony jest przez bilns energii strty energii w ci gu jednego okresu kompensowne s jej bsorpcj. ±redni energi drg«ustlonych E ẋ + ω x ω 4 + ω A + b A el 4 F ω + ω ω ω + Γ ω. Potok n prostej Oscyltor hrmoniczny jko przykªd ukªdu dynmicznego Ukªd dynmiczny Ruch oscyltor opisny jest ilo±ciowo II zsd dynmiki Newton: m F osc + F t + F wym Dl konkretnych postci siª orz relcji mi dzy wielko±cimi opisuj cymi ruch oscyltor otrzymujemy równnie ró»niczkowe zwyczjne -go rz du: mẍ kx γẋ + F dynmik ukªdu relcj wi» c ruch skutek z siªmi przyczyn jest wyr»on j zykiem równ«mtemtycznych ewolucj dowolnego ukªdu niezycznego opisn jest j zykiem równ«mtemtycznych jk wielko±ci zmienij ce si w czsie zle» od przyczyn tych zmin ukªd dynmiczny mtemtyczny opis ewolucji ukªdu Potok n prostej Ukªd dynmiczny np. czs ci gªy - równnie ró»niczkowe lub ukªd równ«ró»niczkowych: np. czs dyskretny - tzw. mp; zle»no± prwej strony od czsu ukªd z opó¹nieniem x f x, t x n+ f x n, n ukªd nieutonomiczny x f x, t ukªd utonomiczny x f x x d xt f xt, xt τ, t τ Potok n prostej 3 Potok n prostej 4

5 Ukªd jednowymirowy ẋ f x np. ẋ sinx, dl t t x x dx t sinx ln + cosx cosx + const t t ln + cosx cosx cosx + cosx Rozwi znie ±cisªe, le trudne do interpretcji. cosx cosx + e t e t e t + e t Jkie s rozwi zni dl dowolnych wrunków pocz tkowych x? Potok n prostej 5 Interpretcj geometryczn Przepªyw w pobli»u trktorów i repelorów Interpretcj geometryczn t czs, x poªo»enie, ẋ pr dko± ẋ sinx v vx sinx pole wektorowe n prostej -wymirowe w k»dym punkcie przestrzeni -wym. okre±lony wektor pr dko±ci ẋ strzªk w prwo - ẋ >, strzªk w lewo - ẋ < pole wektorowe obrzuje przestrzenny rozkªd pr dko±ci przepªywu hipotetycznej cieczy potok ow dl x, ±π, ±π,... ẋ nie m przepªywu, punkty stªe - punkt przyci gj cy, punkt stbilny, trktor, zlew sink - punkt odpychj cy, punkt niestbilny, repelor, ¹ródªo source Potok n prostej 6 Interpretcj geometryczn przepªyw jednowymirowy ẋ f x portret fzowy - rysunek prezentuj cy wszystkie mo»liwe trjektorie ró»ne wrunki pocz tkowe punkty stªe, punkty równowgi ẋ f x punkt stbilny: po niezncznym wyprowdzeniu ze stnu równowgi ukªd powrc do tego punktu, punkt niestbilny: po niezncznym wyprowdzeniu ze stnu równowgi ukªd nie powrc do tego punktu, Potok n prostej 7 Przykªdy Znle¹ i sklsykow wszystkie punkty stªe dl ukªdu ẋ x. Ukªd elektryczny: Nrysow digrm fzowy i zbd jego punkty stªe dl ukªdu elektrycznego RC zsilnego stªym npi ciem V. V + RI + Q C 3 Nrysow digrm fzowy i zbd stbilno± punktów stªych dl ukªdu ẋ x cosx. Potok n prostej 8 Anliz stbilno±ci Grczn nliz stbilno±ci jest mªo ±cisª. Potrzebn jest brdziej wymiern mir stbilno±ci dj c tkze informcj o szybko±ci powrcni do lub szybko±ci oddlni si od punktu równowgi. lineryzcj w okolicy punktu równowgi x r, f x r η x x r mªe odchylenie od stnu równowgi f x f x r + η f x r + f x r η + Oη η ẋ f x r η + Oη Je±li f x r, to Oη mo»n pomin i: η f x r η ηt A e f x r t Potok n prostej 9 Potok n prostej 3

6 Anliz stbilno±ci Ukªd jednowymirowy ηt A e f x r t f x r > wykªdniczy wzrost wrto±ci η f x r < wykªdniczy znik wrto±ci η Je±li f x r, to nie mo»n pomin wyrzów rz du Oη i potrzebn jest nliz nieliniow. Nchylenie krzywej f x w punkcie stªym determinuje rodzj stbilno±ci i szybko± ewolucji po mªym zburzeniu. A wi c f x r okre±l chrkterystyczn skl czsu w okolicy punktu x r. liniow nliz stbilno±ci Dynmik ukªdu -wymirowego jest determinown przez poªo»enie punktów stªych: wszystkie trjektorie d» lbo do punktów stªych lbo do ±, trjektorie mog tylko lbo monotonicznie rosn lbo monotonicznie mle, potok fzowy nigdy nie zmieni kierunku, osi gnie stnu równowgi odbyw sie zwsze monotonicznie, znik oscylcyjny jest niemo»liwy nie m mo»liwo±ci zwróceni potoku Potok n prostej 3 Interpretcj w j zyku potencjªu dv x ẋ f x f x ẋ V x dx ruch w polu pewnego potencjªu rzeczywistego lub hipotetycznego Potok n prostej 3 przykªdy potencjª hrmoniczny V x x ẋ x potencjª bistbilny V x 4 x 4 x ẋ xx dv dv dx dx dv dx potencjª mleje wzdªu» trjektorii ruch w kierunku minimum potencjªu Potok n prostej 33 Potok n prostej 34 Rol prmetrów ukªdu 3. Bifurkcje ukªdu jednowymirowego Zchownie ukªdu -dim jest brdzo proste - wszystkie rozwi zni zbiegj do punktów równowgi trwªej lub do ±. Ale dotychczs pomijli±my istnienie prmetrów. Jko±ciow struktur potoku mo»e zmieni si gdy zmieni si wrto± jkiego± prmetru ukªdu. Np. ẋ x, punkt stªy x jest trktorem dl >, repelorem dl <. Przy zminie wrto±ci prmetru: mo»e zmieni si chrkter punktu równowgi, mog pojwi si lub znikn punkty stªe. Jko±ciow zmin dynmiki struktury przestrzeni fzowej to bifurkcj. Wrto± prmetru, dl której on zchodzi, to punkt bifurkcji. Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 35 Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 36

7 Bifurkcj siodªo-w zeª Bifurkcj siodªo-w zeª Podstwow bifurkcj obrzuj c powstwnie i zniknie punktów stªych x r + x x r + x, xs ± r gª zie: stbiln i niestbiln dl r punkt póªstbilny digrm bifurkcyjny: jk punkty stªe, lub ogólniej jk wªsno±ci dynmiczne ukªdu zle» od prmetrów r < xs r, xs ± r r xs, xs r > nie istnieje xs nzw siodªo-w zeª sddle-node pochodzi od nlogicznej bifurkcji dl pol wektorowego n pªszczy¹nie -wym inne nzwy: bifurkcj fªdy fold lub punktu zwrotu turning point bifurkcj rozwidlenie, rozszczepienie dl r jko±ciow zmin wªsno±ci ukªdu bifurkcj Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 37 Bifurkcj siodªo-w zeª Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 38 Bifurkcj siodªo-w zeª Przykªd : x f x, r dl r rc bifurkcj siodªo-w zeª w punkcie x xc x r x, xs ± r Przykªd : x r x e x x f x, r Jk jest wrto± punktu bifurkcji rc punkt krytyczny? f xc, rc, xf, fr, x c,r c xc,rc r x e x d d x, orz r x e dx dx 3 e x x rc Bifurkcje ukªdu jednowymirowego f f f f xc, rc + x xc + r rc + x xc +... x xc,rc r xc,rc x x,r c c rozwi znie gr czne: x r x e x 39 f x xc, rc b x f x, r r rc + bx xc +... po przesklowniu zmiennych otrzymujemy dl bifurkcji siodªo-w zeª 4 Bifurkcj trnskrytyczn trnscriticl Podstwow bifurkcj obrzuj c wymin stbilno±ci punktów x rx x x r x Przykªd: r : < r < : r < : x r ln x + x niech x + z xs niestbilny, z r ln + z + z 3 xs, xu, ], r z h+ z + Oz i + z 3 xu, xs [, z r + rz z + Oz R r +, X r x istotn ró»nic w stosunku do bifurkcji siodªo-w zeª: punkty stªe nie znikj Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 4 x r + x Bifurkcje ukªdu jednowymirowego Bifurkcj trnskrytyczn trnscriticl r < xs r niestbilny, xs stbilny, r xs r punkt póªstbilny, r > xs niestbilny, xs r stbilny post normln Bifurkcje ukªdu jednowymirowego post normln X RX X 4

8 Bifurkcj rozwidleni, widªow, widelcow pitchfork Ndkrytyczn bifurkcj widªow supercriticl pitchfork przej±cie fzowe -go rodzju, mi kkie soft x rx x 3 x r x, x 3 stbilizuje ogrnicz ruch dl ukªdów posidj cych symetri np. przestrzenn lewy i prwy punkty stªe znikj i pojwij si symetrycznie prmi ndkrytyczn podkrytyczn x V x V x 4 x 4 rx zwi zek z przej±cimi fzowymi jkosciowymi zminmi wªsno±ci ukªdu dl r punkt x jest stbilny, le zle»no± od czsu w trkcie relkscji nie jest wykªdnicz, lecz lgebriczn, zncznie wolniejsz krytyczne spowolnienie criticl slowing down Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 43 Podkrytyczn bifurkcj widªow subcriticl pitchfork Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 44 Bifurkcje niedoskonªe przej±cie fzowe -go rodzju, twrde hrd Bifurkcj rozwidleni pojwi sie w ukªdch posidj cych symetri. W wielu rzeczywistych problemch ideln symetri jest tylko pewnym przybli»eniem niedoskonªosci prowdz do pewenej symetrii, ró»nicy mi dzy prwym i lewym, itp. Symetri jest zªmn. x rx + x 3 x r + x x 3 destbilizuje ruch Np. W rzeczywistych ukªdch, je»eli istnieje stn niestbilny, to musi te» by czªon stbilizuj cy ukªd w sko«czonym obszrze. p tl histerezy x rx + x 3 x 5 Bifurkcje ukªdu jednowymirowego x h + rx x 3 h prmetr niedoskonªo±ci symetrii mksimum krzywej b: d x 3 r 3x dx rx q xmx 3r q hc 3r 3r 45 Bifurkcje niedoskonªe Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 46 Ktstrofy przestrze«prmetrów r, h punkt r, h - ostrze cusp digrm stbilno±ci digrm bifurkcji w przestrzeni 3-wym punkt r, h, x ktstrof ostrz cusp ctstrophe ktstrof - ngª zmin stnu ukªdu n powierzchni stnów skok ndkryt. b. widªow b. siodªo-w zeª Bifurkcje ukªdu jednowymirowego ndkryt. b. widªow 47 Bifurkcje ukªdu jednowymirowego 48

9 Oscyltor hrmoniczny ewolucj oscyltor hrmonicznego tªumionego ẍ + Γẋ + ω x, xt Aeλt + Be λt 4. Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej λ + Γλ + ω, λ, Γ ± Γ ω Γ ± ω relcj mi dzy wielko±cimi chrkteryzuj cymi skle czsu szybko± tªumieni Γ i szybko± oscylcji wªsnych ω sposób zbiegni do stnu równowgi x r, υ r znik wykªdniczy, lbo tªumione oscylcje ẋ υ υ Γυ ω x d x υ ω Γ x υ deta λi λ + Γλ + ω d w A w Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 49 Dwuwymirowy ukªd liniowy Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 5 Oscyltor hrmoniczny ẋ x + by ẏ cx + dy d x b x y c d y x x b x, A y x c d punkt stªy xs x s, y s x A x Przykªd : oscyltor hrmoniczny nietªumiony ẋ υ A ω υ ω x υ dυ ẋ dυ dx x ω υ υdυ ω xdx υ ω x + C ω x + υ C elips pole wektoroweẋ zmkni te orbity xs "wektor pr dko±ci" centrum υ υ s dx Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 5 Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 5 Dwuwymirowy ukªd liniowy Przykªd : A ẋ x ẏ y xt x e t yt y e t y x y x Stbilno± je±li wszystkie trjektorie rozpoczynj ce si w pobli»u x s osi gj go xt x s dl t, to x s jest przyci gj cy trktor, je±li do x s zbiegj wszystkie trjektorie w przestrzeni fzowej, to punkt jest globlnie stbilny, je±li trjektorie cªy czs pozostj w pobli»u x s, to punkt jest stbilny w sensie Lpunow, je±li x s jest jest przyci gj cy i stbilny w sensie Lpunow, to jest symptotycznie stbilny. w zeª w zeª w zeª l. pkt. stªych siodªo chrkterystyczne kierunki dl w zª: szybsz i wolniejsz ewolucj chrkterystyczne kierunki dl siodª: o± y rozmito± stbiln zbiór { x }: xt x s dl t, o± x rozmito± niestbiln zbiór { x }: xt x s dl t, Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 53 Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 54

10 Wrto±ci i wektory wªsne Przykªdy b x A x, A c d xt C e λt v + C e λt v λ τλ + τ + d TrA d bc deta ẋ x + y ẏ 4x y x, y, 3 λ, λ R, λ >, λ < v - wyzncz rozmito± niestbiln, v - wyzncz rozmito± stbiln A v i λ i v i deta λ i I λ τ + τ 4 λ τ τ 4 wrto±ci wªsne zle» jedynie od ±ldu i wyzncznik mcierzy A wektory wªsne wyznczj chrkterystyczne kierunki w pobli»u x s λ, λ 3 v, v 4 C, C xt e t + e 3t yt e t 4e 3t Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 55 Przykªdy λ, λ R, λ <, λ < ob rozwi zni wªsne znikj do zer - w zeª stbilny λ, λ R, λ >, λ > ob rozwi zni wªsne d» do niesko«czono±ci - w zeª niestbilny Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 56 Dwuwymirowy ukªd liniowy b x A x, A c d τ TrA, deta A v i λ i v i, λ τλ + λ, τ ± τ 4 λ, λ C, λ, λ r ± iλ i λ r - centrum stbilnie neutrlne λ r < - spirl stbiln λ r > - spirl niestbiln λ r okre±l szybko± tªumieni ucieczki λ i ω okre±l cz sto± koªow ω i okres T π/ω oscylcji Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 57 Ukªd liniowy w przestrzeni dwuwymirowej 58 Oscyltor niehrmoniczny oscyltor hrmoniczny - ewolucj w polu potencjªu prbolicznego mẍ γẋ kx γẋ + V x, V x kx 5. Nieliniowy ukªd dwuwymirowy oscyltor nieliniowy - ewolucj w polu potencjªu innego ni» prbiliczny Przykªd : ẍ γẋ + V x γẋ x 3 + rx, V x 4 x 4 rx Przykªd : whdªo mtemtyczne θ g L sinθ Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 59 Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 6

11 Ukªd nieliniowy portret fzowy ẋ f x, y ẏ gx, y x f x x punkty stªe zmkni te orbity chrkter punktów stbilno± x y x x, f x, y f x gx, y cisªe rozwi zni prwie tylko numeryczne, le mo»liw nliz jko±ciow Ukªd nieliniowy Przykªd: ẋ, ẏ w punkcie x s, y s, yt y ẋ x + e y e t t xt wzrst wykªdniczo dl du»ych czsów ẏ y x s, y s, jest niestbilny - siodªo izoklin - lini o stªej pr dko±ci ẋ, ẏ, czyli dy dx ẏ gx, y ẋ f x, y szczególne izokliny: ẏ gx, y y, ẋ f x, y x e y Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 6 Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 6 Wªsno±ci trjektorii Istnienie i jednoznczno± rozwi z«: x f x odpowiednio gªdkie pol wektorowe f x ró»ne trjektorie nie mog si przecin! Konsekwencje topologiczne: trjektori rozpoczynj c si wewn trz orbity zmkni tej C pozostje wewn trz niej cªy czs je±li wewn trz C znjduje si punt stªy trjektori tk d»y do niego, je±li nie m punktu stªego, to trjektori d»y symptotycznie do tej orbity Lineryzcj Przybli»enie portretu fzowego w okolicy punktów stªych przez portret fzowy ukªdu liniowego ẋ f x, y u ẋ ẏ gx, y v ẏ f x r, y r gx r, y r u x x r v y y r u f u + x r, v + y r f x r, y r + f x r, y r u + f x r, y r v + Ou, v, uv x y f x r, y r f x r, y r d u x y u v + Ou, v, uv v gx r, y r x ukªd zlineryzowny d u u A v v gx r, y r y A mcierz Jcobiego bdnie otoczeni punktów stªych tk jk dl ukªdów liniowych Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 63 Ukªd nieliniowy cd przykªdu: ẋ x + e y d ẏ y wrto±ci i wektory wªsne mcierzy Jcobiego: λ, x u v, λ, x u v Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 64 Mªe czªony nieliniowe Pyt.: Czy rzeczywi±cie mo»n bezpiecznie pomin czªony nieliniowe? Odp.: Tk, o ile punkt stªy nie nle»y do przypdków grnicznych zdegenerownych, czyli le» cych w przestrzeni prmetrów n grnicy rozdzielj cej obszry ró»nych typów Przykªd : ẋ x + x 3 ẏ y x r, y r, λ, λ w zeª stbilny x r, y r ±, λ +, λ siodª punkt stªy, to punkt siodªowy punkty stªe nie nle» do grnic obszrów punktów stªych ró»nych typów Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 65 Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 66

12 Mªe czªony nieliniowe Punkty stªe stbilno± Przykªd :! x y + x x + y xr, yr, A y x + y x + y Tr A τ, det A punkt stªy jest zwsze centrum le»y Z punktu widzeni wªsno±ci stbilno±ci, bez szczegóªów geometrii przestrzeni fzowej, punkty stªe dziel si n: przypdki twrde repelor ¹ródªo - Reλ, Reλ > n grnicy obszrów x r cosϕ, y r sinϕ r r 3, ϕ trktor sink, zlew - Reλ, Reλ < siodªo - Reλ >, Reλ < przypdki mrginlne centrum - Re Reλ inne - λ Czyli przypdki mrginlne to te, dl których cz ± rzeczywist przynjmniej jednj wrto±ci wªsnej znik. Dl centrum wszystkie trjektorie musz dokªdnie "tr " w siebie po jednym cyklu. Jkiekolwiek zburzenie uniemo»liwi to. Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 67 Wªsno±ci topologiczne portretu fzowego Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 68 Wªsno±ci topologiczne portretu fzowego Przykªd 3: Je±li Reλ 6 dl obu wszystkich wrto±ci wªsnych to punkt stªy jest punktem hiperbolicznym. Dl punktu hiperbolicznego lineryzcj wystrcz by okre±li jego wªsno±ci stbilno±ci. x x 3 x y, y y x y xr, y,, λ 3, λ r 3 A, ~x, ~x w zeª niestbilny xr, y r,, λ, λ A, ~x, ~x w zeª stbilny xr, y r 3,, λ 3, λ A, ~x, ~x w zeª stbilny xr, y ± r,, λ, A, ~x, ~x siodªo Portrety fzowe s topologicznie równow»ne, je±li istnieje deformcj ci gªe wzjemnie jednoznczne przeksztªcenie przeprowdzj ce jeden portret w drugi. Portret fzowy otoczeni punktu hiperbolicznego jest topologicznie równow»ny portretowi fzowemu ukªdu zlineryzownego. Portret fzowy jest strukturlnie stbilny, gdy jego topologi nie zmieni si dl dowolnie mªego zburzeni pol wektorowego np. siodªo i centrum. Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 69 Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 7 Wªsno±ci topologiczne portretu fzowego Ukªd zchowwczy konstrukcj portretu fzowego W mechnice klsycznej, je»eli siª dziªj c n ukªd dje si wyrzi ~ grdv ~x to ukªd jest zchowwczy poprzez potencjª F konserwtywny. Ozncz to,»e energi cªkowit E zle»n od ktulnej pr dko±ci ~v i poªo»eni ~x nie uleg zminie. Istnieje wi c pewn funkcj zmiennych ukªdu Φ~x, ~v o stªej wrto±ci równej E. ~ grdv ~x, Φ~x, ~v m~x F + V ~x E const X Φ X V d Φ~x, ~v X Φ V x i + v i vi + mvi dx dv dx m dxi i i i i i i Równo± Φ~x, ~v E okre±l pewn trjektori ukªdu dynmicznego bsen przyci gni zbiór wrto±ci pocztkowych, z których trjektorie docierj do stbilnego punktu stªego seprtrys grnic pomi dzy ró»nymi bsenmi przyci gni sprmetryzown przez wrto± energii E. np. oscyltor hrmoniczny Φx, υ Nieliniowy ukªd dwuwymirowy m ~v 7 Nieliniowy ukªd dwuwymirowy mυ + kx E 7

13 Ukªd zchowwczy Dl ukªdu dynmicznego ẋ f x, y, ẏ gx, y: Je»eli istnieje gªdk funkcj Φx, y przyjmuj c stª wrto± dl k»dej trjektorii ukªdu dynmicznego z pewnego obszru R, to t funkcj nzyw si cªk pierwsz. Je±li ukªd posid cªk pierwsz n cªym zbiorze R, to ukªd jest zchowwczy konserwtywny. Je±li ukªd jest zchowwczy, to nie posid posid trktorów. Je»eli Φx, y jest cªk pierwsz, to speªni relcj Φx, y f x, y + x Φx, y gx, y y Cªk pierwsz mo»n czsem znle¹ rozwi zuj c równnie ewolucji ukªdu: dy dx ẏ gx, y ẋ f x, y Rozwi znie wymg jednokrotnego cªkowni jedn stª cªkowni, st d termin cªk pierwsz. Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 73 Ukªd zchowwczy Ruch n hiperpowierzchni energii Φx, y Tw. o nieliniowym centrum w ukªdzie zchowwczym Zªó»my,»e w ukªdzie dynmicznym istnieje cªk pierwsz Φx, y i»e istnieje izolowny punkt stªy x r, y r tzn. nie m innych punktów stªych w jego otoczeniu. Je»eli x r, y r jest loklnym minimum Φx, y, to wszystkie trjektorie w otoczeniu x r, y r s zmkni te. Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 75 Ukªd odwrclny Przykªd 5: ẋ y y 3 ẏ x y punkt stªy, A τ λ, ±i centrum? Pozostªe punkty stªe, i, s hiperboliczne siodª. f x, y y y 3 f x, y y + y 3 f x, y gx, y x y gx, y x y gx, y ukªd zchowwczy punkt, jest centrum trjektori heterokliniczn - ª czy dw ró»ne siodª Ukªd zchowwczy Przykªd 4: Ruch punktu mterilnego w polu potencjªu bistbilnego V x /4x 4 /x ozn. υ y ẋ y, ẏ x x 3 x r, y r,, λ, λ A, x, x punkt hiperboliczny siodªo τ TrA, deta zsd zch. energii - cªk pierwsz Φx, y y + V x y + 4 x 4 x E const x r, y r ±,, λ i, λ i A punkt niehiperboliczny centrum? punkty ±, otoczone mªymi zmkni tymi orbitmi ruch periodyczny trjektori homokliniczn - zczyn si i ko«czy w tym smym punkcie stªym Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 74 Ukªd odwrclny W wielu problemch zycznych ruch zchowuje symetri ze wzgl du n odwócenie czsu t t. Ozncz to,»e dynmik wygl d tk smo gdy czs biegnie w przód i w tyª np. whdªo. Dl cz stki m : ẋt yt ẏt F xt t t ẋ t y t ẏ t F x t Je±li rozwi zniem ukªdu równ«jest xt, yt, to x t, y t tk»e jest rozwi zniem. Przy zminie kierunku czsu t zmieni si te» pr dko±ci y. ẋ t y t ẏ t F x t Ukªd odwrclny Ukªd dynmiczny -wymirowy jest odwrclny, je»eli jest inwrintny przy trnsformcji t t, y y. ẋ f x, y f x, y f x, y f. nieprzyst wzgl. y ẏ gx, y gx, y gx, y f. przyst wzgl. y Je»eli punkt, jest centrum dl ukªdu zlineryzownego, ukªd jest odwrclny, to w otoczeniu tego punktu wszystkie trjektorie s zmkni te. Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 76 Ukªd odwrclny ogólniej Ukªd odwrclny Niech R x ozncz odwzorownie pªszczyzny R w siebie tkie,»e x x x x R x x. Np. R lub R. y y y y Ukªd dynmiczny x f x jest odwrclny, je±li jest inwrintny przy trnsformcji t t, x R x. Przykªd ẋ cos x cos y ẏ cos y cos x niezmienniczy dl: t t, x x, y y ukªd odwrclny, le nie zchowwczy istnieje przyci gjcy punkt stªy Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 77 Nieliniowy ukªd dwuwymirowy 78

14 Cykl grniczny Zmkni t trjektori w przestrzeni fzowej to cykl grniczny, je±li w jej otoczeniu nie m innych zmkni tych trjektorii. Trjektorie z otoczeni cyklu grnicznego mog sie do niego symptotycznie zbli» lub oddl. 6. Cykl grniczny Przykªd ṙ r r θ ṙ rr θ ṙ rr θ Cykl grniczny nie mo»e powst w ukªdch liniowych. Jest efektem czysto nieliniowym. Cykl grniczny 79 Kiedy nie istnieje orbit zmkni t?. Ukªd grdientowy: x f x grdv x V x potencjª Tw.: W ukªdzie grdientowym nie istniej orbity zmkni te. Dow.: Zªó»my,»e istnieje orbit zmkni t. Poruszj c si po niej V x przyjmuje ró»ne wrto±ci, le po powrocie do punktu wyj±ci nie zmieni si, czyli V. Z drugiej strony: V T dv T V x ẋ + V y ẏ T grdv x x Sprzeczno±, wi c nie istniej orbity zmkni te. Przykªd : ẋ sin y, ẏ x cos y, V x, y x sin y Jk stwierdzi czy ukªd jest grdientowy? ẋ f x, y V x ẏ gx, y V y f x,y y gx,y x V x y V y x f x, y y T x < gx, y x Cykl grniczny 8 Kiedy nie istnieje orbit zmkni t?. Funkcj Lipunow: Przykªd 3: Czy ukªd ẍ + ẋ 3 + x posid trjektori periodyczn? Zªó»my,»e istnieje rozwi znie periodyczne. Poruszj c si wzdªu» niego po zko«czeniu cªego cyklu obiegu energi ukªdu E x + ẋ nie zmieni si E. Poniew»: to Ė xẋ + ẋẍ ẋx + ẍ ẋ 4, E T de T ẋ 4 E tylko dl ẋ, le to jest punkt stªy, nie orbit zmkni t. Sprzeczno±, wi c nie istnieje cykl grniczny. Cykl grniczny 8 Kiedy nie istnieje orbit zmkni t? Cykl grniczny 8 Kiedy nie istnieje orbit zmkni t? Funkcj Lipunow Zªó»my,»e ukªd x f x m punkt stªy x r. Je±li istnieje funkcj Φ x tk,»e: Φ x > dl wszystkich x xr i Φ x r Φ jest donio okre±lon, Φ x < dl wszystkich x xr wszystkie trjektorie zd»j w dóª do x r, to ẋ r jest globlnie symptotycznie stbilny: dl dowolnych wrunków pocz tkowych xt x r gdy t. Ozncz to w szczególno±ci,»e nie istniej orbity zmkni te. Funkcj Φ x o tych wªsno±cich nosi nzw funkcji Lipunow. Nie istnieje uniwerslny przepis n konstrukcj funkcji Lipunow. Przykªd 4: ẋ x + 4y ẏ x y 3 istnieje tylko jeden punkt stªy x r, Niech Φ x x + py, prmetr p b dzie pó¹niej dobrny. dl k»dego x x r mmy Φ x r >, Φ x r, Φ xẋ +pyẏ x x +4y+py x y 3 x y 4 +8 pxy Je±li p 4, to Φ x y 4 <, Φ x x + 4y jest funkcj Lipunow, W ukªdzie nie m orbit zmkni tych. Cykl grniczny 83 Cykl grniczny 84

15 Kiedy nie istnieje orbit zmkni t? 3. Kryterium Dulc: Ukªd x f x jest okre±lony n podzbiorze zwrtym B "bez dziur" pªszczyzny R. Je±li istnieje funkcj g x tk,»e divg x m n B stªy znk, to nie istniej orbity zmkni te le» ce cªkowicie w B. Nie istnieje uniwerslny przepis n konstrukcj funkcji g x. Ale wrto spróbow np. g x, x y b, e x, e by... Przykªd 5: Pokz,»e ukªd ẋ x x y, ẏ y4x x 3 nie m orbit zmkni tych w obszrze x >, y >. Niech gx, y /xy. divg x x gẋ + y gẏ x y + 4x x 3 x y y x y < Konkluzj: nie m zmkni tych orbit w obszrze x >, y >. Cykl grniczny 85 Twierdzenie Poincrégo-Bendixson Przykªd 6: grniczny. punkt stªy: r r, ẋ y, ẏ x+y 3x y Dl r /: Pokz,»e ukªd ẍ ẋ 3x ẋ + x, posid cykl x r cos ϕ, ṙ r sin ϕ r r cos ϕ, y r sin ϕ ϕ +sin φ cos ϕ r r cos ϕ ṙ 4 sin ϕ cos ϕ wszystkie trjektorie oddlj si od punktu r r Dl r / : ṙ sin ϕ cos wszystkie trjektorie ϕ zbli»j si do punktu r r { Zbiór B r : r } speªni wrunki tw. Poincrégo-Bendixson, wi c zwier cykl grniczny. Cykl grniczny 87 Równnie vn der Pol ẍ + µx ẋ + x, ẋ y ẏ µx ẋ x Równnie jk dl oscyltor hrmonicznego ẍ + Γẋ + ω x, le z nieliniowym wspóªczynnikiem tªumieni Γx µx : Γx > dl x >, ruch jest tªumiony energi trcon przez ukªd, Γx < dl x <, ukªd jest pompowny energi dostrczn. dl równni Liénrd: gx x g x gx > dl x > f x µx f x f x F x µx 3 x : F x dl x 3, F x dl x, F x < dl < x < 3, F x > i F x f x dl 3 < x. Równnie vn der Pol speªni zªo»eni tw. Liénrd istnieje cykl grniczny Cykl grniczny 89 Kiedy istnieje orbit zmkni t? Twierdzenie Poincrégo-Bendixson Je»eli: B jest ogrniczonym podzbiorem pªszczyzny R, x f x jest okre±lony n zbiorze zwierj cym B, 3 B nie zwier»dnego punktu stªego, 4 istnieje trjektori C zwrt w B to lbo C jest zmkni t orbit, lbo zmierz do orbity zmkni tej dl t. W obu przypdkch B zwier orbit zmkni t. Je»eli podejrzewmy,»e orbit zmkni t zwier wewn trz punkt stªy P, to mo»emy jego otoczenie "wyci " i zbiór B ju» nie zwier tego punktu.. Aby wykz wrunek 4, mo»n skonstruow obszr wchªnij cy trjektorie, tzn. tki do którego trjektorie mog jedynie wchodzi. Cykl grniczny 86 Równnie Liénrd ẋ y ẍ + f xẋ + gx, ẏ f xy gx Szczególnym przypdkiem jest równnie oscyltor hrmonicznego. Twierdzenie Liénrd Je»eli funkcje w równniu Liénrd speªnij wrunki: funkcje f x i gx s ci gªe wrz z pochodnymi, g x gx, 3 gx > dl x >, x 5 F x f udu: m dokªdnie jedno donie zero x, F x < dl < x <, F x > i F x dl < x, F x dl x, 4 f x f x, to równnie Liénrd m stbilny cykl grniczny otczj cy punkt,. zªo»enie o gx siª przeciwstwij c si odksztªceniu, zªo»enie o f x tªumienie ujemne pompownie dl mªych x, tªumienie donie dl du»ych x, efekt ukªd d»y do stnu równow» cego te czynniki smoistne oscylcje Cykl grniczny Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 9

16 Wi cej o bifurkcjch Bifurkcje punktów stªych Jko±ciow zmin dynmiki struktury przestrzeni fzowej to bifurkcj. Wrto± prmetru, dl której on zchodzi, to punkt bifurkcji. Dl przestrzeni dwywymirowej rodzje tych zmin s zncznie bogtsze ni» dl jednowymirowej zminy dotycz ju» nie tylko pojwini si, znikni i zminy chrkteru stbilno±ci punktów stªych, le tk»e trjektorii zmkni tych, zwªszcz cykli grnicznych. Portrety fzowe s topologicznie równow»ne, je±li istnieje deformcj ci gªe wzjemnie jednoznczne przeksztªcenie przeprowdzj ce jeden portret w drugi. Zminy topologiczne przy zminie wrto±ci prmetru: pojwinie si i zniknie, zmin chrkteru stbilno±ci punktów stªych, pojwinie si i zniknie, zmin chrkteru stbilno±ci cykli grnicznych, zminy trjektorii ª cz cych punkty stªe homo- i hetero-kliniczne, zminy seprtrys i bsenów przyci gni. Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 9 Bifurkcj siodªo-w zeª ẋ µ x, x s ± µ ẏ y, y s µ< - w zeª w, µ -, punkt póªstbilny µ> - µ, w zeª stbilny - µ, siodªo Ogólnie: dl pewnej wrto±ci µ linie ẋ i ẏ przecinj si w punktch stªych, gdy µ zmieni si np. mleje punkty zbli»j sie do siebie, gdy µ osi g wrto± krytyczn µ c ob punkty pokrywj si, dl µ < µ c linie ẋ i ẏ nie przecinj si, nie m punktów stªych Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 93 Bifurkcje punktów stªych Dl wszystkich czterech przypdków problem sformuªowny jest nst puj co: ẋ f x; µ ẏ y punkt bifurkcji µ c punkt stªy x r, y r, wrt. wªsne mcierzy Jkobiego λ y, λ x λ x µ bifurkcj równnie λ x inne λ siodªo-w zeª ẋ µ x ± µ µ trnskryt. ẋ xµ x µ µ rozw. ndkryt. ẋ xµ x µ µ rozw. podkryt. ẋ xµ + x µ µ We wszystkich czterech typch bifurkcji zchodzi on, gdy jedn z wrto±ci wªsnych rzeczywistych w punkcie bifurkcji zmieni znk. Czyli dl µ c jedn z wrto±ci wªsnych mcierzy Jcobiego λ bifurkcje zerowej wrto±ci wªsnej. Bifurkcje punktów stªych w przestrzeni dwuwymirowej n-dim. s nlogiczne jk dl jednowymirowej: zminy dotycz jednego kierunku podprzestrzeni jednowymirowej, wzdªu» którego zchodzi bifurkcj, w pozostªych kierunkch potok jest lbo przyci gny lbo odpychny przez t podprzestrze«, podziª n obie podprzestrzenie m chrkter loklny w okolicy konkretnych punktów stªych. Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 9 Bifurkcje trnskrytyczn i rozwidleni ẋ µx x ẏ y bifurkcj trnskrytyczn ẋ µx x 3 ẏ y bifurkcj rozwidleni ndkrytyczn ẋ µx + x 3 ẏ y bifurkcj rozwidleni podkrytyczn np. bifurkcj ndkrytyczn Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 94 Bifurkcje punktów stªych zmin chrkteru stbilno±ci punktu stªego punkt stªy - centrum spirle zmin chrkteru oscylcji - tªumione lub wzrstj ce Zªó»my,»e w ukªdzie dynmicznym w pewnym punkcie stªym istniej dwie zespolone sprz»one wrto±ci wªsne mcierzy Jcobiego zle»ne od prmetru kontrolnego µ. Je»eli dl µ µ c przekrczj one o± niewymiern zmieni si znk cz ±ci rzeczywistej, to dl wrto±ci tej zchodzi bifurkcj Hopf. Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 95 Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 96

17 Ndkrytyczn bifurkcj Hopf stbiln spirl niestbiln spirl otoczon stbilnym cyklem grnicznym ndkrytyczn bifurkcj Hopf Przykªd : ṙ µr r 3 ẋ µx ωy x + yx + y ϕ ω + r ẏ ωx + µy + x yx + y punkt stªy, µ ω A ω µ λ µ ± iω prmetry cyklu grnicznego: promie«r µ cz sto± obiegu Ω ω + µ ogólnie dl µ µ c : rozmir µ µ c okres π/imλ + Oµ µ c Podkrytyczn bifurkcj Hopf Przykªd : ṙ µr + r 3 r 5 ẋ µx ωy +x yx +y xx +y 4 ϕ ω + r ẏ ωx +µy +x +yx +y yx +y 4 punkt stªy, p tl histerezy prmetry cykli grnicznych:. orbit stbiln /4 µ R + /4 + µ µ ω A ω µ λ µ ± iω Ω ω + + /4 + µ. orbit niestbiln /4 µ R /4 + µ Ω ω + /4 + µ Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 97 Jeszcze o bifurkcji Hopf Bifurkcj Hopf wszystkich trzech jej rodzjów trns-, pod- i nd-krytycznej zchodzi, gdy cz ± rzeczywist pry zespolonych wrto±ci wªsnych zmieni znk. Tk zmin wrto±ci wªsnych zchodzi w jeszcze jednej sytucji, gdy zmist stbilnych/niestbilnych cykli grnicznych orbity izolowne wrz z orbitmi spirlnymi pojwij si zmkni te orbity nieizolowne wokóª centrum zgedenerown bifurkcj Hopf. Istniej kryteri nlityczne identykuj ce ró»ne przypdki bifurkcji Hopf, le s one brdzo skomplikowne. Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 99 Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej 98 Jeszcze o bifurkcji Hopf Przykªd 3: Pokz,»e dl ukªdu ẋ µx ωy + xy, ẏ ωx + µy + y 3 przy zminie prmetru µ w punkcie, zchodzi bifurkcj Hopf. ṙ µr + ry, ϕ ω. w punkcie, : λ µ ± iω dl µ zchodzi bifurkcj Hopf, spirl stbiln zmieni si n niestbiln. ṙ µr + ry µr dl µ > rt ro±nie szybciej ni» e µt nie m orbit zmkni tych spirl niestbiln nie jest otoczon orbit zmkni t µ. bifurkcj nie jest ndkrytyczn 3. dl µ i dl punktów innych ni», zchodzi ṙ > niemo»liwe s orbity zmkni te bifurkcj nie jest zgegenerown W punkcie, przy µ zchodzi podkrytyczn bifurkcj Hopf Bifurkcje w przestrzeni dwuwymirowej Sk d si bior ukªdy dynmiczne? 8. Modelownie ukªdów dynmicznych W zgdnienich zyki teoretycznej równni ruchu pojwij njcz ±ciej si jko efekt rozw»«wynikj cych z ogólnych prw/reguª/równ«zstosownych do konkretnego problemu, np. z zsd dynmiki Newton, z równni Schrödinger, itp. W wielu przypdkch, np. gdy tworzy si opis fenomenologiczny nie wnikj cy w ntur mikroskopow zjwisk, lub nlizuje si dne do±widczlne poszukuj c teorii opisuj cej obserwowne zjwisko, buduje si modele mtemtyczne uwzgl dnij ce jko±ciowy wpªyw njw»niejszych czynników n opisywny proces zyczny. Ukªd dynmiczny mo»e opisyw tk»e zle»ne od czsu zjwisk z innych dziedzin wiedzy czy dziªlno±ci czªowiek: chemii np. kinetyk rekcji chemicznych, biologii np. zminy w czsie liczebno±ci populcji osobników gtunków, impulsy elektryczne w ukªdzie nerwowym, klimtologii np. ruchy ms powietrz, ocenogri np. pr dy oceniczne, trnsportu np. ruch n utostrdch, ekonomii np. procesy ekonomiczne, itp. Modelownie ukªdów dynmicznych Modelownie ukªdów dynmicznych

18 Jk tworzy model dynmiczny ukªdu? Ukªd dynmiczny ukªd równ«odzwierciedl relcje mtemtyczne mi dzy ró»nymi zmiennymi. Sens uzysknych rezulttów zle»y od konkretnego problemu i dziedziny, której dotyczy. zmin wielko±ci dynmicznej x xt w czsie od t do t + t: xt xt + t xt "wzrost" "ubytek" jk szybko zmin nst puje zmin n jednostk czsu szybko±, tempo zminy: xt t dl t xt + t xt t "tempo wzrostu" "tempo ubytku" xt + t xt lim dxt "tempo wzrostu" "tempo ubytku" t t Modelownie ukªdów dynmicznych 3 Prwo stygni ci Newton Typowe zminy wielko±ci dynmicznej brk jkichkolwiek zmin ukªdu ẋt xt x x const, stªe tempo zmin, niezle»ne od stnu ukªdu ẋt const xt t + x zminy liniowe w czsie le dl t xt ± zchownie niezyczne nierelne tempo zmin proporcjonlne do wielko±ci zmiennej zle»y od stnu ukªdu ẋt xt xt x e t > wykªdniczy wzrost < wykªdniczy znik tempo zmin zle»y w brdziej skomplikowny sposób od wielko±ci zmiennej stnu ukªdu, np. ẋt [xt] x xt problem, gdy t /x x t tempo zmin zle»y od wielko±ci innej zmiennej stnu ukªdu, np. ẋt yt, ẋt xtyt,... tempo zmin zle»y od dwniejszej wrto±ci zmiennej ukªdy z opó¹nieniem, np. ẋt xt τ xt x e αt, dl αe ατ, [α τ...] Modelownie ukªdów dynmicznych 4 Model kinetyczny przej± pomi dzy stnmi Szybko± z jk ciªo stygnie jest proporcjonln do ró»nicy pomi dzy tempertur ciª T i tempertur otoczeni T R : dt kt T R T t [T T R ] e kt + T R N cz stek znjduje si w trzech ró»nych stnch, mi dzy którymi mo»e nst pow wymin cz stek S γ 3 S γ 3 γ γ 3 γ 3 γ 3 S równni kinetyczne: Ṅ γ + γ 3 N + γ N + γ 3 N 3 Γ N Ṅ γ N γ + γ 3 N + γ 3 N 3 Γ N Ṅ 3 γ 3 N + γ 3 N γ 3 + γ 3 N 3 Γ 3 N 3 N + N + N 3 N N Modelownie ukªdów dynmicznych 5 Oddziªywnie tomu ze ±witªem Modelownie ukªdów dynmicznych 6 Lser N tomów dwupoziomowych E, E ±witªo o cz sto±ci ħω E E spektrln g sto± energii uω pol EM g sto± liczby fotonów nω Teori Einstein 96: bsorpcj ±witª emisj spontniczn dn dn B uωn A N dn emisj wymuszon B uωn Ṅ B uωn + A + B uωn Ṅ B uωn A + B uωn B B B stn równowgi N Buω N A + Buω exp ħω k B T Istot dziªni lser w skrócie witªo oddziªuj c z mteri wzbudz tomy cz steczki do wy»szych stnów energetycznych bsorpcj ±witª. Po pewnym czsie czs»yci tomy powrcj do stnu podstwowego emituj c ±witªo emisj spontniczn. Powrót do stnu podstwowego mo»n tk»e wymusi ±witªem pdj cym n wzbudzony tom emisj wymuszon. W bsorpcji i emisji spontnicznej bierze udziª jeden foton, w bsorpcji wymuszonej dw zwieksz si liczb fotonów. Doprowdzj c tomy do stnu wzbudzonego pompownie mo»n wygenerow wi zk brdzo wielu fotonów wzmocnienie ±witª. Je»eli cªy ukªd zosynie umieszczony pomiedzy dwom zwiercidªmi wn k rezonnsow, to fotony odbij si od zwiercidª, powróc do obszru wzmocnieni, ich liczb zostnie ponownie powi kszon, odbij sie od drugiego zwiercidª, powróc do obszru wzmocnieni, itd. kcj lserow Modelownie ukªdów dynmicznych 7 Modelownie ukªdów dynmicznych 8

19 Lser Ṅ BnN + A + BnN ΓN + γn Ṅ BnN A + BnN + ΓN γn ṅ BnN + A + BnN κn D N N N N + N Model populcji pojedynczego gtunku liczebno± populcji jednego gtunku N Ṅt "nrodziny" "±mier " + "migrcje" punkty stªe: Ḋ Bn + Γ + γd + Γ γn AN + D ṅ BnD κn+an + D Ḋ BnD Γ + γd D dl D Γ γ Γ + γ N ṅ BD κn Γ + γ n n κ D D pr D D D κ B D pr Modelownie ukªdów dynmicznych 9 Model populcji smoreguluj cej si Prwo Mlthus 798 r. tempo nrodzin i smierci proporcjonlne do liczebno±ci popul., brk migrcji Ṅ bn dn rn, Nt N e b dt, b > d r > nieogrniczony wzrost; b < d r < wygini cie gtunku r b d Ṅ N const r tempo wzrostu per cpit n jednego osobnik, wsp. rozrodczo±ci Modelownie ukªdów dynmicznych Ukªd drpie»nik-or Model Verhulst r. liczebno± populcji podleg smoregulcji/smoogrniczeniu Ṅt p Nt K Ṅ N rn p N K K - pojemno± ±rodowisk zsoby po»ywieni, terytorium,... Nt N Ke pt K + N e pt K gdy N < K/ krzyw sigmoidln Nt równnie logistyczne Model Lotki-Volterry 9-6 r. model populcji drpie»ników R i ich or N stworzony dl opisu liczebno±ci populcji dwóch gtunków ryb w Adrityku Ṅ N RN N R Ṙ NR br RN b, b stªe donie orbity zmkni te: N b R e N R C punkty stªe: N, R, siodªo N, R b, centrum Modelownie ukªdów dynmicznych Ukªd drpie»nik-or Relistyczny model Lotki-Volterry dn dp [ N F N, R N p N K R GN, R Rk h R N 5, b dl centrum 5, λ ±i b ω b T π ω ] RDN uwzgl dnienie pojemno±ci ±rodowisk i drpie»nictw drpie»ników efekt wysyceni np. DN A B + N Modelownie ukªdów dynmicznych 3 Modelownie ukªdów dynmicznych Model ukªdów konkuruj cych Dw gtunki konkuruj np. o te sme zsoby po»ywieni: Ṅ p N N N b K K Ṅ p N N K b N K b K K, b K K, ρ p p u N K, u N K zsd konkurencyjnego wykluczni u u u u f u, u u ρu u u f u, u Modelownie ukªdów dynmicznych 4

20 Szybko± procesów chemicznych Kinetyk rekcji chemicznych zjmuje si bdniem szybko±ci procesów chemicznych. K»d rekcj chemiczn mo»e by przedstwion jko sekwencj kilku wielu elementrnych rekcji kroków. Rekcj elementrn dotyczy n ogóª rekcji dwóch molekuª r. bimolekulrn, lub dysocjcji/izomeryzcji pojedynczej molekuªy r. unimolekulrn. Aby okre±li prwidªowo szybko± dnej rekcji zªo»onej, nle»y zidentykow wszystkie tworz ce j rekcje elementrne okresli mechnizm rekcji. Rekcj elementrn n ogóª poleg n pokonniu pewnej briery potencjªu oddzielj cej stn substrtów np. dwóch osobnych molekuª od stnu produktów np. stn nowej molekuªy. Szybko± rekcji elementrnej opisn jest wspóªczynnikiem szybko±ci rekcji k. Modele rekcji chemicznych szybko± rekcji chemicznej ubytek st»eni c s substrtu lub przyrost st»eni c p produktu w jednostce czsu jednostki υ : mol dm 3 s υ c st c s t + t υ dc s t dc p szybko± rekcji chemicznej zle»y od st»eni regentów i wrto±ci wspóªczynnik szybko±ci rekcji k, np. A + B k AB υ k[a][b] αa + βb k C υ k[a] α [B] β prwo dziªni ms: stosunek iloczynu st»e«produktów do iloczynu st»e«substrtów jest stªy Wszystkie rekcje s w mniejszym lub wi kszym stopniu odwrclne zchodz w obie strony A + B υ k [A][B] υ k [AB] k k AB równowg chemiczn υ υ K k k [AB] [A][B] K stª równowgi chemicznej Modelownie ukªdów dynmicznych 5 Modele rekcji chemicznych Rekcj unimolekulrn A k B k Rekcj bimolekulrn A + B d[a] k [A] + k [B] [A], [B] b - st»eni regentów k k AB C d k + k b db k k b ȧ k b + k c ḃ k b + k c ċ k b k c Modelownie ukªdów dynmicznych 6 Modele rekcji chemicznych Rekcj enzymtyczn Michelis-Menten 93 S + E k SE k P + E k ṡ k es + k c ċ k es k + k c ė kes + k + k c ṗ k c le: et + ct e st»enie enzymu swobodnego i zwi znego jest stªe, równnie ṗ k c nie jest sprz»one z pozostªymi, pt obliczmy n ko«cu Rekcj periodyczn X k k A B k Y X + Y k3 3X u u + u v f u, v v b u v gu, v Rekcj utoktlityczn A + B k k A ȧ k b k ḃ k b + k Modelownie ukªdów dynmicznych 7 Modelownie ukªdów dynmicznych 8 Jeszcze rz oscyltor hrmoniczny ẍ + Γẋ + ω x, x x, ẋ υ 9. Metody przybli»one Γ λ, Γ ± ω xt Ae λt + Be λt Γ Γ ω ±, ω ω oscyltor przetªumiony Γ > ω ω <, xt e Γ [x t cosh ω t + υ + Γ ] x sinh ω t ω Γ przypdek periodyczny < ω ω > xt e Γ [x t cosω t + υ + Γ ] x sinω t ω t t Metody przybli»one 9 Metody przybli»one